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苏教版2016年江苏中考数学要点复习课件+练习(第31课时相似与位似)第七章图形的变化第31课时相似与位似江苏2013～2015中考真题精选命题点1平行线分线段成比例（近3年39套卷，2015年考查3次）1.（2015淮安8题3分）如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F.若则EF的长是()A.B.C.6D.10第1题图第2题图2.（2015连云港16题3分）如图，在△ABC中，∠BAC=60°,∠ABC=90°,直线l1∥l2∥l3,l1与l2之间距离是1,l2与l3之间距离是2.且l1,l2,l3分别经过点A,B,C,则边AC的长为_________.命题点2相似三角形的判定与性质（近3年39套卷，2015年考查6次，2014年考查3次，2013年考查1次）1.（2014南京3题3分）若△ABC∽△A′B′C′,相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A.1:2B.2:1C.1:4D.4:12.（2015南京3题3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是（）A.B.3.（2015泰州14题3分）如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB＝6，BD=4,则CD的长为________.第3题图第4题图4.（2015南通17题3分）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC,垂足为E，，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于______.5.（2015南京20题8分）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且.（1）求证△ACD∽△CBD;（2）求∠ACB的大小.第5题图6.（2015连云港25题10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D为AC延长线上一点，AC=3CD，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H.（1）求BD·cos∠HBD的值；（2）若∠CBD=∠A，求AB的长.第6题图7.（2015镇江26题7分）某兴趣小组开展课外活动.如图，A、B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F,此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H,此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH（点C、E、G在一条直线上）.（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；（2）求小明原来的速度.第7题图8.（2013徐州26题8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上的某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）.（1）若△CEF与△ABC相似.①当AC＝BC＝2时，AD的长为________；②当AC＝3，BC＝4时，AD的长为________；（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由.第8题图命题点3位似图形（近3年39套卷，2015年考查1次，2013年考查1次）1.（2015镇江17题3分）如图，坐标原点O为矩形ABCD的对称中心，顶点A的坐标为（1，t），AB∥x轴，矩形A′B′C′D′与矩形ABCD是位似图形，点O为位似中心，点A′、B′分别是点A、B的对应点，.已知关于x，y的二元一次方程组（m，n是实数）无解.在以m，n为坐标（记为（m，n））的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A′B′C′D′的边上，则k·t的值等于（）A.B.1C.D.第1题图第2题图2.（2013泰州15题3分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（3，0），（2，-3）,△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且O′的坐标为（-1，0），则点B′的坐标为__________.【答案】命题点1平行线分线段成比例1.C【解析】本题主要考查平行线截线段对应成比例的定理即三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例.由得.2.【解析】过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，如解图.∵∠BAC=60°,∠ABC=90°,∴tan∠BAC=.∵直线l1∥l2∥l3，∴EF⊥l1，EF⊥l3，∴∠AEB=∠BFC=90°.∵∠ABC=90°,∴∠EAB=90°-∠ABE=∠FBC,∴△BFC∽△AEB,∴，∵BE=1,∴FC=3.在Rt△BFC中，在Rt△ABC中，sin∠BAC=命题点2相似三角形的判定与性质1.C【解析】由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，故S△ABC∶S△A'B'C'＝（1:2）2=1:4.2.C【解析】因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，则△ADE与△ABC的周长比为，△ADE与△ABC的面积比为.3.5【解析】因为∠BAD=∠C，∠B=∠B，所以△BAD∽△BCA，则BA2=BD·BC，即36=4·(4＋CD)，解得CD=5.4.【解析】∵BF⊥AC，∴∠CFB＋∠FCE=90°，∠CFB＋∠CBF=90°，∴∠FCE=∠CBF.∵AB∥CD，∴∠ACD=∠CAB，∴∠CAB=∠CBF.∵∠BCF=∠ABC，∴△FCB∽△CBA，∴CF:CB=CB:AB=1:2，∴FC:AB=1:4，∵FC∥AB，∴△FCE∽△BAE，∴.5.（1）【思路分析】要证△ACD∽△CBD，又知，只需找到三角形中两边的夹角，又CD为AB上的高，则∠ADC=∠CDB=90°即可得证.证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°.………………………………………………………………（2分）又∵∴△ACD∽△CBD.……………………………………………………………………（4分）（2）【思路分析】因为∠ACB=∠ACD+∠BCD，由△ACD∽△CBD可得：∠ACD=∠ABC，又因为∠A+∠ACD=90°，因此∠ACB=90°.解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD.（5分）在Rt△ACD中，∠ADC＝90°,∴∠A+∠ACD=90°,……………………………………………………………………（7分）∴∠BCD+∠ACD=90°,即∠ACB=90°.…………………………………………………………………………（8分）6.（1）【思路分析】由平行得∠BHD=∠ABC=90°，进而得△ABC∽△DHC，根据相似三角形的性质得到成比例线段，结合直角三角形的边角关系和已知线段的数量关系求解.解：∵DH∥AB,∴∠BHD=∠ABC=90°，∴△ABC∽△DHC,∴，∵AC=3CD，BC=3,∴CH=1，BH=BC+CH=4.在Rt△BHD中，cos∠HBD=，∴BD·cos∠HBD=BH=4；…………………………………………………………………（4分）（2）【思路分析】利用三角形中两角对应相等，两三角形相似得到△ABC∽△BHD，得到成比例线段，又结合（1）中相似三角形，得到AB=3DH，从而可得DH的长，即得AB的长.解：∵∠A=∠CBD，∠ABC=∠BHD.∴△ABC∽△BHD.…………………………………………………………………………（6分）∴∵△ABC∽△DHC，∴，∴AB=3DH，∴……………………………………………………（10分）【一题多解】∵∠CBD=∠A，∠BDC=∠ADB，∴△CDB∽△BDA，∴∴BD2=CD·4CD=4CD2,∴BD=2CD.…………………………………………………………………………（6分）∵△CDB∽△BDA，∴∴AB=6.…………………………………………………………………………（10分）【备考指导】掌握相似三角形的判定方法和相似三角形的性质，利用相似三角形的对应边成比例，可以列出等量关系式，再结合题目中的已知条件等量代换求解.7.(1)【思路分析】延长AC，BG交于一点O即得光源，连接OE并延长交AB于点M则FM为影长.解：如解图，点O为光源;…………………………………………………………………（1分）FM为影长.…………………………………………………………………………（2分）（2）【思路分析】两个"A"字的三角形相似，通过中间比，得出，代入数值即可求解.解：∵点C、E、G在一条直线上，CG∥AB，∴△OCE∽△OAM,△OEG∽△OMB,∴则…………………………………（4分）第7题图设小明原来的速度为vm/s，………………………………………………………………（5分）解得：v=1.5.经检验v=1.5是方程的根.答：小明原来的速度为1.5m/s.…………………………………………………………（7分）8.（1）【思路分析】若△CEF与△ABC相似.①当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形，此时Ｄ为AB中点；②当AC=3，BC=4时，分两种情况：a.若CE:CF=3:4，如解图②所示，此时EF∥AB，CD为AB边上的高；b.若CF:CE=3:4，如解图③所示.由相似三角形角之间的关系，可以推出∠A=∠ECD与∠B=∠FCD，从而得到CD=AD=BD，即点D为AB的中点.解：①2；②1.8或2.5.………………………………………（4分）【解法提示】若△CEF与△ABC相似.①当AC＝BC＝2时，△ABC为等腰直角三角形，如解图①所示.此时D为AB边中点，AD＝AC＝.第8题解图①②当AC=3，BC=4时，有两种情况：a.若CE:CF=3:4，如解图②所示.∵CE:CF=AC：BC，∴EF∥AB.由折叠性质可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高.在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∴AB=5，∴cosA=.AD=AC·cosA=3×=1.8；第8题解图②b.若CF:CE=3:4，如解图③所示.∵△CEF∽△CBA，∴∠CEF=∠B.由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD=90°，又∵∠A+∠B=90°，∴∠A=∠ECD，∴AD=CD.第8题解图③同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD，∴此时AD=AB=×5=2.5.综上所述，当AC＝3，BC＝4时，AD的长为1.8或2.5.（2）【思路分析】当点D是AB的中点时，可以推出∠CFE=∠A，∠C=∠C，从而可以证明两个三角形相似.解：当点D是AB的中点时，△CEF与△CBA相似.……………………………………（5分）理由如下：如解图④所示，连接CD，与EF交于点Q.∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD＝DB=AB，∴∠DCB=∠B.…………………………（6分）第8题解图④由折叠性质可知，∠CQF=∠DQF=90°，∴∠DCB+∠CFE=90°.∵∠B+∠A=90°，∴∠CFE=∠A.又∵∠ACB=∠FCE，∴△CEF∽△CBA.………………………………………………………………（8分）命题点3位似图形1.D【解析】由于二元一次方程组无解，所以mn=3，且2n+1≠4，解得m≠2，n≠,由于mn=3，则点（m，n）（其中m≠2，n≠）在反比例函数y=上，由于矩形及反比例函数都是中心对称图形，反比例函数与矩形的交点是成双出现的，只有当点A′的坐标为(2，)时，此时反比例函数与矩形A′B′C′D′有且只有一个交点为C′点，∴直线OA′的解析式为：y=x，当x=1时，t=，A′B′=4，AB=2，k=2，于是k·t=.第1题解图第2题解图2.(，-4)【解析】如解图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点B′作B′F⊥x轴于点F，∵点A、B的坐标分别为（3，0）、（2，-3），△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且O′的坐标为（-1，0），∴，AE＝1，EO＝2，BE＝3，∴，∴，解得：AF＝，∴EF＝，∴FO＝∵，解得：B′F＝4，则点B′的坐标为：（，-4）.