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苏教版2016年江苏中考数学要点复习课件+练习(第26课时与圆有关的位置关系)第六章圆第26课时与圆有关的位置关系江苏2013～2015中考真题精选命题点1点、直线与圆有关的位置关系（近3年39套卷，2015年考查1次，2014年考查1次，2013年考查1次）（2013常州6题2分）已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.无法判断命题点2切线的性质与判定（近3年39套卷，2015年考查9次，2014年考查10次，2013年考查8次）命题解读切线的性质与判定近3年39套试题共考查27次，题型以解答题为主，主要结合特殊三角形的性质，勾股定理，相似三角形、全等三角形、锐角三角函数考查切线的判定及相关计算.1.（2015南京6题2分）如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点,过点D作⊙O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为（）A.B.C.D.2第1题图第2题图2.（2014无锡8题3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC，其中正确结论的个数是（）A.3B.2C.1D.03.（2015镇江10题2分）如图，AB是⊙O的直径，OA=1,AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D.若BD＝-1，则∠ACD＝________°.第3题图4.（2015扬州25题10分）如图，已知⊙O的直径AB=12cm,AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P，连接BC.（1）求证：∠PCA=∠B;（2）已知∠P=40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止(点Q与点C不重合).当△ABQ与△ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长.第4题图5.（2015泰州24题10分）如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC相交于点D,与CA的延长线相交于点E,过点D作DF⊥AC于点F.（1）试说明DF是⊙O的切线；（2）若AC=3AE,求tanC.第5题图6.（2014扬州25题10分）如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E、F两点，连接DE，已知∠B＝30°，⊙O的半径为12，弧DE的长度为4π.（1）求证：DE∥BC；（2）若AF＝CE，求线段BC的长度.第6题图 7.（2013苏州27题8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F.（1）证：BD=BF；（2）若CF=1,cosB=,求⊙O的半径.第7题图8.（2014淮安26题10分）如图，在△ABC中，AC=BC，AB是⊙C的切线，切点为D，直线AC交⊙C于点E、F，且CF=AC.（1）求∠ACB的度数；（2）若AC=8，求△ABF的面积.第8题图9.（2014镇江26题8分）如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB=∠ADB.（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）已知点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似；（3）已知AF=4，CF=2.在（2）条件下，求AE的长.第9题图【答案】命题点1点、直线与圆有关的位置关系C【解析】∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5，∵6＞5，即：d＜r，∴直线l与⊙O的位置关系是相交.故选C.命题点2切线的性质与判定1.A【解析】连接OE、OF、OG，根据切线的性质可知：OE⊥AD，OF⊥AB，OG⊥BC，可证四边形AEOF和四边形BFOG都是正方形，则OE=OF=OG=AF=BF=AE=BG=2,则DE=CG=3.可设MN=x，根据切线长定理，得GM=MN=x，DE=DN=3，所以DM=x+3，CM=3-x.在△CDM中，由DM2=CD2+CM2得（3+x）2=42+(3-x)2，解得x=，所以DM=3+=.第1题解图2.A【解析】如解图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OD，∴∠ODC=90°，又∵∠A=30°，∴∠ABD=60°，∴△OBD是等边三角形，∴∠DOB=∠ABD=60°，AB=2OB=2OD=2BD.∴∠C=∠BDC=30°，∴BD=BC，②成立；∴AB=2BC，③成立；∵∠A=∠C＝30°，∴DA=DC，①成立；综上所述，①②③均成立，故答案选：A.s第2题解图第3题解图3.112.5【解析】本题考查了与圆的切线有关的角度的计算，连接OC，BC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠1+∠2=90°，∵OC=OB，∴∠2=∠3，∵AB是⊙O的直径，∴∠A+∠3=90°，∴∠1=∠A，又∵∠D=∠D，∴△DCB∽△DAC，∴，∴CD2=DB×DA=(-1)(-1+2)=1，∴CD=1，∴OC=CD=1，∴∠COD=45°，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA=22.5°,∴∠ACD=90°+22.5°=112.5°.4.（1）【思路分析】看到圆的切线就得连接过切点的半径，利用同圆的半径相等，直径所对的圆周角是直角以及同角的余角相等即可证出结论.证明：如解图，连接OC,∵PC是⊙O的切线，OC为半径，∴∠PCO=90°,∴∠PCA+∠OCA=90°.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.∴∠OCB+∠OCA=90°,∴∠OCB=∠PCA.∵OC=OB,∴∠OCB=∠B.∴∠PCA=∠B.………………………………………………………………………………（4分）第4题解图（2）【思路分析】要求弧长，就得根据面积相等，求出动点变化过程中绕过的圆心角，再根据弧长公式进行计算即可.解：∵∠P=40°,∴∠COP=50°，∵S△ABQ=S△ABC，再根据圆的对称性，∴∠AOQ=50°，∴动点Q所经过的弧长＝=，………………………………………………（6分）或∠AOQ=130°，动点Q所经过的弧长＝=，………………………………………………（8分）或∠BOQ=50°，且点Q在上，动点Q所经过的弧长＝=.………………………………………………（10分）5.（1）【思路分析】连接AD、OD，根据三角形的中位线定理，得出OD∥AC，证得OD⊥DF，从而证得DF是⊙O的切线.证明:如解图,连接AD,OD,∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，∴BD=DC，∵BO=OA，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，又∵OD为⊙O的半径.∴DF是⊙O的切线.…………………………………………………………………………（5分）第5题解图（2）【思路分析】连接DA，DE.先证明△DEC是等腰三角形.设AE=a，则AC=3a，EC=4a，根据等腰三角形的性质可以计算出EF=FC=2a，则AF=a，再根据相似三角形的性质，得AD=a，根据勾股定理得CD==a，然后在Rt△ADC中，即可求得tanC的值解：如解图，连接DE.∵∠E=∠B，又∠B=∠C，∴∠E=∠C，∴DE=DC，∵DF⊥AC，∴EF=FC，设AE=a，则AC=3a，EC=4a，∴EF=FC=2a，AF=a，易证△ADF∽△ACD，∴AD2=AF×AC，则AD=a,………………………………………………………………（7分）在Rt△ADC中，CD==a,∴tanC===.………………………………………………………………（10分）6.（1）【思路分析】要证明DE∥BC，可证明∠EDA=∠B，由的长度为4π，可以求得∠DOE的度数，再根据切线的性质可求得∠EDA的度数，即可证明结论.证明：如解图①，连接OD、OE，∵AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB，∴∠ODA＝90°，又∵弧DE的长度为4π,∴4π=,∴n=60,∴△ODE是等边三角形，…………………………………………………………………（3分）∴∠ODE＝60°,∴∠EDA＝30°，∴∠B＝∠EDA，∴DE∥BC.……………………………………………………………………………………（5分）第6题解图①第6题解图②（2）【思路分析】根据90°的圆周角所对的弦是直径，可以求得EF的长度，借用勾股定理求得AE与CF的长度，进而运用三角函数值列等式，即可得到答案.解：如解图②,连接FD，∵DE∥BC，∴∠DEF＝∠C＝90°,∴FD是⊙O的直径，易得∠EFD＝30°，FD＝24，∴EF＝12，又∵∠EDA＝30°，DE＝12，………………………………………………………………（7分）∴AE＝4，又∵AF＝CE，∴AE＝CF，∴CA＝AE+EF+CF＝20，又∵tan∠ABC=tan30°==,∴BC＝60.…………………………………………………………………………………（10分）7.（1）【思路分析】连接OE，由AC为⊙O的切线，利用切线的性质得到OE⊥AC，再由BC⊥AC，得到OE与BC平行，根据O为DB的中点，得到E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线，利用中位线定理得到OE为BF的一半，再由OE为DB的一半，等量代换即可得证.证明：如解图，连接OE，∵AC与⊙O相切，∴OE⊥AC，∵BC⊥AC，∴OE∥BC，…………………………………………………………………………………（2分）又∵O为DB的中点，∴E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线，∴OE=BF，又∵OE=BD，则BD=BF.……………………………………………………………………………………（4分）第7题解图（2）【思路分析】在Rt△ABC中，由cosB的值，设BC=3x，得到AB=5x，由BC+CF表示出BF，即为BD的长，再由OE为BF的一半，表示出OE，由AB-OB表示出AO，在Rt△AOE中，利用两直线平行同位角相等得到∠AOE=∠B，得到cos∠AOE=cosB，根据cosB的值，利用锐角三角函数定义列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出圆的半径长.解：设BC=3x，根据题意得：AB=5x，又∵CF=1，∴BF=3x+1，由（1）得：BD=BF，∴BD=3x+1，∴OE=OB=，OA=AB-OB=5x-=，∵OE∥BF，∴∠AOE=∠B，………………………………………………………………………………（6分）∴cos∠AOE=cosB，即=，即=，解得：x=，则⊙O的半径为=.…………………………………………………………………（8分）8.（1）【思路分析】连接DC，根据AB是⊙C的切线，所以CD⊥AB，根据CD=AC，得出∠A=30°，因为AC=BC，从而求得∠ACB的度数.解：如解图，连接CD，∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∵CF=AC，CF=CE＝CD，∴CD=AC，………………………………………………………………………………（2分）∴∠A=30°，∵AC=BC，∴∠A=∠ABC=30°,∴∠ACB=120°.………………………………………………………………………………（5分）第8题解图（2）【思路分析】通过△ACD≌△BCF求得∠AFB=90°，已知AC=8，根据已知求得AF=12，由于∠A=30°,根据三角函数求得BF的长，即可求得三角形的面积.解：∵∠A=30°，AC=BC，∴∠ABC=30°，∴∠BCF=60°，在△ACD与△BCF中,∴△ACD≌△BCF（SAS）,∴∠ADC=∠BFC＝90°，∵AC=8，CF=AC.∴CF=4，∴AF=12，∵∠AFB=90°，∠A=30°，∴tan30°==,………………………………………………………………………（8分）∴BF=4，∴△ABF的面积=AF·BF=×12×4=24.………………………………………（10分）9.（1）证明：如解图，连接BC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠BAC+∠ACB=90°.∵∠ADB=∠ACB，又∵∠EAB=∠ADB，∴∠EAB=∠ACB，∴∠BAC+∠EAB=90°，即∠EAC＝90°.又∵点A在⊙O上，∴EA是⊙O的切线.…………………………………………………（3分）第9题解图（2）证明：∵点B是EF的中点，∠EAC＝90°，∴AB=BE=BF=EF，∴∠EAB=∠AEB，又∵∠EAB=∠ACB，∴∠AEB=∠ACB；∵∠EAC=∠ABC=90°，∴△AEF∽△BCA.………………………………………………（6分）（3）解：∵△AEF∽△BCA，∴，∴，∴AB=2，∴EF＝2AB＝4.在Rt△AEF中，∠EAF=90°，AE===4.…………………（8分）