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免费江苏省2017年中考数学真题精选《3.7二次函数的综合应用》含解析教学反思设计案例学案说课稿第一部分考点研究第三章函数第16课时二次函数的综合应用江苏近4年中考真题精选(2013~2016)命题点二次函数的综合应用(2016年10次，2015年9次，2014年9次，2013年8次)1.(2016无锡26题10分)已知二次函数y＝ax2－2ax＋c(a>0)的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点为P，直线CP与过点B且垂直于x轴的直线交于点D，且CP∶PD＝2∶3.(1)求A、B两点的坐标；(2)若tan∠PDB＝54，求这个二次函数的关系式．第1题图2.(2013南京26题9分)已知二次函数y＝a(x－m)2－a(x－m)(a、m为常数，且a≠0)．(1)求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；(2)设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D.①当△ABC的面积等于1时，求a的值；②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．3.(2016宿迁26题10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y＝x2－1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N.2(1)求N的函数表达式；(2)设点P(m，n)是以点C(1，4)为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2＋PB2的最大值；(3)若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内(包括边界)整点的个数．第3题图4.(2016南通26题10分)平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过(－1，m2＋2m＋1)、(0，m2＋2m＋2)两点，其中m为常数．(1)求b的值，并用含m的代数式表示c；(2)若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴有公共点，求m的值；(3)设(a，y1)、(a＋2，y2)是抛物线y＝x2＋bx＋c上的两点，请比较y2－y1与0的大小，并说明理由．5.(2015无锡27题10分)一次函数y＝34x的图象如图所示，它与二次函数y＝ax2－4ax＋c的图象交于A、B两点(其中点A在点B的左侧)，与这个二次函数图象的对称轴交于点C.(1)求点C的坐标；(2)设二次函数图象的顶点为D.①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；②若CD＝AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．第5题图答案1.解：(1)如解图所示：y＝ax2－2ax＋c，＝a(x2－2x)＋c，＝a(x－1)2＋c－a，∴P点坐标为(1，c－a)．(1分)过点C作CE⊥PQ垂足为E，延长CE交BD于点F，则CF⊥BD.第1题解图∵P(1，c－a)，∴CE＝OQ＝1.∵PQ∥BD，∴△CEP∽△CFD，∴CPCD＝CECF，又∵CP∶PD＝2∶3，∴CPCD＝CECF＝22＋3＝25，∴CF＝2.5，∴OB＝CF＝2.5，∴BQ＝OB－OQ＝1.5，∴AQ＝BQ＝1.5，∴OA＝AQ－OQ＝1.5－1＝0.5，∴A(－0.5，0)，B(2.5，0)；(2)∵tan∠PDB＝54，∴CFDF＝54，∴DF＝45CF＝45×2.5＝2，∵△CFD∽△CEP，∴PEDF＝CECF，∴PE＝DF·CECF＝2×12.5＝0.8，∵P(1，c－a)，∴PE＝OC－(c－a)＝a，∴a＝0.8，∴y＝0.8x2－1.6x＋c把A(－0.5，0)代入得：0.8×(－0.5)2－1.6×(－0.5)＋c＝0，解得：c＝－1∴这个二次函数的关系式为：y＝0.8x2－1.6x－1…2.(1)证明：y＝a(x－m)2－a(x－m)＝ax2－(2am＋a)x＋am2＋am.∵当a≠0时，[－(2am＋a)]2－4a(am2＋am)＝a2>0.∴方程ax2－(2am＋a)x＋am2＋am＝0有两个不相等的实数根．∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；(2)解：①y＝a(x－m)2－a(x－m)＝a(x－2m＋12)2－a4，∴点C的坐标为(2m＋12，－a4)．当y＝0时，a(x－m)2－a(x－m)＝0，解得x1＝m，x2＝m＋1，∴AB＝1.当△ABC的面积等于1时，有12×1×|－a4|＝1.∴12×1×(－a4)＝1，或12×1×a4＝1.∴a＝－8，或a＝8②当x＝0时，y＝am2＋am，所以点D的坐标为(0，am2＋am)．当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，12×1×|－a4|＝12×1×|am2＋am|.∴12×1×(－a4)＝12×1×(am2＋am)，或12×1×a4＝12×1×(am2＋am)．整理得：m2＋m＋14＝0或m2＋m－14＝0，∴m＝－12，或m＝－1－22，或m＝－1＋223.解：(1)由题意得N的函数表达式为y＝－(x－2)2＋9；(2)∵点P的坐标为(m，n)，点A为(－1，0)，点B为(1，0)，∴PA2＋PB2＝(m＋1)2＋(n－0)2＋(m－1)2＋(n－0)2＝m2＋2m＋1＋n2＋m2－2m＋1＋n2＝2m2＋2n2＋2＝2(m2＋n2)＋2＝2OP2＋2，∴当PA2＋PB2最大时，要满足OP最大，即满足OP经过点C，又∵点P(m,n)是以点C(1，4)为圆心、1为半径的圆上一动点，∴CP＝1，∵OC＝12＋42＝17，∴OP＝17＋1，∴PA2＋PB2＝2OP2＋2＝2(17＋1)2＋2＝38＋417；(3)由题意得纵坐标的取值范围为：－1≤y≤9，M与N的图象交点的横坐标即为横坐标的取值范围－1≤x≤3，21世纪教育网版权所有∴M与N所围成封闭图形内(包括边界)的整点有：(－1，0)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(0，4)，(0，5)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，7)(1，8)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，8)共25个．21教育网4.解：(1)把(－1，m2＋2m＋1)、(0，m2＋2m＋2)分别代入y＝x2＋bx＋c，得1－b＋c＝m2＋2m＋1①c＝m2＋2m＋2②，把②代入①中得b＝2,c＝m2＋2m＋2；(2)由(1)得，y＝x2＋2x＋m2＋2m＋2.由题意得，Δ＝22－4(m2＋2m＋2)≥0，∴(m＋1)2≤0，(4分)又∵(m＋1)2≥0，∴(m＋1)2＝0，∴m＝－1，∴当抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴有公共点时，m＝－1；(3)当a＜－2时，y2－y1＜0；当a＝－2时，y2－y1＝0；当a＞－2时，y2－y1＞0.理由如下：由(1)知，抛物线的解析式为y＝x2＋2x＋m2＋2m＋2，∵(a，y1)，(a＋2，y2)是抛物线y＝x2＋bx＋c上的两点，∴y1＝a2＋2a＋m2＋2m＋2，y2＝(a＋2)2＋2(a＋2)＋m2＋2m＋2，∴y2－y1＝(a＋2)2＋2(a＋2)＋m2＋2m＋2－(a2＋2a＋m2＋2m＋2)＝(a＋2)2－a2＋2(a＋2)－2a＝4(a＋2)，(8分)21cnjyvvvvv∴当a<－2时，y2－y1<0；当a＝－2时，y2－y1＝0;当a>－2时，y2－y1>05.解：(1)y＝ax2－4ax＋c＝a(x－2)2－4a＋c，∴二次函数图象的对称轴为直线x＝2，当x＝2时，y＝34×2＝32，∴C(2，32);(2)①∵点D与点C关于x轴对称，∴D(2，－32)，∴CD＝3，设A(m，34m)(m<2)，由S△ACD＝3，得12×3×(2－m)＝3，解得m＝0，∴A(0，0)，由A(0，0)、D(2，－32)，得c＝0－4a＋c＝－32，解得a＝38c＝0，∴y＝38x2－32x； 第5题解图②如解图，设A(m，34m)(m<2)，过点A作AE⊥CD于点E，则AE＝2－m，CE＝32－34m，AC＝AE2＋CE2＝（2－m）2＋（32－34m）2＝54(2－m)，∵CD＝AC，∴CD＝54(2－m),由S△ACD＝12×CD×AE＝10得12×54(2－m)2＝10，解得m＝－2或m＝6(舍去)，∴m＝－2，∴A(－2，－32)，CD＝5，若a＞0，则点D在点C下方，∴D(2，－72)，由A(－2，－32)、D(2，－72)，得12a＋c＝－32－4a＋c＝－72，解得a＝18c＝－3，∴y＝18x2－12x－3.(8分)若a＜0，则点D在点C上方，∴D(2，132)，由A(－2，－32)，D(2，132)，得12a＋c＝－32－4a＋c＝132，解得a＝－12c＝92，∴y＝－12x2＋2x＋92.