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免费江苏省2017年中考数学《第23课时锐角三角函数及其应用》练习含解析考点分类汇编第四章三角形第23课时锐角三角函数及其应用基础过关1.(2016永州)下列式子错误的是()A.cos40°＝sin50°B.tan15°·tan75°＝1C.sin225°＋cos225°＝1D.sin60°＝2sin30°2.(2016安顺)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是()A.2B.255C.55D.12第2题图第3题图3.(2016乐山)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是()A.sinB＝ADABB.sinB＝ACBCC.sinB＝ADACD.sinB＝CDAC4.(2016福州)如图，以O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是AB︵上一点(不与A，B重合)，连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是()A.(sinα，sinα)B.(cosα，cosα)C.(cosα，sinα)D.(sinα，cosα)第4题图第5题图5.(2016义乌)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°.以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A，D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是()A.312B.36C.33D.326.(2016巴中)一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是()第6题图A.斜坡AB的坡度是10°B.斜坡AB的坡度是tan10°C.AC＝1.2tan10°米D.AB＝1.2cos10°米7.(2016金华)一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要()A.4sinθ米2B.4cosθ米2C.(4＋4tanθ)米2D.(4＋4tanθ)米2第7题图第8题图8.(2016重庆A卷)某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动．如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，那么大树CD的高度约为(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)()A.8.1米B.17.2米C.19.7米D.25.5米9.(2016泰安)如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin68°＝0.9272，sin46°＝0.7193，sin22°＝0.3746，sin44°＝0.6947)()A.22.48B.41.68C.43.16D.55.63第9题图第10题图10.(2016南通一模)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM为AB边上的中线，AN⊥CM，交BC于点N.若CM＝3，AN＝4，则tan∠CAN的值为________．11.(2016遂宁)已知：如图①，在锐角△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，AD⊥BC于D.在Rt△ABD中，sin∠B＝ADc，则AD＝csin∠B；在Rt△ACD中，sin∠C＝______，则AD＝______．所以csin∠B＝bsin∠C，即bsinB＝csinC，进一步即得正弦定理：.(此定理适合任意锐角三角形)．图①图②第11题图参照利用正弦定理解答下题：如图②，在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝2，求AB的长．12.(2016包头)如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.(1)若∠A＝60°，求BC的长；(2)若sinA＝45，求AD的长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)第12题图13.(2016河南)如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处．若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)第13题图14.(2016天津)小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB.如图，在△ABC中，AB＝63m，∠A＝45°，∠B＝37°，求AC，CB的长．(结果保留小数点后一位)参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2取1.414.第14题图15.(2016黄冈)"一号龙卷风"给小岛O造成了较大的破坏，救灾部门迅速组织力量，从仓储D处调集救援物资，计划先用汽车运到与D在同一直线上的C，B，A三个码头中的一处，再用货船运到小岛O.已知，OA⊥AD，∠ODA＝15°，∠OCA＝30°，∠OBA＝45°，CD＝20km.若汽车行驶的速度为50km/时，货船航行的速度为25km/时，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵小岛O？(在物资搬运能力上每个码头工作效率相同；参考数据：2≈1.4，3≈1.7)第15题图满分冲关1.(2016淄博)如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是()A.12B.1C.3D.2第1题图第2题图2.(2016重庆B卷)如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1∶3，则大楼AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)()A.30.6B.32.1C.37.9D.39.43.小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC的长为332米，钓竿OA的倾斜角是60°，其长为3米，若OA与钓鱼线OB的夹角为60°，则浮漂B与河堤下端C之间的距离是________．第3题图4.(2016盐城校级一模)如图，已知斜坡AB长60m，坡角(即∠BAC)为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡的中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE(结果精确到0.1m，参考数据：3≈1.732)．(1)若修建的斜坡BE的坡角(即∠BEF)不大于45°，则平台DE的长最多为________m；(2)一座建筑物GH距离坡角A点27m远(即AG＝27m)，小明在D点测得建筑物顶部H的仰角(即∠HDM)为30°，点B、C、A、G、H在同一平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？第4题图答案基础过关1.D【解析】A.∵cos40°＝sin(90°－40°)＝sin50°，∴此选项正确；B.∵tan15°·tan75°＝1tan75°·tan75°＝1，∴此选项正确；C.∵sin2A＋cos2A＝1，∴此选项正确；D.∵sin60°＝32，2sin30°＝2×12＝1，∴此选项不正确．故选D.2.D【解析】如解图，连接AC，由题意得，AC＝2，AB＝22，BC＝10，∴BC2＝AC2＋AB2，∴∠CAB＝90°，∴在Rt△ABC中，tan∠ABC＝ACAB＝222＝12.第2题解图3.C【解析】逐项分析如下：选项 逐项分析 正误A 在Rt△ABD中，sinB＝ADAB√B 在Rt△ABC中，sinB＝ACBC√C 在Rt△ABD中，sinB＝ADAB×D 在Rt△DAC中，sinB＝sin∠DAC＝CDAC√4.C【解析】如解图，过点P作PC⊥OB于点C，则在Rt△OPC中，OC＝OP·cos∠POB＝1×cosα＝cosα，PC＝OP·sin∠POB＝1×sinα＝sinα，即点P的坐标为(cosα，sinα)．第4题解图5.B【解析】根据题意作图，如解图，不妨设BC＝2a，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴AB＝23a.由作图知，AB＝AE＝DE＝23a，△ADE为等腰三角形，过点E作EF⊥AD于点F，则F为AD的中点，∴AF＝a，则cos∠EAD＝AFAE＝＝36.第5题解图6.B【解析】斜坡AB的坡角是10°不是坡度，选项A错误；坡度＝坡比＝坡角的正切，选项B正确；AC＝1.2tan10°米，选项C错误．AB＝1.2sin10°米，选项D错误．综上，只有选项B是正确的．7.D【解析】在Rt△ABC中，∠BAC＝θ，CA＝4米，∴BC＝CA·tanθ＝4tanθ.地毯长为(4＋4tanθ)米，宽为1米，其面积为(4＋4tanθ)×1＝(4＋4tanθ)米2.8.A【解析】过点B作BF⊥AE于点F，∵iAB＝BFAF＝12.4，不妨设BF＝x米，则AF＝2.4x米，根据勾股定理得，BF2＋AF2＝AB2，即x2＋(2.4x)2＝132，解得x＝5，则BF＝5，AF＝2.4x＝12，∵FE＝BD＝6，∴AE＝12＋6＝18，在Rt△AEC中，∠CAE＝36°，∵tan36°＝CEAE，∴CE＝AE·tan36°≈18×0.73＝13.14，∴CD＝CE－DE＝13.14－5≈8.1(米)．第8题解图第9题解图9.B【解析】由题意知MN＝60，∠AMP＝68°，∠BNP＝46°，∴∠PMN＝22°，∠PNC＝44°.如解图，过点P作PC⊥MN于点C，PC就是轮船与灯塔的最近距离．∵∠PMN＝22°，∠PNC＝44°，∴∠MPN＝22°，∴PN＝MN＝60.∵sin∠PNC＝PCPN，∴PC＝PN·sin∠PNC＝60×sin44°＝60×0.6947＝41.68(海里)．10.23【解析】∵∠ACB＝90°，CM为AB边上的中线，∴AB＝2CM＝6，∴∠B＝∠MCB，∵AN⊥CM，∴∠CAN＋∠CNA＝90°，∠MCB＋∠CNA＝90°，∴∠MCB＝∠CAN，∴∠B＝∠CAN，∴△CAN∽△CBA，∴CNCA＝ANBA＝46＝23，∴tan∠CAN＝CNAC＝23.11.解：ADb，bsinC；由正弦定理得：BCsinA＝ABsinC，∵∠B＝75°，∠C＝45°，∴∠A＝60°，∴2sin60°＝ABsin45°，∴AB＝2×22÷32＝263.12.解：(1)在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，∠A＝60°，AB＝6，又∵tanA＝BEAB，∴BE＝6·tan60°＝63.在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∴∠E＝90°－60°＝30°，CD＝4，∴CE＝2CD＝8，∴BC＝BE－CE＝63－8；(2)在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，sinA＝45，∴BEAE＝45，设BE＝4x，则AE＝5x，∵AE2－BE2＝AB2，AB＝6，∴(5x)2－(4x)2＝62.∴x＝2，∴BE＝8，AE＝10.在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，CD＝4，tanE＝CDED，而在Rt△ABE中，tanE＝34，∴CDED＝34，∴ED＝43CD＝163，∴AD＝AE－ED＝143.13.【信息梳理】原题信息 整理后的信息 结论在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45° 过点C作CD⊥AB，垂足为D DB＝9米，∠BCD＝45°，CD＝DBtan45°，∠ACD＝37°，AD＝CD·tan37°，AB＝AD＋DB国旗上端悬挂在距地面2.25米处，国旗在国歌播放45秒结束后到达旗杆顶端 国旗45秒上升高度为AB－2.25 国旗应以多少米/秒的速度匀速上升 求国旗匀速上升速度 上升速度＝(AB－2.25)÷45第13题解图解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，则DB＝9.在Rt△CBD中，∠BCD＝45°，∴CD＝DBtan45°＝9，在Rt△ACD中，∠ACD＝37°，∴AD＝CD·tan37°≈9×0.75＝6.75，∴AB＝AD＋DB≈6.75＋9＝15.75，∴(15.75－2.25)÷45＝0.3(米/秒)，∴国旗应以约0.3米/秒的速度匀速上升．14.解：如解图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，第14题解图在Rt△ACD中，tanA＝CDAD，sinA＝CDAC，∠A＝45°，∴AD＝CDtan45°＝CD，AC＝CDsin45°＝2CD，在Rt△BCD中，tanB＝CDBD，sinB＝CDCB，∠B＝37°，∴BD＝CDtan37°，CB＝CDsin37°，∵AD＋BD＝AB，AB＝63，∴CD＋CDtan37°＝63，解得CD＝63·tan37°1＋tan37°≈63×0.751＋0.75＝27.00，∴AC＝2CD≈1.414×27.00＝38.178≈38.2m，CB＝CDsin37°≈27.000.60＝45.0m，答：AC的长约等于38.2m，CB的长约等于45.0m.15.解：∵∠DOC＝∠OCA－∠ODA＝30°－15°＝15°，∴∠DOC＝∠ODA，∴CO＝CD＝20km，又∵OA⊥AD，∴OA＝12CO＝10km，CA＝OAtan∠OCA＝1033＝103km.∵△OAB是等腰直角三角形，∴AB＝OA＝10km，OB＝2OA＝102km,DB＝DA－AB＝20＋103－10＝(10＋103)km.运到C码头时所花时间为2050＋2025＝1.2小时；运到B码头时所花时间为10＋10350＋10225≈1.1小时；运到A码头时所花时间为20＋10350＋1025≈1.14小时．∴这批物资在B码头装船，最早运抵小岛O.满分冲关1.D【解析】如解图，将AB平移到PE位置，连接QE,PQ＝210，PE＝22，QE＝42，∵PQ2＝PE2＋QE2，∴∠PEQ＝90°，∴tan∠QMB＝tan∠P＝QEPE＝2.www-2-1-cnjy-com第1题解图第2题解图2.D【解析】过点E作EF⊥AB于点F，过点B作BG⊥CD于点G，在Rt△BCG中，BC＝12，iBC＝BGCG＝1∶3，∴BG＝6，CG＝63，∴BF＝FG－BG＝DE－BG＝15－6＝9，∵∠AEF＝45°，∴AF＝EF＝DG＝CG＋CD＝63＋20，∴AB＝AF＋BF＝20＋63＋9≈39.4(米)．3.1.5米【解析】延长OA交BC于点D，如解图，∵OA的倾斜角是60°，∴∠ODB＝60°.∵∠ACD＝30°，∴∠CAD＝180°－∠ODB－∠ACD＝90°.在Rt△ACD中，AD＝AC·tan∠ACD＝332×33＝32，∴CD＝2AD＝3米．又∵∠O＝60°.∴△BOD是等边三角形，∴BD＝OD＝OA＋AD＝3＋32＝4.5米．∴BC＝BD－CD＝4.5－3＝1.5米．第3题解图4.解：(1)11.0；【解法提示】∵修建的斜坡BE的坡角(即∠BEF)不大于45°，∴∠BEF最大为45°，当∠BEF＝45°时，EF最短，此时ED最长，∵∠BDF＝∠DAC＝30°，AD＝BD＝30，∴BF＝EF＝12BD＝15，DF＝153，∴DE＝DF－EF＝15(3－1)≈11.0(米)．(2)过点D作DP⊥AC，垂足为P，第4题解图在Rt△DPA中，DP＝12AD＝12×30＝15，PA＝AD·cos30°＝32×30＝153.在矩形DPGM中，MG＝DP＝15，DM＝PG＝153＋27，在Rt△DMH中，HM＝DM·tan30°＝33×(153＋27)＝15＋93，GH＝HM＋MG＝15＋93＋15≈45.6，答：建筑物GH高约为45.6米．