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免费江苏省2017年中考数学《第16课时二次函数的综合应用》练习含解析考点分类汇编第三章函数第16课时二次函数的综合应用（建议答题时间：90分钟）1.(2016大连)如图，抛物线y＝x2－3x＋54与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E.(1)求直线BC的解析式；(2)当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．第1题图2.(2016宁波)如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)．(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时，求点P的坐标．第2题图3.(2016安徽)如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．(1)求a、b的值；(2)点C是该二次函数图象上A、B两点之间的一动点，横坐标为x(2<x<6)．写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．第3题图4.(2016北京)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx＋m－1(m>0)与x轴的交点为A、B.(1)求抛物线的顶点坐标；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m＝1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A、B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．第4题图5.(2016陕西)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx＋5经过点M(1，3)和N(3，5)．(1)试判断该抛物线与x轴交点的情况；(2)平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A(－2，0)，且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．第5题图6.(2016上海)如图，抛物线y＝ax2＋bx－5(a≠0)经过点A(4，－5)，与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝5OB，抛物线的顶点为点D.(1)求这条抛物线的表达式；(2)连接AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；(3)如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO＝∠ABC，求点E的坐标．第6题图7.(2016益阳)如图，顶点为A(3，1)的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B.(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；(2)过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；(3)在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．第7题图答案（精讲版）1.解：(1)当x＝0时，y＝54，∴C(0，54)，当y＝0时，x2－3x＋54＝0，∴(x－52)(x－12)＝0，解得x＝52或x＝12，∴A(12，0)，B(52，0)，设直线BC的解析式为y＝kx＋54，将B(52，0)代入得52k＋54＝0，解得k＝－12，∴直线BC的解析式为y＝－12x＋54；(2)设E(a，－12a＋54)，则D(a，a2－3a＋54)(0＜a＜52)，∴ED＝(－12a＋54)－(a2－3a＋54)＝－a2＋52a＝－(a－54)2＋2516.将a＝54代入y＝a2－3a＋54中得y＝－1516.∴当a＝54时，线段DE的长度最大，此时点D的坐标为(54，－1516)．2.解：(1)把B(3，0)代入抛物线解析式，得0＝－32＋3m＋3，解得m＝2，∴y＝－x2＋2x＋3，∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点坐标为(1，4)；(2)如解图，连接BC交抛物线的对称轴l于点P，连接AP，此时PA＋PC的值最小．第2题解图设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，由题知，点C的坐标为(0，3)，抛物线的对称轴为直线x＝1.把点(3，0)，(0，3)分别代入，得0＝3k＋b3＝b，∴k＝－1b＝3，∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.当x＝1时，y＝－1＋3＝2.答：当PA＋PC的值最小时，点P的坐标为(1，2)．3.解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．∴4＝4a＋2b0＝36a＋6b，解得a＝－12b＝3；第3题解图①(2)如解图①，过点A作x轴的垂线，垂足为点D(2，0)，连接CD，过点C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为点E，点F，则S△OAD＝12OD·AD＝12×2×4＝4，S△ACD＝12AD·CE＝12×4×(x－2)＝2x－4，S△BCD＝12BD·CF＝12×4×(－12x2＋3x)＝－x2＋6x，则S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋(2x－4)＋(－x2＋6x)＝－x2＋8x.∴S关于x的函数表达式为S＝－x2＋8x(2<x<6)．∵S＝－(x－4)2＋16，∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16.【一题多解】解法一：由(1)知，y＝－12x2＋3x，如解图②，连接AB，则S＝S△AOB＋S△ABC，其中S△AOB＝12×6×4＝12，设直线AB解析式为y1＝k1x＋b1，将点A(2，4)，B(6，0)代入，易得y1＝－x＋6，过点C作直线l⊥x轴交AB于点D，∴C(x，－12x2＋3x)，D(x，－x＋6)，∴S△ABC＝S△ADC＋S△BDC＝12·CD·(x－2)＋12·CD·(6－x)＝12·CD·4＝2CD，其中CD＝－12x2＋3x－(－x＋6)＝－12x2＋4x－6，∴S△ABC＝2CD＝－x2＋8x－12，∴S＝S△ABC＋S△AOB＝－x2＋8x－12＋12＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16(2<x<6)，即S关于x的函数表达式为S＝－x2＋8x(2<x<6)，∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16.解法二：∵点C在抛物线上y＝－12x2＋3x上，∴C(x，－12x2＋3x)，第3题解图如解图③，过点A作AD⊥x轴，垂足为点D，过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，则点D的坐标为(2，0)，点E的坐标为(x，0)，【∴S＝S△OAD＋S梯形ADEC＋S△CEB＝12×2×4＋12(4－12x2＋3x)(x－2)＋12(6－x)(－12x2＋3x)＝－x2＋8x，www-2-1-cnjy-com∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16(2<x<6)，∴当x＝4时，四边形OACB的面积S取最大值，最大值为16.4.解：(1)将抛物线的表达式变形为顶点式y＝m(x－1)2－1，则抛物线的顶点坐标为(1，－1)；(2)①当m＝1时，抛物线表达式为y＝x2－2x，因此A、B的坐标分别为(0，0)和(2，0)，则线段AB上的整点有(0，0)，(1，0)，(2，0)共3个；②抛物线顶点坐标为(1，－1)，则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点纵坐标只能为－1或0，∴即要求AB线段上(含AB两点)必须有5个整点；又∵抛物线表达式为y＝mx2－2mx＋m－1，第4题解图令y＝0，则mx2－2mx＋m－1＝0，得到A、B两点坐标分别为(1－1m，0)、(1＋1m，0)，即5个整点是以(1，0)为中心向两侧分散，∴点A在(－1，0)与(－2，0)之间包括(－1，0)，∴－2<1－1m≤－1，即2≤1m<3，∴19<m≤14.5.解：(1)由题意，得a＋b＋5＝39a＋3b＋5＝5，解得a＝1b＝－3，∴抛物线的解析式为y＝x2－3x＋5.对于方程x2－3x＋5＝0，∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×5＝9－20＝－11＜0，第5题解图∴抛物线与x轴无交点．(2)如解图，∵△AOB是等腰直角三角形，点A的坐标为(－2，0)，点B在y轴上，∴点B的坐标为B1(0，2)或B2(0，－2)．设平移后的抛物线的表达式为y＝x2＋mx＋n.①当抛物线经过点A(－2，0)，B1(0，2)时，n＝24－2m＋n＝0，解得m＝3n＝2，∴平移后的抛物线解析式为y＝x2＋3x＋2＝(x＋32)2－14.∴该抛物线顶点坐标为(－32，－14)．而原抛物线顶点坐标为(32，114)，∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线；②当抛物线过点A(－2，0)，B2(0，－2)时，n＝－24－2m＋n＝0，解得m＝1n＝－2.∴平移后的抛物线解析式为y＝x2＋x－2＝(x＋12)2－94.∴该抛物线顶点坐标为(－12，－94)．而原抛物线顶点坐标为(32，114)，∴将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线．【一题多解】解法一：由(1)得平移前的抛物线表达式为y＝(x－32)2＋114.∵△AOB是等腰直角三角形，A(－2，0)，点B在y轴上，∴点B的坐标为B1(0，2)或B2(0，－2)．设平移后的抛物线的表达式为y＝(x－32＋m)2＋114＋n.①当平移后的抛物线过点A(－2，0)，B1(0，2)时，（－2－32＋m）2＋114＋n＝0（－32＋m）2＋114＋n＝2，解得m＝3n＝－3.∴将原抛物线向左平移3个单位，向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线．②当平移后的抛物线过点A(－2，0)，B2(0，－2)时，（－2－32＋m）2＋114＋n＝0（－32＋m）2＋114＋n＝－2，解得m＝2n＝－5.∴将原抛物线向左平移2个单位，向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线．解法二：设平移后抛物线表达式为y＝(x－m)2＋n.∵△AOB是等腰直角三角形，A(－2，0)，点B在y轴上，∴B1(0，2)或B2(0，－2)．①当平移后的抛物线过点A(－2，0)，B1(0，2)时，（－2－m）2＋n＝0（－m）2＋n＝2，解得m＝－32n＝－14.∴平移后抛物线的顶点坐标为(－32，－14)．而原抛物线的顶点坐标为(32，114)，∴将原抛物线向左平移3个单位，向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线．②当平移后的抛物线过点A(－2，0)，B2(0，－2)时，（－2－m）2＋n＝0（－m）2＋n＝－2，解得m＝－12n＝－94.∴平移后抛物线的顶点坐标为(－12，－94)．而原抛物线的顶点坐标为(32，114)，∴将原抛物线向左平移2个单位，向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线．6.解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－5与y轴交于点C，∴C(0，－5)，∴OC＝5，∵OC＝5OB，∴OB＝1，又∵点B在x轴的负半轴上，∴B(－1，0)，∵抛物线经过点A(4，－5)和点B(－1，0)，∴16a＋4b－5＝－5a－b－5＝0，解得a＝1b＝－4，∴这条抛物线的表达式为y＝x2－4x－5；第6题解图(2)由y＝x2－4x－5，得顶点D的坐标为(2，－9)，连接AC，如解图，∵点A的坐标是(4，－5)，点C的坐标是(0，－5)，∴S△ABC＝12×4×5＝10，S△ACD＝12×4×(9－5)＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝18；(3)连接BE，BG，过点C作CH⊥AB，垂足为点H，如解图．∵S△ABC＝12×AB×CH＝10，AB＝[4－（－1）]2＋（－5）2＝52，∴CH＝22，在Rt△BCH中，∠BHC＝90°，BC＝（0－1）2＋（－5）2＝26，BH＝BC2－CH2＝32，∴tan∠CBH＝CHBH＝23.在Rt△BOE中，∠BOE＝90°，tan∠BEO＝BOEO，∵∠BEO＝∠ABC，∴BOEO＝23，得EO＝32，∴点E的坐标为(0，32)．7.(1)解：∵抛物线顶点为A(3，1)，设抛物线解析式为y＝a(x－3)2＋1，∵抛物线过原点(0，0)，∴0＝a(3)2＋1，∴a＝－13，∴抛物线的表达式为：y＝－13x2＋233x.(2)证明：令y＝0，得0＝－13x2＋233x，∴x＝0(舍)，或x＝23，∴B点的坐标为(23，0)，设直线OA的表达式为：y＝kx，∵A(3，1)在直线OA上，∴3k＝1，∴k＝33，∴直线OA对应的一次函数的表达式为y＝33x.∵BD∥AO.设直线BD对应的一次函数的表达式为y＝33x＋b，∵B(23，0)在直线BD上，∴0＝33×23＋b，∴b＝－2，∴直线BD的表达式为y＝33x－2.第7题解图由y＝33x－2y＝－13x2＋233x，得交点D的坐标为(－3，－3)，y＝33x－2中，令x＝0得，y＝－2，∴C点的坐标为(0，－2)，由勾股定理，得OA＝2＝OC，AB＝2＝CD，OB＝23＝OD，在△OAB与△OCD中，OA＝OCAB＝CDOB＝OD，∴△OAB≌△OCD(SSS)．(3)解：点C关于x轴的对称点C′的坐标为(0，2)，∴C′D与x轴的交点即为点P，它使得△PCD的周长最小，过点D作DQ⊥y轴，垂足为Q，连接C′D，如解图，∴PO∥DQ，∴△C′PO∽△C′DQ，∴PODQ＝C′OC′Q，∴PO3＝25.∴PO＝235，∴点P的坐标为(－235，0)．