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免费江苏省2017年中考数学《第20课时直角三角形与勾股定理》练习含解析考点分类汇编第四章三角形第20课时直角三角形与勾股定理1.(2016百色)如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，则BC＝()A.6B.62C.63D.12第1题图第2题图2.(2016河南)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10.DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为()A.6B.5C.4D.33.(2016荆州)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E.若BC＝3，则DE的长为()A.1B.2C.3D.4第3题图第4题图4.(2016陕西)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6.若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为()A.7B.8C.9D.105.(2016东营)在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于()A.10B.8C.6或10D.8或106.(2016黔东南州)如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，且AB＝6，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD＋CE等于()A.2B.3C.2D.6第6题图7.(2016株洲)如图，以直角三角形a、b、c为边，向外分别作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形个数有()2·1·c·n·j·y第7题图A.1个B.2个C.3个D.4个8.(2016哈尔滨)在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为____________．9.(2016桂林)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，CD＝1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH＝________．第9题图第10题图10.(2016资阳)如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，CO⊥AB于点O，点D、E分别在边AC、BC上，且AD＝CE，连接DE交CO于点P.给出以下结论：①△DOE是等腰直角三角形；②∠CDE＝∠COE；③若AC＝1，则四边形CEOD的面积为14；④AD2＋BE2－2OP2＝2DP·PE.其中所有正确结论的序号是________．11.(2016北京)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M、N分别为AC、CD的中点，连接BM，MN，BN.(1)求证：BM＝MN；(2)∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．第11题图答案1.A【解析】∵在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AB＝12，∴BC＝12AB＝6.2.D【解析】∵DE垂直平分AC，∴∠ADE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线，∵BC＝AB2－AC2＝102－82＝6，∴DE＝12BC＝3.3.A【解析】∵AD是∠BAC的平分线，AC⊥BC，AE⊥DE,∴DC＝DE，AE＝AC.又∵DE是AB的垂直平分线，∴BE＝AE，即AB＝2AE＝2AC,∴∠B＝30°.设DE＝x，则BD＝3－x.在Rt△BDE中，x3－x＝12，解得DE＝x＝1.4.B【解析】∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝82＋62＝10，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝12BC＝3，∵CF平分∠ACM，∴∠ACF＝∠MCF，又∵DE∥BC，∴∠EFC＝∠MCF，∴∠EFC＝∠ACF,∴EF＝CE＝12AC＝5，∴DF＝DE＋EF＝3＋5＝8.5.C【解析】如解图①，当△ABC是锐角三角形时：在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝8，同理在Rt△ACD中，DC＝2，所以BC＝10；如解图②，当△ABC是钝角三角形时：在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝8，同理在Rt△ACD中，DC＝2，所以BC＝6；故答案为C.第5题解图①第5题解图②6.B【解析】如解图，连接OC，∵AB＝6，∴AC＝BC＝3.∵∠COD＋∠COE＝90°，∠EOB＋∠EOC＝90°，∴∠EOB＝∠COD，∵△ABC是等腰直角三角形，O是AB中点，∴OB＝OC，∠B＝∠OCD＝45°，∴△BOE≌△COD(A)，得EB＝CD，进而得CD＋CE＝CE＋EB＝BC＝3.第6题解图7.D【解析】图①中，∵S1＝34a2，S2＝34b2，S3＝34c2，∴a2＝43S1，b2＝43S2，c2＝43S3，∵a2＋b2＝c2，∴43S1＋43S2＝43S3，即S1＋S2＝S3；图②中，∵S1＝12π(a2)2＝πa28，S2＝12π(b2)2＝πb28，S3＝12π(c2)2＝πc28，∴a2＝8πS1，b2＝8πS2，c2＝8πS3，∵a2＋b2＝c2，∴8πS1＋8πS2＝8πS3，即S1＋S2＝S3；图③中，设斜边长为a的等腰直角三角形的直角边为x，则x＝22a，同理可得，另两个三角形的直角边分别为22b和22c，∴S1＝12×22a×22a＝a24，S2＝12×22b×22b＝b24，S3＝12×22c×22c＝c24，∴a2＝4S1，b2＝4S2，c2＝4S3，∵a2＋b2＝c2，∴4S1＋4S2＝4S3，即S1＋S2＝S3；图④中，S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，∵a2＋b2＝c2，∴S1＋S2＝S3.8.13或10【解析】由题知，P为直角边BC的三等分点，分两种情况讨论：①如解图①所示，当P点靠近B点时，∵AC＝BC＝3，∴CP＝2，在Rt△ACP中，由勾股定理得AP＝13；②如解图②所示，当P点靠近C点时，∵AC＝BC＝3，∴CP＝1，在Rt△ACP中，由勾股定理得AP＝10，综上可得：AP＝13或10.第8题解图9.355【解析】取BC的中点E，连接HE，OE，又∵O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝12AC＝32，OE∥AC，∵CH⊥BD，CE＝BE，∴HE是Rt△BCH的斜边中线，∴HE＝12BC＝32，∴CE＝HE＝OE＝BE，∴C、H、O、B都在⊙E上，∵∠ACB＝90°，OE∥AC，∴∠BEO＝90°，∴∠BHO＝12∠BEO＝45°＝∠A，又∵∠1＝∠1，∴△BOH∽△BDA，∴OHAD＝OBBD，又∵AD＝AC－CD＝2，OB＝12AB＝12AC2＋BC2＝322，BD＝BC2＋CD2＝10，∴OH2＝32210，∴OH＝355.第9题解图10.①②③④【解析】①∵在等腰直角三角形ABC中，CO⊥AB,∠ACB＝90°，∵O为AB的中点，∴AO＝OC,∠DAO＝∠OCE＝45°，又∵AD＝CE，∴△ADO≌△CEO，∴OD＝OE,∠AOD＝∠COE，∵∠AOD＋∠DOC＝90°，∴∠COE＋∠DOC＝90°，∴△DOE是等腰直角三角形，故①正确；②∵∠CDE＋∠DCO＋∠CPD＝180°，∠COE＋∠OED＋∠OPE＝180°，∠DCO＝∠OED＝45°，∠CPD＝∠OPE，∴∠CDE＝∠COE，故②正确；③∵四边形CEOD的面积＝S△COD＋S△CEO，△ADO≌△CEO，∴四边形CEOD的面积＝S△COD＋S△ADO＝S△AOC＝12S△ABC＝12×12×1×1＝14，故③正确；④如解图，过点O作ON⊥DE于点N，则ON＝12DE＝12(DP＋PE)，PN＝NE－PE＝12DE－PE＝12(DP＋PE)－PE＝12(DP－PE)，又∵OP2＝ON2＋PN2＝12（DP＋PE）2＋12（DP－PE）2，化简得：2OP2＝DP2＋PE2，AD2＋BE2＝CE2＋CD2＝DE2＝(DP＋PE)2＝DP2＋2DP·PE＋PE2，∴AD2＋BE2－2OP2＝2DP·PE，可得④正确．故答案为：①②③④.第10题解图11.(1)证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD且MN＝12AD，在Rt△ABC中，∵M是AC的中点，∴BM＝12AC，又∵AC＝AD，∴MN＝BM；(2)解：∵∠BAD＝60°且AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝30°，由(1)知，BM＝12AC＝AM＝MC，∴∠BMC＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°∵MN∥AD，∴∠NMC＝∠DAC＝30°，∴∠BMN＝∠BMC＋∠NMC＝90°，∴BN2＝BM2＋MN2，由(1)知，MN＝BM＝12AC＝12×2＝1，∴在Rt△BMN中，BN＝BM2＋MN2＝2.