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免费江苏省2017年中考数学真题精选《5.2矩形、菱形、正方形》含解析教学反思设计案例学案说课稿第五章四边形第25课时矩形、菱形、正方形江苏近4年中考真题精选命题点1矩形的性质与判定(2016年9次，2015年12次，2014年8次，2013年6次),1.(2014南京6题3分)如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是(－2，1)，点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是()A.(32，3)，(－23，4)B.(32，3)，(－12，4)C.(74，72)，(－23，4)D.(74，72)，(－12，4)第1题图第2题图2.(2016扬州8题3分)如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是()A.6B.3C.2.5D.23.(2015无锡14题3分)如图，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于________cm.第3题图第4题图4.(2015泰州16题3分)如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，则AP的长为________．5.(2014苏州17题3分)如图，在矩形ABCD中，ABBC＝35，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E.若AE·ED＝43，则矩形ABCD的面积为________．第5题图6.(2015淮安21题8分)已知：如图，在矩形ABCD中，点E、F在边AD上，且AE＝DF.求证：BF＝CE.第6题图7.(2016南通25题8分)如图，将?ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F.(1)求证：△BEF≌△CDF；(2)连接BD、CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．第7题图8.(2016扬州23题10分)如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．第8题图命题点2菱形的性质与判定(2016年8次，2015年7次，2014年9次，2013年9次)9.(2014徐州7题3分)若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是()A.矩形B.等腰梯形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形10.(2015徐州7题3分)如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于()A.3.5B.4C.7D.14第10题图第11题图11.(2013扬州7题3分)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于()A.50°B.60°C.70°D.80°12.(2013淮安17题3分)若菱形的两条对角线长分别为2和3，则此菱形的面积是________．13.(2014宿迁13题3分)如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(－3，0)，(2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是________．第13题图第14题图14.(2016南京16题3分)如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为________cm.15.(2015南京24(2)题4分)如图，AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，连接EF.∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H.第15题图小明在证明四边形EGFH是矩形后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB、CD于点M、N，过H作PQ∥EF，分别交AB、CD于点P、Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框图中补全他的证明思路．小明的证明思路由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证?MNQP是菱形，只要证NM＝NQ.由已知条件________，MN∥EF，可证NG＝NF，故只要证GM＝FQ，即证△MGE≌△QFH，易证______，______，故只要证∠MGE＝∠QFH，易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，______，即可得证．16.(2014淮安21题8分)如图，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF.求证：四边形AEDF是菱形．第16题图17.(2014镇江20题6分)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，AC、BD相交于点O，点E在AO上，且OE＝OC.(1)求证：∠1＝∠2；(2)连接BE、DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由．第17题图18.(2015徐州23题8分)如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC.(1)求证：四边形BFCE是平行四边形；(2)若AD＝10，DC＝3，∠EBD＝60°，则BE＝________时，四边形BFCE是菱形．第18题图19.(2014连云港21题10分)如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.(1)求证：四边形OCED为菱形；(2)连接AE、BE.AE与BE相等吗？请说明理由．第19题图20.(2014盐城25题10分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作一条直线分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF.(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若EF⊥AB，垂足为M，tan∠MBO＝12，求EM∶MF的值．第20题图命题点3正方形的性质与判定(2016年9次，2015年5次，2014年10次，2013年5次)21.(2015连云港5题3分)已知四边形ABCD，下列说法正确的是()A.当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B.当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形C.当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D.当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形第22题图第23题图22.(2013连云港8题3分)如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为()A.1B.2C.4－22D.32－423.(2014泰州16题3分)如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点．∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q，若PQ＝AE，则AP等于________cm.24.(2013南京19题8分)如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N.(1)求证：∠ADB＝∠CDB；(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．第24题图25.(2015泰州25题12分)如图，正方形ABCD的边长为8cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由；(3)求四边形EFGH面积的最小值．第25题图答案1.B【解析】如解图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥y轴于点E，并延长交FB的延长线于点M，根据题意可得△AOD≌△BCM,OD＝MC＝2，BM＝AD＝1，点C的纵坐标是4，可得点B的纵坐标为3，再由△AOD∽△OBF得，ADOD＝OFBF，代入数据即可求得OF＝32，CE＝CM－OF＝2－32＝12，故点B的坐标为(32，3)，点C的坐标为(－12，4)．第1题解图第2题解图2.C【解析】所有剪法中剩余部分面积的值最小时，如解图，S△ABG＝12AB·BG＝12×4×4＝8，∵AD＝6，∴AE＝ED＝32，∴EF＝DF＝3，∴S△AED＝12AE·ED＝12×32×32＝9，S△EDF＝12EF·DF＝12×3×3＝4.5，∴S剩余部分＝S矩形ABCD－S△ABG－S△AED－S△EDF＝4×6－8－9－4.5＝2.5.3.16【解析】如解图，连接AC，BD，∵在△ABC中，E、F分别为AB、BC的中点，∴EF＝12AC＝4，同理可得，HG＝12AC＝4，EH＝FG＝12BD＝4，∴四边形EFGH的周长等于16cm.第3题解图4.245【解析】如解图，根据题意得，AP＝EP，∵OD＝OE，∠E＝∠D，∠DOP＝∠EOF，∴△ODP≌△OEF(A)，则OP＝OF，DP＝EF，设OE＝a，OP＝b，∴BF＝8－(6－a－b)＝2＋a＋b，FC＝8－(a＋b)，在Rt△BCF中，根据勾股定理得，BF2＝CF2＋BC2，即(2＋a＋b)2＝[8－(a＋b)]2＋62，解得a＋b＝245，∴AP的长为245.第4题解图5.5【解析】如解图，连接BE，则BE＝BC.设AB＝3x，BC＝5x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3x，AD＝BC＝5x，∠A＝90°，由勾股定理得AE＝4x，则DE＝5x－4x＝x，∵AE·ED＝43，∴4x·x＝43，解得x1＝33，x2＝－33(舍去)，则AB＝3x＝3，BC＝5x＝533，∴矩形ABCD的面积是3×533＝5.第5题解图6.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD,∠A＝∠D＝90°，∵AE＝DF，∴AF＝DE，(5分)∴△ABF≌△DCE(S)，∴BF＝CE.7.证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴ABCD∵BE＝AB，BE在AB的延长线上，∴BECD.∴∠BEF＝∠FDC，∠FBE＝∠FCD，∴△BEF≌△CDF(A)．(2)由(1)证得，∴四边形BECD为平行四边形，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠FCD＝∠A，∵∠BFD＝∠FCD＋∠FDC，∠BFD＝2∠A，∴∠FDC＝∠A，∴∠FDC＝∠FCD，∴FD＝FC.由(1)知，△BEF≌△CDF，∴BC＝DE.∴四边形BECD是矩形．8.(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AB∥CD.∴∠BAC＝∠DCA，由折叠的性质知，∠EAC＝12∠BAC,∠FCA＝12∠DCA，∴∠EAC＝∠FCA，∴AE∥CF，又∵AD∥BC，∴四边形AECF为平行四边形；(2)解：在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝10，由勾股定理得，BC＝102－62＝8，由折叠的性质知，∠ABC＝∠AME＝90°，BE＝EM，在Rt△CEM中，CM＝AC－AM＝10－6＝4，设CE＝x，则BE＝EM＝8－x，由勾股定理得，ME2＋CM2＝EC2，即(8－x)2＋16＝x2，解得x＝5，∵由(1)得，四边形AECF为平行四边形，∴S四边形AECF＝EC·CD＝5×6＝30.9.C【解析】如解图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，∴EF＝FG＝GH＝EH，BD＝2EF，AC＝2FG，∴BD＝AC.∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选C.第9题解图10.A【解析】由于菱形的周长是28，而它的四条边都相等，∴每条边都是7，而菱形的对角线互相垂直，E为AD的中点，由直角三角形斜边的中线等于斜边上的一半可得OE＝12×7＝3.5.11.B【解析】如解图，连接BF，在菱形ABCD中，∠BAC＝12∠BAD＝12×80°＝40°，∠BCF＝∠DCF，BC＝CD，∠ABC＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∠ABF＝∠BAC＝40°，∴∠CBF＝∠ABC－∠ABF＝100°－40°＝60°，∵在△BCF和△DCF中，BC＝DC∠BCF＝∠DCFCF＝CF，∴△BCF≌△DCF(S)，∴∠CDF＝∠CBF＝60°.第11题解图12.3【解析】由题意知S菱形＝12×2×3＝3.13.(5，4)【解析】∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(－3，0)，(2，0)，点D在y轴上，∴AB＝5，∴DO＝AD2－AO2＝4，∴点C的坐标是(5，4)．14.13【解析】如解图，连接AC，BD交于点O，∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，∴S菱形ABCD＝12AC·BD＝120，∴AC·BD＝240，又∵菱形的对角线互相垂直平分，∴2OA·2OB＝240，∴OA·OB＝60，∵正方形AECF的面积等于边长的平方，∴AE2＝50,又∵OA2＋OE2＝AE2，OA＝OE，∴OA＝5，∴OB＝12，∴AB＝OA2＋OB2＝52＋122＝13cm.第14题解图15.解：本题答案不唯一，下列答案仅供参考：FG平分∠CFE;GE＝FH；∠GME＝∠FQH；∠GEF＝∠EFH.16.证明：设EF与AD交于点O，如解图．第16题解图∵AD平分∠BAC，∴∠EAO＝∠FAO，由折叠性质可知AO＝DO，EF⊥AD，∴∠AOE＝∠AOF＝90°，在△AEO和△AFO中，∠EAO＝∠FAOAO＝AO∠AOE＝∠AOF，∴△AEO≌△AFO(A)，∴EO＝FO，即EF、AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形，又∵EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形．17.(1)证明：在△ABC与△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠1＝∠2；(2)解：如解图，连接BE、DE，四边形BCDE为菱形，理由如下：第17题解图∵BC＝DC，∠1＝∠2，OC＝OC，∴△COD≌△COB(S)，∴OD＝OB，OC⊥BD，又∵OE＝OC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵OC⊥BD，∴四边形BCDE是菱形．18.(1)证明：∵AB＝DC，∴AC＝DB，在△AEC和△DFB中，AC＝DB∠A＝∠DAE＝DF，∴△AEC≌△DFB(S)，∴BF＝CE，∠ACE＝∠DBF，∴EC∥BF，∴四边形BFCE是平行四边形；(2)解：4.【解法提示】当四边形BFCE是菱形时，BE＝CE，∵AD＝10，DC＝3，AB＝CD＝3，∴BC＝10－3－3＝4，∵∠EBD＝60°，∴△EBC为等边三角形，BE＝BC＝4，∴当BE＝4时，四边形BFCE是菱形．19.(1)证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵在矩形ABCD中，AC＝BD，且AC、BD互相平分，∴OC＝12AC＝12BD＝OD，∴平行四边形OCED是菱形；(2)解：相等．理由如下：在菱形OCED中，ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，又∵在矩形ABCD中，AD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ADC＋∠EDC＝∠BCD＋∠ECD，∴∠ADE＝∠BCE，在△ADE和△BCE中，AD＝BC∠ADE＝∠BCEDE＝CE，∴△ADE≌△BCE(S)，∴AE＝BE.20.(1)证明：在菱形ABCD中，AD∥BC，OA＝OC，OB＝OD，∴∠AEO＝∠CFO，在△AEO和△CFO中，∠AEO＝∠CFO∠AOE＝∠COFOA＝OC，∴△AEO≌△CFO(A)，∴OE＝OF，又∵OB＝OD，∴四边形BFDE是平行四边形；(2)解：设OM＝x，∵EF⊥AB，tan∠MBO＝12，∴BM＝2x，又∵AC⊥BD，∴△AOM∽△OBM，∴AMOM＝OMBM，∴AM＝OM2BM＝12x，∵AD∥BC，∴△AEM∽△BFM，∴EM∶MF＝AM∶BM＝12x∶2x＝1∶4.21.B【解析】本题考查平行四边形、矩形、正方形的判定，逐项分析如下：选项逐项分析正误A一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形才是平行四边形×B两组对边分别相等的四边形是平行四边形√C只有两条对角线相等且互相平分的四边形才是矩形×D只有两条对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形×22.C【解析】在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵∠BAE＝22.5°，∴∠DAE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，在△ADE中，∠AED＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE＝4，∵正方形的边长为4，∴BD＝42，∴BE＝BD－DE＝42－4，∵EF⊥AB，∠ABD＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝22BE＝22×(42－4)＝4－22.23.1或2【解析】根据题意画出图形，过点P作PN⊥BC交BC于点N，如解图，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝DC＝PN，在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，AD＝3cm，∴tan30°＝DEAD，∴DE＝3cm，根据勾股定理得AE＝32＋（3）2＝23cm，∵M为AE的中点，∴AM＝12AE＝3cm，在Rt△ADE和Rt△PNQ中，AD＝PNAE＝PQ，∴Rt△ADE≌Rt△PNQ(HL)，∴DE＝NQ，∠DAE＝∠NPQ＝30°，∵PN∥DC，∴∠PFA＝∠DEA＝60°，∴∠PMF＝90°，即PM⊥AF，在Rt△AMP中，∠MAP＝30°，cos30°＝AMAP，∴AP＝AMcos30°＝332＝2cm；由对称性得到AP′＝DP＝AD－AP＝3－2＝1cm.综上，AP等于1cm或2cm.第23题解图24.证明：(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD(S)．∴∠ADB＝∠CDB；(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°.又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．由(1)知，∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN.∴四边形MPND是正方形．25.(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝DC，∵AE＝DH＝CG，∴AH＝DG，∵∠A＝∠D，∴△AHE≌△DGH(S)，∴EH＝HG，∠AHE＝∠DGH，∵∠DGH＋∠DHG＝90°，∴∠AHE＋∠DHG＝90°，∴∠EHG＝90°，同理，EH＝EF＝FG，则EH＝GH＝GF＝FE，∴四边形EFGH是正方形；(2)解：是，直线EG经过正方形ABCD的中心．理由如下：如解图，连接BD，EG，DE，BG，第25题解图∵BE＝DG，BE∥DG，∴四边形BGDE是平行四边形，∴OB＝OD，OE＝OG，∴点O为正方形ABCD的对角线AC、BD的交点，∴直线EG经过正方形ABCD的中心；(3)解：设正方形EFGH的面积为y，AE＝x，则AH＝8－x，在Rt△AEH中，EH2＝AE2＋AH2，而正方形EFGH的面积＝EH2，∴y＝x2＋(8－x)2＝2(x－4)2＋32，∴当x＝4时，y有最小值为32.即四边形EFGH面积的最小值是32cm2.