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免费人教版2017年中考数学：圆的综合题（含答案解析）中考数学试题试卷网题型五圆的综合题针对演练1.如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，过圆心O的直线垂直AB于点D，交⊙O于点C和点E，连接AC、BC、OB，cos∠ACB＝13，延长OE到点F，使EF＝2OE.(1)求证：∠BOE＝∠ACB;(2)求⊙O的半径；(3)求证：BF是⊙O的切线．第1题图2.如图，AB为⊙O的直径，点C为圆外一点，连接AC、BC，分别与⊙O相交于点D、点E，且，过点D作DF⊥BC于点F，连接BD、DE、AE.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)试判断△DEC的形状，并说明理由；(3)若⊙O的半径为5，AC＝12，求sin∠EAB的值．第2题图3.(2016长沙9分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.(1)求∠CDE的度数；(2)求证：DF是⊙O的切线；(3)若AC＝25DE，求tan∠ABD的值．第3题图4.(2016德州10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC于点D，过点E作直线l∥BC.(1)判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE＝EF;(3)在(2)的条件下，若DE＝4，DF＝3，求AF的长．第4题图5.(2015永州)如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD.(1)求证：BE＝CE；(2)试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；(3)若BC＝8，AD＝10，求CD的长．第5题图6.(2015省卷24，9分)⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG，CP，PB.(1)如图①，若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；(2)如图②，在DG上取一点K，使DK＝DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；(3)如图③，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥AB.第6题图7.(2017原创)如图，AB切⊙O于点B，AD交⊙O于点C和点D，点E为的中点，连接OE交CD于点F，连接BE交CD于点G.(1)求证：AB＝AG；(2)若DG＝DE，求证：GB2＝GC·GA；(3)在(2)的条件下，若tanD＝34，EG＝10，求⊙O的半径．第7题图8.(2015达州)在△ABC的外接圆⊙O中，△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D，F为上一点，且，连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E.(1)判断DB与DA的数量关系，并说明理由；(2)求证：△BCD≌△AFD；(3)若∠ACM＝120°，⊙O的半径为5，DC＝6，求DE的长．第8题图9.如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为点D.(1)求证：△ACD∽△ABC；(2)求证：∠PCA＝∠ABC；(3)过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CG于点F，连接BE，若sinP＝35，CF＝5，求BE的长．第9题图10.(2016大庆9分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH.(1)求证：MH为⊙O的切线；(2)若MH＝32，tan∠ABC＝34，求⊙O的半径；(3)在(2)的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度．第10题图11.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC＝∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G.(1)判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)求证：AG2＝AF·AB；(3)若⊙O的直径为10，AC＝25，AB＝45，求△AFG的面积．第11题图12.(2016鄂州10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD＝12，求AEAC的值；(3)在(2)的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．第12题图【答案】1．(1)证明：如解图，连接OA，第1题解图∵CE⊥AB，∴AD＝BD＝2，，∴∠ACE＝∠BCE，∠AOE＝∠BOE，又∵∠AOB＝2∠ACB，∴∠BOE＝∠ACB；(2)解：∵cos∠ACB＝13，∴cos∠BOD＝13，在Rt△BOD中，设OD＝x，则OB＝3x，∵OD2＋BD2＝OB2，∴x2＋22＝(3x)2，解得x＝22，∴OB＝3x＝322，即⊙O的半径为322；(3)证明：∵FE＝2OE，∴OF＝3OE＝922，∴OBOF＝13，∵ODOB＝13，∴OBOF＝ODOB，∵∠BOF＝∠DOB，∴△OBF∽△ODB，∴∠OBF＝∠ODB＝90°，即OB⊥BF，∵OB是⊙O的半径，∴BF是⊙O的切线．2．(1)证明：如解图，连接DO，交AE于点G，则DO＝BO，第2题解图∴∠ABD＝∠ODB，∵，∴∠ABD＝∠EBD，∴∠ODB＝∠EBD，∴DO∥BC，∴∠ODF＝∠CFD，∵DF⊥BC，∴∠CFD＝90°，∴∠ODF＝90°，即OD⊥DF，又∵OD为⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线；(2)解：△DEC是等腰三角形，理由如下：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，又∵BD＝BD，∠ABD＝∠EBD，∴△ABD≌△CBD(A)，∴AD＝CD.∵，∴AD＝DE，∴CD＝DE，∴△DEC是等腰三角形；(3)解：由(2)可知AD＝12AC＝6，∵，∴OD⊥AE，∠ABD＝∠DAE，∴sin∠DAE＝DGAD.在Rt△ADB中，sin∠ABD＝ADAB＝610，∴DG6＝610，∴DG＝3.6，∴OG＝OD－DG＝1.4，∴在Rt△AGO中，sin∠EAB＝OGOA＝1.45＝725.3．(1)解：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠CDE＝90°；………………………………………………(2分)第3题解图(2)证明：如解图，连接OD，∵∠CDE＝90°，F为CE中点，∴DF＝12CE＝CF，∴∠FDC＝∠FCD.又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠FCD，∴∠ODF＝∠OCF，∵EC⊥AC，∴∠OCF＝90°，∴∠ODF＝90°，即OD⊥DF，又∵OD为⊙O的半径，∴DF为⊙O的切线；…………………………………………(5分)(3)解：在△ACD与△ECA中，∵∠ADC＝∠ACE＝90°，∠EAC＝∠CAD，∴△ACD∽△AEC，∴ACAE＝ADAC∴AC2＝AD·AE，又∵AC＝25DE，∴20DE2＝(AE－DE)·AE∴AE＝5DE，∴AD＝4DE，∵在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2，∴CD＝2DE，又∵在⊙O中，∠ABD＝∠ACD，∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝ADCD＝2.…………………………(9分)4．(1)解：直线l与⊙O相切．理由如下：如解图，连接OE、OB、OC.第4题解图∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴，∴∠BOE＝∠COE，又∵OB＝OC，∴OE⊥BC，∵l∥BC，∴OE⊥l，又∵OE为⊙O的半径，∴直线l与⊙O相切；…………………………………………(3分)(2)证明：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，又∵∠CBE＝∠CAE＝∠BAE，∴∠CBE＋∠CBF＝∠BAE＋∠ABF.又∵∠EBF＝∠CBE＋∠CBF，∠EFB＝∠BAE＋∠ABF，∴∠EBF＝∠EFB，∴BE＝EF；……………………………………………………(6分)(3)解：∵BE＝EF，DE＝4，DF＝3，∴BE＝EF＝DE＋DF＝7，∵，∴∠DBE＝∠BAE，∵∠DEB＝∠BEA，∴△BED∽△AEB，∴DEBE＝BEAE，即47＝7AE，解得AE＝494，…………………………………………………(9分)∴AF＝AE－EF＝494－7＝214.………………………………(10分)5．(1)证明：∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝∠ACD＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB＝ACAD＝AD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)，∴∠BAD＝∠CAD，∵AB＝AC，∴AD垂直平分BC，∴BE＝CE；(2)解：四边形BFCD是菱形．理由如下：∵AD是⊙O的直径，AB＝AC，∴AD⊥BC，BE＝CE，∵CF∥BD，∴∠FCE＝∠DBE，在△BED和△CEF中，∠DBE＝∠FCEBE＝CE∠BED＝∠CEF＝90°，∴△BED≌△CEF(A)，∴BD＝CF，∴四边形BFCD是平行四边形，∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD，∴四边形BFCD是菱形；(3)解：∵AD是⊙O的直径，AD⊥BC，BE＝CE，∴∠ECD＝∠CAE，∵∠AEC＝∠DEC＝90°，∴Rt△CDE∽Rt△ACE，∴DECE＝CEAE，∴CE2＝DE·AE，设DE＝x，则AE＝AD－DE＝10－x，∵BC＝8，∴CE＝12BC＝4，∴42＝x(10－x)，解得x＝2或x＝8(舍去)，在Rt△CED中，CD＝CE2＋DE2＝42＋22＝25.6．(1)解：∵点P为的中点，PG为⊙O的直径，∴BP＝PC，PG⊥BC，CD＝BD，∴∠ODB＝90°，∵D为OP的中点，∴OD＝12OP＝12OB，∴∠OBD＝30°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝60°；………………………………………………(3分)(2)证明：由(1)知，CD＝BD，在△PDB和△KDC中，BD＝CD∠BDP＝∠CDKDP＝DK，∴△PDB≌△KDC(S)，∴BP＝CK，∠BPO＝∠CKD，∵∠AOG＝∠BOP，∴AG＝BP，∴AG＝CK，∵OP＝OB，∴∠OBP＝∠BPO，又∵∠G＝∠OBP，∴∠G＝∠BPO＝∠CKD，∴AG∥CK，∴四边形AGKC是平行四边形；……………………………(6分)(3)证明：∵CE＝PE，CD＝BD，∴DE∥PB，即DH∥PB，∵∠G＝∠BPO，∴PB∥AG，∴DH∥AG，∴∠OAG＝∠OHD，∠G＝∠ODH.∵OA＝OG，∴∠OAG＝∠G，∴∠ODH＝∠OHD，∴OD＝OH，在△OBD和△OPH中，OD＝OH∠DOB＝∠HOPOB＝OP，∴△OBD≌△OPH(S)，∴∠OHP＝∠ODB＝90°，∴PH⊥AB.……………………………………………………(9分)7．(1)证明：如解图，连接OB，第7题解图∵AB为⊙O的切线，∴OB⊥AB，∴∠ABG＋∠OBG＝90°，∵点E为的中点，∴OE⊥CD，∴∠OEG＋∠FGE＝90°，又∵OB＝OE，∴∠OBG＝∠OEG，∴∠ABG＝∠FGE，∵∠BGA＝∠FGE，∴∠ABG＝∠BGA，∴AB＝AG；(2)证明：如解图，连接BC，∵DG＝DE，∴∠DGE＝∠DEG，由(1)得∠ABG＝∠BGA，又∵∠BGA＝∠DGE，∴∠A＝∠GDE，∵∠GBC＝∠GDE，∴∠GBC＝∠A，∵∠BGC＝∠AGB，∴△GBC∽△GAB，∴GBGA＝GCGB，∴GB2＝GC·GA；(3)解：如解图，连接OD，∵在Rt△DEF中，tan∠EDF＝EFDF＝34，∴设EF＝3x，则DF＝4x，由勾股定理得DE＝5x，∵DG＝DE，∴DG＝5x，∴GF＝DG－DF＝x.在Rt△EFG中，由勾股定理得GF2＋EF2＝EG2，即x2＋(3x)2＝(10)2，解得x＝1，设⊙O半径为r，在Rt△ODF中，OD＝r，OF＝r－3，DF＝4，由勾股定理得OF2＋FD2＝OD2，即(r－3)2＋42＝r2，解得r＝256，∴⊙O的半径为256.8．(1)解：DB＝DA.理由如下：∵CD平分∠ACM，∴∠MCD＝∠ACD，∵∠ACD和∠ABD都是所对的圆周角，∴∠ACD＝∠ABD，∴∠MCD＝∠ABD，又∵∠MCD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠ABD，∴DB＝DA；(2)证明：如解图，连接AF，第8题解图∵AD＝BD，∴，∵，∴，∴AF＝BC，DF＝DC，在△BCD和△AFD中，BD＝ADBC＝AFDC＝DF，∴△BCD≌△AFD(SSS)；(3)解：∵∠ACM＝120°，∴∠MCD＝∠ACD＝60°，∴∠ABD＝∠BAD＝∠BDA＝60°，∴△ABD是等边三角形，如解图，连接DO并延长与AB交于点G，则∠ADO＝30°，过点O作OH⊥AD于点H，则AD＝2DH＝2OD·cos30°＝53，∵∠ADF＋∠DAF＝∠AFE＝∠ACD＝60°，∠ADE＋∠E＝∠BAD＝60°，∴∠DAF＝∠E，∵∠ADF＝∠EDA，∴△ADF∽△EDA，∴DADE＝DFDA，∴DE＝DA2DF，∵DF＝DC＝6，DA＝53，∴DE＝252.9．(1)证明：∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵CG⊥AB，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∵∠CAD＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC；(2)证明：如解图，连接OC.第9题解图∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∴∠PCO＝90°，∴∠PCA＋∠OCA＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＋∠OAC＝90°，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠PCA＝∠ABC；(3)解：∵AE∥PC，∴∠PCA＝∠CAF，∵AB⊥CG，∴，∴∠ABC＝∠ACF，∵∠PCA＝∠ABC，∴∠CAF＝∠ABC，∴∠ACF＝∠CAF，∴FA＝FC，∵CF＝5，∴AF＝5，∵AE∥PC，∴∠FAD＝∠P，∵sinP＝35，∴sin∠FAD＝35，∴FD＝3，AD＝4，CD＝8，在Rt△COD中，设CO＝r，则有r2＝(r－4)2＋82，∴r＝10，∴AB＝2r＝20，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴sin∠EAB＝35，∴BEAB＝35，∴BE20＝35，∴BE＝12.10．(1)证明：如解图①，连接OM、CM，第10题解图①∵BC为⊙O的直径，∴∠AMC＝∠BMC＝90°，∵H是AC的中点，∴HC＝HM＝12AC，∴∠HMC＝∠HCM，∵OM＝OC，∴∠OMC＝∠OCM，∴∠OMH＝∠OCH，∵∠ACB＝90°＝∠OCH，∴∠OMH＝90°，即OM⊥MH，又∵OM为⊙O的半径，∴MH为⊙O的切线；…………………………………………(3分)(2)解：∵MH＝32，∴AC＝2MH＝3，在Rt△ABC中，tan∠ABC＝ACBC＝34，∴BC＝4，故⊙O的半径为2；……………………………………………(5分)(3)解：如解图②，过点D作DP⊥AC于点P，连接ON，第10题解图②则DP＝BC＝4，BD＝PC，设DB＝DN＝x，则AP＝3－x，∵AN＝AC＝3，∴AD＝x＋3.在Rt△ADP中，由勾股定理得，(x＋3)2－(3－x)2＝42，解得x＝43，∴DN＝BD＝43，AD＝133，∵QN⊥BC，AC⊥BC，BD⊥BC，∴AC∥NQ∥DB，∴DNAD＝BEBC，即43133＝BE4，∴BE＝1613，∴OE＝OB－BE＝1013，∴EN＝ON2－OE2＝2413，∴NQ＝2EN＝4813.……………………………………………(9分)11．(1)解：直线PA与⊙O相切．理由如下：∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，∴AD垂直且平分CG，∴AC＝AG，∴∠ACG＝∠AGC，∵∠AGC＝∠B，∠PAC＝∠B，∴∠PAC＝∠ACG，∴PA∥CG，∵CG⊥AD，∴PA⊥AD，又∵AD为⊙O的直径∴直线PA是⊙O的切线；【一题多解】如解图①，连接DC，第11题解图①则∠B＝∠ADC，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠ADC＋∠DAC＝90°.又∵∠PAC＝∠B，∴∠ADC＝∠PAC，∴∠PAC＋∠DAC＝90°，即DA⊥PA，∴PA是⊙O的切线．(2)证明：由垂径定理得，∴∠ACG＝∠B，∵∠CAB＝∠FAC，∴△ABC∽△ACF，∴ACAF＝ABAC，∴AC2＝AF·AB，又∵AC＝AG，∴AG2＝AF·AB；【一题多解】此题还可以通过连接BG，证明△GAB∽△FAG，从而证得AG2＝AF·AB.(3)解：由(2)得AG2＝AF·AB，∵AG＝AC＝25，AB＝45，∴(25)2＝45AF，∴AF＝5，如解图②，连接BD，则∠ABD＝90°，第11题解图②由勾股定理得BD＝AD2－AB2＝102－（45）2＝25，∵∠AEF＝∠ABD＝90°，∠EAF＝∠BAD，∴△AEF∽△ABD，∴AEAB＝AFAD＝EFBD，∴AE45＝510＝EF25，∴AE＝2，EF＝1，在Rt△ACE中，由勾股定理，得CE2＝AC2－AE2，∴CE＝（25）2－22＝4，∵CE＝EG，∴EG＝4，∴FG＝EG－EF＝4－1＝3，∴.12．(1)证明：如解图，过点O作OF⊥AB于点F，第12题解图∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，垂足为点F，∴OF＝OC，即OF为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线；…………………………………………(3分)(2)解：如解图，过点D作DP⊥AC交AC延长线于点P，∵∠ACB＝90°，DP⊥AC，∴CO∥DP，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝∠CDP，∵tan∠CDO＝12，∴tan∠OCD＝12.连接DQ，设DQ＝a，则CD＝2a，CQ＝5a，∴CO＝OD＝OE＝5a2，在Rt△CPD中，设CP＝b，则DP＝2b，CD＝5b，∴b＝255a，则PC＝255a，PD＝455a，∵CO∥DP，∴△ACO∽△APD，∴OCPD＝ACAP＝AOAD，即5a2455a＝AC255a＋AC＝AO5a2＋AO，解得AC＝253a，AO＝556a，∴AE＝AO－OE＝556a－5a2＝53a，∴AEAC＝53a253a＝12；……………………………………………(7分)(3)解：由(2)知AEAC＝12，设AE＝c，则AC＝2c，在Rt△ACO中，(2c)2＋32＝(c＋3)2，解得c＝2，∴AF＝AC＝2c＝4，在△BFO和△BCA中，∠B＝∠B∠BFO＝∠BCA，∴△BFO∽△BCA，∴BFBC＝FOCA＝BOAB，设BF＝x，BO＝y，∴x3＋y＝34＝y4＋x，解得：x＝727，y＝757，∴AB＝AF＋BF＝4＋727＝1007.……………………………(10分)