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免费人教版中考复习《直线型的计算和证明综合问题》专项练习含真题分类汇编解析直线型的计算和证明综合问题专项练习1.已知，是△的中线，将边所在直线绕点顺时针旋转角，交边于点，交射线于点，设，.（1）如图1，当△为等边三角形且°时，证明：△∽△；（2）如图2，证明：；（3）如图3，当是上任意一点时（点不与重合），过点的直线交边于点，交射线于点，设，，，猜想：是否成立？并说明理由。[来源:Z#xx#k.Com]2.如图1，矩形的边在轴上，抛物线经过点、点，与轴交于点、点，且其顶点在上。（1）请直接写出下列各点的坐标：，，，；（2）若点是抛物线上一动点（点不与点、点重合），过点作轴的平行线与直线交于点，与直线交于点，如图2。①当线段=时，求点的坐标；②当点在直线下方时，点在直线上，且满足△∽△，求△面积的最大值。[来源:学科网ZXXK]图1图2备用图[来源:学。科。网Z。X。X。K]3.如图，在直角梯形中，∥，⊥，，，，点沿线段从点向点运动，设。（1）求的长；（2）点在运动过程中，是否存在以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（3）设与的外接圆的面积分别为、，若，求的最小值。直线型的计算和证明综合问题专项练习参考答案1.（1）证明：在△中，，∴在△中，，∴。（2）证明：如图甲，作//交于点，则∴又≌∴∴∴即。（3）猜想成立。理由如下：①如图乙，过作∥交于点，交的延长线于点，则∴，即，由（2）知∴②如图丙，当过点作∥交的延长线于点，交于点，同理则可得。[来源:Zxxk.Com]2.解：（1）A（0，3），B（4，3），C（4，－1），D（0，－1）。[来源:Zxxk.Com]（2）①设直线BD的解析式为，由于直线BD经过D（0，－1），B（4，3），∴，解得，∴直线BD的解析式为。设点P的坐标为，则点H，点G。1°当且x≠4时，点G在PH的延长线上，如图①。∵PH＝2GH，∴，∴，解得，。当时，点P，H，G重合于点B，舍去。∴，∴此时点P的坐标为。2°当时，点G在PH的反向延长线上，如图②，PH＝2GH不成立。3°当时，点G在线段PH上，如图③。∵PH＝2GH，∴，∴，解得，（舍去），∴，此时点P的坐标为。综上所述可知，点P的坐标为或。图①图②图③②如图④，令，得，，∴E，F，∴EF＝2。∴S△AEF=。图④∵∽，∴，∴。∵，∴当时，的最大值为。3.解：（1）过点作于点。在Rt中，，。∴，∴。（2）存在.若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则必有一个角是直角。①当时，在Rt中，，，∴.又由（1）知，在Rt中，，∴，∴.∴∽。②当时，在Rt中，，，∴，，∴.则且，此时与不相似.∴存在与相似，此时.（3）如图，因为Rt外接圆的直径为斜边，∴.①当时，作的垂直平分线交于点，交于点；作的垂直平分线交于点，交于点，连接。则为外接圆的半径.在Rt中，，，∴，又，∴.在Rt中，∴.在Rt中，，∴.②当时，也成立。∴.∴当时，取得最小值。