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免费人教版数学中考复习《代数几何综合问题》专项练习含真题分类汇编解析代数几何综合问题（1）专项练习1.如图⑴，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点B（0，4）。⑴求抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为D，过点D、B作直线交x轴于点A，点C在抛物线的对称轴上，且C点的纵坐标为，连接BC、AC。求证：△ABC是等腰直角三角形；⑶在⑵的条件下，将直线DB沿y轴向下平移，平移后的直线记为l，直线l与x轴、y轴分别交于点A′、B′，是否存在直线l，使△A′B′C是直角三角形，若存在，求出直线l的解析式，若不存在，请说明理由。2.二次函数的图象的一部分如图所示。已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）。[来源:学科网]（1）试求，所满足的关系式；（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值；（3）是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形。若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由。3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点A（4，0）、B（-1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，，EF⊥OD，垂足为F。[来源:学科网ZXXK]（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；（3）当△ECA为直角三角形时，求t的值。代数几何综合问题（1）专项练习参考答案1.（1）解：由题意知：16a+6=4解得：a=故抛物线的解析式为：。⑵证明：由抛物线的解析式知：顶点D坐标为（－4，6）∵点C的纵坐标为－4，且在抛物线的对称轴上，∴C点坐标为（－4，－4）设直线BD解析式为：，有：，∴∴直线BD解析式为∴直线BD与x轴的交点A的坐标为（8，0）过点C作CE⊥轴于点E，则CE=4，BE=8又∵OB=4，OA=8，∴CE=OB，BE=OA，∠CEB=∠BOA=90°∴△CEB≌△BOA（SAS）∴CB=AB，∠CBE=∠BAO∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠CBE+∠ABO=90°即∠ABC=90°∴△ABC是等腰直角三角形。⑶存在。①当∠CA′B′=90°时，如图2，∵A′B′∥AB，∴∠OA′B′=∠BAO[来源:学科网]易证：∠ECA′=∠OA′B′，∴∠ECA′=∠BAO，∵tan∠BAO=，∴tan∠ECA′=[来源:学§科§网]∴EA′=2，∴A′坐标为（－2，0），∴直线l解析式为。②当∠A′CB′=90°时，如图3，过点C作CE⊥轴于点E，易证△A′FC≌△B′EC，∴A′F=B′E，∴由①可知tan∠B′A′O=∴设B′坐标为（0，n），∴有∴B′坐标为（0，），∴直线l解析式为[来源:学#科#网Z#X#X#K]2.（1）将A（1，0），B（0，l）代入得：，可得：（2）由（1）可知：，顶点M的纵坐标为，因为，由同底可知：，整理得：，解得：由图象可知：a＜0，因为抛物线过点（0，1），顶点M在第二象限，其对称轴，∴，∴舍去，从而。（3）①由图可知，A不可能为直角顶点；②若C为直角顶点，此时与原点O重合，不合题意；③若设B为直角顶点，则可知，令y=0，可得：，解得：得：。则解得：，由，不合题意。所以不存在。综上所述，不存在。3.解：（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），∴，解得，∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x2+6x+8；（2）；∵∠EFD=∠EDA=90°∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，∴∠DEF=∠ODA∴△EDF∽△DAO∴。∵，∴=，∴EF=t。同理，∴DF=2，∴OF=t﹣2。（3）∵抛物线的解析式为：，∴C（0，8），OC=8。如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则四边形EFOM是矩形，∴EF=OM。∴在Rt△AEM中，，，当∠CEA=90°时，，即，解得：t=4当∠ECA=90°时，，即，解得：t=8，即点D与点C重合。综上所述，t的值是4或8。