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免费人教版数学中考复习《四边形问题重点精讲》专项练习含真题分类汇编解析平行四边形的计算和证明问题专项练习1.已知抛物线经过A（2，0）。设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B。（1）求b的值，及点P、点B的坐标；（2）如图，在直线y=x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在,试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由。2.如图，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点。（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；（3）若P是轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由。3.在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA延长线上的点，BE与AD的交点为P。（1）若BD=AC，AE=CD，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出∠APE的度数；（2）若，，求∠APE的度数。平行四边形的计算和证明问题专项练习参考答案[来源:学_科_网]1.解：（1）由于抛物线经过A（2，0），[来源:学科网ZXXK]所以，解得.所以抛物线的解析式为.（*）将（*）配方，得，所以顶点P的坐标为（4，-2）令y=0，得，解得，所以点B的坐标为（6，0）。（2）在直线y=x上存在点D，使四边形OPBD为平行四边形。理由如下：设直线PB的解析式为+b，把B（6,0）,P(4,-2)分别代入，得解得所以直线PB的解析式为.又直线OD的解析式为所以直线PB∥OD.设直线OP的解析式为，把P(4,-2)代入，得解得.如果OP∥BD，那么四边形OPBD为平行四边形.设直线BD的解析式为，将B(6,0)代入，得0=，所以所以直线BD的解析式为，解方程组得所以D点的坐标为（2,2）（3）符合条件的点M存在.验证如下：过点P作x轴的垂线，垂足为C，则PC=2，AC=2，由勾股定理，可得AP=4，PB=4，又AB=4，所以△APB是等边三角形，只要作∠PAB的平分线交抛物线于M点，连接PM,BM,由于AM=AM,∠PAM=∠BAM,AB=AP，可得△AMP≌△AMB。因此存在这样的点M,使△AMP≌△AMB.2.解：（1）设抛物线解析式为∵抛物线过点∴∴抛物线解析式为∵，∴（2）如图，连接BC、BM、CM，作MD⊥轴于点D∵==（3）存在这样的点Q。①当Q点在轴下方时，作QE⊥轴于点E∵AC∥PQ且AC=PQ，∴OC=EQ=3由解得：（舍）∴②当Q点在轴上方时，作QF⊥轴于点F∵AC∥PQ且AC=PQ∴Rt△OAC≌Rt△FPQ∴OC=FQ=3由解得：∴或综上，满足条件的Q点坐标为或或[来源:学,科,网Z,X,X,K]3.解：（1）如下图，∠APE=45°。（2）解法一：如图1，将AE平移到DF，连接BF，EF。图1则四边形AEFD是平行四边形。∴AD∥EF，AD=EF。∵，，∴，。∴。∵∠C=90°，∴。∴∠C=∠BDF。∴△ACD∽△BDF。∴，∠1=∠2。∴。∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°。∴BF⊥AD。∴BF⊥EF。[来源:学科网ZXXK]∴在Rt△BEF中，。∴∠APE=∠BEF=30°。解法二：如图2，将CA平移到DF，连接AF，BF，EF。图2则四边形ACDF是平行四边形。∵∠C=90°，∴四边形ACDF是矩形，∠AFD=∠CAF=90°，∠1+∠2=90°。∵在Rt△AEF中，，在Rt△BDF中，，∴。∴∠3+∠2=∠1+∠2=90°，即∠EFB=90°。∴∠AFD=∠EFB。又∵，∴△ADF∽△EBF。[来源:学§科§网]∴∠4=∠5。∵∠APE+∠4=∠3+∠5，∴∠APE=∠3=30°。