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免费重庆外国语学校中考数学二模试卷含答案解析中考数学试题网重庆外国语学校2016年中考数学二模试卷(解析版)一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应方框涂黑.1．在﹣3、0、1、﹣2四个数中，最小的数为（）A．﹣3 B．0 C．1 D．﹣22．下列交通标志中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．计算3x2o（﹣2x）3的结果是（）A．﹣18x5 B．﹣24x5 C．﹣24x6 D．﹣18x64．如图，点D、E分别是△ABC的边AB边和AC边上的点，且DE∥BC，∠AED=64°，EC是∠DEB的角平分线，则∠ECB的度数为（）A．78° B．68° C．58° D．48°5．在九龙坡区中学生初中组篮球比赛中，我校篮球队取得了全区第一名的好成绩，为了参加此次比赛，校篮球队准备购买10双运动鞋，各种尺码的统计如表所示，则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（）尺码/厘米 25 25.5 26 26.5 27购买量/双 2 4 2 1 1A．25.526 B．2625.5 C．2626 D．25.525.56．分式方程=的解是（）A．x=3 B．x=﹣1 C．x=1 D．x=﹣37．已知a﹣b=3，则代数式a2﹣b2﹣6b的值为（）A．3 B．6 C．9 D．128．5月9号重庆实验外国语学校就行了"五四表彰大会"，初三某班老师准备从包括小明在内的四名优秀团员中，随机抽取了2名学生参加表彰大会，则抽到小明的概率是（）A． B． C． D．9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则阴影部分图形的面积为（）A．4π B．2π C．π D．10．下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，…，依此规律拼成第6个图案需小木棒（）根．A．53 B．54 C．55 D．5611．已知B港口位于A观测点北偏东45°方向，且其到A观测点正北风向的距离BM的长为10km，一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行4km到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75°方向，则此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为（）km．A．8 B．9 C．6 D．712．若关于x不等式组有且只有四个整数解，且一次函数y=（k+3）x+k+5的图象不经过第三象限，则符合题意的整数k有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）13．重庆市的面积约为82400km2，这个数据用科学记数法可表示为km2．14．计算：|﹣2|﹣（1﹣）0+（）﹣1=．15．如图，E为线段AB上一点，EC∥AD，DE∥BC，若S△EBC=1，S△ADE=3，则=．16．如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，∠A=50°，∠ABC=60°，则∠ABD=．17．从A地到B地需修一条公路，该工程由甲、乙两队共同完成，甲、乙两队分别从A地、B地同时开始修路，设修路的时间为x（天），未修的路程为y（米），图中的折线表示甲乙两个工程队从开始施工到工程结束的过程中y与x之间的函数关系．已知在修路过程中，甲工程队因设备升级而停工5天，则设备升级后甲工程队每天修路比原来多米．18．如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，D、E两点分别在AC、BC上，且DE∥AB，DC=2，将△CDE绕点C顺时针旋转得到△CD′E′，如图2，点D、E对应点分别为D′、E′、D′、E′与AC相交于点M，当E′刚好落在边AB上时，△AMD′的面积为．三、解答题：解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤19．（7分）已知，如图：在矩形ABCD中，点M、N在边AD上，且AM=DN，求证：BN=CM．20．（7分）重庆市某超市举行盛大的周年庆庆祝活动，推出"感恩顾客，回馈真情"抽奖活动，活动规定，凡购买商品价值不低于200元的顾客，都能参与一次抽奖活动，奖励的等级分为下列五等：A等级：奖励现金50元，B等级：奖励现金30元；C等级：奖励现金10元；D等级：奖励现金6元；E等级：呵呵，恭喜发财，下次再来（没有奖励）！超市根据部分顾客的抽奖情况，对抽奖结果进行分析，绘制了下列两幅不完整的统计图：根据提供的信息，求扇形统计图中"D等级"所对应的圆心角度数，并求出顾客抽一次奖的平均收益，并补全条形统计图．21．（10分）化简：（1）（2a+b）2﹣（5a+b）（a﹣b）+2（a﹣b）（a+b）（2）÷（﹣x﹣1）﹣．22．（10分）已知直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数交于一象限内的P（，n），Q（4，m）两点，且tan∠BOP=：（1）求反比例函数和直线的函数表达式；（2）求△OPQ的面积．23．（10分）重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件：（1）若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在"五一"节当天开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可以在150件基础上增加m件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，求出m的值．24．（10分）定义：如果M个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个数的和整除，则称这组数为M个数的祖冲之数组．如（3，6）为两个数的祖冲之数组，因为3×6能被（3+6整除）；又如（15，30，60）为三个数的祖冲之数组，因为（15×30）能被（15+30）整除，（15×60）能被（15+60）整除，（30×60）能被（30+60）整除…（1）我们发现，3和6，4和12，5和20，6和30…，都是两个数的祖冲之数组；由此猜测n和n（n﹣1）（n≥2，n为整数）组成的数组是两个数的祖冲之数组，请证明这一猜想．（3）若（4a，5a，6a）是三个数的祖冲之数组，求满足条件的所有三位正整数a．25．（12分）中点、平行线、等腰直角三角形、等边三角形都是常见的几何图形！（1）如图1，若点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF=90°，连接AD、EF，当BC=5，FC=2时，求EF的长度；（2）如图2，若点D为等边三角形ABC边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF=90°；M为EF的中点，连接CM，当DF∥AB时，证明：3ED=2MC；（3）如图3，若点D为等边三角形ABC边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF=90°；当BE=6，CF=0.8时，直接写出EF的长度．26．（12分）如图1，抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，点D的坐标为（0，﹣1），直线AD交抛物线于另一点E，点P是第二象限抛物线上的一点，作PQ∥y轴交直线AE于Q，作PG⊥AD于G，交x轴于点H（1）求线段DE的长；（2）设d=PQ﹣PH，当d的值最大时，在直线AD上找一点K，使PK+EK的值最小，求出点K的坐标和PK+EK的最小值；（3）如图2，当d的值最大时，在x轴上取一点N，连接PN，QN，将△PNQ沿着PN翻折，点Q的对应点为Q′，在x轴上是否存在点N，使△AQQ′是等腰三角形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．2016年重庆外国语学校中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应方框涂黑.1．在﹣3、0、1、﹣2四个数中，最小的数为（）A．﹣3 B．0 C．1 D．﹣2【考点】有理数大小比较．【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得﹣3＜﹣2＜0＜1，∴在﹣3、0、1、﹣2四个数中，最小的数为﹣3．故选：A．【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．2．下列交通标志中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．3．计算3x2o（﹣2x）3的结果是（）A．﹣18x5 B．﹣24x5 C．﹣24x6 D．﹣18x6【考点】单项式乘单项式；幂的乘方与积的乘方．【分析】原式先利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘以单项式法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=3x2o（﹣8x3）=﹣24x5，故选B【点评】此题考查了单项式乘单项式，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．如图，点D、E分别是△ABC的边AB边和AC边上的点，且DE∥BC，∠AED=64°，EC是∠DEB的角平分线，则∠ECB的度数为（）A．78° B．68° C．58° D．48°【考点】平行线的性质．【分析】首先根据角平分线的定义求出∠DEC的度数，然后根据平行线的性质得到∠ECB的度数．【解答】解：∵∠AED=64°，∴∠DEB=180°﹣64°=116°，∵EC是∠DEB的角平分线，∴∠DEC=∠CEB=∠DEB=×116°=58°，∵DE∥BC，∴∠DEC=∠ECB，∴∠ECB=58°，故选C．【点评】本题考查了平行线性质，角平分线定义等知识，解题的关键是求出∠DEC=∠ECB，此题难度不大．5．在九龙坡区中学生初中组篮球比赛中，我校篮球队取得了全区第一名的好成绩，为了参加此次比赛，校篮球队准备购买10双运动鞋，各种尺码的统计如表所示，则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（）尺码/厘米 25 25.5 26 26.5 27购买量/双 2 4 2 1 1A．25.526 B．2625.5 C．2626 D．25.525.5【考点】众数；中位数．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，可得答案．【解答】解：在这一组数据中尺码为25.5的最多，有4双，故众数是25.5；排序后处于中间位置的那个数是25.5，25.5，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是25.5；故选：D．【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．6．分式方程=的解是（）A．x=3 B．x=﹣1 C．x=1 D．x=﹣3【考点】分式方程的解．【分析】方程两边同乘以x（x+1），再解整式方程即可．【解答】解：去分母得，3（x+1）=2x，去括号得，3x+3=2x，移项得，x=﹣3，检验：把x=﹣3代入x（x+1）=﹣3（﹣3+1）=6≠0，∴x=﹣3是原方程的解，故选D．【点评】本题考查了分式方程的解，掌握解分式方程的步骤，注意验根是解题的关键．7．已知a﹣b=3，则代数式a2﹣b2﹣6b的值为（）A．3 B．6 C．9 D．12【考点】完全平方公式．【分析】由a﹣b=3，得到a=b+3，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：由a﹣b=3，得到a=b+3，则原式=（b+3）2﹣b2﹣6b=b2+6b+9﹣b2﹣6b=9，故选C【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．8．5月9号重庆实验外国语学校就行了"五四表彰大会"，初三某班老师准备从包括小明在内的四名优秀团员中，随机抽取了2名学生参加表彰大会，则抽到小明的概率是（）A． B． C． D．【考点】概率公式．【分析】由初三某班老师准备从包括小明在内的四名优秀团员中，随机抽取了2名学生参加表彰大会，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵初三某班老师准备从包括小明在内的四名优秀团员中，随机抽取了2名学生参加表彰大会，∴抽到小明的概率是：=．故选A．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则阴影部分图形的面积为（）A．4π B．2π C．π D．【考点】扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理．【分析】根据垂径定理求得CE=ED=，然后由圆周角定理知∠COE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OC、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形OCB﹣S△COE+S△BED．【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=ED=，又∵∠CDB=30°，∴∠COE=2∠CDB=60°，∠OCE=30°，∴OE=CEocot60°=×=1，OC=2OE=2，∴S阴影=S扇形OCB﹣S△COE+S△BED=﹣OE×EC+BEoED=﹣+=．故选D．【点评】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．10．下列图案均是用长度相同的小木棒按一定的规律拼搭而成：拼搭第1个图案需4根小木棒，拼搭第2个图案需10根小木棒，…，依此规律拼成第6个图案需小木棒（）根．A．53 B．54 C．55 D．56【考点】规律型：图形的变化类．【分析】根据第1个图案需4根火柴，4=1×（1+3），第2个图案需10根火柴，10=2×（2+3），第3个图案需18根火柴，18=3×（3+3），得出规律第n个图案需n（n+3）根火柴，再把n=6代入即可求出答案．【解答】解：∵拼搭第1个图案需4根火柴：4=1×（1+3），拼搭第2个图案需10根火柴：10=2×（2+3），拼搭第3个图案需18根火柴，18=3×（3+3），拼搭第4个图案需28根火柴，28=4×（4+3），…，第n个图案需n（n+3）根火柴，则第6个图案需：6×（6+3）=54（根）；故选：B．【点评】本题考查规律型：图形的变化，解题的关键是从一般到特殊，找出规律，然后根据规律解决问题，属于中考常考题型．11．已知B港口位于A观测点北偏东45°方向，且其到A观测点正北风向的距离BM的长为10km，一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行4km到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75°方向，则此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为（）km．A．8 B．9 C．6 D．7【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】根据∠MAB=45°，BM=10和勾股定理求出AB的长，再根据tan∠BAD=，求出BD的长，即可得出AD以及CD的长，进而得出答案．【解答】解：∵∠MAB=45°，BM=10，∴AB===20km，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于D，在Rt△ADB中，∠BAD=∠MAC﹣∠MAB=75°﹣45°=30°，tan∠BAD==，∴AD=BD，BD2+AD2=AB2，即BD2+（BD）2=202，∴BD=10，∴AD=10，在Rt△BCH中，BD2+CD2=BC2，BC=4，∴CD=2，∴AC=AD﹣CD=10﹣2=8km，答：此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为8km．故选A．【点评】此题主要考查了解直角三角形中方向角问题，根据题意作出辅助线，构造直角三角形，求出BD的长是解题关键．12．若关于x不等式组有且只有四个整数解，且一次函数y=（k+3）x+k+5的图象不经过第三象限，则符合题意的整数k有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1【考点】一次函数与一元一次不等式．【分析】根据关于x不等式组有且只有四个整数解得出k的取值范围，再由一次函数y=（k+3）x+k+5的图象不经过第三象限得出k取值范围，再找出其公共解集即可．【解答】解：解不等式组得，＜x≤2，∵不等式组有且只有四个整数解，∴其整数解为：﹣1，0，1，2，∴﹣2≤＜﹣1，即﹣4≤k＜﹣2．∵一次函数y=（k+3）x+k+5的图象不经过第三象限，∴，解得﹣5≤k＜﹣3，∴﹣4≤k＜﹣3，∴k的整数解只有﹣4．故选D．【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，熟知"同，大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到"的原则是解答此题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）13．重庆市的面积约为82400km2，这个数据用科学记数法可表示为8.24×104km2．【考点】科学记数法-表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：82400=8.24×104，故答案为：8.24×104．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14．计算：|﹣2|﹣（1﹣）0+（）﹣1=3．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式|﹣2|﹣（1﹣）0+（）﹣1的值是多少即可．【解答】解：|﹣2|﹣（1﹣）0+（）﹣1=2﹣1+2=1+2=3故答案为：3．【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣p=（a≠0，p为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．15．如图，E为线段AB上一点，EC∥AD，DE∥BC，若S△EBC=1，S△ADE=3，则=．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】证得△ADE∽△ECB，又由S△BEC=1，S△ADE=3，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果．【解答】解：∵EC∥AD，DE∥BC，∴∠A=∠BEC，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ECB，∵S△BEC=1，S△ADE=3，∴==．故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．16．如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，∠A=50°，∠ABC=60°，则∠ABD=20°．【考点】圆周角定理．【分析】先根据圆周角定理求出∠D及∠BCD的度数，再由直角三角形的性质求出∠DBC的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD=90°．∵∠A=50°，∴∠D=∠A=50°，∴∠DBC=90°﹣50°=40°．∵∠ABC=60°，∴∠ABD=∠AABC﹣∠DBC=60°﹣40°=20°．故答案为：20°．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．17．从A地到B地需修一条公路，该工程由甲、乙两队共同完成，甲、乙两队分别从A地、B地同时开始修路，设修路的时间为x（天），未修的路程为y（米），图中的折线表示甲乙两个工程队从开始施工到工程结束的过程中y与x之间的函数关系．已知在修路过程中，甲工程队因设备升级而停工5天，则设备升级后甲工程队每天修路比原来多533米．【考点】一次函数的应用．【分析】由甲停工的5天求得乙队每天修的长度，分别根据升级前后路程的变化求得甲队每天修的长度，相减即可得．【解答】解：由题意知乙工程队每天修=120（米/天），设甲工程队升级前每天修a米，升级后每天修b米，根据题意，得：5a+5×120=3800﹣2800，解得：a=80；3b+3×120=2200，解得：b=613，b﹣a=533，即设备升级后甲工程队每天修路比原来多533米，故答案为：533．【点评】本题主要考查一次函数的图象与应用，熟练掌握工程问题里合作时的效率、时间、工作量间的关系是列方程求解得关键．18．如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，D、E两点分别在AC、BC上，且DE∥AB，DC=2，将△CDE绕点C顺时针旋转得到△CD′E′，如图2，点D、E对应点分别为D′、E′、D′、E′与AC相交于点M，当E′刚好落在边AB上时，△AMD′的面积为3﹣5．【考点】旋转的性质；等腰直角三角形．【分析】根据已知条件容易知道△EDC是等腰直角三角形，也容易求出CE，然后在Rt△ACE′解直角三角形就可以求出∠ACE，根据已知条件可以证明△D′CA∽△E′CB，确定S△AD′M=S△ACF﹣S△DCF﹣S△CD′M，然后分别求出它们的面积，利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得到结论．【解答】解：如图1，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵DE∥AB，∴∠DEC=∠DCE=45°，∠EDC=90°，∴DE=CD=2，∴CE=CE′=4，如图2，在Rt△ACE′中，∠E′AC=90°，AC=2，CE′=4，∴cos∠ACE′=∴∠ACE′=30°，∴∠D′CA=∠E′CB=15°，又==，∴△D′CA∽△E′CB，∴∠D′AC=∠B=45°，∴∠ACB=∠D′AC，∴AD′∥BC，如图②过点C作CF⊥AD′，垂足为F，∵AD′∥BC，∴CF⊥BC．∴∠FCD′=∠ACF﹣∠ACD′=30°．在Rt△ACF中，AF=CF=，∴S△ACF=3，在Rt△D′CF中，CD′=2，∠FCD′=30°，∴D′F=，∴S△D′CF=．同理，SRt△AE′C=2，SRt△D′E′C=4，∵∠AME′=∠D′MC，∠E′AM=∠CD′M，∴△AME′∽△D′MC，∴===①∴S△AE′M=S△CD′M．②∵S△EMC+S△AE′M=S△AE′C=2，③S△E′MC+S△CD′M=S△D′EC=4．由③﹣②，得S△C′DM﹣S△AE′M=4﹣2，由①，得S△CD′M=8﹣4，∴S△AD′M=S△ACF﹣S△DCF﹣S△CD′M=3﹣5．∴△AD′M的面积是3﹣5．故答案为：3﹣5．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定、面积的割补法和解直角三角形等．三、解答题：解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤19．已知，如图：在矩形ABCD中，点M、N在边AD上，且AM=DN，求证：BN=CM．【考点】矩形的性质．【分析】首先根据AM=DN得到AN=MD，再由矩形的性质得到AB=CD，∠A=∠D，进而得到△ABN≌△DCM，于是得出结论．【解答】解：∵AM=DN，∴AM+MN=MN+ND，∴AN=MD，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠D，在△ABN和△DCM中，∵，∴△ABN≌△DCM，∴BN=CM．【点评】本题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定，解答本题的关键是证明△ABN≌△DCM．20．重庆市某超市举行盛大的周年庆庆祝活动，推出"感恩顾客，回馈真情"抽奖活动，活动规定，凡购买商品价值不低于200元的顾客，都能参与一次抽奖活动，奖励的等级分为下列五等：A等级：奖励现金50元，B等级：奖励现金30元；C等级：奖励现金10元；D等级：奖励现金6元；E等级：呵呵，恭喜发财，下次再来（没有奖励）！超市根据部分顾客的抽奖情况，对抽奖结果进行分析，绘制了下列两幅不完整的统计图：根据提供的信息，求扇形统计图中"D等级"所对应的圆心角度数，并求出顾客抽一次奖的平均收益，并补全条形统计图．【考点】条形统计图；扇形统计图；加权平均数．【分析】根据A等级的人数是25，所占的百分比是6.25%，据此求得调查的总人数，利用总人数减去其它组的人数求得C组的人数，即可补全直方图，利用360°乘以对应的百分比求得D等级所对应的圆心角度数，利用加权平均数公式求得平均收益．【解答】解：超市调查的顾客的总人数是25÷6.25%=400（人），则扇形统计图中"D等级"所对应的圆心角度数是360°×=135°，C等级的人数是400﹣25﹣50﹣150﹣25=150（人）．顾客抽一次奖的平均收益是：=12.875（元）．．【点评】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．21．（10分）（2016o重庆校级二模）化简：（1）（2a+b）2﹣（5a+b）（a﹣b）+2（a﹣b）（a+b）（2）÷（﹣x﹣1）﹣．【考点】分式的混合运算；多项式乘多项式；完全平方公式；平方差公式．【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；（2）先算括号里面的，再算除法，最后算减法即可．【解答】解：（1）原式=4a2+b2+4ab﹣（5a2﹣5ab+ab﹣b2）+2（a2﹣b2）=4a2+b2+4ab﹣5a2+4ab+b2+2a2﹣2b2=a2+8ab；（2）原式=÷﹣=o﹣=﹣﹣==﹣．【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．22．（10分）（2016o重庆校级二模）已知直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数交于一象限内的P（，n），Q（4，m）两点，且tan∠BOP=：（1）求反比例函数和直线的函数表达式；（2）求△OPQ的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）过P作PC⊥y轴于C，由P（，n），得到OC=n，PC=，根据三角函数的定义得到P（，8），于是得到反比例函数的解析式为y=，Q（4，1），解方程组即可得到直线的函数表达式为y=﹣2x+9；（2）过Q作OD⊥y轴于D，于是得到S△POQ=S四边形PCDQ=．【解答】解：（1）过P作PC⊥y轴于C，∵P（，n），∴OC=n，PC=，∵tan∠BOP=，∴n=8，∴P（，8），设反比例函数的解析式为y=，∴a=4，∴反比例函数的解析式为y=，∴Q（4，1），把P（，8），Q（4，1）代入y=kx+b中得，∴，∴直线的函数表达式为y=﹣2x+9；（2）过Q作OD⊥y轴于D，则S△POQ=S四边形PCDQ=（+4）×（8﹣1）=．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，正切函数的定义，难度适中，利用数形结合是解题的关键．23．（10分）（2016o重庆校级二模）重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件：（1）若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在"五一"节当天开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可以在150件基础上增加m件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，求出m的值．【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可；（2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+m），列出方程求解即可．【解答】解：（1）设销售单价至少为x元，根据题意列方程得，150（x﹣20）=2250，解得x=35，答：销售单价至少为35元；（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+m）=5670，150+m﹣150×m%﹣m%×m=162，m﹣m2=12，60m﹣3m2=192，m2﹣20m+64=0，m1=4，m2=16，∵要使销售量尽可能大，∴m=16．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，以及一元一次不等式的应用，掌握利润的计算公式=每件利润×总销售量是解题的关键．24．（10分）（2016o重庆校级二模）定义：如果M个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个数的和整除，则称这组数为M个数的祖冲之数组．如（3，6）为两个数的祖冲之数组，因为3×6能被（3+6整除）；又如（15，30，60）为三个数的祖冲之数组，因为（15×30）能被（15+30）整除，（15×60）能被（15+60）整除，（30×60）能被（30+60）整除…（1）我们发现，3和6，4和12，5和20，6和30…，都是两个数的祖冲之数组；由此猜测n和n（n﹣1）（n≥2，n为整数）组成的数组是两个数的祖冲之数组，请证明这一猜想．（3）若（4a，5a，6a）是三个数的祖冲之数组，求满足条件的所有三位正整数a．【考点】因式分解的应用．【分析】（1）根据祖冲之数组的定义，即可解决问题．（2）首先判断出a是5，9，11的倍数，由此即可解决问题．【解答】解：（1）∵non（n﹣1）÷[n+n（n﹣1）]=n2（n﹣1）÷n2=n﹣1，∴n和n（n﹣1）（n≥2，n为整数）组成的数组是祖冲之数组．（2）∵=，=，=都是整数，∴a是5，9，11的倍数，∴满足条件的所有三位正整数a为495或990．【点评】本题考查因式分解的应用，整数等知识，解题的关键是理解题意，题目比较抽象，有一定难度．25．（12分）（2016o重庆校级二模）中点、平行线、等腰直角三角形、等边三角形都是常见的几何图形！（1）如图1，若点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF=90°，连接AD、EF，当BC=5，FC=2时，求EF的长度；（2）如图2，若点D为等边三角形ABC边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF=90°；M为EF的中点，连接CM，当DF∥AB时，证明：3ED=2MC；（3）如图3，若点D为等边三角形ABC边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF=90°；当BE=6，CF=0.8时，直接写出EF的长度．【考点】三角形综合题；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，证得△ADE≌△CDF，根据全等三角形对应边相等，求得AE=CF=2，最后在在Rt△AEF中根据勾股定理求得EF的长；（2）先设等边三角形边长为2，在Rt△BDE中求得DE的长，再根据CM垂直平分DF，在Rt△CDN中求得CN，在Rt△MND中求得MN的长，最后根据CM与DE的长度之比求得3ED=2MC；（3）先延长FD至G，使得FD=FG，连接EG，BG，过E作EH⊥BG于点H，根据△BDG≌△CDF得到BG=CF=0.8，进而在Rt△BEH中求得HE，在Rt△EHG中求得EG，最后根据ED垂直平分FG，即可得出EF的长度．【解答】解：（1）如图1∵点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点∴AD⊥BC，AD=BC=CD=，∠DAE=∠C=45°∴AC=CD=5又∵∠EDF=90°，FC=2∴∠ADE=∠CDF，AF=5﹣2=3在△ADE和△CDF中∴△ADE≌△CDF（ASA）∴AE=CF=2∴在Rt△AEF中，EF==（2）设等边三角形边长为2，则BD=CD=1∵等边三角形ABC中，DF∥AB∴∠FDC=∠B=60°∵∠EDF=90°∴∠BDE=30°∴DE⊥BE∴BE=，DE=如图2，连接DM，则Rt△DEF中，DM=EF=FM∵∠FDC=∠FCD=60°∴△CDF是等边三角形∴CD=CF=1∴CM垂直平分DF∴∠DCN=30°∴Rt△CDN中，DN=，CN=，DF=1∴在Rt△DEF中，EF==∵M为EF的中点∴FM=DM=∴Rt△MND中，MN==∴CM=+=∴==∴3ED=2MC（3）如图3，延长FD至G，使得FD=DG，连接EG，BG，则ED垂直平分FG，故EF=EG∴由BD=CD，∠BDG=∠CDF，DF=DG可得：△BDG≌△CDF∴∠GBD=∠C=60°，BG=CF=0.8∴∠EBG=60°+60°=120°∴∠EBH=60°过E作EH⊥BG于点H，则BH=BE=3∴Rt△BEH中，HE==3∴Rt△EHG中，EG==∴EF的长度为【点评】本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定等．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．26．（12分）（2016o重庆校级二模）如图1，抛物线y=﹣x2﹣x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，点D的坐标为（0，﹣1），直线AD交抛物线于另一点E，点P是第二象限抛物线上的一点，作PQ∥y轴交直线AE于Q，作PG⊥AD于G，交x轴于点H（1）求线段DE的长；（2）设d=PQ﹣PH，当d的值最大时，在直线AD上找一点K，使PK+EK的值最小，求出点K的坐标和PK+EK的最小值；（3）如图2，当d的值最大时，在x轴上取一点N，连接PN，QN，将△PNQ沿着PN翻折，点Q的对应点为Q′，在x轴上是否存在点N，使△AQQ′是等腰三角形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）先求出点A坐标，求出直线AD的解析式，利用方程组求出点E坐标，利用两点间距离公式即可解决问题．（2）构建二次函数，求出d最大时点P坐标，作EM⊥PQ交PQ的延长线于M，作KN⊥EM于N．只要证明PM就是PK+EK的最小值即可解决问题．（3）分四种情形①如图2中，当Q′Q=AQ′时，∠Q′PQ=∠Q′PA=30°，∠NPE=∠NPQ′=15°，连接PA，在PF上取一点E，使得PE=EN．设FN=x，则PE=EN=2x，EF=x，列出方程求解即可．②如图3中，当N与A重合时△AQQ′是等腰三角形．此时N（，0）．③如图4中，当N与B重合时，△AQQ′是等腰三角形，此时N（﹣3，0）．④如图5中，当Q′Q=Q′A，易知∠PNF=∠PQQ′=∠PQ′Q=15°，在FN上取一点E，使得PE=BE．在Rt△PEF中解直角三角形即可解决问题．【解答】解：（1）对于抛物线y=﹣x2﹣x+3，令y=0，得﹣x2﹣x+3=0，解得x=﹣3或，∴A（，0），B（﹣3，0），∵D（0，﹣1），设直线AD的解析式为y=kx+b，则有解得，∴直线AD的解析式为y=x﹣1．由解得或，∴点E坐标为（﹣4，﹣5），∴DE==8．（2）如图1中，设P（m，﹣m2﹣+3）则Q（m，m﹣1）．∵tan∠OAD==，∴∠OAD=30°，∵PG⊥AE，∴∠AGH=90°，∴∠AHG=∠PHF=60°，∴PH=，∴d=PQ﹣PH=﹣m2﹣m+3﹣×（﹣m2﹣m+3）=﹣（m+2）2+，∵﹣＜0，∴m=﹣2时，d的值最大，P（﹣2，3），作EM⊥PQ交PQ的延长线于M，作KN⊥EM于N．∵∠AEM=∠OAD=30°，∴KN=EK，QM=EQ，∴PK+EK=PK+KN≤PM，∴当K与Q重合时，PK+EK的值最小，此时K（﹣2，﹣3），最小值为8．（3）①如图2中，连接PA，在PF上取一点E，使得PE=EN．∵PF=3，AF=3，∴tan∠AFP=，∴∠PAF=30°，∠PAQ=60°，∵PF=FQ，AF⊥PQ，∴AP=AQ，∴△PAQ是等边三角形，当Q′Q=AQ′时，∠Q′PQ=∠Q′PA=30°，∠NPE=∠NPQ′=15°，∴∠NEF=30°，设FN=x，则PE=EN=2x，EF=x，∵PF=3，∴2x+x=3，∴x=6﹣3，∴OF=2﹣6+3=5﹣6，∴N（6﹣5，0）．②如图3中，当N与A重合时△AQQ′是等腰三角形．此时N（，0）．③如图4中，当N与B重合时，△AQQ′是等腰三角形，此时N（﹣3，0）．④如图5中，当Q′Q=Q′A，易知∠PNF=∠PQQ′=∠PQ′Q=15°，在FN上取一点E，使得PE=BE．在Rt△PEF中，∵PF=3，∠PEF=30°，∴PE=NE=2PF=6，EF=PF=3，∴ON=6+5，∴N（﹣6﹣5，0）．综上所述，满足条件的点N坐标为（6﹣5，0）或（，0）或（﹣3，0）或（﹣6﹣5，0）．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数、等边三角形的判定和性质、最小值问题等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用垂线段最短解决最短问题，学会分类讨论，注意不能漏解，题目比较难，属于中考压轴题．