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免费重庆市2017届中考数学一轮复习《3.5二次函数的图象和性质》讲解考点分类汇编第五节二次函数的图象和性质课标呈现指引方向1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．2．会用描点法面m二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质．3．会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴．4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．5．*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数，考点梳理夯实基础1．二次函数的概念：形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数，称为二次函数．其中，二次项系数、一次项系数、常数项分别为．【答案】a、b、c2．二次函数表达式的三种表达形式：(1)-般式：．(2)顶点式：(3)交点式：【答案】(1)y=ax2+bx+c(a≠0)(2)y=a(x-h)2+k(a≠0)(3)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)3．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质：(1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的形状是一条抛物线，顶点坐标是()．对称轴是直线.【答案】抛物线(2)顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为；对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为；经过原点的抛物线的解析式形式为.【答案】y=ax2(a≠0)y=ax2+c，(a≠0)y=ax2+bx(a≠0)(3)函数y=ax2+bx+c的增减情况：①当a>0时：当x<时，y随x的增大而；当x>时，y随x的增大而；简记为左减右增，这时，当x=时，y最小值=．【答案】减小增大②当a<0时：当x<时，y随x的增大而；当x>时，y随x的增大而；简记为左增右减，这时，当x=时，y最大值=．【答案】增大减小(4)二次函数中a、b、c在抛物线图象中的几何意义：①a决定开口方向及开口大小：当a>0时，开口向【答案】上_____；当＜0时，开口向下．越小，函数图象开口越大．＜＞②．和共同决定抛物线对称轴的位置：因为抛物线的对称轴是直线，故：当＝0时，对称轴为y轴；当和同号时，对称轴在y轴的左侧；当和异号时，对称轴在y轴的右侧，以上特点简记为左同右异．③c的大小决定抛物线与y轴交点的位置：∵当x＝0时，y＝c，∴抛物线与y轴有且只有一个交点(0，c)：c＝0，抛物线经过原点：c＞0，抛物线与y轴交于正半轴：c＜0，抛物线与y轴交于负半轴．（5）函数（）图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况：当y＝0时，即可得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数（）的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况．①当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实数根：②当二次函数的图象与戈轴有且只有一个交点时，．方程有两个相等的实数根：③当二次函数的图象与戈轴没有交点时，，方程没有实数根．（6）图象的平移：左加右减，上加下减．第一课时考点精析专项突破考点一二次函数的概念【例1】（2015重庆南开）下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是的二次函数的有__________，【答案】②⑥解题点拨：抓住三个关键点，一是最高次数为2；二是最高次项的系数不为0；三是整式．【例2】函数是二次函数，则m的值是_________．【答案】1解题点拨：注意取舍．变式：是二次函数，则m的值是－2，1，0．解题点拨：先对系数m＋2按是否为0分类讨论，再对指数按2，1，0分类讨论．考点三抛物线的对称性【例3】（2016衢州）二次函数（）图象上部分点的坐标（，）对应值列表如下： ··· －3 －2 －1 0 1 ··· ··· －3 －2 －3 －6 －11 ···则该函数图象的对称轴是（）A．直线x＝－3B．直线x＝－2C．直线x＝－1D．直线x＝0【答案】B解题点拨：抛物线的对称性的特征是对称点的纵坐标相等．考点三二次函数的增减性【例4】（1）（2016兰州）点（－1，），(3，)，(5，)均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D解题点拨：二次函数的增减性问题基本方法是画图象，再根据和对称轴的距离比较纵坐标大小．（2）（2015常州）已知二次函数，当＞l时，随的增大而增大，而m的取值范围是（D）A．m＝－1B．m＝3C．m≤－1D．m≥－1解题点拨：逆用二次函数的增减性时要注意题目中给出的范围（＞l）是否是满足条件（随的增大而增大）的所有值，而此题就不一定是所有．考点四驴抛物线与系数的关系【例5】（2016兰州）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，有以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C解题点拨：判断囹象与系数的关系通常遵循以下五个步骤：（1）开口看；（2）对称轴得；（3）y轴截距看；（4）x轴交点个数看△；（5）特殊点找、、的关系．课堂训练当堂检测（2016临沂）二次函数，自变量与函数的对应值如表： ··· －4 3 －2 －1 ··· ··· 0 －2 －2 0 ···下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．当＞－3时，随的增大而增大C．二次函数的最小值是－2D．抛物线的对称轴是直线戈【答案】D2．（2016广州）对于二次函数，下列说法正确的是（）A．当＞0时，随的增大而增大B．当＝2时，有最大值－3C．图象的顶点坐标为（－2，－7）D．图象与轴有两个交点【答案】B3．（2015育才改编）已知抛物线的顶点为D（－1，2），与轴的一个交点A在点（－3，0）和（－2，0）之间，其部分图象如图所示，则以下结论：①＜0;②＜0;③＜0；④＝2；⑤方程有两个相等的实数根．其中正确结论的是__________．【答案】③④⑤4．（2015宁夏）已知点A（，3）在抛物线的图象上，设点A关于抛物线对称轴对称的点为B．（1）求点B的坐标；（2）求∠AOB度数．解：（1）∵，∴对称轴为直线x＝，∴点A（，3）关于x＝的对称点的坐标为（，3）；（2）如图：∵A（，3）、B（，3），∴BC＝，AC＝，OC＝3,∴tan∠AOC＝，tan∠BOC＝，∴∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，∴∠AOB＝30°．中考达标模拟自测A组基础训练一、选择题1．（2016福州）已知点A（－1，m），B(1，m)，C(2，m＋1)在同一个函数图象上，这个函数图象可以是（）【答案】C2．（2016聊城）二次函数（，，为常数且≠0）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（）【答案】C3．（2016襄阳）一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（）【答案】C4．（2016荆门）若二次函数的对称轴是＝3，则关于的方程的解为（）A．＝0，＝6B．＝1，＝7C．＝1，＝－7D．＝－1，＝7【答案】D二、填空题5．（2016达州）如图，已知二次函数(≠0)的图象与轴交于点A（－1，0），与y轴的交点B在(0，－2)和（0，－1）之间（不包括这两点），对称轴为直线＝1．下列结论：①＞0；②＞0；③＜8；④＜＜；⑤＞．其中正确结论是________．【答案】①③④⑤6．（2016沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，点A（，），B（，）是该二次函数图象上的两点，其中－3≤?≤0，则下列结论①?；②?；③的最小值是－3；④的最小值是－4，中正确的是________．【答案】④7．（2016黄石）以为自变量的二次函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是_______．【答案】三、解答题8．已知抛物线与轴交于点A，点B的纵坐标是－5．且横坐标为负数．（1）求点A、B的坐标；（2）若点P是抛物线的对称轴上一点，求PA＋PB的最小值．解：（1）A(0，3)，B(－2，－5)．（2）．9．（2016黄冈）如图，抛物线与轴交于点A，点B，与轴交于点C，点D与点C关于轴对称，点P是轴上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．（1）求点A、点B、点C的坐标；（2）求直线BD的解析式；（3）当点P在线段QB上运动时，试探究m为何值时，四边形OMBQ的面积随m的增大而增大．解：(1)当x＝0时，，∴C(0，2)，当＝0时，解得＝－1，＝4．∴A（－1，0），B(4，0)．第9题（2）∵点D与点C关于轴对称，∴D(0，－2)．设直线BD为，把B(4，0)代入，得0＝4－2∴＝．∴BD的解析式为．（3）∵P(m，0)，∴M(m，),，Q(m，)当P在线段OB上运动时．QM＝（）－（）＝∴＝·OB·QM＝＝∴当0?m≤1时，四边形OMBQ的面积随m的增大而增大．B组提高练习10．（2016资阳）已知二次函数与轴只有一个交点，且图象过A（，m）、B（＋n，m）两点，则m、n的关系为（）2·1·c·n·j·yA．B．CD．【答案】D（提示：抛物线与轴只有一个交点，∴当时，＝0．且＝0，即．又∵点A(，m)，B(＋n，m)，∴点A、B关于直线对称，∴A（，m），B（,m），将A点坐标代入抛物线解析式，得m＝，即m＝，∵，∴，故选D．）11．（2016十堰）已知关于的二次函数的图象经过点（－2，），（－1，），（1，0），且?0?，对于以下结论：①＞0;②≤0：③对于自变量的任意一个取值，都有；其中结论错误的是________（只填写序号）【答案】②（提示：由题意二次函数图象如图所示，∴，，，∴故①正确．∵，∴,∴，又∵＝－2时，＜0，∴，∴即，∴，故②错误，故答案为②．∵，∴，，∵，∴,故③正确．)12．如图，已知点A(0，2)，B(2，2)，C（－1，－2），抛物线F:与直线＝－2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）若m＝－2，抛物线F上有两点（，），（，），且?≤－2，比较与的大小；（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．解：（1）∵抛物线F经过点C（－1，－2），∴，∴m＝－1．∴抛物线F的表达式是．（2）当m＝－2时，抛物线F的表达式是．∴当x≤－2时，随的增大而减小．∵?≤－2，∴?．（3）－2≤m≤0或2≤m≤4．第二课时考点精析专项突破待定系数法求二次函数的解析式【例6】（1）（2016河南）已知A(0，3)，B(2，3)是抛物线上两点，该抛物线的函数表达式是．解题点拨：把A、B的坐标代入函数解析式，即可得出方程组，求出方程组的解，即可得出解析式．（2）已知某抛物线的顶点为（－1，4），且过点（1，0），求该抛物线的函数表达式，解题点拨：设顶点式，代点解方程得答案．解：．（3）已知抛物线与轴交于A（－4，0）、B（1，0）两点，在轴上的截距为－4，求该抛物线的函数表达式．解题点拨：设交点式，代点解方程得答案．解：．考点六抛物线与图形变换【例7】（2016滨州）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线，则原抛物线的解析式是（）A．B．C．D．【答案】A解题点拨：平移问题按照"左加右减，上加下减"解题：旋转问题常从顶点坐标和开口方向入手．考点七二次函数的最值问题【例8】（1）（2016兰州）二次函数的最小值是－7．解题点拨：解法一：背公式．解法二：化为顶点式．（2）【原创】二次函数的最大值是．解题点拨：交点式的标准形式中的系数为1．交点式求最值一般先求对称轴，再代求．考点八二次函数的交点问题【例9】（2016滨州）抛物线与坐标轴的交点个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C解题点拨：按、轴分类讨论．【例10】如图，抛物线与直线交于A、B两点，其中点A在轴上，点B坐标为（－4，－5）．（1）求当为何值时；（2）求抛物线的解析式．解题点拨：(1)将不等式问题转化为图象问题；(2)用待定系数法求解析式．解：（1）＜－4或x＞0．（2）∵直线交于A、B两点，其中点A在轴上，∴A(0，－3)，∵B(－4，－5)，∴∴∴抛物线解析式为．课堂训练当堂检测1．（2016泰安）将抛物线向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为（）A．B．C．D．【答案】B2．（2016青岛）已知二次函数与正比例函数的图象只有一个交点，则c的值为（）A．0B．C．D．3【答案】C3．将二次函数配成顶点式为______________，它的图象开口向______，对称轴是直线_______，顶点坐标为________，当戈________时，随的增大而减小，当_______时，有最小值，是________．【答案】；上；x＝－3；(－3，－5)；≤－3；＝－3；－54．根据下列条件，选择恰当的方法求二次函数解析式．（1）函数有最小值－8，且：：＝1：2：（－3）；（2）函数有最大值2，且过点A（－1，0）、B(3，0)；（3）当＞－2时随增大而增大；当＜－2时，随增大而减小，且图象过点(2，4)，与轴的交点为（0，－2）．解：（1）；（2）；（3）．中考达标模拟自测A组基础训练一、选择题1．（2016山西）将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（）A．B．C．D．【答案】D2．二次函数化为的形式，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】B3．（2016绍兴）抛物线（其中，是常数）过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y＝0（1≤≤3）有交点，则的值不可能是（）A．4B．6C．8D．10【答案】A4．（2016南宁）二次函数(≠0)和正比例函数的图象如图所示，则方程(≠0)的两根之积（）A．大于0B．等于0C．小于0D．不能确定【答案】C二、填空题5．（2016大连）如图，抛物线与轴相交于点A、B(m＋2，0)与轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，)，则点A的坐标是________．【答案】（－2，0）6．（2016荆州）若函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为____________．【答案】－1或2或17．抛物线与的正半轴交于点A，与轴交于点B，第四象限的点C在抛物线上，则△ABC面积的最大值是________．2-1-c-n-j-y【答案】三、解答题8．我们规定：若m＝(，)，n＝(，)，则＝a．如m＝(1，2)，n＝(3，5)，则＝1x3＋2x5＝13．（1）已知m＝(2，4)，n：（2，－3），求；（2）已知m＝（，1），n＝（，），求,，问的函数图象与一次函数的图象是否相交，请说明理由．解：（1）∵m＝(2，4)，n＝（2，－3），∴＝2x2＋4x(－3)＝－8;（2）∵m＝（，1），n＝（，），∴＝∴联立方程：化简得：∵．∴方程无实数根，两函数图象无交点．9．(2015中山)如图,二次函数的图像与x轴交于A（-3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图像上的一对对称点，一次函数的图像过点B、D．（1）求二次函数解析式；（2）根据图像直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；（3）若直线与y轴的交点为E，连结AD、AE，求△ADE的面积．解：（1）设二次函数的解析式为，a、b、c常数）．由题意得，解得所以二次函数的解析式为；（2）如图，以次函数值大于函数值的x的取值范围是或．（3）∵对称轴：x=-1，∴D（-2，3）；设直线BD：，代入B（1，0），D（-2，3）；解得直线BD：把x=0代入求得E（0，1）．∴OE=1又∵AB=4，∴B组提高次练习10．（2016泸州）已知二次函数的图像的顶点在第四象限，且过点（-1，0），当为整数时，ab的值为（）A．或1B．或1C．或D．或〖答案〗A（提示：依题意知，，，故，且，，于是，∴，又为整数，∴，0，1，故，1，，，1，，∴或1．故选A．11．（2016荷泽）如图，一端抛物线：记为，它与x轴交于两点O，；将绕旋转180°得到，交x轴于；将绕旋转180°得到交x轴于；…如此进行下去，直至得到，若点P（11，m）在第6段抛物线上，则m=．〖答案〗-1（提示：∵，∴配方可得，∴顶点坐标为（1，1），∴坐标为（2，0），∵由旋转得到，∴，即顶点坐标为（5，1），；顶点坐标为（7，-1），（8，0）；顶点坐标为（9，1），（10，0）；顶点坐标为（11，-1），（12，0）；；m=-1．）12．（2016舟山）二次函数，当，且mn<0时，y的最小值为2m，最大值为2n，求m+n的值．解：二次函数的大致图像如右：①当时，则当时y取最小值，即2m=-，解得：m=-2．当x=n时y取最大值，即2n=．解得：n=2或n=-2（均不合题意，舍去）；②当时，则当x=m时y取最小值，即2m=，解得：m=-2，当x=1时y最大值，即2n=-，解得：n=，所以m+n=-2+=．第三课时考点精析，专项突破考点九二次函数与面积【例11】如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．（1）该抛物线的解析式为：；（2）=；（3）点D是该抛物线位于第一象限部分上的一点．则的面积最大值为：，此时点D的坐标为：．〖答案〗（1）；（2）2（3）；（，）解题点拨：①在函数问题中，当点的坐标未知（如本题的点D）时，通常可以先用字母设出点的坐标，然后利用坐标表示出线段的长度，进而再利用几何知识解决问题；②对于不能直接表示的面积要学会灵活应用割补法．【例12】（2016乐山改编）在直角坐标系xoy中，A（0，2）、B（-1，0），将经过旋转、翻折、平移变化后得到如图所示的．（1）则经过A、B、C三点的抛物线的解析式为：；（2）连结AC，点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点，若直线PC将的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标；（3）现将、分别向下、向左以相同的速度同时平移，且与重叠部分的图形是三角形时t的取值范围，并求此时重叠部分的面积．〖答案〗解题点拨：①面积关系问题根据条件情况往往有这两种处理方法：其一，首先分别表示出它们的面积再利用方程求解；其二，把它们的面积关系转化为线段关系，再借助坐标把线段关系转化为方程；②注意考虑分类讨论；③学有余力的同学第（3）问还可以自主探索重叠部分不是三角形时的重叠部分面积．解：（1）．（2）如图1所示，设直线PC与直线AB交于点E．∵直线PC将的面积分成1：3两部分，∴或．过E作EF⊥OB于点F，则EF∥OA．∴△BEF∽△BAO，∴．∴当时，∴EF=,BF=,∴E(－,)设直线PC解析式为，则可求得解析式为∴，∴，（舍去）∴当时，E(－,)同理可得（3）当时，与重叠部分为三角形如图2，设与重叠部分的面积为为S．可由已知求出的解析式为，与x轴交点坐标为H（，0）．与的交点G，且G（1－t，4-3t）∴，∴课堂训练当堂检测1．抛物线与坐标轴的交点个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C2．若，则二次函数的图像的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D3．已知二次函数的顶点为P，其图像与x轴交于A、B两点，则=．【答案】84．（2016安徽改编）如图，二次函数的图像经过点A（2，m）与B（n，0）（n＞0）（1）则m=，n=；（2）点C是该二次函数图像上A、B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．【答案】（1）4，6（2）解：（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2，0），连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F；；则S=＋＋=4＋＋=∴S关于x的函数表达式为S=（2＜x＜6＝∵S==∴当x=4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．中考达标模拟自测A组基础训练一、选择题1．抛物线与y轴的交点坐标为（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，0）D．（2，0）【答案】A2．已知二次函数，当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．m=－1B．m=3C．m≤－1D．m≥－1【答案】A3．（2016重庆育才）已知抛物线，当a＞0，b＜0时，它的图像经过（）A．一、二、三象限；B．一、二、四象限；C．一、三、四象限；D．一、二、三、四象限【答案】B4．若抛物线的对称轴过点（2，0），则关于x的方程的解为（）A．，B．，C．，D．，【答案】D二、填空题5．抛物线的顶点坐标为．【答案】（1，-4）6．（2016天津模拟）如果抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，则=．【答案】247．（2016长春）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为．【答案】15三、解答题8．如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点．若P是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E点，连接AE，CE．设△AEC的面积为S,求S的最大值．解：易得：A（-1，0），B（4，0），C（3，4）设P（m，-m-1），则E（m，）∵P是线段AC上的一个动点（不与A，C重合）∴，∴PE=，∴==当m=1时，S=89．（2016重庆一中改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y交于点C，且OC=2OA．抛物线的对称轴为直线x=3，且与x轴相交于点D．（1）该抛物线的解析式为．（2）点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，设点P的横坐标为m．是否存在点P，使得？若存在，求出此时m的值．【答案】（1）（2）过点P作PQ∥y轴交直线CD于Q，∵直线x=3与x轴交于D，∴D（3，0）∴直线CD：∵，∴P（m，）∵PQ∥y轴，∴Q（m，）∵，∴=又∵，∴，解得m=4或．B组提高练习10．（2016济南模拟）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为-2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论：①b＞0；②a－b＋c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c=－1，则，其中，正确的是（）A．①③B．②③C．②④D．③④【答案】D（提示：∵抛物线开口向上，∴a＞0，又∵对称轴为，∴b＜0，∴结论①不正确；∵x=－1时，y＞0，a－b＋c＞0，∴结论②不正确；∵抛物线向右平移了2个单位，∴平行四边形的底是2，∵函数的最小值是y=－2，∴平行四边形的高是2，阴影部分的面积是2×2=4，∴结论③正确；∵，c=－1，∴，∴结论④正确．综上，结论正确的是：③④．故选D． 11．（2016重庆南开中学改编）如图，矩形OABC中，OA=1，OC=2．二次函数的图像经过D、B两点．在BD下方的抛物线上有一点M，使得四边形BCDM的面积为9，则点M的坐标为．【答案】（－1，－3）（提示：设M(m，)，过M作MN⊥x轴，交BD与N，则：，，，，设直线BD的解析式为，把（1，2），（-3，0）代入，得解得，因此BD：，∴N(m，)，∴MN=，∴，又，∴，∴，∴m=－1，∴M（－，－3））12．（2016四川成都改编）如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点H．（1）则，=，=．（2）若过点H的直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式．【答案】（1），，10（2）易得A（-4，0），B（2，0），C（0，－），D(－1，－3)从面积分析知，直线l只需与边AD或BC相交，所以有两种情况：①当直线l与AD相交于点时，则，∴，∴，点（－2，－2），过点H（－1，0）和（－2，－2）的直线l的解析式为②当直线l与BC相交于点时，同理可得点（，－2），过点H（-1，0）和（，－2）的直线l的解析式为．综上所述：直线l的函数表达式为或．第四课时考点精析专项突破考点十角相等问题、线段的最值【例13】在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（－1，0），B（－3，0）两点，与y轴交于点C．（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；（3）点Q在直线BC上方的抛物线上，且点Q到直线BC的距离最远，求点Q坐标．解题点拨：角相等问题通常选择构造直角三角形，从而转化为正切值相等或相似求解；线段问题通常设定坐标转化，转化为代数式或方程求解．解：（1）二次函数的解析式是，BC所在直线解析式为．（2）由可得D（－2，1），C（0，－3），∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2，可得△OBC是等腰直角三角形∴∠OBC=45°，CB=如图，设抛物线对称轴与x轴交于点F，∴AF=AB=1，过点A作AE⊥BC于点E，∴∠AEB=90°可得BE=AE=，CE=，∴∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，∴△AEC∽△AFP，∴，∴PF=2，∴点P的坐标为（－2，2）或（－2，－2）（3）设点Q（m，n），过点Q作QH∥BC于H，并过点Q作QS∥y轴交直线BC于点S，则S点坐标为（m，－m－3）∵QS=∵点Q（m，n）在抛物线上，∴，QS=∵BO=OC，∠BOC=90°，∴∠OCB=45°∵QS∥y轴，∴∠QSH=45°，∴△QHS是等腰直角三角形；∴QH=-当时，QH有最大值，∴此时Q∴Q点的坐标为Q时，点Q到直线BC的距离最远．考点二四边形或三角形的存在性问题【例14】（2016凉山州）如图，已知抛物线经过A、B、C三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点C的距离之和最短时，则点P的坐标为；（2）点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．解题点拨：抛物线问题中涉及三角形或四边形存在性问题时，通常有两种策略：（1）应用坐标法表示出相应线段后通过方程解答；（2）灵活应用相关几何知识进行分析解题．此类题容易出现的分类讨论有：等腰三角形哪两边相等的讨论，直角三角形直角顶点的讨论，平行四边形哪两边是邻边的讨论等．【答案】（1）（1，－2）（2）如图所示：抛物线的对称轴为：，设M（1，m），已知A（－1，0）、C（0，－3），则：，，；①若MA=MC，则，得：，解得：m=1；②若MA=AC，则，得：，得；③若MC=AC，则，得：，得：，；当m=－6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M点的坐标为M（1，）、（1，－）、（1，－1）、（1，0）课堂训练当堂检测1．（2016重庆八中）二次函数的最大值为（）A．－4B．2C．0D．4【答案】D2．（2015泸州）若二次函数的图像经过点（2，0），且其对称轴为x=1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（）A．x＜－4或x＞2B．－4≤x≤2C．x≤－4或x≥2D．－4＜x＜2【答案】D3．（2016重庆外语校）的顶点坐标为．【答案】（1，3）4．（2016上海改编）如图，抛物线经过点A（4，－5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．（1）求出这条抛物线的表达式及四边形ABCD的面积；（2）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．解：(1)抛物线的表达式为y=x2-4x-5，S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=18．(2)过点C作CH⊥AB，垂足为点H．∵S△ABC=×AB×CH=10，AB=，∴CH=2在Rt△BCH中，∠BHC=90°,BC=，BH==3，∴tan∠CBH=．∵在Rt△BOE中，=90°，tan∠BＯE=，∵∠BEO=∠ABC，∴，得EO=，∴点E的坐标为(０，)．中考达标模拟自测A组基础训练一、选择题1．（2015甘孜）二次函数y=x2+4x-5的图象的对称轴为()A．x=4B．x=-4C．x=2D．x=-2【答案】Ｄ2．（2016重庆巴蜀）将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（）A．y=（x-2）2+1B．y=x2－lC．y=（x+2）2+1D．y=x2+3【答案】C3．（2015台州）设二次函数y=（x-3）2－4图象的对称轴为直线ｌ,点M在直线ｌ上，则点M的坐标可能是（）A．(1，0)B．(3，0)C．（-3，0）D．（0，-4）【答案】B4．（2015盘锦）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则下列结论：①a，b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能为0．其中正确的个数是A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B5．已知抛物线过A（-1，0）、B(3，0)，与y轴交于点C，且BC=3．则抛物线的解析式为()A．y=x2-2x-3B．y=-x2+2x+3C.y=x2-2x-3或y=-x2+2x+3D.y=x2+2x-3或y=-x2+2x+3【答案】C二、填空题6．（2015河北）已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=1，且经过点P(3，0)，则a-b+c的值为．【答案】07．（2016梅州改编）如图，抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C，点D(O，1)，点P是抛物线上的动点，若△PCD是以CD为底的等腰三角形，点P的个数是．【答案】28．（2016襄阳改编）如图，A点在x轴上，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C，顶点为D的抛物线：y=一+4x+3过A、B、C三点.设抛物线的对称轴交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，则点P的坐标为.【答案】（3，）三、解答题9．（2015重庆南开）如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知A（-1，0）、B(3，0).(1)求抛物线及直线BC的解析式；(2)直线BC与抛物线的对称轴交于点D，M为抛物线上一动点，点N在x轴上，若以点D、A、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求出所有满足条件的点M的坐标.解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于A、B两点，∴解得，∴抛物线解析式为y=-2x2+4x+6．令x=0，有y=6，∴C(0，6)设直线BC的解析式为y=kx+6故3k+6=0解得k=-2∴直线BC的解析式为y=-2x+6．(2)∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴D(1，4)若AN为平行四边形的边，则DM//AN，故yM=yD=4令-2x2+4x+6=4，解得x1，2=1±，故M1（1+，4），M2（1-，4）若AN为平行四边形的对角线，则yM+yD=0，故yM=-4令一2x2+4x+6=-4，解得x1，2=1±，故M3（1+，-4）,M4（1-，-4）综上，满足条件的M有4个：M1（1+，4），M2（1-，4），M3（1+，-4），M4（1-，-4）B组提高练习10．（2016宁波改编）如图，已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴l上的一个动点，则PA+PC的最小值为（）A．3B．1+2C．2+D．3【答案】Ｄ(提示：连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，设直线BC的解析式为：y=kx+b，易得：点C(O，3)，点B(3，0)∴，解得：，∴直线BC的解析式为：y=-x+3，当x=1时，y=-1+3=2，∴当点P的坐标为(1，2)时，PA+PC的值最小为3.）11．（2016山东枣庄改编）如图，已知抛物线y=-x2-2x+3与直线y=x+3经过B，C两点，点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，则使△BPC为直角三角形的点P的坐标为.【答案】P1（-1，-2），P2（-1,4），P3（-1，），P4(-1，)（提示：设P（-1，t），则PB2=4+t2，BC2=18，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10．①若B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2，即l8+4+t2=t2-6t+10．解之，得t=-2．②若C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2,即18+t2-6t+10=4+t2．解之，得t=4.③若P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2，即：4+t2+t2-6t+10=18．解之，得t1=,t2=,故答案为P1（-1，-2），P2（-1,4），P3（-1，），P4(-1，)12．（2016威海）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（-2，0），点B(4，0)，点D(2，4)，与y轴交于点C，作直线BC,连接AC．CD．(1)求抛物线的函数表达式；(2)E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标；(3)点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长.解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（-2，0），点B(4，0)，点D(2，4)，∴设抛物线解析式为y=a(x+2)（x-4），∴-8a=4，∴a=-，∴抛物线解析式为y=-(x+2)（x-4）=-x2+x+4；(2)如图1，①点E在直线CD上方的抛物线上，记E′,连接CE′，过E′作E′F′⊥CD，垂足为F′，由(1)知，OC=4，∵∠ACO=∠E′CF′．∴tan∠ACO=tan∠E′CF′．∴，设线段E′F′=h，则CF′=2h，∴点E′（2h，h+4）∵点E′在抛物线上，∴-(2h)2+2h+4=h+4，∴h=0（舍），h=∴E′(1，)，②点E在直线CD下方的抛物线上，记E，同①的方法得，E(3，)，∴当∠ECD=∠ACO时，点E的坐标为(1，)，(3，)．(3)①CM为菱形的边，如图2，在第一象限内取点P′，过点p′作P′N′∥y轴，交BC于N′，过点P′作P′M′∥BC，交y轴于M′，∴四边形CM′P′N′是平行四边形，∴四边形CM′P′Ⅳ′是菱形，∴P′M′=P′N′．过点P′作P′Q′⊥y轴，垂足为Q′,∵OC=OB,∠BOC=90°,∴∠OCB=45°,∴∠P′M′C=45°,设点P'(m，-m2+m+4)，在Rt△P′M′Q′中，P′Q=m，P′M′=m，∵B(4，0)，C(0，4)，∴直线BC的解析式为y=-x+4,∵P′N′∥y轴，∴N′（m，-m+4），∴P′N′=-m2+m+4-(-m+4)=-m2+2m，∴m=-m2+2m,∴m=0（舍）或m=4-2，菱形CM′P′N′的边长为（4-2）=4一4．②CM为菱形的对角线，如图3，在第一象限内抛物线上取点P,过点P作PM∥BC,交y轴于点M，连接CP，过点M作MN∥CP，交BC于N，∴四边彤CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q，∵四边形CPMN是菱形，∴PQ⊥CM，∠PCQ=∠NCQ，∵∠OCB=45°．∴∠NCQ=45°，∴∠PCQ=45°，∴∠CPQ=∠PCQ=45°，∴PQ=CQ，设点P(n，-n2+n+4)，∴CQ=n，OQ=n+4，∴n+4=-n2+n+4，∴n=0（舍），∴此种情况不存在．∴菱形的边长为4-4．