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免费重庆市2017届中考数学一轮复习《5.2平移和旋转》讲解含考点分类汇编第二节平移和旋转课标呈现指引方向1．图形的平移（1）通过具体实例认识平移，探索它的基本性质：一个图形和它经过平移所得到的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一直线上）且相等．（2）认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用．（3）运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计．2．图形的旋转通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转．探索它的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等．考点梳理夯实基础1．图形的平移（1）定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．确定平移的两大要素是方向和距离．（2）性质：①经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等．②平移改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．2．图形的旋转（1）定义：在平面内，将一个图形绕着某点按顺时针或逆时针方向转动一定的角度，这样的图形运动称为旋转，这个点定叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角．确定旋转的三大要素是旋转中心、旋转方向、旋转角．（2）性质：①图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度．任意一对对应点与旋转中心的连线所称的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．②旋转改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．考点精析专项突破考点一图形的平移【例1】（2016青岛）如图，线段AB经过平移得到线段,其中点A，B的对应点分别为，，这四个点都在格点上．若线段AB上有一个点P（a，b），则点P在上的对应点的坐标为（A）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）解题点拨：本题考查了坐标与图形的平移变化，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移过程中，点的坐标变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．本题根据点A、B平移后横、纵坐标的变化可得到线段AB向左平移了2个单位，向上平移了3个单位，然后再根据平移过程中点的坐标变化规律即可得到答案．【例2】（2015镇江）如图，△ABC和△DBC是两个具有公共边的全等三角形，AB=AC=3cm，BC=2cm．将△DBC沿射线BC平移一定的距离得到△D1B1C1，连接AC1，BD1．如果四边形ABD1C1是矩形，那么平移的距离为7cm．解题点拨：本题考查了平移的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，三角形相似的判定和性质，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．过D1作D1E⊥BC1于E点，由△D1EC1∽△BD1C1即可得出BC1=9，进而得出答案．考点二图形的旋转【例3】（2016孝感）将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若AB=2，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点的坐标为（C）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）解题点拨：本题考查了旋转的性质、特殊锐角三角函数值得应用，先根据题意画出点的位置，然后过点作于C，接下来依据旋转的定义和性质可得到的长和的度数，最后依据特殊锐角三角函数值求解即可．得到是解本题的关键．【例4】（2015黄石）在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△．（1）如图1，若，，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①；②；（2）如图2，若△AOB为任意三角形，且，CD∥AB，与交于点E，猜想是否成立？请说明理由．解题点拨：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．熟练掌握旋转的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．解：（1）证明：①∵△OCD旋转到△，∴，，．∵，C，D分别为OA，OB的中点，∴，∴．在△和△中：，∴△≌△（SAS），∴．②延长交于E，交BO于F，如图1所示，∵△≌△，∴，又，，∴，∴，∴．（2）成立，理由如下：如图2所示，∵△OCD旋转到△，∴，，．∵CD∥AB，∴，∴，∴．又，∴△∽△，∴．又，∴．课堂训练当堂检测1．（2015泰安）如图，在平面直角坐标系中，正△OAB的顶点B的坐标为（2，0），点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△的位置，此时点的横坐标为3，则点的坐标为（）A．（4，）B．（3，）C．（4，）D．（3，）【答案】A2．（2015枣庄）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（）A．B．C．D．【答案】D3．（2016自贡）如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段BC扫过的面积为cm．【答案】164．（2016巴中）如图，方格中，每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．（1）画出将△ABC向右平移2个单位得到的△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；（3）求△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积．解：（1）如图，△A1B1C1为所求；（2）如图，△A2B2C2为所求；（3）B2C2与A1B1相交于点E，B2A2与A1B1相交于点F，如图．∵B2（0，1），C2（2，3），B1（1，0），A1（2，5），A2（5，0），∴直线A1B1为，直线B2C2为，直线A2B2为，由解得，∴点E（，）．由解得，∴点E（，）．过F作轴的垂线交B2C2于G点，易得G（，），进而易得△B2EF的面积为．∴△A1B1C1与△A2B2C2重合部分的面积为．中考达标模拟自测A组基础训练一、选择题1．（2016菏泽）如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则的值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】A2．（2016济宁）将△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是（）A．16cmB．18cmC．20cmD．21cm【答案】C3．（2016宜宾）如图，在△ABC中，，，，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、D两点间的距离为（）A．B．C．D．【答案】A4．（2016河南）如图，已知菱形OABC的顶点O（，），B（，），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，0）D．（0，）【答案】B二、填空题5．（2016广安）将点A（1，）沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移5个单位长度后得到点的坐标为．【答案】（，）6．（2016重庆南开）如图，在△ABC中，，，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC．当点B的对应点D恰好落在AC上时，．【答案】50°7．（2016枣庄）如图，在△ABC中，，，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△的位置，连接，则．【答案】三、解答题8．（2015巴中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC（顶点是网格线的交点）．（1）先将△ABC竖直向上平移6个单位，再水平向右平移3个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（2）将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°，得到△A2B1C2，请画出△A2B1C2；（3）求线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积．解：（1）（2）如图：（3）∵BC=3，∴线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为：．9．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．（1）如图①，当时，求证：CD=2AF；（2）当时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．解：（1）证明：如图①，∵，，∴．在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴CD=BE．∵在Rt△ABE中，F为BE的中点，∴BE=2AF，∴CD=2AF．（2）成立．证明：如图②，延长EA交BC于G，在AG上截取AH=AD，连接BH．∵，∴．∵，∴．在△ABH与△ACD中，，∴△ABH≌△ACD（SAS），∴BH=DC．∵AD=AE，AH=AD，∴AE=AH．∵EF=FB，∴BH=2AF，∴CD=2AF．B组提高练习10．（2016无锡）如图，在Rt△ABC中，，，，将△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取B1B的中点D，连接A1D，则A1D的长度是（）A．B．C．D．【答案】A（提示：首先证明△ACA1、△BCB1是等边三角形，推出△A1BD是直角三角形即可解决问题）11．（2015潜江）已知，正方形ABCD绕点A旋转．（1）当正方形ABCD旋转到的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，如图1，若BM=DN，则线段MN与之间的数量关系是；（2）如图2，若，请判断（1）中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．证明：（1）如图1，若BM=DN，则线段MN与之间的数量关系是．理由如下：在△ADN与△ABM中，，∴△ADN≌△ABM（SAS），∴AN=AM，．∵，，∴．作AE⊥MN于E，则MN=2NE，∠NAE=∠MAN=67.5°.在△ADN与△AEN中，∴△ADN~△AEN(AAS)，∴DN=EN．∵BM=DN，MN=2EN，∴MN=BM+DN.(2)如图2，若BM≠DN，①中的数量关系仍成立．理由如下：延长NC到点P，使DP=BM，连结AP.∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD,∠ABM=∠ADC=90°.在△ABM与△ADP中．∴△ABM≌△ADP(SAS)，∴AM=AP，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠4=90°，∴∠3+∠4=90°，∵∠MAN=135°，∴∠PAN=360°-∠MAN-(∠3+∠4)=360°-135°-90°=135°.在△ANM与△ANP中．∴△ANM≌△ANP(SAS)，∴MN=PN．∵PN=DP+DN=BM+DN,∴MN=BM+DN.