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免费重庆市2017届中考数学一轮复习《4.4等腰三角形》讲解考点分类汇编第四节等腰三角形课标呈现指引方向1．了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。2．探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。3．探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。4．理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。考点梳理夯实基础1．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两底角，简称为"等边对"【答案】相等等角（2）等腰三角形的顶角的平分线、底边的中线、底边上的高线；【答案】三线合一（3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是．【答案】底边的垂直平分线2．等腰三角形的判定（1）有两边相等的三角形是等腰三角形；（2）如果一个三角形有相等，那么这个三角形是等腰三角形，简称为"等角对"．【答案】两角等边3．等边三角形的性质（1）等边三角形的三个内角都，且都等于．【答案】相等60°（2）等边三角形的每条边上都有；【答案】三线合一（3）等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有条．【答案】34．等边三角形的判定（1）相等的三角形是等边三角形；【答案】三边（2）有两个角是的三角形是等边三角形；【答案】60°（3）有一个角为的等腰三角形是等边三角形．【答案】60°5．角平分线的性质和判定（1）性质：角平分线上的点到角两边的．【答案】距离相等（2）判定：到角两边距离相等的点在这个角的．【答案】角平分线上6．线段的垂直平分线的性质和判定定理（1）性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离．【答案】相等（2）判定：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．考点精析专项突破考点一等腰三角形的性质和判定【例1】（1）（2016泰安）如图，在△PAB中，PA＝PB，M、N、K分别是边PA、PB、AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°【答案】D解题点拨：通过题中所给的条件AM＝BK，BN＝AK，以及由PA＝PB，可证∠A＝∠B所以△AKM≌△BNK，得到对应角相等，再利用外角等于不相邻的两个内角和，便可求出∠A与∠MKN相等，最后由三角形的内角和求出∠P的度数．（2）（2015巴中）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD、AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H，并延长交AB于点F，连接DH，则线段DH的长为．【答案】1解题点拨：由全等三角形的知识可证得△AFC是等腰三角形，所以H为FC中点，再由已知条件可得DH为△CBF的中位线，利用中位线的性质即可求出线段DH的长．考点二等边三角形的性质与判定【例2】如图，D是等边△ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE＝DA，连接DE交AC于F，过D点作DG⊥AC于G点．（1）证明：AG＝AD;（2）证明：GF＝FC＋AG．解题点拨：本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．全等三角形是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵DG⊥AC，∴∠AGD＝90°，∵∠ADG＝30°，∴AG＝AD；（2）过点D作DH∥BC交AC于点H，∴∠ADH＝∠B，∠AHD＝∠ACB，∠FDH＝∠E，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝∠A＝60°，∴∠A＝∠ADH＝∠AHD＝60°，∴△ADH是等边三角形，∴DH＝AD，∵AD＝CE∴DH＝CE在△DHF和△ECF中，，∴△DHF≌△ECF（AAS），∴HF＝FC，又∵AG＝GH∴GF＝GH＋HF＝AG＋FC．课堂训练当堂检测1．（2016安顺）已知实数x、y满足，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对【答案】B2．（2016武汉）平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）www-2-1-cnjy-comA．5    B．6    C．7    D．8【答案】A3．（2016达州）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形APBQ的面积为．【答案】24＋934．（2016菏泽）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．21教育网（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，①求证：AD＝BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE＝2CM＋BN．解：（1）①证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，∴AC＝BC，CD＝CE．∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED，∴∠ACB＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE．【版权所有：21教育】②解：由①得△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE．在△ABE中，∠AEB＝180°―∠EAB―∠ABE＝180°―∠EAB―∠ABC－∠CBE＝180°―∠EAB―∠ABC－∠CAD＝180°―∠CAB－∠ABC＝180°－50°－50°＝80°．（2）证明：在等腰△DCE中，∵CD＝CE，∠DCE＝120°，CM⊥DE，∴∠DCM＝∠DCE＝60°，DM＝EM．在Rt△CDM中，DM＝CM·tan∠DCM＝CM·tan60°＝CM，∴DE＝2CM．由（1）中②，得∠AEB＝180°―∠CAB－∠ABC＝180°―(180°－120°)＝120°，∴∠BEN＝60°．在Rt△BEN中，sin∠BEN＝，∴BE＝BN÷sin60°＝BN．由（1）中①知AD＝BE，∴AD＝BN．∴AE＝DE＋AD＝2CM＋BN，即AE＝2CM＋BN．中考达标模拟自测A组基础训练一、选择题1．（2016荆门）)如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为()A．5B．6C．8D．10【答案】C2．（2016黄石）如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝（）A．50° B．100° C．120° D．130°【答案】B．3．（2016荆门）已知3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为()A．7B．10C．11D．10或11【答案】D4．（2016扬州）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是()A．6B．3C．2.5D．2【答案】C二、填空题5．（2016资阳）如图，在3×3的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，从C、D、E、F四点中任取一点，与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是．【答案】6．（2016乐山）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝．【答案】15°7．（2015南通）如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝．【答案】52°三、解答题8．（2016贺州）如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，求∠AOB的度数．解：如图：AC与BD交于点H．∵△ACD，△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE，∴∠CAE＝∠CDB，∵∠DCH＋∠CHD＋∠BDC＝180°，∠AOH＋∠AHO＋∠CAE＝180°，∠DHC＝∠OHA，∴∠AOH＝∠DCH＝60°，∴∠AOB＝180°﹣∠AOH＝120°．9．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：BE＝CF．解：（1）连接DB、DC，∵DG⊥BC且平分BC，∴DB＝DC．∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．∠AED＝∠BED＝∠ACD＝∠DCF＝90°在Rt△DBE和Rt△DCF中，Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），∴BE＝CF．B组提高练习10．（2016内江）已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（）A．B．C．D．不能确定【答案】B．．【提示】解：如图，过点A作AG⊥BC于G，连接PA，PB，PC，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，BC＝AC＝AB．∴AG＝AB·sin60°＝3×＝∵S△ABC＝BC·PD＋AC·PE＋AB·PF＝BC·AG∴PD＋PE＋PF＝AG＝，11．（2016江西）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是．【答案】5或4或5．解：如图所示：①当AP＝AE＝5时，∵∠BAD＝90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底边PE＝AE＝5；②当PE＝AE＝5时，∵BE＝AB﹣AE＝8﹣5＝3，∠B＝90°，∴PB＝，∴底边AP＝；③当PA＝PE时，底边AE＝5；综上所述：等腰三角形AEP的对边长为5或4或5；12．（2016沈阳）在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为，点B的对应点为D，点C的对应点为E，连接BD，BE．（1）如图，当时，延长BE交AD于点F．①求证：△ABD是等边三角形；②求证：BF⊥AD，AF＝DF；③请直接写出BE的长；（2）在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE＋CE的值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．解：（1）①证明：∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE∴AB＝AD，∠BAD＝60°∴△ABD是等边三角形．②证明：由①得△ABD是等边三角形∴AB＝BD∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE∴AC＝AE，BC＝DE又∵AC＝BC∴EA＝ED∴点B，E在AD的中垂线上∴BE是AD的中垂线∵点F在BE的延长线上∴BF⊥AD，AF＝DF．③由②知BF⊥AD，AF＝DF．∴AF＝DF＝3，∵AE＝AC＝5，∴EF＝4，∵在等边三角形ABD中，BF＝AB·sin∠BAF＝6×＝3，∴BE＝BF－EF＝3－4;（2）13如图所示，∵∠DAG＝∠ACB，∠DAE＝∠BAC，∴∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝∠DAG＋∠DAE＋∠ABC＝180°，又∠DAG＋∠DAE＋∠BAE＝180°，∴∠BAE＝∠ABC，∵AC＝BC＝AE，∴∠BAC＝∠ABC，∴∠BAE＝∠BAC，∴AB⊥CE，且CH＝HE＝CE，∵AC＝BC，∴AH＝BH＝AB＝3，则DE＝2CH＝8，BE＝5，