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免费重庆市2017届中考数学一轮复习《4.2三角形及其性质》讲解考点分类汇编第二节三角形及其性质课标呈现指引方向1．理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性．2．探索并证明三角形的内角和定理：掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．3．证明三角形的任意两边之和大于第三边．考点梳理夯实基础1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相连接所组成的图形是三角形2．三角形的分类按边分类按角分类3．三角形的性质(1)角的关系三角形的内角和是180°：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和：三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角．(2)边的关系三角形的任意两边之和大于第三边：三角形的任意两边之差小于第三边．(3)三角形具有稳定性．4．三角形中的重要线段名称 定义 性质角平分线 一个内角的平分线和这个角的对边相交，连接这个角顶点和交点的线段 三条角平分线交于一点，叫其内心：内心至0三边的距高相等．中线 连接一个顶点和它的对边的中点的线段． 三条中线交于三角形内部一点，叫其重心：每条中线平分三角形的面积．高 从三角形的一个顶点向它对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段． 三条高线所在的直线交于一点，叫其为垂心．中位线 三角形两边中点的连线段． 平行于第三边．等于第三边.的一半．考点精析专项突破考点一三角形的三边关系【例1】（2015佛山）各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有个．解题点拨：利用三角形三边关系进而得出符合题意的答案即可，正确分类讨论得出是解题关键。【答案】10解题点拨：∵各边长度都是整数、最大边长为8，∴三边长可以为：1，8，8；2，7，8；2，8，8；3，6，8；3，7，8；3，8，8；4,5,8；4,6,8；4,7,8；4,8,8；故各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有10个．考点二三角形的内角和定理【例2】（2015绵阳）如图，在△ABC中，LB、LC的平分线BE，CD相交于点F，LA=60。，则LBFC=()A.118°B.119°C.120°D.121°【答案】C解题点拨：由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=120°，由角平分线的性质得∠CBE+∠BCD=60°，再利用三角形的内角和定理得到结果。考点三三角形外角的性质【例3】（2016内江）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为（）A．75°B．65°C45°D30°【答案】A解题点拨：∠1可看作是某个三角形的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和计算.考点四三角形的三条重要线段【例题4】如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边的中垂线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点【答案】C解题点拨：由角平分线的性质知角平分线上任意一点到角两边的距离相等，则三角形的三条角平分线的交点到三角形的三边的距离相等．考点五三角形的中位线【例5】（2015云南）如图，在△ABC中，BC=1，点P1，M1，分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3，分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为＿＿＿（n为正整数）．解题点拨：此题考查三角形中位线定理，关键是根据中位线得出规律进行解答．课堂训练当堂检测1．（2016西宁）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是(D)A．3cm，4cm，8cmB．8cm，7cm，15cmC．5cm，5cm，11cmD．13cm，12cm，20cm2．如图，在锐角△ABC中．CD和BE分别是AB和AC边上的高，且CD和BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是(B)A．150°B．130°C．120°D．100°3．（2016大庆）如图，在△ABC中，∠A=40°，D点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠BDC＝＿＿110°＿＿．4．（2016陕西）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8．BC＝6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外有∠ACM的平分线于点F，求线段DF的长．解：在RtAABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴AC=＝10，∵DE是△ABC的中位线．∴DF∥BM，DE＝BC=3，∴∠EFC＝∠FCM，∵∠FCE＝∠FCM，∴∠EFC＝∠ECF，∴EC＝EF＝＝5，∴DF=DE+EF=3+5=8.中考达标模拟自测A组基础训练一、选择题1．（2016贵港）在△ABC中，若∠A=95°，∠B=40°，则∠C的度数为(C)A．35°B．40°C．45°  D．50°2．（2016鄂州）如图所示，AB∥CD，EF⊥BD，垂足为E．∠1=50°，则∠2的度数为(B)A．50°  B．40°  C．45°  D．25°3．(2015长沙)如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是(A)4．在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是(B)A．1cm＜AB＜4cm  B．5cm＜AB＜10cm  C．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm二、填空题5．(2016白银)三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2－13x＋40＝0的根，则该三角形的周长为＿＿12＿＿．6．(2015连云港)在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD和△ACD的面积之比是＿＿4∶3＿＿．7．(2015宿迁)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点．若CD＝5，则EF的长为＿＿5＿＿．三、解答题8．(2015聊城)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线．若AB＝6，求点D到AB的距离．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝180°－30°－90°＝60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∴BC＝AB＝3，∴CD＝BC·tan30°＝3×＝，∵BD是∠ABC的平分线，又∵角平分线上的点到角两边的距离相等，∴点D到AB的距离＝CD＝．9．（2016贵阳）(1)阅读理解： 如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD．再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180。得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断， 中线AD的取值范围是＿＿2<AD<8＿＿； (2)问题解决： 如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF． 解：(1)2<AD<8；(2)证明：延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，如图②所示：同(1)得：△BMD≌△CFD(SAS)，∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF， 在△BME中，由三角形的三边关系得：BE＋BM＞EM，∴BE＋CF＞EFB组提高练习10．（2016武城）如图所示，将纸片△ABC沿着DE折叠压平，则(B)． A．∠A＝∠1＋∠2  B．∠A＝(∠1＋∠2)  C．∠A＝(∠1＋∠2)  D．∠A＝(∠1＋∠2)提示：根据折叠及邻补角的性质，得∠1=180°-2∠ADE，∠2=180°-2∠AED，∴∠1＋∠2=360°-2(∠ADE+∠AED)，∴∠ADE+∠AED=[360°－(∠1＋∠2)]＝180°－(∠1＋∠2)，∴在△ADE中，由内角和定理得∠A=180°一（∠ADE+∠AED）=180°-180°＋(∠1+∠2)＝(∠1+∠2)．故选B．11．（2015广东）如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，若=12，则图中阴影部分面积是＿＿4＿＿．(提示：∵△ABC的三条中线AD、BE、CF交于点G，∴，， ∵， ∴，， ∴．)12．（2016内江）问题引入： (1)如图①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A=，则∠BOC=____（用含的式子表示）；如图②，∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，∠A＝，则∠BOC=____（用含的式子表示）； (2)如图③，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=，请猜想∠BOC=____（用含的式子表示），并说明理由；类比研究：(3)BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO=∠DBC，∠BCO=∠ECB，∠A=，请猜想∠BOC=____（用n和的式子表示）．解：(1)第一个空填：90°+；第二个空填：120°+．第一空的过程如下：∠BOC=180°一(∠OBC+∠OCB)=180°一(∠ABC+∠ACB)=180°一(180°一∠A)=90°＋第二空的过程如下：∠BOC=180°－(∠OBC+∠OCB)＝180°(∠ABC+∠ACB)＝180°(180°－∠A)=120°+．(2)答案：120°．过程如下：∠BOC=180°－(∠OBC+∠OCB)=180°(∠DBC+∠ECB)=180°(180°＋∠A)=120°．(3)．过程如下：∠BOC=180°－(∠OBC+∠OCB)=180°(∠DBC+∠ECB)=180°(180°＋∠A)=．