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免费重庆市2017届中考数学一轮复习《4.10锐角三角函数》讲解含考点分类汇编第十节锐角三角函数和解直角三角形课标呈现指引方向1．利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA，cosA，tanA)，知道30°，45°，60°角的三角函数值．2．会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角．3．能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题，考点梳理夯实基础1．锐角三角函数的概念在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则(1)∠A的正弦：=_____；答案；(1)∠A的余弦：=_____；答案；(3)∠A的正切：=_____；答案；三边关系：___________．答案；三角关系：______________。答案；2．特殊的三角函数30°，45°，60°角的三角函数值3．解直角三角形的应用(1)在进行测量时，从下往上看，视线与水平方向的夹角叫做仰角：从上往下看，视线与水平方向的夹角叫俯角，(2)坡度和坡角坡面的铅直高度矗和水平宽度f的比值叫做坡度或坡比，记作，坡面与水平面的夹角叫坡角，用表示，．(3)方位角方位：上北下南，左东右西，描述："北偏东（西）××度"或"南偏东（西）××度．考点一锐角三角函数的概念【例l】（2016广东）如图，在平面直角坐标系中，点4坐标为(4，3)，那么cosa的值是（）A.B.C.D.答案：D解题点拨：本题考查了三角函数的定义，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．考点三特殊角的三角函数【例2】（2015庆阳）在△ABC中，若角A，B满足，则∠C的大小是（）A.45°B.60°C.75°D.105°答案：D解题点拨：本题考查了非负数的性质、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．《多考点三盱解直角三角形及其应用【例3】（2016重庆）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度酌综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36。然后沿在。同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比），那么大树CD的高度约为多少米？（参考数据：sin36≈0.59，cos36≈0.81，tan36≈0.73）解题点拨：本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数：由勾股定理得出方程是解决问题的关键．解：作BF⊥AE于F，如图所示：则FE=BD=6米，DE=BF，∵斜面AB的坡度，∴AF=2.4BF，设BF=x米，则AF=2.4x米，在Rt△ABF中，由勾股定理得：解得：x=5，∴DE=BF=5米，AF=12米，∴AE=AF+FE=18米，在Rt△ACE中,CE=AEtan36°=18x0.73=13.14米∴CD=CE-DE=13.14米-5米≈8.1米．课堂训练当堂检测1．（2016乐山）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．答案：C2．（2016荆州）如图，在4x4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是()A．2B．C.D．答案：D3．（2016大庆）一艘轮船在小岛4的北偏东60。方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为______________海里／小时答案：4．（2016鄂州）为了维护海洋权益，新组建酌国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．一天，我两艘海监船刚好在某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域，如图所示，海里，在B处测得C在北偏东45°的方向上．A处测得C在北偏西30DU3的方向上，在海岸线A日上有一灯塔D．得海里．(1)分别求A与C及B与C的距离AC，BC（结果保留根号）(2)已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，在A处海监船沿AC前往C处盘查，途中有无触礁的危险？（参考数据：，，）解：(1)如答案图1所示，过点C作CE⊥AB亍点E，可得∠CBD=45°，∠CAD=60°，设CE=x,在RtACBE中,BE=CE=x,在Rt△CAE中,AE=，∵∴解得：，则答：A与C的距离为海里，B与C的距离为海里：(2)如答案图2所示，过点D作DF⊥AC于点F．在△ADF中，∵,∠CAD=60°∴故海监船沿AC前往C处盘查，无触礁的危险A组基础训练一、选择题1．（2016沈阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是()A．B．4c．D．答案：D2．（2016南宁）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A．5sin36°米B．5cos36°米C．5tan36°米D．10tan36°米答案：C3．（2016安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是()A．2B．C．D．答案：D4.（2016云南）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度为1米，则地毯的面积至少需要（）A.米?B.米?C.（）米?D.（）米?【答案】D二、填空题5.（2016宁波）如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10米的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1米，则旗杆高BC为米（结果保留根号）【答案】（）6.（2016十堰）在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD＝10米.请根据这些数据求出河的宽度为米.（结果保留根号）www-2-1-cnjy-com【答案】（）7.（2016菏泽）如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE＝CE，连接BE则tan∠EBC＝.【答案】8.（2016随州）某班数学兴趣小组利用数学课活动时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平在夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度.解：如图，过点E作EF⊥AC，EG⊥CD，在Rt△DEG中，∵DE＝1620，∠D＝30°，∴EG＝DEsin∠D＝＝810，∵BC＝857.5，CF＝EG，∴BF＝BC－CF＝47.5，在Rt△BEF中，tan∠BEF＝，∴EF＝BF，在Rt△AEF中，∠AEF＝60°，设AB＝x，∵tan∠AEF＝，∴AF＝EFtan∠AEF，∴x＋47.5＝347.5，∴x＝95.答：雕像AB的高度为95尺．9．（2016广州）如图，某无人机于空中A处探测到目标B、D的俯角分别是30°、60°，此时无人机的飞行高度AC为60m．随后无人机从A处继续水平飞行30m到达A′处．(1)求A、B之间的距离：(2)求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值解：(1)由题意得：∠ABD＝30°，∠ADC＝60°，在Rt△ABC中，AC＝60m，∴AB＝；(2)过A′作A′E⊥BC交BC的延长线于E，连接A′D，则A′E＝AC＝60，CE＝AA′＝，在Rt△ADC中，AC＝60m，∠ADC＝60°，∵DC＝，∴DE＝，∴tan∠AA′D＝tan∠A′DC＝.答：从无人机A′上看目标D的俯角的正切值是.B组提高练习10．（2016龙东）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是()①AE＝BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP＝；④．A．4B．3C．2D．1【答案】B(提示：易证Rt△ABE≌Rt△BCF(SAS)，∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，故①正确；又∵∠BAE＋∠BEA＝90°，∴∠CBF＋∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF，故②正确；根据题意得，FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°，∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠ABF，∴∠ABF＝∠PFB，∴QF＝QB，令PF＝k(k>0)，则PB＝2k，在Rt△BPQ中，设QB＝x，∴x?＝（x－k）?＋4k?，∴，∴sin∠BQP＝，故③正确；∵∠BGE＝∠BCF，∠GBE＝∠CBF，∴△BGE∽△BCF，∵BE＝BC，BF＝，∴BE：BF＝1：，∴△BGE的面积：△BCF的面积＝1:5，∴故④错误．）11．（2015南昌）如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为．【答案】或或2（提示：当∠APB＝90°时（如图1），∵AO＝BO，∴PO＝BO∵∠AOC＝60°，∴∠BOP＝60°，∴△BOP为等边三角形，∵AB＝BC＝4，∴AP＝AB·sin60°＝；当∠ABP＝90°时（如图2），∵∠AOC＝∠BOP＝60°，∴∠BPO＝30°，∴BP＝，在直角三角形ABP中，AP＝，情况二：如图3，∵AO＝BO，∠APB＝90°，∴PO＝AO，∵∠AOC＝60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP＝AO＝2，故答案为：或或2．)12．（2016山西）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业，如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm．AB的倾斜角为30°．BE＝CA＝50cm．支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D，F．CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）解：过A作AG⊥CD于G，则∠CAG＝30°，在Rt△ACG中，CG＝ACsin30°＝＝25，∵GD＝50－30＝20，∴CD＝CG＋GD＝25＋20＝45，连接FD并延长与BA的延长线交于H，则∠H＝30°，在Rt△EFH中，CH＝＝2CD＝90，∴EH＝EC＋CH＝AB－BE－AC＋CH＝300－50－50＋90＝290，在Rt△CDH中，EF＝EH·tan30°＝290，答：支撑角钢CD和EF的长度各是45cm，cm.