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免费重庆市2017届中考数学一轮复习《4.7矩形、菱形》讲解考点分类汇编第七节矩形、菱形课标呈现指引方向1．理解平行四边形、矩形、菱形的概念，以及它们之间的关系．2．探索并证明矩形、菱形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等：菱形的四条边相等，对角线互相垂直.以及它们的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．考点梳理夯实基础1．矩形：(1)矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：①角：它的四个角为_____；②对角线：它的对角线_____；③对称性：它是轴对称图形，它的对称轴是_____所在的直线．【答案】直角相等对边中点(2)矩形的判定判定1：_________的平行四边形是矩形（定义）；判定2：_________的平行四边形是矩形；判定3：_________的四边形是矩形.【答案】有一个角为直角两条对角线相等有三个角为直角注：(1)矩形被它的对角线分成四个______三角形和四个_____三角形；(2)矩形中常见题目是对角线相交成60°或120°角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题．【答案】等腰直角2．菱形：(1)菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：①边：它的四条边________；②对角线：它的对角线________，并且每一条对角线平分________；③对称性：它是轴对称图形，它的对称轴是________；④面积：它的面积除底乘以高外还有________．【答案】相等互相垂直每一组对角对角线所在的直线两对角线乘积的一半(2)菱形的判定判定1：________的平行四边形是菱形（定义）；判定2：________的平行四边形是菱形；判定3：________的四边形是菱形.【答案】一组邻边相等两对角线垂直四边相等注：(1)菱形被它的对角线分成四个全等的________三角形和两对全等的________三角形.(2)菱形中常见题目是内角为60°或120°角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题．【答案】直角等腰考点精析专项突破考点一矩形的性质【例1】（2016包头）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．过点A作AE⊥BD．垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=_______度．【答案】22.5解题点拨：首先证明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB,∠OAE即可.考点二菱形的性质【例2】（2015通辽）菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y2-7y+10=0的一个根，则菱形ABCD的周长为()A．8B．20C．8或20D．10【答案】B解题点拨：边AB的长是方程y2-7y+10=0的一个根，解方程求得x的值，根据菱形ABCD的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD的周长.考点三矩形、菱形的综合【例3】（2016南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°．∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E．F．且∠EAF=60°．(1)如图l，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；(2)如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；(3)如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．解题点拨：(1)结论AE=EF=AF．只要证明AE=AF即可，证明△AEF是等边三角形．(2)欲证明BE=CF，只要证明△BAE≌△CAF即可．(3)过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CF·cos30°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题．【答案】(1)解：结论AE=EF=AF.理由：如图1中，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°,∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D=60°,∵△ABC,△ADC是等边三角形，∴∠BAC=∠DAC=60°∵BE=EC，∴∠BAE=∠CAE=30°,AE⊥BC,∵∠EAF=60°,∴∠CAF=∠DAF=30°,∵AF⊥CD，∵AE=AF(菱形的高相等)，∴△AEF是等边三角形．∴AE=EF=AF．(2)证明：如图2中，连接AC,∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF,在△BAE和△CAF中，∴△BAE≌△CAF.∴BE=CF.(3)解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H,∵∠EAB=15°,∠ABC=60°，∴∠AEB=45°,在RT△AGB中，∴∠ABC=60°,AB=4,∴BG=2,AG=2,在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°,∵AG=GE=2，∵EB=EG-BG=2-2,∴△AEB≌△AFC，∴AE=AF,EB=CF=2-2,在RT△CHF中，∵∠CFH=30°,CF=2-2,∴FH=CF．cos30°=(2-2)．=3一．∴点F到BC的距离为3-．课堂训练当堂检测1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为()A.30°B.60°C.90°D.120°【答案】B2．（2015桂林）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是()A．18B．18C．36D．36【答案】B3．如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠BCO=55°，则∠ADO=_______．【答案】35°4．（2015曲靖）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点0，且BE∥AC，CE∥BD．(1)求证：四边形OBEC是矩形；(2)若菱形ABCD的周长是4，tana=，求四边形OBEC的面积．(1)证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∴AC⊥BD,∵BE∥AC,CE∥BD,∴∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°,∴四边形OBEC是矩形.(2)解：∵菱形ABCD的周长是4，∴AB=BC=AD=DC=．∵tana=，∴设CO=x,则B0=2x,∵+=，解得：x=，∴四边形OBEC的面积为：×2=4．中考达标模拟自测A组基础训练一、选择题1．（2016无锡）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是()A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．邻边互相垂直【答案】C2．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为()A．28°B．52°C．62°D．72°【答案】C3．（2016枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于()A．B.C.5D.4【答案】A4．（2015安徽）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是()A．2B．3C．5D．6【答案】C二、填空题5．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，BD=7，则菱形ABCD的周长为_____.【答案】286．（2016成都）如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为_______．【答案】37．（2016巴中）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD．连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E=______度．【答案】15三、解答题8．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AB=4,AD=6,∠ABC=60°，求tan∠ADP的值.解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形．∴AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB．∵AE是角平分线，∴∠DAE=∠BAE．∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，同理AB=AF，∴AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB=BE，∴四边形ABEF是菱形；(2)作PH⊥AD于H，∵四边形ABEF是菱形．∠ABC=60°，AB=4，∴AB=AF=4,∠ABF=30°,AP⊥BF.∴AP=AB=2，∴PH=，DH=5,∴tan∠ADP==.9．（2015乌鲁木齐）如图，平行四边形ABCD中，点E，F在直线AC上（点E在F左侧），BE∥DF.(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)若AB⊥AC，AB=4，BC=2，当四边形BEDF为矩形时，求线段AE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AD∥BC，AD=BC，∴∠DAF=∠BCE．又∵BE∥DF．∴∠BEC=∠DFA．在△BEC与△DFA中，∴△BEC≌△DFA(AAS),:.BE=DF,又∵BE∥DF．∴四边形BEDF为平行四边形：(2)连接BD，BD与AC相交于点D，如图：∵AB⊥AC，AB=4，BC=2，∴AC=6．∴A0=3．∴Rt△BAO中，B0=5，∵四边形BEDF是矩形．∴OE=OB=5．∴点E在OA的延长线上，且AE=2.B组提高练习10．（2016舟山）如图，矩形ABCD中，AD=2．AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是()A．B.C.1D.【答案】D（提示：过F作FH⊥AE于h，∵四边形ABCD是矩形，∵AB=CD，AB∥CD，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．∴AF=CE,∴DE=BF,∴AF=3-DE,∴AE=,∵∠FHA=∠D=∠DAF=90°,∴∠AFH+∠HAF=∠DAE+∠FAH=90°，∴∠DAE=∠AFH，∴△ADE∽△AFH，∴=，∴AE=AF,∴=3-DE．∴DE=，故选D.)211．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C．则A'C长度的最小值是______．【答案】-1（提示：如图所示：MC，MA'是定值，A'C长度的最小值时，即A'在MC上时，过点M作MF⊥DC于点F，∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°,CD=2，∠ADC=120°,∠FDA=60°,∠FMD=30°，FD=,FM=DM·cos30°=，MC==，A'C=MC-MA'=-1.12．(2016重庆一中)已知四边形ABCD为菱形，连接BD，点E为菱形ABCD外任意一点．⑴如图⑴，若∠A＝45°，AB＝6，点E为过点B作AD边的垂线与CD边的延长线的交点，BE，AD交于点F，求DE的长．⑵如图⑵，若2∠AEB＝180°－∠BED，∠ABE＝60°，求证：BC＝BE＋DE．⑶如图⑶，若点E在CB延长线上时，连接DE，试猜想∠BED，∠ABD，∠CDE三个角之间的数量关系，直接写出结论．【答案】⑴解：在菱形ABCD中,AB＝AD＝6,AB∥DE∴∠A＝∠ADE＝45°∴AD⊥BE∴∠AFB＝∠DFE＝90°∴∠A＝∠ABF＝∠FDE＝∠FED＝45°,AF＝BF,DF＝EF则△AFB,△DEF为等腰直角三角形∴AF＝22AB＝22×6＝3∴DF＝EF＝AD－AF＝6－3∴DE＝2DF＝23－6．⑵证明：延长BE至K,使EK＝ED,连接AK在菱形ABCD中,AB＝BC＝AD∵2∠AEB＝180°－∠BED∴∠AEB＋∠BED＝180°－∠AEB∴∠AED＝∠AEB＋∠BED＝180°－∠AEB＝∠AEK在△AEK和△AED中AE＝AE∠AEK＝∠AEDEK＝ED∴△AEK≌△AED∴AK＝AD＝AB∵∠ABK＝60°∴△ABK为等边三角形．则BK＝BE＋KE＝AB＝BC，即：BC＝BE＋DE.⑶∠BED＋∠CDE＝2∠ABD．