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免费重庆市2017届中考数学一轮复习《4.6多边形与平行四边形》讲解考点分类汇编第六节多边形与平行四边形课标呈现'指引方向1．了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念：探索并掌握多边形内角和与外角和公式．2．理解平行四边形的概念，理解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系，了解四边形的不稳定性．3．探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分：探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形：对角线互相平分的四边形是平行四边形．考点梳理夯实基础1．多边形的性质：n边形的内角和等于(n－2)·180°；外角和为360°；对角线的条数．2．正多边形的定义：每条边都相等、每个角都相等的多边形是正多边形．3．平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，是中心对称图形．4．平行四边形的判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)－组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形，考点精析专项突破考点一多边形的内角和与外角和【例1】(1)(2016临沂)一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于()A．108°B．90°C．72°D．60°【答案】C解题点拨：首先设此多边形为n边形，根据题意得：180°(n－2)＝540°，即可求得n＝5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．(2)(2016十堰)如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°再沿直线前进10米，又问左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是()A．140米B．150米C．160米D．240米【答案】B解题点拨：多边形的外角和为360°，每一个外角都为24°，依此可求边数，再求多边形的周长．考点二平行四边形的性质【例2】(2016巴中)已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE＋CD＝AD．连结CE，求证：CE平分∠BCD．【答案】解题点拨：由平行四边形的性质得出AB∥CD、AB＝CD、AD＝BC、由平行线的性质得出∠E＝∠DCE．由已知条件得出BE＝BC，由等腰三角形的性质得出∠E＝∠BCE，得出∠DCE＝∠BCE即可．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∴∠E＝∠DCE．∵AE＋CD＝AD．∴BE＝BC．∴∠E＝∠BCE．∴∠DCE＝∠BCE．即CE平分∠BCD．考点三平行四边形的判定【例3】(2016菏泽)如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；(2)若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．解题点拨：(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF＝BC，DG∥BC且DG＝BC，以而得到DG＝EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；(2)先判断出∠BOC＝90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可．【答案】解：(1)∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG∥BC，DG＝BC，∵E、F分别是OB、OC的中点，∴EF∥BC，EF＝BC，∴DG＝EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形：(2)∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC＋∠OCB＝90°，∴∠BOC＝90°．∵M为EF的中点，OM＝3，∴EF＝2OM＝6，由(1)有四边形DEFG是平行四边形，∴DG＝EF＝6．课堂训练当堂检测1．(2016广安)若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是()A．7B．10C．35D．70【答案】C2．(2016丹东)如图，在□ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC长为()2A．8B．10C．12D．14第2题【答案】B3．(2016十堰)如图，在□ABCD中，AB＝2cm，AD＝4cm．AC⊥BC．则△DBC比△ABC的周长长cm．第3题【答案】44．(2016黄冈)如图，在□ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H．求证：AG＝CH．第4题证明：∵E，F分别是AD，BC的中点，∴AE＝DE＝AD，CF＝BF＝BC，又∵AD∥BC，且AD＝BC，∴DE∥BF，且DE＝BF，∴四边形BEDF是平行四边形．∴∠BED＝∠DFB．∴∠AEG＝∠DFC．又∵AD∥BC，∴∠EAG＝∠FCH，在△AGE和△CHF中∴△AGE≌△CHF(A)，∴AG＝CH．中考达标/模拟自测A组基础训练一、选择题1．（2016凉山）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A．7B．7或8C．8或9D．7或8或9【答案】D2．（2016绍兴）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是()A．①，②B．①，④C．③，④D．②，③【答案】D3．（2016泸州）如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是()A．10B．14C．20D．22【答案】B4．（2016泰安）如图，在□ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于()A．2B．3C．4D．6【答案】C二、填空题5．（2015镇江）如图，□ABCD中，E为AD的中点，BE，CD的延长线相交于点F．若△DEF的面积为l，则□ABCD的面积等于______．【答案】46．（2016武汉）如图，在□ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD'E处，AD'与CE交于点F．若∠B=52°．∠DAE=20°，则∠FED'的大小为______．【答案】36°7．（2016东营）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC>AB．点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中．DE的最小值是_______．【答案】4三、解答题8．（2016鄂州）如图，□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N．(1)求证：四边形CMAN是平行四边形．(2)已知DE=4，FN=3，求BN的长.【答案】解：(1)证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴四边形CMAN是平行四边形；(2)由(1)知四边形CMAN是平行四边形，∴CM=AN．又∵四边形ABCD是平行四边形．∴AB=CD，∠MDE=∠NBF，∴AB-AN=CD-CM，即DM=BN,在△MDE和△NBF中∴△MDE≌△NBF．∴DE=BF=4．∴BN===5.9．如图，在平行四边形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，点F为DE的中点，且CF⊥DE．点M为线段CF上一点，使DM=BE，CM=BC.(1)若AB=13，CF=12，求DE的长度；(2)求证：∠DCM=∠DMF．【答案】解：(1)∵平行四边形ABCD，AB=13．∴CD=AB=13，又∵CF⊥DE，CF=12，∴DF==5．又∵F为DE中点，∴DE=2DF=10．(2)连接CE，∵CF⊥DE，F为DE中点，∴CD=CE．∴∠1=∠2．在△CDM和△CEB中∴△CDM≌△CEB,∴∠3=∠4,∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,∴∠4=∠1+∠2=2∠2,∴∠DMF=∠3+∠1=3∠2,∴∠2=∠DMF,即∠DCM=∠DMF.B组提高练习10．如图，在□ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C（提示：①∵F是AD的中点，∴AF=FD,∵在□ABCD中,AD=2AB，∴AF=FD=CD,∴∠DFC=∠DCF,∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB,∴∠DCF=∠BCF,∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；②延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，∴△AEF≌△DMF(A)，∴FE=MF,∠AEF=∠M，∵CE⊥AB,∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°,∵FM=EF,∴FC=FM，故②正确；③∵EF=FM,∴S△EFC=S△CFM，∵MC>BE，∴S△BEC<2S△EFC，故S△BEC=2S△CEF错误；④设∠FEC=x,则∠FCE=x,∴∠DCF=∠DFC=90°-x,∴∠EFC=180°-2x,∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x,∴∠AEF=90°-x,∴∠DFE=3∠AEF,故此选项正确．）11.（2016无锡）如图，已知□OABC的顶点A、C分别在直线x=l和x=4上,O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为______．【答案】5（提示：当B在x轴上时，对角线OB长的最小，如图所示：直线x=l与x轴交于点D，直线x=4与x轴交于点E，根据题意得：∠ADO=∠CEB=90°,OD=1,OE=4，∵四边形ABCO是平行四边形，∴OA∥BC，OA=BC，∴∠AOD=∠CBE，∴△AOD≌△CBE(A)，∴OD=BE=1，∴OB=OE+BE=5．）12．在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．(1)在图1中证明CE=CF；(2)若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；(3)若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数.【答案】证明：(1)如图1，∵AF平分∠BAD,∴∠BAF=∠DAF,∵四边形ABCD是平行四边形．∴AD∥BC,AB∥CD,∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠F,∴∠CEF=∠F,∴CE=CF；(2)解：如答案图1，连接GC.BG,∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°,∴四边形ABCD为矩形，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=45°,∵∠DCB=90°,DF∥AB,∴∠DFA=45°,∠ECF=90°.∴△ECF为等腰直角三角形，∵G为EF中点，∴EG=CG=FG,CG⊥EF,∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC,∴BE=DC,∵∠CEF=∠GCF=45°,∴∠BEG=∠DCG=135°,∴△BEG≌△DCG，∴BG=DG,∵CG⊥EF,∴∠DGC+∠DGA=90°,又∵∠DGC=∠BGA，∴∠BGE+∠DGE=90°,∴△DGB为等腰直角三角形，∴∠BDG=45°；(3)解：如答案图2，延长AB、FG交于H，连接HD,∵AD∥GF,AB∥DF,∴四边形AHFD为平行四边形，．∵∠ABC=120°,AF平分∠BAD,∴∠DAF=30°,∠ADC=120°,∠DFA=30°,∴△DAF为等腰三角形，∴AD=DF，∴平行四边形AHFD为菱形，∴△ADH,△DHF为全等的等边三角形，∴DH=DF,∠BHD=∠GFD=60°,∵FG=CE,CE=CF,CF=BH,∴BH=GF,∴△BHD≌△GFD,∴∠BDH=∠GDF,∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°.