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天津市河西区2016年中考数学模拟试卷含答案解析2016年天津市河西区中考数学模拟试卷（三）一、选择题（共3小题，每小题0分，满分0分）1．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（）A．140° B．160° C．170° D．150°2．如图，四个有理数在数轴上的对应点M，P，N，Q，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q3．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：①4ac﹣b2＜0；②2a﹣b=0；③a+b+c＜0；④点M（x1，y1）、N（x2，y2）在抛物线上，若x1＜x2，则y1≤y2，其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（共9小题，每小题0分，满分0分）4．将多项式ax2﹣4ax+4a分解因式为．5．不等式组的解集是．6．关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是．7．菱形ABCD的对角线AC=6cm，BD=4cm，以AC为边作正方形ACEF，则BF长为．8．若x2+x+m=（x﹣3）（x+n）对x恒成立，则n=．9．已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，则m（m+1）2﹣m2（m+3）+4的值为．10．已知x是的小数部分，则=．11．二次函数y=x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数y=x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为．12．如图，正方形ABCB1中，AB=1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则A2015A2016=．三、解答题13．根据某网站调查，2014年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其他共五类．根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下：根据所给信息解答下列问题：（1）请补全条形统计图并在图中标明相应数据；（2）若菏泽市约有880万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？（3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．14．甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途径C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原路原速返回A地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图，结合图象信息解答下列问题：（1）乙车的速度是千米/时，t=小时；（2）求甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）直接写出乙车出发多长时间两车相距120千米．15．如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的直线距离．16．母亲节前夕，某淘宝店主从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价比为2：3，单价和为200元．（1）求A、B两种礼盒的单价分别是多少元？（2）该店主购进这两种礼盒恰好用去9600元，且购进A种礼盒最多36个，B种礼盒的数量不超过A种礼盒数量的2倍，共有几种进货方案？（3）根据市场行情，销售一个A种礼盒可获利10元，销售一个B种礼盒可获利18元．为奉献爱心，该店主决定每售出一个B种礼盒，为爱心公益基金捐款m元，每个A种礼盒的利润不变，在（2）的条件下，要使礼盒全部售出后所有方案获利相同，m值是多少？此时店主获利多少元？17．如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．18．一次函数y=2x+2与反比例函数y=（k≠0）的图象都过点A（1，m），y=2x+2的图象与x轴交于B点．（1）求点B的坐标及反比例函数的表达式；（2）C（0，﹣2）是y轴上一点，若四边形ABCD是平行四边形，直接写出点D的坐标，并判断D点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由．19．如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F．（1）求证：∠ABC=2∠CAF；（2）若AC=2，CE：EB=1：4，求CE的长．20．如图1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM，易证：DM=FM，DM⊥FM（无需写证明过程）（1）如图2，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；（2）如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．21．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断△ABM的形状，并说明理由；（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．22．如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t．（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）．（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由．（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．23．已知关于x的一元二次方程x2+2x+=0有两个不相等的实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x+的图象交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标；（3）将（2）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个"W"形状的新图象，若直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，求b的值．2016年天津市河西区中考数学模拟试卷（三）参考答案与试题解析一、选择题（共3小题，每小题0分，满分0分）1．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（）A．140° B．160° C．170° D．150°【考点】直角三角形的性质．【分析】利用直角三角形的性质以及互余的关系，进而得出∠COA的度数，即可得出答案．【解答】解：∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD=20°，∴∠COA=90°﹣20°=70°，∴∠BOC=90°+70°=160°．故选：B．2．如图，四个有理数在数轴上的对应点M，P，N，Q，若点M，N表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【考点】有理数大小比较．【分析】先根据相反数确定原点的位置，再根据点的位置确定绝对值最小的数即可．【解答】解：∵点M，N表示的有理数互为相反数，∴原点的位置大约在O点，∴绝对值最小的数的点是P点，故选C．3．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：①4ac﹣b2＜0；②2a﹣b=0；③a+b+c＜0；④点M（x1，y1）、N（x2，y2）在抛物线上，若x1＜x2，则y1≤y2，其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】根据函数与x中轴的交点的个数，以及对称轴的解析式，函数值的符号的确定即可作出判断．【解答】解：函数与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故①正确；函数的对称轴是x=﹣1，即﹣=﹣1，则b=2a，2a﹣b=0，故②正确；当x=1时，函数对应的点在x轴下方，则a+b+c＜0，则③正确；则y1和y2的大小无法判断，则④错误．故选C．二、填空题（共9小题，每小题0分，满分0分）4．将多项式ax2﹣4ax+4a分解因式为a（x﹣2）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=a（x2﹣4x+4）=a（x﹣2）2，故答案为：a（x﹣2）2．5．不等式组的解集是﹣1≤x＜3．【考点】解一元一次不等式组．【分析】分别解每一个不等式，再求解集的公共部分．【解答】解：，解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜3，所以不等式组的解集是：﹣1≤x＜3，故答案为：﹣1≤x＜3．6．关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是a≠5，a≠0．【考点】分式方程的解．【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据"关于x的分式方程有解"，即x≠0且x≠2建立不等式即可求a的取值范围．【解答】解：方程去分母得：5（x﹣2）=ax，去括号得：5x﹣10=ax，移项，合并同类项得：（5﹣a）x=10，∵关于x的分式方程有解，∴5﹣a≠0，x≠0且x≠2，即a≠5，系数化为1得：x=，∴≠0且≠2，即a≠5，a≠0，综上所述：关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是a≠5，a≠0，故答案为：a≠5，a≠0．7．菱形ABCD的对角线AC=6cm，BD=4cm，以AC为边作正方形ACEF，则BF长为5cm或cm．【考点】菱形的性质；正方形的性质．【分析】作出图形，根据菱形的对角线互相垂直平分求出AO、BO，然后分正方形在AC的两边两种情况补成以BF为斜边的Rt△BGF，然后求出BG、FG，再利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：∵AC=6cm，BD=4cm，∴AO=AC=×6=3cm，BO=BD=×4=2m，如图1，正方形ACEF在AC的上方时，过点B作BG⊥AF交FA的延长线于G，BG=AO=3cm，FG=AF+AG=6+2=8cm，在Rt△BFG中，BF===cm，如图2，正方形ACEF在AC的下方时，过点B作BG⊥AF于G，BG=AO=3cm，FG=AF﹣AG=6﹣2=4cm，在Rt△BFG中，BF===5cm，综上所述，BF长为5cm或cm．故答案为：5cm或cm．8．若x2+x+m=（x﹣3）（x+n）对x恒成立，则n=4．【考点】因式分解-十字相乘法等．【分析】利用多项式乘法去括号，得出关于n的关系式进而求出n的值．【解答】解：∵x2+x+m=（x﹣3）（x+n），∴x2+x+m=x2+（n﹣3）x﹣3n，故n﹣3=1，解得：n=4．故答案为：4．9．已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，则m（m+1）2﹣m2（m+3）+4的值为3．【考点】一元二次方程的解．【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣m﹣1=0，则m2=m+1，然后利用降次的方法对原式进行化简即可．【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，∴m2﹣m﹣1=0，∴m2=m+1，∴m（m+1）2﹣m2（m+3）+4=m（m2+2m+1）﹣（m+1）（m+3）+4=m（m+1+2m+1）﹣（m2+4m+3）+4=3m2+2m﹣m2﹣4m﹣3+4=2m2﹣2m+1=2（m+1）﹣2m+1=2m+2﹣2m+1=3．故答案为3．10．已知x是的小数部分，则=．【考点】分式的混合运算．【分析】将分母因式分解，计算括号内分式加法，再将除法转化为乘法，最后约分可化简原式，将x的值代入计算即可．【解答】解：原式=÷=o=，∵x是的小数部分，且2＜＜3，∴x=﹣2，∴原式===．故答案为：．11．二次函数y=x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数y=x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为2．【考点】菱形的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】连结BC交OA于D，如图，根据菱形的性质得BC⊥OA，∠OBD=60°，利用含30度的直角三角形三边的关系得OD=BD，设BD=t，则OD=t，B（t，t），利用二次函数图象上点的坐标特征得t2=t，解得t1=0（舍去），t2=1，则BD=1，OD=，然后根据菱形性质得BC=2BD=2，OA=2OD=2，再利用菱形面积公式计算即可．【解答】解：连结BC交OA于D，如图，∵四边形OBAC为菱形，∴BC⊥OA，∵∠OBA=120°，∴∠OBD=60°，∴OD=BD，设BD=t，则OD=t，∴B（t，t），把B（t，t）代入y=x2得t2=t，解得t1=0（舍去），t2=1，∴BD=1，OD=，∴BC=2BD=2，OA=2OD=2，∴菱形OBAC的面积=×2×2=2．故答案为2．12．如图，正方形ABCB1中，AB=1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则A2015A2016=2（）2015．【考点】正方形的性质．【分析】由四边形ABCB1是正方形，得到AB=AB1，AB∥CB1，于是得到AB∥A1C，根据平行线的性质得到∠CA1A=30°，解直角三角形得到A1B1=，AA1=2，同理：A2A3=2（）2，A3A4=2（）3，找出规律AnAn+1=2（）n，答案即可求出．【解答】解：∵四边形ABCB1是正方形，∴AB=AB1，AB∥CB1，∴AB∥A1C，∴∠CA1A=30°，∴A1B1=，AA1=2，∴A1B2=A1B1=，∴A1A2=2，同理：A2A3=2（）2，A3A4=2（）3，…∴AnAn+1=2（）n，∴A2015A2016=2（）2015，故答案为：2（）2015．三、解答题13．根据某网站调查，2014年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其他共五类．根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下：根据所给信息解答下列问题：（1）请补全条形统计图并在图中标明相应数据；（2）若菏泽市约有880万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？（3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．【分析】（1）根据关注消费的人数是420人，所占的比例式是30%，即可求得总人数，然后利用总人数乘以关注教育的比例求得关注教育的人数；（2）利用总人数乘以对应的百分比即可；（3）利用列举法即可求解即可．【解答】解：（1）调查的总人数是：420÷30%=1400（人），关注教育的人数是：1400×25%=350（人）．；（2）880×10%=88万人；（3）画树形图得：则P（抽取的两人恰好是甲和乙）==．14．甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途径C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原路原速返回A地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发所用的时间x（小时）的关系如图，结合图象信息解答下列问题：（1）乙车的速度是60千米/时，t=3小时；（2）求甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）直接写出乙车出发多长时间两车相距120千米．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）首先根据图示，可得乙车的速度是60千米/时，然后根据路程÷速度=时间，用两地之间的距离除以乙车的速度，求出乙车到达A地用的时间是多少；最后根据路程÷时间=速度，用两地之间的距离除以甲车往返AC两地用的时间，求出甲车的速度，再用360除以甲车的速度，求出t的值是多少即可．（2）根据题意，分3种情况：①当0≤x≤3时；②当3＜x≤4时；③4＜x≤7时；分类讨论，求出甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式，并写出自变量的取值范围即可．（3）根据题意，分3种情况：①甲乙两车相遇之前相距120千米；②当甲车停留在C地时；③两车都朝A地行驶时；然后根据路程÷速度=时间，分类讨论，求出乙车出发多长时间两车相距120千米即可．【解答】解：（1）根据图示，可得乙车的速度是60千米/时，甲车的速度是：÷=720÷6=120（千米/小时）∴t=360÷120=3（小时）．（2）①当0≤x≤3时，设y=k1x，把（3，360）代入，可得3k1=360，解得k1=120，∴y=120x（0≤x≤3）．②当3＜x≤4时，y=360．③4＜x≤7时，设y=k2x+b，把（4，360）和（7，0）代入，可得解得∴y=﹣120x+840（4＜x≤7）．（3）①÷+1=300÷180+1==（小时）②当甲车停留在C地时，÷60=240÷6=4（小时）③两车都朝A地行驶时，设乙车出发x小时后两车相距120千米，则60x﹣[120（x﹣1）﹣360]=120，所以480﹣60x=120，所以60x=360，解得x=6．综上，可得乙车出发后两车相距120千米．故答案为：60、3．15．如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的直线距离．【考点】相似三角形的应用．【分析】先根据相似三角形的判定得出△ABC∽△AMN，再利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：在△ABC与△AMN中，=，=，∴，又∵∠A=∠A，∴△ABC∽△AMN，∴，即，解得：MN=1500米，答：M、N两点之间的直线距离是1500米；16．母亲节前夕，某淘宝店主从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价比为2：3，单价和为200元．（1）求A、B两种礼盒的单价分别是多少元？（2）该店主购进这两种礼盒恰好用去9600元，且购进A种礼盒最多36个，B种礼盒的数量不超过A种礼盒数量的2倍，共有几种进货方案？（3）根据市场行情，销售一个A种礼盒可获利10元，销售一个B种礼盒可获利18元．为奉献爱心，该店主决定每售出一个B种礼盒，为爱心公益基金捐款m元，每个A种礼盒的利润不变，在（2）的条件下，要使礼盒全部售出后所有方案获利相同，m值是多少？此时店主获利多少元？【考点】一次函数的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用．【分析】（1）利用A、B两种礼盒的单价比为2：3，单价和为200元，得出等式求出即可；（2）利用两种礼盒恰好用去9600元，结合（1）中所求，得出等式，利用两种礼盒的数量关系求出即可；（3）首先表示出店主获利，进而利用a，b关系得出符合题意的答案．【解答】解：（1）设A种礼盒单价为2x元，B种礼盒单价为3x元，依据题意得：2x+3x=200，解得：x=40，则2x=80，3x=120，答：A种礼盒单价为80元，B种礼盒单价为120元；（2）设购进A种礼盒a个，B种礼盒b个，依据题意可得：，解得：30≤a≤36，∵a，b的值均为整数，∴a的值为：30、33、36，∴共有三种方案；（3）设店主获利为w元，则w=10a+（18﹣m）b，由80a+120b=9600，得：a=120﹣b，则w=（3﹣m）b+1200，∵要使（2）中方案获利都相同，∴3﹣m=0，∴m=3，此时店主获利1200元．17．如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，即可判断三角形的形状；（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，∠FDC=90°，即可得出∠FCD=∠APD=45°．【解答】解：（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下：∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，在△FAD与△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF是等腰直角三角形；（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，如图，∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，在△FAD与△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），∴FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠FCD=45°，∵AF∥CE，且AF=CE，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠APD=∠FCD=45°．18．一次函数y=2x+2与反比例函数y=（k≠0）的图象都过点A（1，m），y=2x+2的图象与x轴交于B点．（1）求点B的坐标及反比例函数的表达式；（2）C（0，﹣2）是y轴上一点，若四边形ABCD是平行四边形，直接写出点D的坐标，并判断D点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）在y=2x+2中令y=0，求得B的坐标，然后求得A的坐标，利用待定系数法求得反比例函数的解析式；（2）根据平行线的性质即可直接求得D的坐标，然后代入反比例函数的解析式判断即可．【解答】解：（1）在y=2x+2中令y=0，则x=﹣1，∴B的坐标是（﹣1，0），∵A在直线y=2x+2上，∴A的坐标是（1，4）．∵A（1，4）在反比例函数y=图象上∴k=4．∴反比例函数的解析式为：y=；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴D的坐标是（2，2），∴D（2，2）在反比例函数y=的图象上．19．如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F．（1）求证：∠ABC=2∠CAF；（2）若AC=2，CE：EB=1：4，求CE的长．【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）首先连接BD，由AB为直径，可得∠ADB=90°，又由AF是⊙O的切线，易证得∠CAF=∠ABD．然后由BA=BC，证得：∠ABC=2∠CAF；（2）首先连接AE，设CE=x，由勾股定理可得方程：（2）2=x2+（3x）2求得答案．【解答】（1）证明：如图，连接BD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠ABD=90°．∵AF是⊙O的切线，∴∠FAB=90°，即∠DAB+∠CAF=90°．∴∠CAF=∠ABD．∵BA=BC，∠ADB=90°，∴∠ABC=2∠ABD．∴∠ABC=2∠CAF．（2）解：如图，连接AE，∴∠AEB=90°，设CE=x，∵CE：EB=1：4，∴EB=4x，BA=BC=5x，AE=3x，在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE2，即（2）2=x2+（3x）2，∴x=2．∴CE=2．20．如图1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM，易证：DM=FM，DM⊥FM（无需写证明过程）（1）如图2，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；（2）如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．【考点】四边形综合题．【分析】（1）连接DF，NF，由四边形ABCD和CGEF是正方形，得到AD∥BC，BC∥GE，于是得到AD∥GE，求得∠DAM=∠NEM，证得△MAD≌△MEN，得出DM=MN，AD=EN，推出△MAD≌△MEN，证出△DFN是等腰直角三角形，即可得到结论；（2）连接DF，NF，由四边形ABCD是正方形，得到AD∥BC，由点E、B、C在同一条直线上，于是得到AD∥CN，求得∠DAM=∠NEM，证得△MAD≌△MEN，得出DM=MN，AD=EN，推出△MAD≌△MEN，证出△DFN是等腰直角三角形，于是结论得到．【解答】解：（1）如图2，DM=FM，DM⊥FM，证明：连接DF，NF，∵四边形ABCD和CGEF是正方形，∴AD∥BC，BC∥GE，∴AD∥GE，∴∠DAM=∠NEM，∵M是AE的中点，∴AM=EM，在△MAD与△MEN中，，∴△MAD≌△MEN，∴DM=MN，AD=EN，∵AD=CD，∴CD=NE，∵CF=EF，∠DCF=∠DCB=90°，在△DCF与△NEF中，，∴△MAD≌△MEN，∴DF=NF，∠CFD=∠EFN，∵∠EFN+∠NFC=90°，∴∠DFC+∠CFN=90°，∴∠DFN=90°，∴DM⊥FM，DM=FM（2）猜想：DM⊥FM，DM=FM，证明如下：如图3，连接DF，NF，连接DF，NF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∵点E、B、C在同一条直线上，∴AD∥CN，∴∠ADN=∠MNE，在△MAD与△MEN中，，∴△MAD≌△MEN，∴DM=MN，AD=EN，∵AD=CD，∴CD=NE，∵CF=EF，∵∠DCF=90°+45°=135°，∠NEF=180°﹣45°=135°，∴∠DCF=∠NEF，在△DCF与△NEF中，，∴△MAD≌△MEN，∴DF=NF，∠CFD=∠EFN，∵∠CFD+∠EFD=90°，∴∠NFE+∠EFD=90°，∴∠DFN=90°，∴DM⊥FM，DM=FM．21．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断△ABM的形状，并说明理由；（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由条件可分别求得A、B的坐标，设出抛物线解析式，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）结合（1）中A、B、C的坐标，根据勾股定理可分别求得AB、AM、BM，可得到AB2+AM2=BM2，可判定△ABM为直角三角形；（3）由条件可写出平移后的抛物线的解析式，联立y=x，可得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式可求得m的范围．【解答】解：（1）∵A点为直线y=x+1与x轴的交点，∴A（﹣1，0），又B点横坐标为2，代入y=x+1可求得y=3，∴B（2，3），∵抛物线顶点在y轴上，∴可设抛物线解析式为y=ax2+c，把A、B两点坐标代入可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣1；（2）△ABM为直角三角形．理由如：由（1）抛物线解析式为y=x2﹣1可知M点坐标为（0，﹣1），∴AM=，AB===3，BM==2，∴AM2+AB2=2+18=20=BM2，∴△ABM为直角三角形；（3）当抛物线y=x2﹣1平移后顶点坐标为（m，2m）时，其解析式为y=（x﹣m）2+2m，即y=x2﹣2mx+m2+2m，联立y=x，可得，消去y整理可得x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0，∵平移后的抛物线总有不动点，∴方程x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0总有实数根，∴△≥0，即（2m+1）2﹣4（m2+2m）≥0，解得m≤，即当m≤时，平移后的抛物线总有不动点．22．如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM=CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连接ND、BM，设OP=t．（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）．（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由．（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．【考点】四边形综合题．【分析】（1）作ME⊥x轴于E，则∠MEP=90°，先证出∠PME=∠CPO，再证明△MPE≌△PCO，得出ME=PO=t，EP=OC=4，求出OE，即可得出点M的坐标；（2）连接AM，先证明四边形AEMF是正方形，得出∠MAE=45°=∠BOA，AM∥OB，证出四边形OAMN是平行四边形，即可得出MN=OA=4；（3）先证明△PAD∽△PEM，得出比例式，得出AD，求出BD，求出四边形BNDM的面积S是关于t的二次函数，即可得出结果．【解答】解：（1）作ME⊥x轴于E，如图1所示：则∠MEP=90°，ME∥AB，∴∠MPE+∠PME=90°，∵四边形OABC是正方形，∴∠POC=90°，OA=OC=AB=BC=4，∠BOA=45°，∵PM⊥CP，∴∠CPM=90°，∴∠MPE+∠CPO=90°，∴∠PME=∠CPO，在△MPE和△PCO中，，∴△MPE≌△PCO（AAS），∴ME=PO=t，EP=OC=4，∴OE=t+4，∴点M的坐标为：（t+4，t）；（2）线段MN的长度不发生改变；理由如下：连接AM，如图2所示：∵MN∥OA，ME∥AB，∠MEA=90°，∴四边形AEMF是矩形，又∵EP=OC=OA，∴AE=PO=t=ME，∴四边形AEMF是正方形，∴∠MAE=45°=∠BOA，∴AM∥OB，∴四边形OAMN是平行四边形，∴MN=OA=4；（3）∵ME∥AB，∴△PAD∽△PEM，∴，即，∴AD=﹣t2+t，∴BD=AB﹣AD=4﹣（﹣t2+t）=t2﹣t+4，∵MN∥OA，AB⊥OA，∴MN⊥AB，∴四边形BNDM的面积S=MNoBD=×4（t2﹣t+4）=（t﹣2）2+6，∴S是t的二次函数，∵＞0，∴S有最小值，当t=2时，S的值最小；∴当t=2时，四边形BNDM的面积最小．23．已知关于x的一元二次方程x2+2x+=0有两个不相等的实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x+的图象交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标；（3）将（2）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个"W"形状的新图象，若直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，求b的值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）先根据一元二次方程根的情况利用判别式与0的关系可以求出k的值；（2）利用m先表示出M与N的坐标，再根据两点间的距离公式表示出MN的长度，根据二次函数的极值即可求出MN的最大长度和M的坐标；（3）根据图象的特点，分两种情况讨论，分别求出b的值即可．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．∴．∴k﹣1＜2．∴k＜3．∵k为正整数，∴k为1，2．（2）把x=0代入方程得k=1，此时二次函数为y=x2+2x，此时直线y=x+2与二次函数y=x2+2x的交点为A（﹣2，0），B（1，3）由题意可设M（m，m+2），其中﹣2＜m＜1，则N（m，m2+2m），MN=m+2﹣（m2+2m）=﹣m2﹣m+2=﹣．∴当m=﹣时，MN的长度最大值为．此时点M的坐标为．（3）当y=x+b过点A时，直线与新图象有3个公共点（如图2所示），把A（﹣2，0）代入y=x+b得b=1，当y=x+b与新图象的封闭部分有一个公共点时，直线与新图象有3个公共点．由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于x轴对称，所以其解析式为y=﹣x2﹣2x∴有一组解，此时有两个相等的实数根，则所以b=，综上所述b=1或b=．2016年6月16日