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免费河北省石家庄市高考数学一模文科试卷(A)含答案解析中考数学试题试卷网2016年河北省石家庄市高考数学一模试卷（文科）（A卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|﹣2，﹣1，2，3}，B={x|﹣1＜x＜3}，则A∩B=（）A．（﹣2，3） B．（﹣1，3） C．{2} D．{﹣1，2，3}2．若复数（i是虚数单位），则=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．已知双曲线的渐近线为，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．4．设变量，y满足约束条件，则目标函数z=3x+4y的最小值为（）A．1 B．3 C． D．﹣195．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则的值为（）A． B． C． D．﹣16．已知函数y=f（x）的图象关于直线x=0对称，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，若a=f（﹣3），，c=f（2），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b7．程序框图如图，当输入x为2016时，输出的y的值为（）A． B．1 C．2 D．48．为比较甲、乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天中11时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：①甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④9．如图所示的数阵中，用A（m，n）表示第m行的第n个数，则依此规律A（8，2）为（）A． B． C． D．10．某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是（）A．4 B． C． D．1211．A，B，C是圆0上不同的三点，线段C0与线段AB交于点D，若=λ+μ（λ∈R，μ∈R），则λ+μ的取值范围是（）A．（1，+∞） B．（0，1） C．（1，] D．（﹣1，0）12．若函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象与x轴相切于一点A（m，0）（m≠0），且f（x）的极大值为，则m的值为（）A． B． C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知命题p：""，则￢p为．14．已知椭圆的左、右焦点为F1、F2，点F1关于直线y=﹣x的对称点P仍在椭圆上，则△PF1F2的周长为．15．已知△ABC中，AC=4，BC=2，∠BAC=60°，AD⊥BC于D，则的值为．16．在三棱锥P﹣ABC中，PA=BC=4，PB=AC=5，，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{an}中，2a2+a3+a5=20，且前10项和S10=100．（I）求数列{an}的通项公式；（II）若，求数列{bn}的前n项和．18．在平面四边形ACBD（图①）中，△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB=2，∠BAD=30°，∠BAC=45°，将△ABC沿AB折起，构成如图②所示的三棱锥C′﹣ABC．（Ⅰ）当时，求证：平面C′AB⊥平面DAB；（Ⅱ）当AC′⊥BD时，求三棱锥C′﹣ABD的高．19．某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：（Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；（Ⅱ）若从该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离为2到5米的这三组中，用分层抽样的方法抽取7次成绩（单位：米，运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离越远越好），并从抽到的这7次成绩中随机抽取2次．规定：这2次成绩均来自到篮筐中心的水平距离为4到5米的这一组，记1分，否则记0分．求该运动员得1分的概率．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点M（m，2），其焦点为F，且|MF|=2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆F：（x﹣1）2+y2=1相切，切点分别为A，B，求证：A、B、F三点共线．21．已知函数f（x）=ex﹣3x+3a（e为自然对数的底数，a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当，且x＞0时，．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，过点P分别做圆O的切线PA、PB和割线PCD，弦BE交CD于F，满足P、B、F、A四点共圆．（Ⅰ）证明：AE∥CD；（Ⅱ）若圆O的半径为5，且PC=CF=FD=3，求四边形PBFA的外接圆的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知曲线C1：ρ=2cosθ和曲线C2：ρcosθ=3，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P是曲线C1上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q，求线段PQ长度的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|+|x﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≥|m﹣1|恒成立，求实数m的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a，b满足a2+b2=M，证明：a+b≥2ab．2016年河北省石家庄市高考数学一模试卷（文科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|﹣2，﹣1，2，3}，B={x|﹣1＜x＜3}，则A∩B=（）A．（﹣2，3） B．（﹣1，3） C．{2} D．{﹣1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】直接找出两集合的交集即可．【解答】解：集合A={x|﹣2，﹣1，2，3}，B={x|﹣1＜x＜3}，则A∩B={2}，故选：C．2．若复数（i是虚数单位），则=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵=，∴．故选：B．3．已知双曲线的渐近线为，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，由题意可得a=4，b=3，求得c，运用离心率公式即可得到所求值．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，由渐近线为，可得a=4，又b=3，可得c==5，检验离心率e==．故选：C．4．设变量，y满足约束条件，则目标函数z=3x+4y的最小值为（）A．1 B．3 C． D．﹣19【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣1，），化目标函数z=3x+4y为y=，由图可知，当直线y=过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3，故选：B．5．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则的值为（）A． B． C． D．﹣1【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据顶点的纵坐标求A，根据周期求出ω，由五点法作图的顺序求出φ的值，从而求得f（x）的解析式，进而求得f（）的值【解答】解：由图象可得A=，=﹣，解得ω=2．再由五点法作图可得2×+φ=π，解得：φ=，故f（x）=sin（2x+），故f（）=sin（2×+）=﹣sin=﹣=﹣1．故选：D．6．已知函数y=f（x）的图象关于直线x=0对称，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，若a=f（﹣3），，c=f（2），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b【考点】函数的图象．【分析】根据函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．【解答】解：函数y=f（x）的图象关于直线x=0对称，∴f（﹣3）=f（3），∵f（x）=log2x，在x（0，+∞）为增函数，∴f（3）＞f（2）＞f（），∴a＞c＞b，故选：D．7．程序框图如图，当输入x为2016时，输出的y的值为（）A． B．1 C．2 D．4【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第1次执行循环体后，x=2013，满足进行循环的条件，第2次执行循环体后，x=2010，满足进行循环的条件，第3次执行循环体后，x=2007，满足进行循环的条件，…第n次执行循环体后，x=2016﹣3n，满足进行循环的条件，…第672次执行循环体后，x=0，满足进行循环的条件，第673次执行循环体后，x=﹣3，不满足进行循环的条件，故y=，故选：A8．为比较甲、乙两地某月11时的气温情况，随机选取该月中的5天中11时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图，考虑以下结论：①甲地该月11时的平均气温低于乙地该月11时的平均气温②甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温③甲地该月11时的气温的标准差小于乙地该月11时的气温的标准差④甲地该月11时的气温的标准差大于乙地该月11时的气温的标准差其中根据茎叶图能得到的正确结论的编号为（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【考点】茎叶图．【分析】根据茎叶图中的数据，分别求出甲、乙两地某月11时气温这两组数据的平均数、方差即可．【解答】解：由茎叶图中的数据知，乙两地某月11时的气温分别为：甲：28，29，30，31，32乙：26，28，29，31，31；可得：甲地该月11时的平均气温为=（28+29+30+31+32）=30，乙地该月11时的平均气温为=（26+28+29+31+31）=29，故甲地该月11时的平均气温高于乙地该月11时的平均气温；①错误，②正确；又甲地该月11时温度的方差为=[（28﹣30）2+（29﹣30）2+（30﹣30）2+（31﹣30）2+（32﹣30）2]=2乙地该月14时温度的方差为=[（26﹣29）2+（28﹣29）2+（29﹣29）2+（31﹣29）2+（31﹣29）2]=3.6，故＜，所以甲地该月11时的气温标准差小于乙地该月11时的气温标准差，③正确，④错误．综上，正确的命题是②③．故选：C．9．如图所示的数阵中，用A（m，n）表示第m行的第n个数，则依此规律A（8，2）为（）A． B． C． D．【考点】数列递推式．【分析】由已知中的数阵，可得第n行的第一个数和最后一个数均为：，其它数字等于上一行该数字"肩膀"上两个数字的和，结合裂项相消法，可得答案．【解答】解：由已知中：归纳可得第n行的第一个数和最后一个数均为：，其它数字等于上一行该数字"肩膀"上两个数字的和，故A（8，2）=A（7，1）+A（7，2）=A（7，1）+A（6，1）+A（6，2）=A（7，1）+A（6，1）+A（5，1）+A（5，2）=A（7，1）+A（6，1）+A（5，1）+A（4，1）+A（4，2）=A（7，1）+A（6，1）+A（5，1）+A（4，1）+A（3，1）+A（3，2）=A（7，1）+A（6，1）+A（5，1）+A（4，1）+A（3，1）+A（2，1）+A（2，2）=++++++=2（）+==，故选：D．10．某几何体的三视图如图所示，图中网格小正方形边长为1，则该几何体的体积是（）A．4 B． C． D．12【考点】由三视图求面积、体积．【分析】画出图形，说明几何体的形状，然后利用三视图的数据求解即可．【解答】解：由三视图可知几何体的图形如图．是三棱柱截去两个四棱锥的几何体，原三棱柱的高为：4，底面是等腰直角三角形，直角边长为2．截去的四棱锥如图：几何体的体积为：﹣=．故选：B．11．A，B，C是圆0上不同的三点，线段C0与线段AB交于点D，若=λ+μ（λ∈R，μ∈R），则λ+μ的取值范围是（）A．（1，+∞） B．（0，1） C．（1，] D．（﹣1，0）【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】可作图：取∠AOB=120°，∠AOC=∠BOC=60°，从而便得到四边形AOBC为菱形，这样便有，从而根据平面向量基本定理即可得到λ+μ=2，这样便可排除选项B，C，D，从而便可得出正确选项．【解答】解：∵A，B，C是圆0上不同的三点，线段C0与线段AB交于点D；∴如图所示，不妨取∠AOB=120°，∠AOC=∠BOC=60°，则四边形AOBC为菱形；∴；又；∴λ=μ=1，λ+μ=2，∴可排除B，C，D选项．故选：A．12．若函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象与x轴相切于一点A（m，0）（m≠0），且f（x）的极大值为，则m的值为（）A． B． C． D．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】联立方程组，求出a，b，求出f（x）的导数，通过讨论m的范围，得到函数f（x）的单调区间，求出f（x）的极大值，得到关于m的方程，解出即可．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R），∴f′（x）=3x2+2ax+b，∵f（x）的图象与x轴相切于一点A（m，0）（m≠0），∴，解得，∴f′（x）=（3x﹣m）（x﹣m），m＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞m或x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜m，∴f（x）在（﹣∞，）递增，在（，m）递减，在（m，+∞）递增，∴f（x）极大值=f（）=，解得：m=，m＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＜m或x＞，令f′（x）＜0，解得：＞x＞m，∴f（x）在（﹣∞，m）递增，在（m，）递减，在（，+∞）递增，∴f（x）极大值=f（m）=，而f（m）=0，不成立，综上，m=，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知命题p：""，则￢p为?x∈R，|x|+x2≥0．【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：""，则￢p为：?x∈R，|x|+x2≥0．故答案为：?x∈R，|x|+x2≥0．14．已知椭圆的左、右焦点为F1、F2，点F1关于直线y=﹣x的对称点P仍在椭圆上，则△PF1F2的周长为2+2．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设出椭圆的左焦点，关于直线y=﹣x的对称点P（m，n），由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及中点坐标公式解得m=0，n=c，由椭圆方程可得b=c=1，进而得到a的值，再由椭圆的定义可得周长为2a+2c．【解答】解：设椭圆的左焦点为（﹣c，0），点F1关于直线y=﹣x的对称点P（m，n），由=1，=﹣，解得m=0，n=c，即P（0，c），由题意方程可得b=c=1，a==，由题意的定义可得△PF1F2的周长为2a+2c=2+2．故答案为：2+2．15．已知△ABC中，AC=4，BC=2，∠BAC=60°，AD⊥BC于D，则的值为6．【考点】正弦定理．【分析】设AB=x，由余弦定理可得：=x2+42﹣2x×4ccos60°，解得x=6．设BD=m，CD=n．由于AD⊥BC于D，可得=，m+n=2，解出即可得出．【解答】解：设AB=x，由余弦定理可得：=x2+42﹣2x×4ccos60°，化为x2﹣4x﹣12=0，解得x=6．设BD=m，CD=n．∵AD⊥BC于D，∴=，m+n=2，解得m=，n=，∴==6．故答案为：6．16．在三棱锥P﹣ABC中，PA=BC=4，PB=AC=5，，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为26π．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的对角线长等于三棱锥P﹣ABC外接球的直径，即可求出三棱锥P﹣ABC外接球的表面积．【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC中，PA=BC=4，PB=AC=5，，∴构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的对角线长等于三棱锥P﹣ABC外接球的直径．设长方体的棱长分别为x，y，z，则x2+y2=16，y2+z2=25，x2+z2=11，∴x2+y2+z2=26∴三棱锥P﹣ABC外接球的直径为，∴三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为4=26π．故答案为：26π．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{an}中，2a2+a3+a5=20，且前10项和S10=100．（I）求数列{an}的通项公式；（II）若，求数列{bn}的前n项和．【考点】数列的求和．【分析】（I）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．（II）==，利用"裂项求和"方法即可得出．【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d，∵2a2+a3+a5=20，且前10项和S10=100，∴4a1+8d=20，d=100，联立解得a1=1，d=2．∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（II）==，∴数列{bn}的前n项和=+…+==．18．在平面四边形ACBD（图①）中，△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB=2，∠BAD=30°，∠BAC=45°，将△ABC沿AB折起，构成如图②所示的三棱锥C′﹣ABC．（Ⅰ）当时，求证：平面C′AB⊥平面DAB；（Ⅱ）当AC′⊥BD时，求三棱锥C′﹣ABD的高．【考点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【分析】（I）取AB的中点O，连C′O，DO，利用直角三角形的性质解出OC′，DO，利用勾股定理的逆定理得出OC′⊥OD，由等腰三角形三线合一得OC′⊥AB，故OC′⊥平面ABD，于是平面C′AB⊥平面DAB；（II）由AC′⊥BC′，AC′⊥BD得出AC′⊥平面BC′D，故AC′⊥C′D，利用勾股定理解出C′D，由勾股定理的逆定理得出BD⊥C′D，使用等积法求出棱锥的高．【解答】解：（I）取AB的中点O，连C'O，DO，∵△ABC′，△ABD是直角三角形，∠AC′B=∠ADB=90°，AB=2，∴C′O=DO==1，又C′D=，∴C′O2+DO2=C′D2，即C′O⊥OD，∵∠BAC′=45°，∴AC′=BC′，∵O是AB中点，∴OC′⊥AB，又∵AB∩OD=O，AB?平面ABD，OD?平面ABD，∴C′O⊥平面ABD，∵OC′?平面ABC′，∴平面C′AB⊥平面DAB．（II）∵AC′⊥BD，AC′⊥BC′，BD?平面BC′D，BC′?平面BC′D，∴AC′⊥平面BDC′，又C′D?平面BDC'，∴AC′⊥C′D，∴△AC′D为直角三角形．∵AB=2，∠BAC′=45°，∠BAD=30°，∠AC′B=∠ADB=90°，∴AC′=BC′=，BD=1，AD=，∴C′D==1，∴C′D2+BD2=BC′2，∴VA﹣BC′D=S△BC′DoAC′==，设三棱锥C'﹣ABD的高为h，则VC′﹣ABD===，解得．19．某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员在篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：（Ⅰ）依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；（Ⅱ）若从该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离为2到5米的这三组中，用分层抽样的方法抽取7次成绩（单位：米，运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离越远越好），并从抽到的这7次成绩中随机抽取2次．规定：这2次成绩均来自到篮筐中心的水平距离为4到5米的这一组，记1分，否则记0分．求该运动员得1分的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）由中位数两边矩形的面积相等列式求得中位数的估计值；（Ⅱ）由题意知，抽到的7次成绩中，有1次来自到篮筐的水平距离为2到3米的这一组，记作A1；有2次来自到篮筐的水平距离为3到4米的这一组，记作B1，B2；有4次来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组，记作C1，C2，C3，C4，然后由古典概型概率计算公式得答案．【解答】解：（I）设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为x，∵0.05×2+0.10+0.20＜0.5，且（0.40+0.20）×1=0.6＞0.5，∴x∈[4，5]，由0.40×（5﹣x）+0.20×1=0.5，x=4.25，∴该运动员到篮筐的水平距离的中位数是4.25（米）．（II）由题意知，抽到的7次成绩中，有1次来自到篮筐的水平距离为2到3米的这一组，记作A1；有2次来自到篮筐的水平距离为3到4米的这一组，记作B1，B2；有4次来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组，记作C1，C2，C3，C4．从7次成绩中随机抽取2次的所有可能抽法如下：（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A1，C2），（A1，C3），（A1，C4），（B1，B2），（B1，C1），（B1，C2），（B1，C3），（B1，C4），（B2，C1），（B2，C2），（B2，C3），（B2，C4），（C1，C2），（C1，C3），（C1，C4），（C2，C3），（C2，C4），（C3，C4）共21个基本事件．其中两次成绩均来自到篮筐的水平距离为4到5米的这一组的基本事件有6个．所以该运动员得的概率P=．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点M（m，2），其焦点为F，且|MF|=2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆F：（x﹣1）2+y2=1相切，切点分别为A，B，求证：A、B、F三点共线．【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）利用抛物线的定义，结合抛物线C：y2=2px（p＞0）过点M（m，2），且|MF|=2，求出p，即可求抛物线C的方程；（Ⅱ）设EA：y=kx+t联立，消去y，可得k2x2+（2kt﹣4）x+t2=0，利用直线EA与抛物线C相切，得到kt=1代入，求出A的坐标；由几何性质可以判断点O，B关于直线EF：y=﹣tx+t对称，求出B的坐标，证明kAF=kBF，即A，B，F三点共线；当t=±1时，A（1，±2），B（1，±1），此时A，B，F共线．【解答】（I）解：抛物线C的准线方程为：，∴，又抛物线C：y2=2px（p＞0）过点M（m，2），∴4=2pm，即…∴p2﹣4p+4=0，∴p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x．…（II）证明；设E（0，t）（t≠0），已知切线不为y轴，设EA：y=kx+t联立，消去y，可得k2x2+（2kt﹣4）x+t2=0∵直线EA与抛物线C相切，∴△=（2kt﹣4）2﹣4k2t2=0，即kt=1．代入，∴x=t2，即A（t2，2t），…设切点B（x0，y0），则由几何性质可以判断点O，B关于直线EF：y=﹣tx+t对称，则，解得：，即…直线AF的斜率为，直线BF的斜率为，∴kAF=kBF，即A，B，F三点共线．…当t=±1时，A（1，±2），B（1，±1），此时A，B，F共线．综上：A，B，F三点共线．…21．已知函数f（x）=ex﹣3x+3a（e为自然对数的底数，a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当，且x＞0时，．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；选择结构．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，列出变化表，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）问题等价于，设，根据函数的单调性证明即可．【解答】（I）解由f（x）=ex﹣3x+3a，x∈R知f′（x）=ex﹣3，x∈R．…令f′（x）=0，得x=ln3，…于是当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表．x （﹣∞，ln3） ln3 （ln3，+∞）f′（x） ﹣ 0 +f（x） ↓ 3（1﹣ln3+a） ↑故f（x）的单调递减区间是（﹣∞，ln3]，单调递增区间是[ln3，+∞），…f（x）在x=ln3处取得极小值，极小值为f（ln3）=eln3﹣3ln3+3a=3（1﹣ln3+a）．…（II）证明：待证不等式等价于…设，x∈R，于是g'（x）=ex﹣3x+3a，x∈R．由（I）及知：g'（x）的最小值为g′（ln3）=3（1﹣ln3+a）＞0．…于是对任意x∈R，都有g'（x）＞0，所以g（x）在R内单调递增．于是当时，对任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．…而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．即，故…请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，过点P分别做圆O的切线PA、PB和割线PCD，弦BE交CD于F，满足P、B、F、A四点共圆．（Ⅰ）证明：AE∥CD；（Ⅱ）若圆O的半径为5，且PC=CF=FD=3，求四边形PBFA的外接圆的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接AB，利用P、B、F、A四点共圆，PA与圆O切于点A，得出两组角相等，即可证明：AE∥CD；（Ⅱ）四边形PBFA的外接圆就是四边形PBOA的外接圆，OP是该外接圆的直径，由切割线定理可得PA，即可求四边形PBFA的外接圆的半径．【解答】（I）证明：连接AB．∵P、B、F、A四点共圆，∴∠PAB=∠PFB．…又PA与圆O切于点A，∴∠PAB=∠AEB，…∴∠PFB=∠AEB∴AE∥CD．…（II）解：因为PA、PB是圆O的切线，所以P、B、O、A四点共圆，由△PAB外接圆的唯一性可得P、B、F、A、O共圆，四边形PBFA的外接圆就是四边形PBOA的外接圆，∴OP是该外接圆的直径．…由切割线定理可得PA2=PCoPD=3×9=27…∴．∴四边形PBFA的外接圆的半径为．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，已知曲线C1：ρ=2cosθ和曲线C2：ρcosθ=3，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P是曲线C1上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q，求线段PQ长度的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）根据极坐标和普通坐标之间的关系进行转化求解即可．（Ⅱ）设出直线PQ的参数方程，利用参数的几何意义进行求解即可．【解答】解：（I）C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，…，C2的直角坐标方程为x=3；…（II）设曲线C1与x轴异于原点的交点为A，∴PQ过点A（2，0），设直线PQ的参数方程为，代入C1可得t2+2tcosθ=0，解得，可知|AP|=|t2|=|2cosθ|…代入C2可得2+tcosθ=3，解得，可知…所以PQ=，当且仅当时取等号，所以线段PQ长度的最小值为．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|+|x﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≥|m﹣1|恒成立，求实数m的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a，b满足a2+b2=M，证明：a+b≥2ab．【考点】函数恒成立问题．【分析】（I）求出函数的解析式，然后求解函数的最小值，通过|m﹣1|≤1，求解m的范围，得到m的最大值M．（II）法一：综合法，利用基本不等式证明即可．法二：利用分析法，证明不等式成立的充分条件即可．【解答】解：（I）由已知可得，所以fmin（x）=1，…所以只需|m﹣1|≤1，解得﹣1≤m﹣1≤1，∴0≤m≤2，所以实数m的最大值M=2…（II）法一：综合法∴ab≤1∴，当且仅当a=b时取等号，①…又∴∴，当且仅当a=b时取等号，②…由①②得，∴，所以a+b≥2ab…法二：分析法因为a＞0，b＞0，所以要证a+b≥2ab，只需证（a+b）2≥4a2b2，即证a2+b2+2ab≥4a2b2，，所以只要证2+2ab≥4a2b2，…即证2（ab）2﹣ab﹣1≤0，即证（2ab+1）（ab﹣1）≤0，因为2ab+1＞0，所以只需证ab≤1，下证ab≤1，因为2=a2+b2≥2ab，所以ab≤1成立，所以a+b≥2ab…2016年8月25日