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免费辽宁省丹东市高考数学一模试卷（理科）含解析中考数学试题试卷网2016年辽宁省丹东市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合P={x|1＜x≤2}，Q={x|x2﹣2x≥0}，若U=R，则P∪?UQ=（）A．[0，2] B．（0，2] C．（1，2] D．[1，2]2．已知复数z满足z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i3．等差数列{an}中，a2=5，a4=9，则{an}的前5项和S5=（）A．14 B．25 C．35 D．404．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：x﹣ky+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A，B两点，=+．若点M在圆C上，则实数k=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．15．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A． B．﹣1 C．2 D．﹣36．运行如图所示的程序框图后，输出的m值是（）A．﹣3 B． C． D．27．如图，一个摩天轮的半径为18m，12分钟旋转一周，它的最低点P0离地面2m，∠P0OP1=15°，摩天轮上的一个点P从P1开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离y（m）与时间x（分钟）之间的函数关系式是（）A． B．C． D．8．随机变量a服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜a＜1）=0.3000．已知a＞0，a≠1，则函数y=ax+1﹣a图象不经过第二象限的概率为（）A．0.3750 B．0.3000 C．0.2500 D．0.20009．某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A． B． C． D．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=﹣x2+ax﹣1﹣a，若函数f（x）为R上的单调减函数，则a的取值范围是（）A．a≥﹣1 B．﹣1≤a≤0 C．a≤0 D．a≤﹣111．点S，A，B，C在半径为的同一球面上，△ABC是边长为的正三角形，若点S到平面ABC的距离为，则点S与△ABC中心的距离为（）A． B． C． D．112．若存在x0∈（0，1），使得（2﹣x0）e≥2+x0，则实数a的取值范围是（）A．（ln3，+∞） B．（1，+∞） C．（，+∞） D．（0，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若cos2（α+）=，则sin2α=．14．平面向量与的夹角为60°，=（0，3），||=2，若λ∈R，则|λ+|的最小值是．15．如图，F1，F2是双曲线C：的左右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于B，A两点．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为．16．在正项等比数列{an}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+an＞a1a2…an的最大正整数n的值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b，（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求cosC的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E、F分别是线段AB、BC的中点．（Ⅰ）证明：PF⊥FD；（Ⅱ）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣PD﹣F的余弦值；．19．某工厂新研发的一种产品的成本价是4元/件，为了对该产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下6组数据：单价x（元） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量y（件） 90 84 83 80 75 68（Ⅰ）若90≤x+y＜100，就说产品"定价合理"，现从这6组数据中任意抽取2组数据，2组数据中"定价合理"的个数记为X，求X的数学期望；（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程，并用回归方程预测在今后的销售中，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润L=销售收入﹣成本）附：线性回归方程中系数计算公式：，，其中、表示样本均值．20．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点F1，F2构成的三角形中面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；（Ⅱ）若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF2与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点P，并求的取值范围．21．已知函数f（x）=2ex﹣（x﹣a）2+3，g（x）=f′（x）．（Ⅰ）当a为何值时，x轴是曲线y=g（x）的切线？（Ⅱ）当a＜﹣1时，证明：g（x）在[0，+∞）有唯一零点；（Ⅲ）当x≥0时，f（x）≥0，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E．（1）求证：AE=EB；（2）求EFoFC的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是，圆C的极坐标方程是ρ=4sinθ．（Ⅰ）求l与C交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C的圆心，Q为l与C交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程是（t为参数），求a，b的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0，且abc=1．（Ⅰ）证明：（1+a）（1+b）（1+c）≥8；（Ⅱ）证明：．2016年辽宁省丹东市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合P={x|1＜x≤2}，Q={x|x2﹣2x≥0}，若U=R，则P∪?UQ=（）A．[0，2] B．（0，2] C．（1，2] D．[1，2]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：Q={x|x2﹣2x≥0}={x|x≥2或x≤0}，?UQ={x|0＜x＜2}，则P∪?UQ={x|0＜x≤2}，故选：B．2．已知复数z满足z（1+i）=1（其中i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i【考点】复数的基本概念．【分析】把等式z（1+i）=1两边同时乘以，然后利用复数的除法运算化简复数z，求出z后可得z的共轭复数．【解答】解：由z（1+i）=1，得，∴=．故选：A．3．等差数列{an}中，a2=5，a4=9，则{an}的前5项和S5=（）A．14 B．25 C．35 D．40【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式及前n项和公式求解．【解答】解：∵等差数列{an}中，a2=5，a4=9，∴{an}的前5项和：S5====35．故选：C．4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：x﹣ky+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A，B两点，=+．若点M在圆C上，则实数k=（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】直线与圆相交的性质；平面向量的基本定理及其意义．【分析】设AB的中点为D，有=+=2，即圆心到直线的距离等于半径的一半，由点到直线的距离公式列方程解出实数k的值．【解答】解：设AB的中点为D，有=+=2，∴||=2||=R=2，∴||=1．由点到直线的距离公式得1=，解得k=0，故选：C．5．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A． B．﹣1 C．2 D．﹣3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（1，）将C的坐标代入目标函数z=2x﹣y，得z=2﹣=．即z=2x﹣y的最大值为．故选：A．6．运行如图所示的程序框图后，输出的m值是（）A．﹣3 B． C． D．2【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出前几次循环得到的m，i的值，观察规律可知，m的取值周期为4，由于2016=504×4，可得当i=2017时不满足条件i≤2016，退出循环，输出m的值为2．【解答】解：模拟执行程序，可得m=2，i=1满足条件i≤2016，m=﹣3，i=2满足条件i≤2016，m=﹣，i=3满足条件i≤2016，m=，i=4满足条件i≤2016，m=2，i=5…观察规律可知，m的取值周期为4，由于2016=504×4，可得满足条件i≤2016，m=，i=2016满足条件i≤2016，m=2，i=2017不满足条件i≤2016，退出循环，输出m的值为2．故选：D．7．如图，一个摩天轮的半径为18m，12分钟旋转一周，它的最低点P0离地面2m，∠P0OP1=15°，摩天轮上的一个点P从P1开始按逆时针方向旋转，则点P离地面距离y（m）与时间x（分钟）之间的函数关系式是（）A． B．C． D．【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【分析】根据选择项设出函数的解析式，利用待定系数法结合三角函数的图象和性质求出A，ω和φ的值即可．【解答】解：由选项设y=﹣Acos（ωx+φ）+k．摩天轮12分钟旋转一周，则函数的周期T=12，即=12，则ω=，排除A，B最小值2，最大值为36+2=38，即A+k=38，﹣A+k=2，得k=20，A=18，即y=﹣18cos（x+φ）+20，当∠P0OP1=15°，对应的时间x==，函数取得最小值2，即﹣18cos（×+φ）+20=2，cos（+φ）=1，则+φ=2kπ，则φ=2kπ﹣，k∈Z，则当k=0时，φ=﹣，即y=﹣18cos（x﹣）+20=﹣18cos（x﹣）+20，故选：D8．随机变量a服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜a＜1）=0.3000．已知a＞0，a≠1，则函数y=ax+1﹣a图象不经过第二象限的概率为（）A．0.3750 B．0.3000 C．0.2500 D．0.2000【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果．【解答】解：∵y=ax+1﹣a图象不经过第二象限，∴1﹣a≤﹣1，∴a≥2，随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜a＜1）=0.3000，∴P（1＜a＜2）=0.3000，∴P（a＞2）=0.2000，∴函数y=ax+1﹣a图象不经过第二象限的概率为=0.2500，故选：C9．某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A． B． C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体一个直三棱柱截去一个三棱锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：由三视图得该几何体是一个直三棱柱截去一个三棱锥所得的组合体，其中截面是平面ABC，且棱柱和棱锥底面是俯视图：等腰直角三角形，两条直角边是2，棱柱高为2，棱锥的高是2，∴底面面积S=×2×2=2，∴几何体的体积V==，故选：C．10．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=﹣x2+ax﹣1﹣a，若函数f（x）为R上的单调减函数，则a的取值范围是（）A．a≥﹣1 B．﹣1≤a≤0 C．a≤0 D．a≤﹣1【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性的性质，结合函数单调性的关系进行求解即可．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，∴f（0）=0，若函数f（x）为R上的单调减函数，则满足当x＞0时，函数为减函数，且当x=0时，﹣1﹣a≤0，此时，即，即﹣1≤a≤0，故选：B11．点S，A，B，C在半径为的同一球面上，△ABC是边长为的正三角形，若点S到平面ABC的距离为，则点S与△ABC中心的距离为（）A． B． C． D．1【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】设△ABC的外接圆的圆心为M，协S作SD⊥平面ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，由题意求出MC=MO=1，从而得到ME=SD=，进而求出MD=SE=，由此能求出点S与△ABC中心的距离．【解答】解：如图，∵点S、A、B、C在半径为的同一球面上，点S到平面ABC的距离为，AB=BC=CA=，设△ABC的外接圆的圆心为M，过S作SD⊥平面ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，∴半径r=MC==1，∴MO===1，∵SD⊥MC，ME⊥MC，∴MESD是矩形，∴ME=SD=，∴MD=SE===，∴SM===．故选：B．12．若存在x0∈（0，1），使得（2﹣x0）e≥2+x0，则实数a的取值范围是（）A．（ln3，+∞） B．（1，+∞） C．（，+∞） D．（0，+∞）【考点】函数单调性的性质．【分析】由存在x0∈（0，1），使ax≥ln（2+x）﹣ln（2﹣x）能成立，0＜x＜1．令f（x）=ln（2+x）﹣ln（2﹣x），则ax≥f（x）能成立，故a大于或等于f′（x），再根据f′（x）的单调递增，且f′（0）=1，从而求得a的范围．【解答】解：∵存在x0∈（0，1），使得（2﹣x0）e≥2+x0，∴≥＞1，∴ax0≥ln（2+x0）﹣ln（2﹣x0），即ax≥ln（2+x）﹣ln（2﹣x）能成立，0＜x＜1．令f（x）=ln（2+x）﹣ln（2﹣x），则ax≥f（x）能成立（0＜x＜1），故直线y=ax不能恒在函数y=f（x）的下方，故直线y=ax的斜率a大于或等于f′（x）．则f′（x）=+=＞1，f（x）在（0，1）上单调递增．∵x∈（0，1），∴f′（x）是增函数，又f′（0）=1，∴f′（x）＞0，故a＞1，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若cos2（α+）=，则sin2α=．【考点】二倍角的正弦．【分析】由条件利用半角公式求得sin2α的值．【解答】解：∵cos2（α+）==﹣sin2α=，则sin2α=，故答案为：．14．平面向量与的夹角为60°，=（0，3），||=2，若λ∈R，则|λ+|的最小值是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】对|λ+|取平方，将问题转化为求关于λ的二次函数得最值问题解决．【解答】解：=3，=3×2×cos60°=3．∴|λ+|2==9λ2+6λ+4=9（λ+）2+3．∴当时，|λ+|2取得最小值3．∴|λ+|的最小值为．故答案为：．15．如图，F1，F2是双曲线C：的左右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于B，A两点．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，△ABF2为等边三角形，可求m的值，在△AF1F2中，由余弦定理，可得结论．【解答】解：设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，可得|BF1|=m﹣2a∴|AF1|=2m﹣2a∵|AF1|﹣|AF2|=2a∴2m﹣2a﹣m=2a∴m=4a在△AF1F2中，|AF1|=6a，|AF2|=4a，|F1F2|=2c，∠F1AF2=60°∴由余弦定理可得4c2=（6a）2+（4a）2﹣2o6ao4ao∴c=a∴=故答案为：．16．在正项等比数列{an}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+an＞a1a2…an的最大正整数n的值为12．【考点】等比数列的前n项和；一元二次不等式的解法；数列的函数特性；等差数列的前n项和．【分析】设正项等比数列{an}首项为a1，公比为q，由题意可得关于这两个量的方程组，解之可得数列的通项公式和a1+a2+…+an及a1a2…an的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案．【解答】解：设正项等比数列{an}首项为a1，公比为q，由题意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通项公式为an==2n﹣6．记Tn=a1+a2+…+an==，Sn=a1a2…an=2﹣5×2﹣4…×2n﹣6=2﹣5﹣4+…+n﹣6=．由题意可得Tn＞Sn，即＞，化简得：2n﹣1＞，即2n﹣＞1，因此只须n＞，即n2﹣13n+10＜0解得＜n＜，由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12．故答案为：12三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b，（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求cosC的值．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利用大边对大角可得A为锐角，可求cosA，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可求sinC的值．（Ⅱ）设a=2t，b=3t，由已知可求，利用余弦定理即可得解cosC的值．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB又∵B=60°，代入得3sinA=2sin60°，解得．∵a：b=2：3，∴A＜B，即∴．…（Ⅱ）设a=2t，b=3t，则，则．…18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E、F分别是线段AB、BC的中点．（Ⅰ）证明：PF⊥FD；（Ⅱ）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣PD﹣F的余弦值；．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（I）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由线面垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由线面垂直的性质定理得到PF⊥FD；（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A﹣PD﹣F的平面角，解三角形MNF可得答案．【解答】（Ⅰ）证明：连接AF，则，又AD=2，∴DF2+AF2=AD2，∴DF⊥AF又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，∴（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，且∠PBA=45°．∴PA=AB=1取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A﹣PD﹣F的平面角∵Rt△MND∽Rt△PAD，∴，∵，且∠FMN=90°∴，，∴19．某工厂新研发的一种产品的成本价是4元/件，为了对该产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下6组数据：单价x（元） 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量y（件） 90 84 83 80 75 68（Ⅰ）若90≤x+y＜100，就说产品"定价合理"，现从这6组数据中任意抽取2组数据，2组数据中"定价合理"的个数记为X，求X的数学期望；（Ⅱ）求y关于x的线性回归方程，并用回归方程预测在今后的销售中，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润L=销售收入﹣成本）附：线性回归方程中系数计算公式：，，其中、表示样本均值．【考点】线性回归方程；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）根据题意，得出X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列与数学期望EX；（Ⅱ）计算、，求出、，写出y关于x的线性回归方程，得出利润函数L（x）的解析式，利用二次函数的性质求出L（x）的最大值与对应x的值．【解答】解：（Ⅰ）X的可能取值为0，1，2；满足90≤x+y＜100的有3组，所以P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==；X的分布列为X 0 1 2P 
数学期望为EX=0×+1×+2×=1；…（Ⅱ）因为=8.5，=80，=0.7，（xi﹣）（yi﹣）=﹣14；所以==﹣20，=﹣=250；y关于x的线性回归方程是=﹣20x+250，利润函数L（x）=x（﹣20x+250）﹣4（﹣20x+250）=﹣20x2+330x﹣1000；当x=﹣=8.25时，L（x）取得最大值361.25；故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．…20．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点F1，F2构成的三角形中面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；（Ⅱ）若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF2与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点P，并求的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率，三角形的面积，椭圆几何量的关系，求出a，b，c得到椭圆的方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，﹣y1），推出AB：y=kx+m．代入利用韦达定理，以及B，C，F2共线，得到，推出m=﹣4k．说明AB与x轴交于定点P（4，0），然后求解的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，a2=c2+c2，解得c=1，a=2，．椭圆的标准方程是．…（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，﹣y1），AB：y=kx+m．将y=kx+m，代入得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0．则，．因为B，C，F2共线，所以，即．整理得2kx1x2+（m﹣k）（x1+x2）﹣2m=0，所以，m=﹣4k．AB：y=k（x﹣4），与x轴交于定点P（4，0）．…因为，所以=．因为﹣2＜x1＜2，所以的取值范围是．…21．已知函数f（x）=2ex﹣（x﹣a）2+3，g（x）=f′（x）．（Ⅰ）当a为何值时，x轴是曲线y=g（x）的切线？（Ⅱ）当a＜﹣1时，证明：g（x）在[0，+∞）有唯一零点；（Ⅲ）当x≥0时，f（x）≥0，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．（Ⅱ）当a＜﹣1时，求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数单调性的性质即可证明：g（x）在[0，+∞）有唯一零点；（Ⅲ）当x≥0时，f（x）≥0的等价条件f（x）在[0，+∞）最小值大于或等于，求函数的导数，利用函数最值和导数之间的关系即可求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）g（x）=2（ex﹣x+a），设曲线y=g（x）与x轴相切于点（x0，0），则g（x0）=0，g'（x0）=0．即，解得x0=0，a=﹣1，因此当a=﹣1时，x轴是曲线y=g（x）的切线．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a=﹣1时，曲线y=g（x）与x轴相切于点（0，0）．当x≥0时，g'（x）=2（ex﹣1）≥0，g（x）在[0，+∞）单调递增．当a＜﹣1时，g（0）=2（1+a）＜0．所以曲线y=g（x）在y轴两侧与x轴各有一个交点．因此g（x）在[0，+∞）有唯一零点．…（Ⅲ）当x≥0时，f（x）≥0，等价于f（x）在[0，+∞）最小值大于或等于0．首先，f（0）≥0，即2﹣a2+3≥0，解得．当时，由（Ⅱ）知f'（x）≥f'（0）≥0．所以f（x）在[0，+∞）内单调递增，f（x）≥f（0）≥0；当时，f'（x）在[0，+∞）有唯一零点，设零点是t，则et=t﹣a．当x∈（0，t）时，f'（x）＜0；当x∈（t，+∞）时，f'（x）＞0．所以f（x）在（0，t）上单调递减，在（t，+∞）上单调递增．所以f（x）在[0，+∞）最小值是f（t）=2et﹣（t﹣a）2+3=﹣（et+1）（et﹣3）．由f（t）≥0，得0＜t≤ln3．由于a=t﹣et，设h（x）=x﹣ex，当x∈（0，+∞）时，h'（x）=1﹣ex＜0，h（x）在（0，+∞）单调递减．因为0＜t≤ln3，所以a=t﹣et∈[ln3﹣3，﹣1）．综上，实数a的取值范围是．…请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，连结CF并延长交AB于点E．（1）求证：AE=EB；（2）求EFoFC的值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由题意得EA为圆D的切线，由切割线定理，得EA2=EFoEC，EB2=EFoEC，由此能证明AE=EB．（2）连结BF，得BF⊥EC，在RT△EBC中，，由射影定理得EFoFC=BF2，由此能求出结果．【解答】（1）证明：由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，∴EA为圆D的切线依据切割线定理，得EA2=EFoEC…另外圆O以BC为直径，∴EB是圆O的切线，同样依据切割线定理得EB2=EFoEC…故AE=EB…（2）解：连结BF，∵BC为圆O直径，∴BF⊥EC在RT△EBC中，有…又在Rt△BCE中，由射影定理得EFoFC=BF2=．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是，圆C的极坐标方程是ρ=4sinθ．（Ⅰ）求l与C交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C的圆心，Q为l与C交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程是（t为参数），求a，b的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）列出关于θ符方程，通过三角函数求解θ，即可求l与C交点的极坐标；（Ⅱ）直线PQ的参数方程是消去参数t，得到普通方程，利用第一问的结果，即可求a，b的值．【解答】解：（Ⅰ）ρ=4sinθ代入，得sinθcosθ=cos2θ．所以cosθ=0或tanθ=1，取，．再由ρ=4sinθ得ρ=4，或．所以l与C交点的极坐标是，或．…（Ⅱ）参数方程化为普通方程得．由（Ⅰ）得P，Q的直角坐标分别是（0，2），（1，3），代入解得a=﹣1，b=2．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0，且abc=1．（Ⅰ）证明：（1+a）（1+b）（1+c）≥8；（Ⅱ）证明：．【考点】不等式的证明．【分析】（Ⅰ）利用，相乘即可证明结论．（Ⅱ）利用，，，，相加证明即可．【解答】证明：（Ⅰ），相乘得：（1+a）（1+b）（1+c）≥8abc=8．实数a，b，c满足a＞0，b＞0，c＞0，且abc=1．（1+a）（1+b）（1+c）≥8﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ），，，，相加得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣2016年8月25日