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免费信阳市新县中考数学模拟试卷含答案解析中考数学试题试卷网2016年河南省信阳市新县中考数学模拟试卷（十一）一、选择题1．如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中表示互为相反数的点是（）A．点A与点D B．点A与点C C．点B与点D D．点B与点C2．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个4．下列运算正确的是（）A．5ab﹣ab=4 B．+= C．a6÷a2=a4 D．（a2b）3=a5b35．下列调查中，适合用普查方式的是（）A．调查佛山市市民的吸烟情况B．调查佛山市电视台某节目的收视率C．调查佛山市市民家庭日常生活支出情况D．调查佛山市某校某班学生对"文明佛山"的知晓率6．小卖部货架上摆放着某品牌方便面，它们的三视图如图，货架上的方便面至多有（）A．7盒 B．8盒 C．9盒 D．10盒7．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，直线CD与⊙O相切于点C，若∠DCB=40°，则∠CAB的度数是（）A．40° B．50° C．80° D．100°8．如图，在平面直角坐标系xOy中，等边三角形ABC的顶点A在反比例函数y=（k＞0）的图象上，顶点B，C在x轴正半轴上，BC=8，将等边三角形ABC沿x轴正方向平移8个单位长度，得到△A′B′C′，线段A′C′的中点恰好又落在反比例函数y=（k＞0）的图象上，则此时线段OC′的长为（）A．16 B．22 C．6 D．14二、填空题9．分解因式：2a2﹣4a+2=_______．10．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC=90°，则∠A=_______．11．已知命题："如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．"写出它的逆命题：_______，该逆命题是_______命题（填"真"或"假"）．12．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，延长BA，EF交于点O．以O为原点，以边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则直线DF与直线AE的交点坐标是（_______，_______）．13．有甲、乙两个黑布袋，甲布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字﹣1和2；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字﹣2、﹣3和﹣4．小明从甲袋中随机取出一个小球，记其标有的数字为a，再从乙袋中随机取出一个小球，记其标有数字为b：则满足x2+（a+b）x+4=0有两个不相等实数根的概率是_______．14．如图，菱形OABC中，∠A=120°，OA=1，将菱形OABC绕点O按顺时针方向旋转90°，则图中阴影部分的面积是_______．15．如图，将矩形纸片ABCD沿直线AE折叠，点B恰好落在线段CD的中点F上，点G是线段AF上一动点（不与A，F重合），点G过GH⊥AB，垂足为H，将矩形沿直线GH翻折，点A恰好落在线段BH上点A′处．若AB长为8，则当△A′GE为直角三角形时，AH的长为_______．三、解答题（本大题共8小题，满分75分）16．先化简，再求代数式的值，其中a=2tan60°﹣1．17．某校为了增加初三学生的复习时间，把上课时间提前到7：10；初二综合实践活动小组想探索这一举措的合理性，决定对初三学生到校时间及早餐质量进行调查．他们从早上6：30开始在校门口对初三到校学生进行观察统计，并把统计结果绘成条形统计图；然后对初三学生早餐质量进行抽样调查，并把结果画成扇形统计图．1）该校初三学生约有_______人，迟到学生有_______人，占初三学生总数的_______%．2）计算因担心迟到而在路上随便吃点早餐的初三学生数．3）通过以上信息，你认为"初三提前到7：10上课"这一举措是否合理？谈谈你的看法（不超过30字）18．如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF．（1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是_______，并证明．（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．19．为缓解交通压力，节约能源减少大气污染，上海市政府推行"P+R"模式（即：开自驾车人士，将车开到城郊结合部的轨道车站附近停车，转乘轨道交通到市中心）．市郊某地正在修建地铁站，拟同步修建地下停车库．如图，是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN∥AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D、F，坡道AB的坡度i=1：3，AD=9米，C在DE上，DC=0.5米，CD是限高标志牌的高度（标志牌上写有：限高_______米）．如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，计算该停车库限高多少米．（结果精确到0.1米）（提供可选用的数据：）20．如图1，直角三角形AOB中，∠AOB=90°，AB∥x轴，OA=2OB，AB=5，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图2，P（x，y）在（1）中的反比例函数图象上，其中1＜x＜8，连接OP，过点O作OQ⊥OP，且OP=2OQ，连接PQ，设点Q坐标为（m，n），其中m＜0，n＞0，求n与m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．21．2013年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定从以下两个投资方案中选择一个进行投资生产，方案一：生产甲产品，每件产品成本为a元（a为常数，且40＜a＜100），每件产品销售价为120元，每年最多可生产125万件；方案二：生产乙产品，每件产品成本价为80元，每件产品销售价为180元，每年可生产120万件，另外，年销售x万件乙产品时需上交0.5x2万元的特别关税，在不考虑其它因素的情况下：（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润y1（万元）、y2（万元）与相应生产件数x（万件）（x为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？22．在□ABCD中，BC=2AB，M为AD的中点，设∠ABC=α，过点C作直线AB的垂线，垂足为点E，连ME．（1）如图①，当α=90°，ME与MC的数量关系是_______；∠AEM与∠DME的关系是_______；（2）如图②，当60°＜α＜90°时，请问：（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图③，当0°＜α＜60°时，请在图中画出图形，ME与MC的数量关系是_______；∠AEM与∠DME的关系是_______．（直接写出结论即可，不必证明）23．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．（1）求点E的坐标；（2）求抛物线的函数解析式；（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连接ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求△BON面积的最大值，并求出此时点N的坐标；（4）连接AN，当△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标．2016年河南省信阳市新县中考数学模拟试卷（十一）参考答案与试题解析一、选择题1．如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中表示互为相反数的点是（）A．点A与点D B．点A与点C C．点B与点D D．点B与点C【考点】相反数；数轴．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【解答】解：2与﹣2互为相反数，故选：A．【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：A、是轴对称图形，故A符合题意；B、不是轴对称图形，故B不符合题意；C、不是轴对称图形，故C不符合题意；D、不是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【考点】平行线的性质；余角和补角．【专题】几何图形问题．【分析】由互余的定义、平行线的性质，利用等量代换求解即可．【解答】解：∵斜边与这根直尺平行，∴∠α=∠2，又∵∠1+∠2=90°，∴∠1+∠α=90°，又∠α+∠3=90°∴与α互余的角为∠1和∠3．故选：C．【点评】此题考查的是对平行线的性质的理解，目的是找出与∠α和为90°的角．4．下列运算正确的是（）A．5ab﹣ab=4 B．+= C．a6÷a2=a4 D．（a2b）3=a5b3【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；分式的加减法．【专题】计算题．【分析】A、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；B、原式通分并利用同分母分式的加法法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断；D、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、原式=4ab，故A选项错误；B、原式=，故B选项错误；C、原式=a4，故C选项正确；D、原式=a6b3，故D选项错误．故选：C．【点评】此题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．5．下列调查中，适合用普查方式的是（）A．调查佛山市市民的吸烟情况B．调查佛山市电视台某节目的收视率C．调查佛山市市民家庭日常生活支出情况D．调查佛山市某校某班学生对"文明佛山"的知晓率【考点】全面调查与抽样调查．【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【解答】解：A．调查佛山市市民的吸烟情况，所费人力、物力和时间较多，适合抽样调查，故A选项错误；B．调查佛山市电视台某节目的收视率，所费人力、物力和时间较多，适合抽样调查，故B选项错误；C．调查佛山市市民家庭日常生活支出情况，所费人力、物力和时间较多，适合抽样调查，故C选项错误；D．调查佛山市某校某班学生对"文明佛山"的知晓率，适合用普查方式，故D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．6．小卖部货架上摆放着某品牌方便面，它们的三视图如图，货架上的方便面至多有（）A．7盒 B．8盒 C．9盒 D．10盒【考点】由三视图判断几何体．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【解答】解：易得第一层有4碗，第二层至多有2碗，第三层至多有1碗，所以至多共有4+4+1=9盒．故选：C．【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀"俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章"就更容易得到答案．7．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，直线CD与⊙O相切于点C，若∠DCB=40°，则∠CAB的度数是（）A．40° B．50° C．80° D．100°【考点】切线的性质．【分析】根据切线的性质可得∠OCD=90°，进而可得∠OCB的度数，再利用三角形内角和为180°求出∠COB的度数，根据圆周角定理可得∠CAB的度数．【解答】解：∵直线CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD=90°，∵∠DCB=40°，∴∠OCB=50°，∵CO=BO，∴∠OBC=50°，∴∠COB=80°，∴∠CAB=80°=40°，故选：A．【点评】此题主要考查了切线的性质，以及圆周角定理，关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，等边三角形ABC的顶点A在反比例函数y=（k＞0）的图象上，顶点B，C在x轴正半轴上，BC=8，将等边三角形ABC沿x轴正方向平移8个单位长度，得到△A′B′C′，线段A′C′的中点恰好又落在反比例函数y=（k＞0）的图象上，则此时线段OC′的长为（）A．16 B．22 C．6 D．14【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；坐标与图形变化-平移．【分析】设A（a，b），根据等边三角形的性质和平移的规律得到点A′、C、C′的坐标，由反比例函数图象上点的坐标特征来求a的值即可．【解答】解：设A（a，b），则C（a+4，0），A′（a+8，b），C′（a+12，0）．所以线段A′C′的中点坐标是（a+10，）．则ab=（a+10）o，解得a=10．所以C′（22，0）．所以线段OC′的长为22．故选：B．【点评】本题综合考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及坐标与图形变化．解题时，采取了"设而不解"的方法来求a的值，减少了繁琐的计算过程．二、填空题9．分解因式：2a2﹣4a+2=2（a﹣1）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】计算题．【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=2（a2﹣2a+1）=2（a﹣1）2．故答案为：2（a﹣1）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．10．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC=90°，则∠A=55°．【考点】旋转的性质．【分析】根据题意得出∠ACA′=35°，则∠A′=90°﹣35°=55°，即可得出∠A的度数．【解答】解：∵把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，∠A′DC=90°，∴∠ACA′=35°，则∠A′=90°﹣35°=55°，则∠A=∠A′=55°．故答案为：55°．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理等知识，得出∠A′的度数是解题关键．11．已知命题："如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．"写出它的逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题（填"真"或"假"）．【考点】命题与定理．【分析】交换原命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题．【解答】解："如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．"写成它的逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，该逆命题是假命题，故答案为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假．【点评】本题考查逆命题的概念，以及判断真假命题的能力以及全等三角形的判定和性质．12．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，延长BA，EF交于点O．以O为原点，以边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则直线DF与直线AE的交点坐标是（2，4）．【考点】正多边形和圆；两条直线相交或平行问题．【专题】压轴题．【分析】首先得出△AOF是等边三角形，利用建立的坐标系，得出D，F点坐标，进而求出直线DF的解析式，进而求出横坐标为2时，其纵坐标即可得出答案．【解答】解：连接AE，DF，∵正六边形ABCDEF的边长为2，延长BA，EF交于点O，∴可得：△AOF是等边三角形，则AO=FO=FA=2，∵以O为原点，以边AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，∠EOA=60°，EO=FO+EF=4，∴∠EAO=90°，∠OEA=30°，故AE=4cos30°=6，∴F（，3），D（4，6），设直线DF的解析式为：y=kx+b，则，解得：，故直线DF的解析式为：y=x+2，当x=2时，y=2×+2=4，∴直线DF与直线AE的交点坐标是：（2，4）．故答案为：2，4．【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及待定系数法求一次函数解析式等知识，得出F，D点坐标是解题关键．13．有甲、乙两个黑布袋，甲布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字﹣1和2；乙袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字﹣2、﹣3和﹣4．小明从甲袋中随机取出一个小球，记其标有的数字为a，再从乙袋中随机取出一个小球，记其标有数字为b：则满足x2+（a+b）x+4=0有两个不相等实数根的概率是．【考点】列表法与树状图法；根的判别式．【分析】依据题意用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，再根据概率公式即可求出该事件的概率．【解答】解：如图所示：，∵△=（a+b）2﹣4×1×4，当a=﹣1，b=﹣2时，△=9﹣16=﹣7＜0，此方程无实数根；当a=﹣1，b=﹣3时，△=16﹣16=0，此方程有两个相等的实数根；当a=﹣1，b=﹣4时，△=25﹣16=9，此方程有两个不相等的实数根；当a=2，b=﹣2时，△=0﹣16=﹣16＜0，此方程无实数根；当a=2，b=﹣3时，△=1﹣16=﹣15＜0，此方程无实数根；当a=2，b=﹣4时，△=4﹣16=﹣12＜0，此方程无实数根；∴满足x2+（a+b）x+4=0有两个不相等实数根的概率是：．故答案为：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．如图，菱形OABC中，∠A=120°，OA=1，将菱形OABC绕点O按顺时针方向旋转90°，则图中阴影部分的面积是．【考点】扇形面积的计算；菱形的性质；旋转的性质．【专题】压轴题．【分析】连接OB、OB′，阴影部分的面积等于扇形BOB′的面积减去两个△OCB的面积和扇形OCA′的面积．根据旋转角的度数可知：∠BOB′=90°，已知了∠A=120°，那么∠BOC=∠A′OB′=30°，可求得扇形A′OC的圆心角为30°，进而可根据各图形的面积计算公式求出阴影部分的面积．【解答】解：连接OB、OB′，过点A作AN⊥BO于点N，菱形OABC中，∠A=120°，OA=1，∴∠AOC=60°，∠COA′=30°，∴AN=，∴NO==，∴BO=，∴S△CBO=S△C′B′O=×AOo2COosin60°=，S扇形OCA′==，S扇形OBB′==；∴阴影部分的面积=﹣（2×+）=．故答案为：．【点评】此题考查了菱形的性质、扇形的面积公式、等边三角形的性质等知识点．利用已知得出S扇形OBB′的面积以及S△CBO，S△C′B′O的面积是解题关键．15．如图，将矩形纸片ABCD沿直线AE折叠，点B恰好落在线段CD的中点F上，点G是线段AF上一动点（不与A，F重合），点G过GH⊥AB，垂足为H，将矩形沿直线GH翻折，点A恰好落在线段BH上点A′处．若AB长为8，则当△A′GE为直角三角形时，AH的长为．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据翻转的性质可知△ABE≌△AFE，由于AF=AB=8，EF=BE，∠2=∠3，于是得到DC=AB=8，BC=AD，根据勾股定理得到BC=AD===4，根据已知求得∠1=∠2=30°，设BE=x，则EF=x，CE=4﹣x，由勾股定理列方程解得BE=x=，根据折叠的性质得到AG=A′G，AH=A′H，证出△AGA′是等边三角形，推出△AGE≌△AA′E，得到GE=A′E，当△A′GE是直角三角形时，只能∠A′EG=90°，于是得到△A′EG是等腰直角三角形，设AH=y，则AA′=A′G=2y，A′B=AB=AB﹣AA′=8﹣2y，再根据勾股定理列方程即可得到结果．【解答】解：如图所示，根据翻转的性质可知：△ABE≌△AFE，∵AF=AB=8，EF=BE，∠2=∠3，有已知得：DC=AB=8，BC=AD，∵F是DC的中点，DF=CF=DC=4，∴BC=AD===4，∵∠D=90°，AF=2DF，∴∠1=30°，∴∠BAF=60°，∴∠1=∠2=30°，设BE=x，则EF=x，CE=4﹣x，在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2，即，解得：BE=x=，∵矩形沿GH翻折，点A落在线段BH上点A′处，∴AG=A′G，AH=A′H，∵∠BAF=60°，∴△AGA′是等边三角形，∴AG=AA′，在△AGE与△AA′E中，，∴△AGE≌△AA′E，∴GE=A′E，∴当△A′GE是直角三角形时，只能∠A′EG=90°，∴△A′EG是等腰直角三角形，设AH=y，则AA′=A′G=2y，A′B=AB=AB﹣AA′=8﹣2y，在等腰直角三角形A′GE中，A′E=A′G=y，在直角三角形A′BE中，A′E==，2y2=（8﹣2y）2+（）2解得：y1=，y2=8（不合题意舍去），∴AH=，故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，满分75分）16．先化简，再求代数式的值，其中a=2tan60°﹣1．【考点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】先将分式的分子、分母因式分解，再将除法转化为乘法，将a=2tan60°﹣1的结果计算出来，代入求值即可．【解答】解：原式=÷（+）=÷=×=，又∵a=2tan60°﹣1=2×﹣1=2﹣1，∴原式===1﹣．【点评】本题考查了分式的化简求值、特殊角的三角函数值，会因式分解是解题的关键．17．某校为了增加初三学生的复习时间，把上课时间提前到7：10；初二综合实践活动小组想探索这一举措的合理性，决定对初三学生到校时间及早餐质量进行调查．他们从早上6：30开始在校门口对初三到校学生进行观察统计，并把统计结果绘成条形统计图；然后对初三学生早餐质量进行抽样调查，并把结果画成扇形统计图．1）该校初三学生约有480人，迟到学生有120人，占初三学生总数的25%．2）计算因担心迟到而在路上随便吃点早餐的初三学生数．3）通过以上信息，你认为"初三提前到7：10上课"这一举措是否合理？谈谈你的看法（不超过30字）【考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图．【分析】（1）把各组的人数相加即可求得初三学生数，以及迟到的学生数，进而求得占初三学生所占的百分比；（2）利用总数乘以所对的百分比即可；（3）根据实际情况，结合吃早餐的情况谈一下说法即可．【解答】解：（1）初三学生的人数是：17+43+80+220+65+45+10=480（人），迟到的学生人数是：65+45+10=120（人），占初三学生的百分比是：×100%=25%．故答案是：480，120，25；（2）因担心迟到而在路上随便吃点早餐的初三学生数是：480×（1﹣55%﹣15%）=144（人）；（3）根据调查可以得到"初三提前到7：10上课"这一举措不合理，影响学生早餐质量．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．18．如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF．（1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是EH=FH，并证明．（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定．【专题】几何综合题；分类讨论．【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH，（2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形．【解答】（1）答：添加：EH=FH，证明：∵点H是BC的中点，∴BH=CH，在△BEH和△CFH中，，∴△BEH≌△CFH（SAS）；（2）解：∵BH=CH，EH=FH，∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），∵当BH=EH时，则BC=EF，∴平行四边形BFCE为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，是基础题，难度不大．19．为缓解交通压力，节约能源减少大气污染，上海市政府推行"P+R"模式（即：开自驾车人士，将车开到城郊结合部的轨道车站附近停车，转乘轨道交通到市中心）．市郊某地正在修建地铁站，拟同步修建地下停车库．如图，是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN∥AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D、F，坡道AB的坡度i=1：3，AD=9米，C在DE上，DC=0.5米，CD是限高标志牌的高度（标志牌上写有：限高米）．如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，计算该停车库限高多少米．（结果精确到0.1米）（提供可选用的数据：）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】几何综合题．【分析】据题意得出，即可得出tanA，在Rt△ADE中，根据勾股定理可求得DE，即可得出∠1的正切值，再在Rt△CEF中，设EF=x，即可求出x，从而得出CF=3x的长．【解答】解：据题意得，∵MN∥AD，∴∠A=∠B，∴∵DE⊥AD，∴在Rt△ADE中，，∵AD=9，∴DE=3（2分），又∵DC=0.5，∴CE=2.5，∵CF⊥AB，∴∠1+∠2=90°，∵DE⊥AD，∴∠A+∠2=90°，∴∠A=∠1，∴（2分）在Rt△CEF中，CE2=EF2+CF2设EF=x，CF=3x（x＞0），CE=2.5，代入得解得（如果前面没有"设x＞0"，则此处应"，舍负"）（3分）∴CF=3x=≈2.3（2分），∴该停车库限高2.3米．（1分）【点评】本题考查了解直角三角形的应用，坡面坡角问题和勾股定理，解题的关键是坡度等于坡角的正切值．20．如图1，直角三角形AOB中，∠AOB=90°，AB∥x轴，OA=2OB，AB=5，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图2，P（x，y）在（1）中的反比例函数图象上，其中1＜x＜8，连接OP，过点O作OQ⊥OP，且OP=2OQ，连接PQ，设点Q坐标为（m，n），其中m＜0，n＞0，求n与m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）设AB与y轴的交点为点D，由AB∥x轴可得出∠ADO=∠ODB=90°，根据∠AOB=90°，可得出∠B+∠A=90°，通过角的计算即可得出∠BOD=∠A，从而得出△ADO∽△ODB，再根据相似三角形的性质即可得出=，结合OA=2OB，AB=5，AB=AD+BD即可求出OD、AD的长度，从而得出点A的坐标，根据点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数解析式；（2）过点P作PM⊥x轴于点M，过点Q作QN⊥x轴于点N，通过角的计算找出∠POM=∠OQN，结合∠ONQ=∠PMO=90°即可证出△POM∽△OQN，根据相似三角形的性质即可得出，再结合点P、Q的坐标特征即可得出m、n之间的关系式，结合1＜x＜8即可找出m的取值范围．【解答】解：（1）设AB与y轴的交点为点D，如图3所示．∵AB∥x轴，∴OD⊥AB，∴∠ADO=∠ODB=90°．∵∠AOB=90°，∴∠B+∠A=90°，∵∠B+∠BOD=90°，∴∠BOD=∠A，∴△ADO∽△ODB，∴=．∵OA=2OB，AB=5，AB=AD+BD，∴OD=2，AD=4，∴点A的坐标为（4，2），∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A，∴2=，解得：k=8，∴反比例函数的解析式为y=．（2）过点P作PM⊥x轴于点M，过点Q作QN⊥x轴于点N，如图4所示．∵QN⊥x轴，PM⊥x轴，∴∠ONQ=∠PMO=90°，∵∠POQ=90°，∴∠QON+∠POM=90°，∠QON+∠OQN=90°，∴∠POM=∠OQN，∴△POM∽△OQN，∴．∵OP=2OQ，P（x，y），Q（m，n），且1＜x＜8，m＜0，n＞0，∴ON=﹣m=PM=y，QN=n=OM=x，∵1＜x＜8，∴1＜y＜8，∵m=﹣y，∴﹣4＜m＜﹣．∵P（x，y）在（1）中的反比例函数图象上，∴xoy=8（1＜x＜8），∴﹣4mn=8，∴n=﹣（﹣4＜m＜﹣）．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质以及角的计算，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）利用x、y表示出m、n．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据相似三角形的性质找出边与边之间的关系是关键．21．2013年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定从以下两个投资方案中选择一个进行投资生产，方案一：生产甲产品，每件产品成本为a元（a为常数，且40＜a＜100），每件产品销售价为120元，每年最多可生产125万件；方案二：生产乙产品，每件产品成本价为80元，每件产品销售价为180元，每年可生产120万件，另外，年销售x万件乙产品时需上交0.5x2万元的特别关税，在不考虑其它因素的情况下：（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润y1（万元）、y2（万元）与相应生产件数x（万件）（x为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据题意直接得出y1与y2与x的函数关系式即可；（2）根据a的取值范围可知y1随x的增大而增大，可求出y1的最大值．又因为﹣0.5＜0，可求出y2的最大值；（3）第三问要分两种情况决定选择方案一还是方案二．当2000﹣200a＞500以及2000﹣200a＜500．【解答】解：（1）由题意得：y1=（120﹣a）x（1≤x≤125，x为正整数），y2=100x﹣0.5x2（1≤x≤120，x为正整数）；（2）①∵40＜a＜100，∴120﹣a＞0，即y1随x的增大而增大，∴当x=125时，y1最大值=（120﹣a）×125=15000﹣125a（万元）②y2=﹣0.5（x﹣100）2+5000，∵a=﹣0.5＜0，∴x=100时，y2最大值=5000（万元）；（3）∵由15000﹣125a＞5000，∴a＜80，∴当40＜a＜80时，选择方案一；由15000﹣125a=5000，得a=80，∴当a=80时，选择方案一或方案二均可；由15000﹣125a＜5000，得a＞80，∴当80＜a＜100时，选择方案二．【点评】此题属于一次函数和二次函数的综合的应用题，考查数列模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，解题的构建是确定数列模型．22．在□ABCD中，BC=2AB，M为AD的中点，设∠ABC=α，过点C作直线AB的垂线，垂足为点E，连ME．（1）如图①，当α=90°，ME与MC的数量关系是ME=MC；∠AEM与∠DME的关系是∠DME﹣∠AEM=180°﹣α；（2）如图②，当60°＜α＜90°时，请问：（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图③，当0°＜α＜60°时，请在图中画出图形，ME与MC的数量关系是ME=MC；∠AEM与∠DME的关系是∠DME﹣∠AEM=α．（直接写出结论即可，不必证明）【考点】平行四边形的性质；平行线的性质；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质．【专题】综合题；探究型．【分析】（1）根据α=90°，□ABCD是矩形，又M为AD的中点，所以可以证明△ABM与△DCM是全等三角形，根据全等三角形对应边相等即可得到ME=MC；根据三角形外角性质，∠DME﹣∠AEB=∠A，再根据两直线平行，同旁内角互补，∠A=180°﹣α；（2）点E在线段AB上，过M作MN⊥EC于N，根据M为AD的中点，可得出MN是梯形AECD的中位线，故点N是EC的中点，从而MN是线段EC的垂直平分线，所以ME=MC；先根据两直线平行，同旁内角互补求出∠A的度数，再根据三角形的外角性质即可得到两角的关系．（3）点E在线段BA的延长线上，根据（2）的证明求解方法，同理可解．【解答】（1）ME=MC；∠DME﹣∠AEM=180°﹣α．（2）成立．连CM，过M作MN⊥EC于N，∵AB⊥CE，MN⊥CE，∴AB∥MN，∵AB∥CD，∴AB∥MN∥CD，∵M为AD的中点，∴MN是梯形AECD的中位线，∴N是CE的中点，∵CE⊥AB，∴MN是△MEC的中线，∴EM=CM（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）；在△AEM中，∠AEM+∠A=∠DME，∵AD∥BC，∠ABC=α，∴∠A=180°﹣α，∴∠DME﹣∠AEM=∠A=180°﹣α．（3）EM=MC，∠DME﹣∠AEM=∠EAM=∠B=α．【点评】本题主要考查平行四边形的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质以及两直线平行，同旁内角互补的性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．23．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．（1）求点E的坐标；（2）求抛物线的函数解析式；（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连接ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求△BON面积的最大值，并求出此时点N的坐标；（4）连接AN，当△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；压轴题．【分析】（1）根据A、B两点坐标求直线AB的解析式，令x=0，可求E点坐标；（2）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将A（﹣2，2），B（6，6），O（0，0）三点坐标代入，列方程组求a、b、c的值即可；（3）依题意，得直线OB的解析式为y=x，设过N点且与直线OB平行的直线解析式为y=x+m，与抛物线解析式联立，得出关于x的一元二次方程，当△=0时，△BON面积最大，由此可求m的值及N点的坐标；（4）根据三角形相似的性质得到BO：OA=OP：AN=BP：ON，然后根据勾股定理分别计算出BO=6，OA=2，AN=，ON=，这样可求出OP=，BP=，设P点坐标为（x，y），再利用勾股定理得到关于x，y的方程组，解方程组即可．【解答】解：（1）设直线AB解析式为y=kx+b，将A（﹣2，2），B（6，6）代入，得，解得，∴y=x+3，令x=0，∴E（0，3）；（2）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将A（﹣2，2），B（6，6），O（0，0）三点坐标代入，得，解得，∴y=x2﹣x（3）依题意，得直线OB的解析式为y=x，设过N点且与直线OB平行的直线解析式为y=x+m，联立，得x2﹣6x﹣4m=0，当△=36+16m=0时，过N点与OB平行的直线与抛物线有唯一的公共点，则点N到BO的距离最大，所以△BON面积最大，解得m=﹣，x=3，y=，即N（3，）；此时△BON面积=×6×6﹣（+6）×3﹣××3=；（4）过点A作AS⊥GQ于S，∵A（﹣2，2），B（6，6），N（3，），∵∠AOE=∠OAS=∠BOH=45°，OG=3，NG=，NS=，AS=5，在Rt△SAN和Rt△NOG中，∴tan∠SAN=tan∠NOG=，∴∠SAN=∠NOG，∴∠OAS﹣∠SAN=∠BOG﹣∠NOG，∴∠OAN=∠NOB，∴ON的延长线上存在一点P，使得△BOP∽△OAN，∵A（﹣2，2），N（3，），∵△BOP与△OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应），即△BOP∽△OAN，∴BO：OA=OP：AN=BP：ON又∵A（﹣2，2），N（3，），B（6，6），∴BO=6，OA=2，AN=，ON=，∴OP=，BP=，设P点坐标为（4x，x），∴16x2+x2=（）2，解得x=，4x=15，∵P、P′关于直线y=x轴对称，∴P点坐标为（15，）或（，15）．【点评】本题考查了二次函数的综合运用．根据已知条件求直线、抛物线解析式，再根据图形特点，将问题转化为列方程组，利用代数方法解题．