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免费浙江省2018年中考二轮复习：题型研究课件与针对演练（打包37套）中考数学答题技巧网第二部分题型研究第二部分题型研究题型一数学思想方法类型一分类讨论思想针对演练1.已知直角三角形两边的长a、b满足|a－2|＋b2－3＝0，则第三边长为_________．2.若关于x的方程kx2＋2(k＋1)x＋k－1＝0有实数根，则k的取值范围是________．3.已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是_________．4.A，B两地相距450千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过t小时两车相距50千米，则t的值是________．5.如果四个整数中的三个分别是2，4，6，且它们的中位数也是整数，那么它们的中位数是________．6.(2017襄阳)在半径为1的⊙O中，弦AB，AC的长分别为1和2，则∠BAC的度数为________．7.如图，已知点A(－1，0)和点B(1，2)，在坐标轴上确定点P，使得△ABP为直角三角形，那么满足条件的点P共有________个．第7题图8.书店举行购书优惠活动：①一次性购书不超过100元，不享受打折优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书超过200元一律打七折．小丽在这次活动中，两次购书总共付款229.4元，第二次购书原价是第一次购书原价的3倍，那么小丽这两次购书原价的总和是________元．9.在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2＝BD·DC，则∠BCA的度数为________．10.(2017杭州)已知△ABC的三个顶点为A(－1，－1)，B(－1，3)，C(－3，－3)，将△ABC向右平移m(m>0)个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数y＝3x的图象上，则m的值为________．11.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF(点E、F分别在边AC、BC上)当AC＝3，BC＝4时，AD的长为________．第11题图12.(2017鄂州)如图，AC⊥x轴于点A，点B在y轴的正半轴上，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝23，点D为AC与反比例函数y＝kx的图象的交点，若直线BD将△ABC的面积分成1∶2的两部分，则k的值为________．第12题图13.如图，直线y＝3x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C(3，0)．(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．第13题图答案1.1或7【解析】由非负数的性质知，a－2＝0且b2＝3，∴a＝2，b＝3，①当a为斜边时，则由勾股定理得，第三边为1；②当a为直角边时，则由勾股定理得，第三边为7.2.k≥－13【解析】当k＝0时，方程为2x－1＝0，x＝12，方程有实根；当k≠0时，方程为一元二次方程，方程要有实数根，则[2(k＋1)]2－4k(k－1)≥0，即k≥－13，综上所述，k的取值范围是k≥－13.3.15°或75°【解析】①当点E在正方形ABCD外部时，AD＝DE，则∠AED＝180°－（90°＋60°）2＝15°；②当点E在正方形ABCD内部时，AD＝DE，则∠AED＝180°－（90°－60°）2＝75°.4.2或2.5【解析】①相遇前：120t＋80t＋50＝450，解得t＝2；②相遇后：120t＋80t－50＝450，解得t＝2.5.5.3或4或5【解析】①当数据为2，2，4，6时，中位数为3；②当数据为2，4，4，6时，中位数为4；③当数据为2，4，6，6时，中位数为5.6.15°或105°【解析】⊙O的半径为1，弦AB＝1，∴OA＝OB＝AB，∴△AOB是等边三角形，∠OAB＝60°，∵弦AC＝2，∴∠OAC＝45°.如解图①，此时∠BAC＝∠BAO－∠CAO＝60°－45°＝15°；如解图②，∠BAC＝∠BAO＋∠CAO＝60°＋45°＝105°.第6题解图7.6【解析】当以AB为斜边时，∠APB＝90°，与坐标轴有3个交点；当∠PAB＝90°时，与y轴有一个交点；当∠PBA＝90°时，与x轴，y轴各有1个交点．∴满足条件的点P共有6个．8.248或296【解析】设第一次购书原价为a元，则第二次购书原价为3a元，易知第一次购书原价必然不超过100元，否则两次付款必然大于229.4，故分类讨论如下：①若a≤100且3a≤100，显然a＋3a≤200＜229.4，舍去；②若a≤100且100＜3a≤200，则a＋0.9×3a＝229.4，解得a＝62，所以两次购书原价和为4a＝4×62＝248元；③若a≤100且3a＞200，则a＋0.7×3a＝229.4，解得a＝74,所以两次购书原价和为4a＝4×74＝296元．综上所述：两次购书的原价和为248元或296元．9.65°或115°【解析】①如解图①，当△ABC为锐角三角形时，△ABD∽△CAD，∠BCA＝∠BAD＝90°－25°＝65°；②如解图②，当△ABC为钝角三角形时，∠BCA＝∠CDA＋∠CAD＝90°＋∠B＝90°＋25°＝115°.图①图②第9题解图10.0.5或4【解析】依题可得：有两种可能，即AC、AB中点落在反比例函数y＝3x的图象上．①若为AC中点(－2，－2)向右平移m个单位后落在y＝3x的图象上，则有点(m－2，－2)在y＝3x的图象上，代入得－2＝3m－2，∴－2m＋4＝3，∴m＝0.5；②若为AB中点(－1，1)向右平移m个单位后落在y＝3x图象上，则有点(m－1，1)在y＝3x的图象上，代入得1＝3m－1，∴m－1＝3，∴m＝4.所以m为0.5或4.11.1.8或2.5【解析】有两种情况：①若CE∶CF＝3∶4，如解图①所示．∵CE∶CF＝AC∶BC，∴EF∥AB.由折叠性质可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∴cosA＝0.6，AD＝AC·cosA＝3×0.6＝1.8；②若CF∶CE＝3∶4，如解图②所示．∴△CEF∽△CBA，∴∠CEF＝∠B.由折叠性质可知，∠CEF＋∠ECD＝90°，又∵∠A＋∠B＝90°，∴∠A＝∠ECD，∴AD＝CD.同理可得：∠B＝∠FCD，CD＝BD，∴此时AD＝BD＝12×5＝2.5.综上所述，AD的长为1.8或2.5.第11题解图①第11题解图②12.－8或－4【解析】如解图，过点C作CM⊥AB于点M，在Rt△CBM中，BC＝23，∠ABC＝60°，∴BM＝3，CM＝3，∴S△ABC＝12AB·CM＝12AC·AO＝6，∵BD将S△ABC分成1∶2的两部分，则AD＝13AC或AD＝23AC，∵点D在反比例函数y＝kx上，∴k＝－13AC·OA＝－4或k＝－23AC·OA＝－8.第12题解图13.解：(1)设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c，∵直线y＝3x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，∴点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(0，3)，又∵抛物线经过A，B，C三点，点C的坐标为(3，0)，∴a－b＋c＝09a＋3b＋c＝0c＝3，解得a＝－1b＝2c＝3，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3；(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴该抛物线的对称轴为直线x＝1.设点Q的坐标为(1，m)，则AQ＝4＋m2，BQ＝1＋（3－m）2，AB＝10.当AB＝AQ时，10＝4＋m2，解得m＝±6，∴点Q的坐标为(1，6)或(1，－6)；当AB＝BQ时，10＝1＋（3－m）2，解得m1＝0，m2＝6，∴点Q的坐标为(1，0)或(1，6)，但当点Q的坐标为(1，6)时，点A，B，Q在同一条直线上，∴舍去；当AQ＝BQ时，4＋m2＝1＋（3－m）2，解得m＝1，∴点Q的坐标为(1，1)．∴抛物线的对称轴上存在点Q(1，6)，(1，－6)，(1，0)，(1，1)，使△ABQ是等腰三角形．第二部分题型研究题型一数学思想方法类型四转化思想针对演练1.我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是()A.转化思想B.函数思想C.数形结合思想D.公理化思想2.已知a2－b2＝－16，a－b＝12，则a＋ba－b的值为()A.－12B.13C.－23D.－323.(2017温州)我们知道方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3.现给出另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0.它的解是()A.x1＝1，x2＝3B.x1＝1，x2＝－3C.x1＝－1，x2＝3D.x1＝－1，x2＝－34.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为()A.23a2B.14a2C.59a2D.49a2第4题图5.如图，在大长方形ABCD中，放入六个相同的小长方形，则图中阴影部分面积(单位：cm2)为()第5题图A.16B.44C.96D.1406.设m2＋m－1＝0，则代数式m3＋2m2＋2017的值为()A.2016B.2017C.2018D.20207.如图，△ABC经过平移得到△A′B′C′，若四边形ACDA′的面积为6cm2,则阴影部分的面积为________cm2.第7题图8.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55寸、10寸和6寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是_________寸．第8题图9.三个同学对问题"若方程组a1x＋b1y＝c1a2x＋b2y＝c2的解是x＝3y＝4，求方程组3a1x＋2b1y＝5c13a2x＋2b2y＝5c2的解．"提出各自的想法．甲说："这个题目好像条件不够，不能求解"；乙说："它们的系数有一定的规律，可以试试"；丙说："能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决"．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是________．10.如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°.若BM＝1，CN＝3，求MN的长．第10题图答案1.A2.C【解析】∵a＋ba－b＝－16，a－b＝12，∴a＋b＝－13，∴a＋ba－b＝－23.3．D【解析】令y＝2x＋3，则原方程变形为y2＋2y－3＝0，解得y1＝1，y2＝－3，所以2x＋3＝1或2x＋3＝－3，解得x1＝－1，x2＝－3.4.D【解析】如解图，过E作BC和CD的垂线，垂足分别为G，H，则△EGM≌△EHN，∴重叠部分四边形EMCN的面积等于正方形EGCH的面积，∵EC＝2AE，∴CE＝23AC，EG＝23AB＝23a，∴正方形EGCH的面积为49a2.第4题解图5.B【解析】设小长方形的长和宽分别为x，y，则由图形得y＋3x＝14y＋x－2x＝6，解得x＝2y＝8，则阴影部分面积为14×10－6×2×8＝140－96＝44.6.C【解析】∵m2＋m－1＝0，∴m2＋m＝1，则m3＋2m2＋2017＝m(m2＋m)＋m2＋2017＝m2＋m＋2017＝1＋2017＝2018.7.6【解析】∵由平移性质得，△ABC的面积等于△A′B′C′的面积，∴阴影部分的面积等于四边形ACDA′的面积等于6cm2.第7题解图8.73【解析】立体图形转化为平面图形，展开后变为长方形，根据题意得，∠C＝90°，BC＝3×10＋6＝48，∴AB＝AC2＋BC2＝552＋482＝73.第8题解图9.x＝5y＝10【解析】将方程组3a1x＋2b1y＝5c13a2x＋2b2y＝5c2变为35a1x＋25b1y＝c135a2x＋25b2y＝c2，设35x＝m，25y＝n，则原方程组转化为a1m＋b1n＝c1a2m＋b2n＝c2，再根据方程组a1x＋b1y＝c1a2x＋b2y＝c2的解是x＝3y＝4，所以得出m＝3n＝4，即35x＝325y＝4，解得，x＝5y＝10.10.解：把△ABM绕点A逆时针旋转90°得到的△ACG，连接NG，如解图，第10题解图∴∠BAM＝∠GAC，AM＝AG，∴△ABM≌△ACG.∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°，∴∠GAN＝∠MAN＝45°，∴△MAN≌△GAN.∴MN＝NG，∴∠BCA＋∠ACG＝90°.在Rt△GCN中，NG＝CN2＋CG2＝10，∴MN＝NG＝10.题型五几何探究题类型五类比、拓展探究问题1.(2017绍兴)已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β.(1)如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上：①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝________°，β＝________°；②求α、β之间的关系式；(2)是否存在不同于以上②中的α、β之间的关系式？若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不存在，说明理由．第1题图2.(2017乐山)在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，对角线AC平分∠BAD.(1)如图①，若∠BAD＝120°，且∠B＝90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由；(2)如图②，若将(1)中的条件"∠B＝90°"去掉，(1)中的结论是否成立？请说明理由；(3)如图③，若∠BAD＝90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．第2题图3.(2017临沂)数学课上，张老师出示了问题：如图①，AC、BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°，则线段BC、CD、AC三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图②，延长CB到E，使BE＝CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC＝CE，所以AC＝BC＋CD.小亮展示了另一种正确的思路：如图③，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC＝CF，所以AC＝BC＋CD.第3题图在此基础上，同学们做了进一步的研究：(1)小颖提出：如图④，如果把"∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°"改为"∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝45°"，其它条件不变，那么线段BC、CD、AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明；(2)小华提出：如图⑤，如果把"∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°"改为"∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝α"，其它条件不变，那么线段BC、CD、AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．第3题图4.(2017衢州)问题背景如图①，在正方形ABCD的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形．类比探究如图②，在正△ABC的内部，作∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点(D，E，F三点不重合)．(1)△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；(2)△DEF是否为正三角形？请说明理由；(3)进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设BD＝a，AD＝b，AB＝c，请探索a，b，c满足的等量关系．第4题图5.(2017岳阳)问题背景：已知∠EDF的顶点D在△ABC的边AB所在直线上(不与A，B重合)．DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记△ADM的面积为S1，△BND的面积为S2.(1)初步尝试：如图①，当△ABC是等边三角形，AB＝6，∠EDF＝∠A，且DE∥BC，AD＝2时，则S1·S2＝________；(2)类比探究：在(1)的条件下，先将点D沿AB平移，使AD＝4，再将∠EDF绕点D旋转至如图②所示位置，求S1·S2的值；(3)延伸拓展：当△ABC是等腰三角形时，设∠B＝∠A＝∠EDF＝α.(Ⅰ)如图③，当点D在线段AB上运动时，设AD＝a，BD＝b，求S1·S2的表达式(结果用a，b和α的三角函数表示)；(Ⅱ)如图④，当点D在BA的延长线上运动时，设AD＝a，BD＝b，直接写出S1·S2的表达式，不必写出解答过程．第5题图答案1.解：(1)①20，10；②设∠ABC＝x，∠ADE＝y，则∠ACB＝x，∠AED＝y，在△DEC中，y＝β＋x，在△ABD中，α＋x＝y＋β，∴α＝2β；(2)如解图，点E在CA延长线上，点D在线段BC上，设∠ABC＝x，∠ADE＝y，则∠ACB＝x，∠AED＝y，在△ABD中，x＋α＝β－y，在△DEC中，x＋y＋β＝180°，∴α＝2β－180°.(注：求其它关系式，相应给分，如点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，可得α＝180°－2β.)第1题解图2.解：(1)AC＝AD＋AB.理由如下：由题意知∠B＝90°，∴∠D＝90°，∵∠DAB＝120°，AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC＝60°，∴∠ACB＝∠ACD＝30°，∴AB＝12AC，AD＝12AC，∴AC＝AD＋AB；(2)(1)中的结论成立，理由如下：如解图①，以C为顶点，AC为一边作∠ACE＝60°，∠ACE的另一边交AB的延长线于点E，∵∠BAC＝12∠BAD＝12×120°＝60°，∴△AEC为等边三角形，∴AC＝AE＝CE，∵∠D＋∠B＝180°，∠DAB＝120°，∴∠DCB＝60°，∴∠DCA＋∠ACB＝60°，又∵∠BCE＋∠ACB＝60°，∴∠DCA＝∠BCE，∴△DAC≌△BEC(ASA)，∴AD＝BE，∴AE＝AB＋BE＝AB＋AD，∴AC＝AD＋AB；图①图②第2题解图(3)AD＋AB＝2AC.理由如下：如解图②，过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E，∵∠D＋∠ABC＝180°，∠DAB＝90°，∴∠BCD＝90°，∵∠ACE＝90°，∴∠DCA＝∠BCE.又∵AC平分∠DAB，∴∠CAB＝45°，∠E＝45°，∴AC＝CE.又∵∠D＋∠B＝180°，∠D＝∠CBE，∴△CDA≌△CBE(AAS)．∴AD＝BE，∴AD＋AB＝AE.在Rt△ACE中，∠CAB＝45°，∴AE＝ACcos45°＝2AC，∴AD＋AB＝2AC.3.解：(1)BC、CD、AC三者之间的关系为：BC＋CD＝2AC.证明：如解图①，延长CB至点E，使BE＝DC，连接AE.第3题解图①∵∠ABD＝∠ACD＝45°，∴∠1＝∠2，∵∠ABE＝∠1＋∠ACB，∠ADC＝∠ADB＋∠2，又∵∠ACB＝∠ADB＝45°，∴∠ABE＝∠ADC，∵∠ABD＝∠ADB＝45°，∴AD＝AB，∠BAD＝90°∴△ADC≌△ABE(SAS)，∴∠BAE＝∠DAC，AE＝AC，∴∠EAC＝90°，∴EC＝2AC，∴BC＋CD＝2AC；(2)BC＋CD＝2cosα·AC.【解法提示】如解图②，延长CB至点E，使BE＝DC，连接AE，过点A作AF⊥CE，垂足为点F.第3题解图②则可得BC＋CD＝2CF，在Rt△ACF中，由cosα＝CFAC得，CF＝AC·cosα，即12(BC＋CD)＝cosα·AC，∴BC＋CD＝2cosα·AC.4.解：(1)△ABD≌△BCE≌△CAF.证明：如解图①，第4题解图①∵△ABC为正三角形，∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC.∵∠ABD＝∠ABC－∠2，∠BCE＝∠ACB－∠3，而∠2＝∠3，∴∠ABD＝∠BCE.又∵∠1＝∠2，∴△ABD≌△BCE(ASA)；(2)△DEF是正三角形．理由如下：∵△ABD≌△BCE≌△CAF，∴∠ADB＝∠BEC＝∠CFA，∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD，∴△DEF是正三角形；(3)如解图②，作AG⊥BD，交BD延长线于点G，第4题解图②由△DEF是正三角形得到∠ADG＝60°，(或者∠ADG＝∠1＋∠ABD＝∠2＋∠ABD＝60°.)∴在Rt△ADG中，DG＝12b，AG＝32b.∴在Rt△ABG中，c2＝(a＋12b)2＋(32b)2，∴c2＝a2＋ab＋b2.5.解：(1)12；【解法提示】如解图①，过点D分别作DG⊥AC于点G，作DH⊥BC于点H.∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∵AB＝6，AD＝2，∴BD＝4，∴在Rt△ADG和Rt△BDH中，DG＝AD·sin60°＝2×32＝3，DH＝BD·sin60°＝4×32＝23，∵DE∥BC，∠EDF＝∠A＝60°，∴∠AMD＝∠EDF＝∠DNB＝60°，∴△ADM和△BDN均为等边三角形．∴S1·S2＝12×2×3×12×4×23＝12.第5题解图①(2)如解图②，过点D分别作DG⊥AC于点G，作DH⊥BC于点H.第5题解图②∵∠A＝∠EDF＝60°，∴∠1＋∠2＝∠1＋∠BDF＝120°，∴∠2＝∠BDF，又∵∠A＝∠B，∴△ADM∽△BND，∴ADBN＝AMBD，即4BN＝AM2，∴AM·BN＝8，∵在Rt△ADG和Rt△BDH中，DG＝AD·sin60°＝4×32＝23，DH＝BD·sin60°＝2×32＝3，∴S1·S2＝12AM·23·12·BN·3＝32·AM·BN＝32×8＝12；(3)(Ⅰ)如解图③，与(2)同理可得，第5题解图③AM·BN＝AD·BD＝ab，DG＝AD·sinα，DH＝BD·sinα，∴S1·S2＝12AM·DG·12BN·DH＝12×12ab·AD·BD·sin2α＝14a2b2sin2α；(Ⅱ)S1·S2＝14a2b2sin2α.