资源资源简介：

免费天津市2018届中考数学复习《旋转问题》专项训练含真题分类汇编解析天津市2018年中考数学题型专项训练：旋转问题1.如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(0,2),△ABO为等边三角形,P是x轴上的一个动点(不与O点重合),将线段AP绕A点按逆时针方向旋转60°,P点的对应点为点Q.(Ⅰ)求点B的坐标;(Ⅱ)当点P在x轴负半轴运动时,求证:∠ABQ=90°;(Ⅲ)连接OQ,在点P运动的过程中,当OQ平行AB时,求点P的坐标.第1题图解:(Ⅰ)如解图①,过点B作BC⊥x轴于点C,∵△AOB为等边三角形,且OA=2,∴∠AOB=60°,OB=OA=2,∴∠BOC=30°,而∠OCB=90°,∴BC=OB=1,OC=,∴点B的坐标为B(,1);(Ⅱ)∵△APQ、△AOB均为等边三角形,∴AP=AQ,AO=AB,∠PAQ=∠OAB,∴∠PAO=∠QAB,在△APO与△AQB中,,∴△APO≌△AQB,∴∠ABQ=∠AOP=90°;(Ⅲ)当点P在x轴正半轴上时,∵∠OAB=60°,∴将AP绕点A逆时针旋转60°时,点Q在点B上方,∴OQ和AB必相交,当点P在x轴负半轴上时,点Q在点B的下方,∵AB∥OQ,∠BQO=90°,∠BOQ=∠ABO=60°.在Rt△BOQ中,OB=2,∠OBQ=90°－∠BOQ=30°,∴BQ=,由(Ⅱ)可知,△APO≌△AQB,∴OP=BQ=,∴此时点P的坐标为(－,0).图①图②第1题解图2.在直角坐标系中,OA=CD,OB=OD,CD⊥x轴于D,E、F分别是OB、OD中点,连接EF交AC于点G.(Ⅰ)如图①,若点A的坐标为(－2,0),S△OCD=5,求点B的坐标;(Ⅱ)如图②,当OB=2OA时,求证:点G为AC的中点;(Ⅲ)如图③,当OB＞2OA,△ABO绕原点O顺时针旋转α(0°＜α＜45°),(Ⅱ)中的结论是否还成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.第2题图解:(Ⅰ)∵A(－2,0),∴OA=2,∵CD⊥OD,CD=OA=2,又∵S△OCD=5,∴×OD×2=5,∴OD=5,∴OB=OD=5,∴B(0,5);(Ⅱ)如解图①,连接EC、AE、CF.∵OB=2OA,CD=OA,OD=OB,∴CD=OB,∵EB=EO,OF=DF,∴OE∥CD,OE=CD,∴四边形OECD是平行四边形,∴EC=OD,∵AF=OD=EC,∴EC=AF,EC∥AF,∴四边形AECF是平行四边形,∴AG=CG,即点G为AC的中点;(Ⅲ)成立.理由:如解图②,连接AE、CF,在FE上取一点H,使得CH=CF.∵OB=OD,OE=EB,OF=DF,∴OE=DF,∵∠AOE=∠FDC,OA=CD,∴△AOE≌△CDF,∴AE=CF=CH,∠AEO=∠CFD,∵OE=OF,∴∠OEF=∠OFE,∵∠AEG=∠AEO＋∠OEF,∠CHG=180°－∠CHF=180°－∠CFH=180°－(180°－∠OFE－∠CFD)=∠OFE＋∠CFD,∴∠AEG=∠CHG,∵∠AGE=∠CGH,∴△AEG≌△CHG,∴AG=CG,即点G为AC的中点.图①图②第2题解图3.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(－8,0),直线BC经过点B(－8,6),C(0,6),将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转角度α得到四边形OA′B′C′,此时边OA′与边BC交于点P,边B′C′与BC的延长线交于点Q,连接AP.(Ⅰ)求证:四边形OABC是矩形;(Ⅱ)在旋转过程中,当∠PAO=∠POA,求P点坐标.(Ⅲ)在旋转过程中,当P为线段BQ中点时,连接OQ,求△OPQ的面积.第3题图(Ⅰ)证明:∵点A的坐标为(－8,0),点B(－8,6),C(0,6),∴∠COA=∠OAB=∠B=90°,∴四边形OABC是矩形.(Ⅱ)解:如解图①,过点P作PE⊥AO于点E,∵∠PAO=∠POA,∴PA=PO,∵PE⊥AO,∴AE=EO=4,∴P(－4,6);(Ⅲ)解:如解图②,在Rt△OCQ和Rt△OC'Q中,,∴Rt△OCQ≌Rt△OC'Q,∴∠OQC=∠OQC',又∵OP∥C'Q,∵∠POQ=∠OQC',∴∠POQ=∠PQO,∴PO=PQ,∵BP=QP,∴BP=OP=x,在Rt△OPC中,x2=(8－x)2＋62,解得:x=.故S△OPQ=×CO×PQ=×6×=.图①图②第3题解图4.如图,在平面直角坐标系中A(,0),B(0,1),点P为△OAB内任一点,连接PO、PA、PB,将△ABP绕着点A顺时针旋转60°得到△AB′P′,连接PP′.(Ⅰ)求点B′的坐标;(Ⅱ)当△OPA与△APB满足什么条件时,PO＋PA＋PB的值最小,并求出此最小值;(Ⅲ)试直接写出(Ⅱ)中的点P坐标.解:(Ⅰ)∵A(,0),B(0,1),∴AB=2,∠BAO=30°,∵将△ABP绕着点A顺时针旋转60°得到△AB′P′,∴AB′=2,∠B′AO=90°,∴B′(,2);(Ⅱ)由旋转可得,△APP′是等边三角形,∴PP′=PA,又∵P′B′=PB,∴PO＋PA＋PB=PO＋PP′＋P′B′,∴如解图①,当O、P、P′、B′四点共线时,PO＋PA＋PB的值最小,∴当∠OPA=∠APB=∠AP′B′=120°时,PO＋PA＋PB的值最小,此时,PO＋PA＋PB=OB′==;(Ⅲ)如解图②,将(Ⅱ)中的△OPB绕着点O逆时针旋转60°得到△OB″P″,则∠BOB″=60°,OB″=OB=1∴点B″的坐标为(－,),由(Ⅱ)可知A、P、P″、B″四点共线,∴点P为OB′与AB″的交点,根据A、B″两点的坐标可得直线AB″的解析式为y=－x＋,根据B′的坐标可得直线OB′的解析式为y=x,联立方程组,解得P(,).图①图②第4题解图5.如图,将两块直角三角板摆放在平面直角坐标系中,有∠COD=∠ABO=90°,∠OCD=45°,∠AOB=60°,且AO=CD=8.现将Rt△AOB绕点O逆时针旋转,旋转角为β(0°≤β≤180°).在旋转过程中,直线CD分别与直线AB,OA交于点F,G.(Ⅰ)当旋转角β=45°时,求点B的坐标;(Ⅱ)在旋转过程中,当GF=AF,求β的值;(Ⅲ)在旋转过程中,当∠BOD=60°时,求直线AB的解析式.第5题图解:(Ⅰ)如解图①,过点B作BH⊥x轴于点H,在Rt△AOB中,∠AOB=60°,OA=8,∴OB=OA=4,当β=45°时,即∠BOC=45°,∴OH=BH,∴OH2＋BH2=42∴OH=BH=2,∴B(2,2);(Ⅱ)当75°＜β＜180°时,存在FA=FG(如解图④),∴∠A=∠FGA=30°,∴∠COG=45°－30°=15°=∠AOM,∴β=∠BOC=180°－15°－60°=105°,∴当FG=AF时，β=105°;(Ⅲ)①当点B在第一象限时(如解图②),过点B作BM⊥OC于点M,∵∠BOD=60°,∴∠BOC=30°,∴OM=OBocos∠BOC＝4×＝2,BM=OBosin∠BOC＝4×＝2,∴B(2,2),∵点A在y轴上∴A(0,8),设直线AB的解析式为y=kx＋b,∴,解得:,∴直线AB的解析式为:y=－x＋8;②当点B在第二象限时,(如解图③),过点B作BE⊥x轴于点E,过点A作AH⊥BE于H,∵∠BOD=60°,∴∠BOE=30°,∴∠EBO=60°,∴∠ABH=30°,又∵OB=4,∴OE=OBocos∠BOE＝4×＝2,BE=OBocos∠BOE＝4×＝2,∴B(－2,2),∵∠BEO=∠AHB=90°,∠ABH=∠BOE,∴△OBE∽△BAH,∴,∴AH=2,BH=6∴A(－4,－4)设直线AB的解析式为y=kx＋b,∴,解得,∴直线AB的解析式为:y=x＋8.图①图②图③图④第5题解图6.如图.在平面直角坐标系中,点A(3,0),B(0,－4),C是x轴上一动点,过C作CD∥AB交y轴于点D.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若以A,B,C,D为顶点的四边形的面积等于54,求点C的坐标;(Ⅲ)将△AOB绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AO′B′,设D的坐标为(0,n),当点D落在△AO′B′内部(包括边界)时,求n的取值范围.(直接写出答案即可)第6题图解:(Ⅰ)∵点A的坐标是(3,0),B的坐标是(0,－4),∴OA=3,OB=4.∵CD∥AB,∴△AOB∽△COD,∴;(Ⅱ)设OC=3x,则OD=4x,则AC=3＋3x,BD=4＋4x,当点C在x轴负半轴上时:∵四边形ABCD的面积是54,∴ACoBD=54,即(3＋3x)(4＋4x)=54,解得:x=2或－4(舍去).则点C的坐标是(－6,0);当点C在x轴的正半轴上时,S四边形ABCD=×3xo4x－×3×4=54,解得:x=或x=－(舍去).则点C的坐标是(3,0);(Ⅲ)O′的坐标是(3,3),则O′B′与y轴的交点坐标是(0,3);则B′的坐标是(－1,3).设AB′的解析式是y=kx＋b,根据题意得:,解得:,则函数的解析式是y=－x＋,当x=0时,y=.即直线AB′与y轴的交点是(0,).则n的范围是≤n≤3.第6题解图7.如图,OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O为坐标原点,点A在x轴上,点C在y轴上,OA=9,OC=15,将矩形纸片OABC绕O点顺时针旋转90°得到矩形OA1B1C1.将矩形OA1B1C1折叠,使得点B1落在x轴上,并与x轴上的点B2重合,折痕为A1D.(Ⅰ)求点B2的坐标;(Ⅱ)求折痕A1D所在直线的解析式;(Ⅲ)在x轴上是否存在点P,使得∠BPB1为直角？若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.第7题图解:(Ⅰ)由条件知,B2A1=B1A1=BA=15,A1O=B1C1=BC=9,∴在Rt△A1OB2中,OB2＝＝12,∴点B2坐标为(12,0);(Ⅱ)B2C1=15－12=3,DC1=m,则B1D=9－m,∵B1D=B2D,∴＝9?m,解得m=4,∴D点的坐标为(15,4),又∵A1(0,9),设折痕A1D所在直线的解析式为y=kx＋b(k≠0),∴,解得,即折痕A1D所在直线的解析式为y＝?x＋9;(Ⅲ)假设存在P点,∵∠BPA＋∠BPB1＋∠B1PC1=180°,∠BPB1=90°,∴∠BPA＋∠B1PC1=90°,∵∠BAP=90°,∠ABP＋∠BPA=90°,∴∠ABP=∠B1PC1.在△BAP和△PC1B1中,,∴△BAP∽△PC1B1.∴,∵AB=15,C1B1=9,AC1=24,设PC1的长为m,∴,解得m1=15或m2=9.经检验m1=15或m2=9是方程的两根,当PC1=15时,P点坐标为(0,0);当PC1=9时,P点坐标为(6,0).综上所述,P点坐标为(0,0),(6,0).第7题解图8.如图,在平面直角坐标系中,已知△AOB是等边三角形,点A的坐标是(0,4),点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连接AP,并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转,使边AO与AB重合,得到△ABD.(Ⅰ)求点B的坐标及直线AB的解析式;(Ⅱ)当点P运动到点(t,0)时,试用含t的式子表示点D的坐标;(Ⅲ)是否存在点P,使△OPD的面积等于,若存在,请求出符合条件的点P的坐标(直接写出结果即可)第8题图解:(Ⅰ)如解图①,过点B作BE⊥y轴于点E,作BF⊥x轴于点F.由已知得:BF=OE=2,∴OF==2,∴点B的坐标是(2,2).设直线AB的解析式是y=kx＋b(k≠0),则有,∴.∴直线AB的解析式是y=－x＋4;(Ⅱ)∵△ABD由△AOP旋转得到,∴△ABD≌△AOP.∴AP=AD,∠DAB=∠PAO.∴∠DAP=∠BAO=60°,∴△ADP是等边三角形.如解图②,过点D作DH⊥x轴于点H,延长EB交DH于点G,则BG⊥DH.在Rt△BDG中,∠BGD=90°,∠DBG=60°,∴BG=BDocos60°=t×=.DG=BDosin60°=t.∴OH=EG=2＋t,DH=2＋t.∴点D的坐标为(2＋t,2＋t);(Ⅲ)存在.假设存在点P,在它的运动过程中,使△OPD的面积等于,设点P为(t,0),下面分三种情况讨论:①当t＞0时,如解图②,BD=OP=t,DG=t,∴DH=2＋t.∵△OPD的面积等于,∴t(2＋t)=,∴t1=,t2=(舍去).∴点P1的坐标为(,0).②∵当D在x轴上时,如解图③,根据锐角三角函数求出BD=OP=,∴当－＜t≤0时,如解图①,BD=OP=－t,BG=－t,∴DH=GF=2－(－t)=2＋t.∵△OPD的面积等于,∴－t(2＋t)=,∴t1=－,t2=－,∴点P2的坐标为(－,0),点P3的坐标为(－,0).③当t≤－时,BD=OP=－t,BG=－t,∴DH=－t－2.∵△OPD的面积等于,∴(－t)(－2－t)=,∴t1=,t2=(舍去).∴点P4的坐标为(,0).综上所述,点P的坐标分别为P1(,0),P2(－,0),P3(－,0),P4(,0).图①图②图③第8题解图9.在平面直角坐标系中,点A(－2,0),B(2,0),C(0,2),点D,点E分别是AC,BC的中点,将△CDE绕点C逆时针旋转得到△CD′E′,旋转角为α,连接AD′,BE′.(Ⅰ)如图①,若0°＜α＜90°,当AD′∥CE′时,求α的大小;(Ⅱ)如图②,若90°＜α＜180°,当点D′落在线段BE′上时,求sin∠CBE′的值;(Ⅲ)若直线AD′与直线BE′相交于点P,求点P的横坐标m的取值范围.第9题图解:(Ⅰ)如解图①,∵A(-2,0),B(2,0),C(0,2),∴OA=OB=OC,∴∠ACB=90°,∵△CD′E′是△CDE旋转得到的,∴∠D′CE′=90°,∵AD′∥CE′,∴∠AD′C=∠D′CE′=90°,∵D为AC的中点,∴CD=AC,∵CD=CD′,∴CD′=AC,在Rt△ACD′中,cosα==,∴α=60°;(Ⅱ)设F为D′E′的中点，连接CF,如解图②,∵CD′=CE′,∠E′CD′=90°,∴CF⊥BE′,CF=D′E′=1,又∵BC==2,∴在Rt△BCF中,sin∠CBE′=;(Ⅲ)如解图③中,以C为圆心,CD′为半径作⊙C,当BE′与⊙C相切时AP最长,则四边形CD′PE′是正方形,作PH⊥AB于H.∵CD′=CD=AC=,∴⊙C的半径为,∵在Rt△ACD′中,AD′=,∴AP=AD′＋PD′=＋,∵cos∠PAB=,∴AH=2＋,∴点P横坐标的最大值为.如解图④中,当BE′与⊙C相切时AP最短,则四边形CD′PE′是正方形,作PH⊥AB于H.根据对称性可知OH=,∴点P横坐标的最小值为－,∴点P横坐标的取值范围为－≤m≤.图①图②图③图④第9题解图10.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A、B、C、D的坐标分别为(3,0)、(0,3)、(－3,0)、(0,－3),点M为AB上一点,AM:BM=2:1,∠EMF在AB的下方以M为中心旋转且∠EMF=45°,ME交y轴于点P,MF交x轴于点Q.(Ⅰ)求点M的坐标;(Ⅱ)设AQ的长为y,BP的长为x.求y与x的函数关系式;(Ⅲ)当P为OB的中点时,求四边形OQMP的面积.第10题图解:(Ⅰ)∵正方形ABCD的顶点A、B、C、D的坐标分别为(3,0)、(0,3)、(－3,0)、(0,－3),∴OA=OB=OC=OD=3,在Rt△AOB中由勾股定理,得AB=3.∵AM:BM=2:1,∴AM=2,∴BM=,作MG⊥AC于点G,∴MG∥BD,∴△AMG∽△ABO,∴,∴,∴MG=2,∴AG=2,∴OG=1,∴M(1,2);(Ⅱ)∵四边形ABCD是正方形,且AC、BD是对角线,∴∠1=∠5=45°,∴∠3＋∠4=135°,∵∠EMF=45°,∴∠2＋∠4=135°,∴∠2=∠3,有∠1=∠5,∴△BMP∽△AQM,∴,∴,解得:y=;(Ⅲ)∵P为OB的中点,∴BP=OB=,∴y=AQ==.作MH⊥BD于H,MS⊥AC于S,由勾股定理可以求得:MH=1,MS=2,∴S四边形OQMP=.图①图②图③第10题解图