资源资源简介：

2018吉林中考数学总复习动点问题因动点产生的等腰三角形问题练习年班姓名成绩：1.如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1备用图解：（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．在Rt△CDE中，CD＝5，所以，．（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．因此△PDM∽△QDN．所以．所以，．图2图3图4①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．此时．所以．②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．此时．所以．（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，．在Rt△ABC中，．所以∠QPD＝∠C．由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．因此△PDF∽△CDQ．当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．此时．所以．②如图6，当QC＝QD时，由，可得．所以QN＝CN－CQ＝（如图2所示）．此时．所以．③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．图5图62.如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1解：（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3,0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．当点P落在线段BC上时，PA＋PC最小，△PAC的周长最小．设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．由，BO＝CO，得PH＝BH＝2．所以点P的坐标为(1,2)．图2（3）点M的坐标为(1,1)、(1,)、(1,)或(1,0)．3.如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1解：（1）如图2，过点B作BC⊥y轴，垂足为C．在Rt△OBC中，∠BOC＝30°，OB＝4，所以BC＝2，．所以点B的坐标为．（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4,0)，设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点B，．解得．所以抛物线的解析式为．（3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P的坐标为(2,y)．①当OP＝OB＝4时，OP2＝16．所以4+y2＝16．解得．当P在时，B、O、P三点共线（如图2）．②当BP＝BO＝4时，BP2＝16．所以．解得．③当PB＝PO时，PB2＝PO2．所以．解得．综合①、②、③，点P的坐标为，如图2所示．图2图34.如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O-C-A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．图1解：（1）解方程组得所以点A的坐标是(3，4)．令，得．所以点B的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由，得．整理，得．解得t＝2或t＝6（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．图2图3图4②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB＞∠B．如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//x轴．因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况．此时点A在PQ的垂直平分线上，＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．在△APQ中，为定值，，．如图5，当AP＝AQ时，解方程，得．如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(－OP)．解方程，得．如7，当PA＝PQ时，那么．因此．解方程，得．综上所述，t＝1或或5或时，△APQ是等腰三角形．图5图6图75.如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？图1解：(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因为∠C＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF．因此，即．整理，得y关于x的函数关系为．(2)如图2，当m＝8时，．因此当x＝4时，y取得最大值为2．(3)若，那么．整理，得．解得x＝2或x＝6．要使△DEF为等腰三角形，只存在ED＝EF的情况．因为△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即x＝y．将x＝y＝2代入，得m＝6（如图3）；将x＝y＝6代入，得m＝2（如图4）．图2图3图46.如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于M，过M作MN//AB交折线ADC于N，连结PN，设EP＝x．①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．图1图2图3解：（1）如图4，过点E作EG⊥BC于G．在Rt△BEG中，，∠B＝60°，所以，．所以点E到BC的距离为．（2）因为AD//EF//BC，E是AB的中点，所以F是DC的中点．因此EF是梯形ABCD的中位线，EF＝4．①如图4，当点N在线段AD上时，△PMN的形状不是否发生改变．过点N作NH⊥EF于H，设PH与NM交于点Q．在矩形EGMP中，EP＝GM＝x，PM＝EG＝．在平行四边形BMQE中，BM＝EQ＝1＋x．所以BG＝PQ＝1．因为PM与NH平行且相等，所以PH与NM互相平分，PH＝2PQ＝2．在Rt△PNH中，NH＝，PH＝2，所以PN＝．在平行四边形ABMN中，MN＝AB＝4．因此△PMN的周长为＋＋4．图4图5②当点N在线段DC上时，△CMN恒为等边三角形．如图5，当PM＝PN时，△PMC与△PNC关于直线PC对称，点P在∠DCB的平分线上．在Rt△PCM中，PM＝，∠PCM＝30°，所以MC＝3．此时M、P分别为BC、EF的中点，x＝2．如图6，当MP＝MN时，MP＝MN＝MC＝，x＝GM＝GC－MC＝5－．如图7，当NP＝NM时，∠NMP＝∠NPM＝30°，所以∠PNM＝120°．又因为∠FNM＝120°，所以P与F重合．此时x＝4．综上所述，当x＝2或4或5－时，△PMN为等腰三角形．图6图7图8