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2016年中考数学真题汇编详解12：二次函数的图象和性质一、选择题1.（2015四川省遂宁市，10，4分）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①2a＋b＞0，②abc＜0，③b2－4ac＞0，④a＋b＋c＜0，⑤4a－2b＋c＜0，其中正确的个数是()．A．2   B．3   C．4   D．5【答案】B．【解析】对于①，由对称轴的位置可知，，注意到，a＜0，所以－b＜2a，所以2a＋b＞0，故①正确；对于②，易得a＜0，对称轴在y轴的右边，故b＞0，抛物线与y轴的交点在原点的上方，则c＜0，所以abc＞0，故②错误；对于③，抛物线与x轴有两个交点，所以b2－4ac＞0，故③正确；对于④，当x＝1时，显然y的值为正，所以y＝a＋b＋c＞0，故④错误；对于⑤，当x＝－2时，显然y的值为负，所以y＝4a－2b＋c＜0，故⑤正确．2.（2015四川省巴中市，10，3分）已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线x=－1，下列结论：①abc＜0 ②2a＋b=0 ③a－b＋c＞0 ④4a－2b＋c＜0期中正确的是（）A．①② B．只有① C．③④ D．①④【答案】D．3.（2015福建省福州市，10，3分）已知一个函数图象经过（1，-4），（2，-2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都要函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（）A.正比例函数B.一次函数C.反比例函数D.二次函数【答案】D4.若二次函数的图象经过点（2，0），且其对称轴为，则使函数值成立的的取值范围是A.或B.≤≤C.≤或≥D.【答案】B5.(2015浙江台州，7，4分)设二次函数图像的对称轴为直线l．若点M在直线l上，则点M的坐标可能是（）A．(1，0)   B．(3，0)   C．(-3，0)   D．(0，-4)【答案】B6.（2015山东临沂，13，3分）要将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（）A.向左平移1个单位，再向上平移2个单位B.向左平移1个单位，再向下平移2个单位C.向右平移1个单位，再向上平移2个单位D.向右平移1个单位，再向下平移2个单位【答案】D【解析】因为=所以其顶点为（-1,2），因为的顶点为（0，0）所以抛物线应向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到抛物线故选D7.（2015四川省达州市，9，3分）若二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a（x0－x1）（x0－x2）＜0    B．a＞0C．b2－4ac≥0      D．x1＜x0＜x2【答案】A【解析】根据题意，不能确定二次函数的图象开口朝向，故选项B、D不正确；函数图象与x轴有两个交点，因此，选项C不正确；因为函数图象与x轴有两个交点，故可以将解析式整理成：，因为M在图象上且在x轴下方，所以当x＝x0时，．故选A．8.（2015四川省凉山州市，12，4分）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列说法①2a+b=0；②当﹣1≤x≤3时，y＜0；③若当(x1，y1)，(x2，y2)在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；9a+3b+c=0，其中正确的是 （  ）A.①②④   B.①④    C.①②③    D.③④【答案】B.【解析】图象与x轴交于(﹣1，0)，(3，0)两点，则对称轴，即2a+b=0，故①正确；当﹣1≤x≤3时，y≤0，故②错误；当x1＜x2＜1时，y1＜y2，故③错误；当x=3时，y=0，则有9a+3b+c=0，故④正确；故选B.9.（2015浙江省台州市，7，4）设二次函数的图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是                 （）A．（1，0）   B．（3，0）   C．（－3，0）  D．（0，－4）【答案】B【解答】解：由抛物线的解析式可得二次函数的对称轴为x=3，所以M点的横坐标为3，对照选项选B10.（2015安徽，10，3分）如图,一次函数与二次函数的图象相交于P、Q两点,则函数的图象可能为【答案】A【解析】解:∵一次函数与二次函数的图象相交于P、Q两点,P、Q两点在第一象限,∴x＞0,y1=y2＞0,=0有两个根,都大于0,故选A11.(2015贵州省安顺市,10,3分)如图为二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)的图象，则下列说法：①a>0②2a+b=0③a+b+c>0④当-1<x<3时，y>0其中正确的个数为（）A.1  B.2  C.3  D.4【答案】C12.（2015天津市，12，3分）已知抛物线y=-x2+x+6与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,若点D是AB的中点，则CD的长是（）A.B.C.D.【答案】D.13.（2015山东潍坊，12，3分）已知二次函数的图象如图所示，顶点为（－1，0），下列结论：①；②；③；④.其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B14.m（2015四川省广安市，10，3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，过点（-1，0）和点（0，-3），且顶点在第四象限，设P=a+b+c，则P的取值范围是（）A.-3＜P＜-1B.-6＜P＜0C.-3＜P＜0D.-6＜P＜-3【答案】D.15.（2015浙江省杭州市，10，3分）设二次函数y1=a(x－x1)(x－x2)(a≠0，x1≠x2)的图象与一次函数y2=dx+c(d≠0)的图象交于点（x1,0）.若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（）A.a(x1－x2)=d  B.a(x2－x1)=d  C.a(x1－x2)2=d  D.a(x1+x2)2=d【答案】B16.（2015山东济南，15，3分）如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D，若与C1C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是A.﹣2＜m＜B.﹣3＜m＜C.﹣3＜m＜﹣2D.﹣3＜m＜【答案】D【解析】∵y=-2x2+8x-6=（x-1）（-2x+6）∴A（1,0）B（3,0）∴D（5,0）∴C2：y=-2x2+16x+30由y=-2x2+16x+30y=x+m得-2x2+15x+30-m=0∵△=225-4×（-2）×（30-m）=0∴m=把B（3,0）代入0=3+mm=-3∵与C1C2共有3个不同的交点∴-3＜m＜故选D17.（2015浙江宁波，11，4分）二次函数(a≠0)的图象在2<x<3这一段位于x轴的下方，在6<x<7这一段位于x轴的上方，则a的值为()A.1B.-1C.2D.-2【答案】A18.（2015山东烟台，11，3分）如图，已知顶点为（－3，－6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（－1，－4）.则下列结论中错误的是（）A.b2＞4acB.ax2+bx+c≥－6C.若点（－2，m），（－5，n）在抛物线上，则m＞n.D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=－4的两根为－5和－1.【答案】C19.（2015湖南省益阳市，7，5分）若抛物线的顶点在第一象限，则m的取值范围为 A． B． C． D．【答案】B【解析】∵顶点为（m，m+1）而它在第一象限；∴∴20.（2015山东日照市，12，3分）右图是抛物线图像的一部分，抛物线的顶点坐标是Ａ（１,３），与轴的一个交点B（4,0），直线与抛物线交于A，B两点，下列结论：①；②＞0；③方程有两个相等的实数根；④抛物线与轴的另一个交点是（-1,0）；⑤当1＜＜4时，有＜，其中正确的是（）（A）①②③(B)①③④(C)①③⑤(D)②④⑤【答案】C【解析】解：对于抛物线，对称轴，∴①是对的；有抛物线图像可知：＜0，＞0，＞0，又＞0∴②＞0是错的；由是抛物线图像于只有一个交点，∴③方程有两个相等的实数根是对的。由抛物线的对成性可知，设另一根为，，=-2，抛物线与轴的另一个交点是（-2,0），通过函数图像可直接得到⑤当1＜＜4时，有＜，是正确的，故选C.21.（2014江苏省苏州市，8，3分）若二次函数y=x2+bx的图像的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意知此抛物线的对称轴是直线x=2，故b=4，得方程x2+4x=5，解之，得.22.（2015义乌9，3分）如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过2次简单变换后的一条抛物线是，则原抛物线的解析式不可能的是（）A.B.C.D.【答案】B23.（2015贵州省铜仁市，3，4分）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为()A.B.C.D.【答案】C24.(2015浙江省绍兴市，9，4分)如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换。已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y=x2+1，则原抛物线的解析式不可能的是A.y=x2-1B.y=x2+6x+5C.y=x2+4x+4D.y=x2+8x+17【答案】B【解析】本题考查了二次函数图像的性质和分类讨论的数学思想。由于抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y=x2+1，因此，根据条件可知将抛物线y=x2+1经过向左平移2个单位或向下平移1个单位，这样的两次简单变换后可得到原来的抛物线。1°将抛物线y=x2+1经过两次向左平移2个单位得到抛物线为y=(x+4)2+1，即y=x2+8x+17；2°将抛物线y=x2+1经过两次向下平移1个单位得到抛物线为y=x2+1-2，即y=x2-1；3°将抛物线y=x2+1经过向左平移2个单位、向下平移1个单位得到抛物线为y=(x+2)2+1-1，即y=x2+4x+4.因此，原抛物线的解析式不可能的是y=x2+6x+5，所以，本题正确应该选B。25.（2015江西省，第6题，3分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)过(－2，0)，(2，3)两点，那么抛物线的对称轴()A．只能是x＝－1    B．可能是y轴C．在y轴右侧且在直线x＝2的左侧D．在y轴左侧且在直线x＝－2的右侧【答案】D.【解析】∵抛物线过（-2,0），（2,3）两点，∴，解得，∴对称轴，又对称轴在（-2,2）之间，∴故选D.26.（2015广东省深圳市，9，3分）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如下图所示，给出以下结论：①a＞0，②b＞0，③c＜0，④b2－4ac＞0其中所有正确结论的序号是（）A．②④B．①③C．③④D．①②③【答案】A【解析】开口向下，∴a＜0，①错误；对称轴在y轴右侧，∴－＞0，∵b＞0，②正确；与y轴交点在y轴正半轴上，∴c＞0，③错误；与x轴有两个不同的交点，即方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，∴△＝b2－4ac＞0，④正确．27.（2015成都市，1，3分）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为()A．B．C．D．【答案】：A【解析】：解：这个题考的是平移，函数的平移：左加右减，上加下减。向左平移2个单位得到：，再向下平移个单位得到：，选择。28.（2015广东省深圳市，9，3分）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如下图所示，给出以下结论：①a＞0，②b＞0，③c＜0，④b2－4ac＞0其中所有正确结论的序号是（）A．②④B．①③C．③④D．①②③【答案】A【解析】开口向下，∴a＜0，①错误；对称轴在y轴右侧，∴－＞0，∵b＞0，②正确；与y轴交点在y轴正半轴上，∴c＞0，③错误；与x轴有两个不同的交点，即方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，∴△＝b2－4ac＞0，④正确．二、填空题1.（2015山东省聊城市，16，3分）二次函数的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c>b；③抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；④abc>0。其中正确的结论是（填写序号）【答案】①④【解析】由象可知当x=-1时，y小于0，所以a-b+c<0，即a+c<b；故②错，因为抛物线是轴对称图象，所以抛物线与x轴的另一个交点应与点（-2，0）关于直线x=1对称，即另一交点为（4，0）2.（2015四川资阳，16，3分）已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的"梦之星"抛物线，直线AC′为抛物线p的"梦之星"直线．若一条抛物线的"梦之星"抛物线和"梦之星"直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为_____________________．【答案】y=x2－2x－33.（2015山东省菏泽市，14，3分）二次函数y=x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数y=x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA＝120°，则菱形OBAC的面积为.【答案】2.4.（2015上海市，12，4分）如果将抛物线向上平移，使他经过点A(0，3)，那么所得新抛物线的表达式是______.【答案】【解析】5.（2015浙江省杭州市，13，4分）函数y=x2+2x+1，当y=0时，x=；当1＜x＜2时，y随x的增大而（填写"增大"或"减小"）.【答案】增大6.（2015江苏淮安，15，3分）二次函数的图像的顶点坐标是。【答案】（1，2）【解析】因为所以顶点为（1，2）故答案为（1，2）三、解答题1.（2015义乌21，8分）如果抛物线过定点M（1，0），则称此抛物线为定点抛物线．（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个正确的答案：．请你写出一个不同于小敏的答案．（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线，求该抛物线的顶点最低时的解析式．请你解答．【答案】解：（1）（此题答案不唯一）（2）∵是定点抛物线，∴-1+2b+c=0．∴c=1-2b．………………①………………②①代入②得：∵当抛物线的顶点最低时，有最小，又∵最小是0，即最小是0，这时b=1，c=1-2b=-1，∴此抛物线为：．答：该抛物线的顶点最低时的解析式是．2.(2015浙江省绍兴市，21，10分)(本题10分)如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M(1，1)，则称次抛物线为定点抛物线。(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式。小敏写出了一个答案：y=2x2+3x-4，请你写出一个不同于小敏的答案；(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y=-x2+2bx+c+1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答。【答案】(1)不唯一，如y=x2+x-1、y=x2-2x+2，只要a、b、c满足a+b+c=1即可；(2)∵定点抛物线y=-x2+2bx+c+1=-(x-b)2+b2+c+1，∴该抛物线的顶点坐标为(b，b2+c+1)，且-1+2b+c+1=1，即c=1-2b。∵顶点纵坐标为b2+c+1=b2-2b+2=(b-1)2+1.∴当b=1时，b2+c+1最小，抛物线顶点纵坐标的值最小，此时c=-1，∴抛物线的解析式为y=-x2+2x。【解析】本题是一道阅读理解题，考查了同学们应用条件中"新知识"，应用适当的解题策略解决实际问题的能力．正确解答本题的关键在于灵活应用"定点抛物线"的概念和配方法解决问题。