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2016年高考数学理试题分类汇编详解版：数列2016年高考数学理试题分类汇编数列一、选择题1、（2016年上海高考）已知无穷等比数列的公比为，前n项和为，且.下列条件中，使得恒成立的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B2、（2016年全国I高考）已知等差数列前9项的和为27，，则（A）100（B）99（C）98（D）97【答案】C3、（2016年全国III高考）定义"规范01数列"{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的"规范01数列"共有（A）18个  （B）16个  （C）14个  （D）12个【答案】C4、（2016年浙江高考）如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，，（）.若A．是等差数列B．是等差数列C．是等差数列D．是等差数列【答案】A二、填空题1、（2016年北京高考）已知为等差数列，为其前项和，若，，则_______..【答案】62、（2016年上海高考）无穷数列由k个不同的数组成，为的前n项和.若对任意，，则k的最大值为________.【答案】43、（2016年全国I高考）设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2an的最大值为.【答案】4、（2016年浙江高考）设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a1=，S5=.【答案】三、解答题1、（2016年北京高考）设数列A：，,…().如果对小于()的每个正整数都有＜，则称是数列A的一个"G时刻".记"是数列A的所有"G时刻"组成的集合.（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；（2）证明：若数列A中存在使得>，则；（3）证明：若数列A满足-≤1（n=2,3,…,N）,则的元素个数不小于-.如果，取，则对任何.从而且.又因为是中的最大元素，所以.2、（2016年山东高考）已知数列的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令求数列的前n项和Tn.【解析】(Ⅰ)因为数列的前项和，所以，当时，，又对也成立，所以．又因为是等差数列，设公差为，则．当时，；当时，，解得，所以数列的通项公式为．(Ⅱ)由，于是，两边同乘以２，得，两式相减，得．3、（2016年上海高考）若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.（1）若具有性质，且，，求；（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由；（3）设是无穷数列，已知.求证："对任意都具有性质"的充要条件为"是常数列".【解析】试题分析：（1）根据已知条件，得到，结合求解．（2）根据的公差为，的公比为，写出通项公式，从而可得．通过计算，，，，即知不具有性质．（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明．试题解析：（1）因为，所以，，．于是，又因为，解得．（2）的公差为，的公比为，所以，．．，但，，，所以不具有性质．（3）[证]充分性：当为常数列时，．对任意给定的，只要，则由，必有．充分性得证．必要性：用反证法证明．假设不是常数列，则存在，使得，而．下面证明存在满足的，使得，但．设，取，使得，则，，故存在使得．取，因为（），所以，依此类推，得．但，即．所以不具有性质，矛盾．必要性得证．综上，"对任意，都具有性质"的充要条件为"是常数列"．4、（2016年四川高考）已知数列{}的首项为1，为数列{}的前n项和，，其中q>0，.（I）若成等差数列，求an的通项公式；(ii)设双曲线的离心率为，且，证明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.解析：（Ⅰ）由已知，两式相减得到.又由得到，故对所有都成立.所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.从而.由成等比数列，可得，即，则，由已知,，故.所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.所以双曲线的离心率.由解得.因为，所以.于是，故.5、（2016年天津高考）已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等比中项.(Ⅰ)设，求证：是等差数列；(Ⅱ)设，求证：【解析】⑴为定值．∴为等差数列⑵（*）由已知将代入（*）式得∴，得证6、（2016年全国II高考）为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的前1000项和．【解析】⑴设的公差为，，∴，∴，∴．∴，，．⑵记的前项和为，则．当时，；当时，；  当时，；当时，．∴．7、（2016年全国III高考）已知数列的前n项和，其中．（I）证明是等比数列，并求其通项公式；（II）若，求．【解析】8、（2016年浙江高考）设数列满足，．（I）证明：，；（II）若，，证明：，．（II）任取，由（I）知，对于任意，，故．从而对于任意，均有9、(2016江苏省高考)记.对数列和的子集T，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.(1) 求数列的通项公式；(2) 对任意正整数，若，求证：；（3）设,求证：.（1）由已知得.于是当时，.又，故，即.所以数列的通项公式为.（2）因为，，所以.因此，.（3）下面分三种情况证明.①若是的子集，则.②若是的子集，则.③若不是的子集，且不是的子集.令，则，，.于是，，进而由，得.设是中的最大数，为中的最大数，则.由（2）知，，于是，所以，即.又，故，从而，故，所以，即.综合①②③得，.