资源资源简介：

2016年中考数学真题汇编详解13：二次函数的应用一、选择题1.（2015四川省遂宁市，15，4分）下列命题：①对角线互相垂直的四边形是菱形；②点G是△ABC的重心，若中线AD＝6，则AG＝3；③若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限．则k＜0，b＞0；④定义新运算：a?b＝2a－b2，若(2x)?(x－3)＝0，则x＝1或9；⑤抛物线y＝－2x2＋4x＋3的顶点坐标是(1，1)．其中真命题有＿＿＿．(只填序号)【答案】③④．【解析】对于①，对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，故①错；对于②，重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，所以AD＝4，故②错；对于③，画出草图易知，显然成立，故③正确；对于④，(2x)?(x－3)＝0，要得4x－(x－3)2＝0，得x2－10x＋9＝0，解得x＝1或9，故④正确；对于⑤，y＝－2x2＋4x＋3＝－2(x2－2x＋1－1)＋3＝－2(x－1)2＋5，顶点为(1，5)，故⑤错误．2.（2015浙江省金华市，8，3分）图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若干OA＝10米，则桥面离水面的高度AC为(  )A.米   B.米    C.米   D.米【答案】B3.（2015浙江嘉兴，10，4分）如图，抛物线交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D.下列四个判断：①当时，；②若a=-1，则b=4；③抛物线上有两点和若且，则；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长最小值为.其中正确判断的序号是（）A.①B.②C.③D.④【答案】C二、填空题1.（2015浙江省衢州市，16，4分）如图，已知直线分别交x轴，y轴于点A、B，P是抛物线上一个动点，其横坐标是a，过点P且平行y轴的直线交直线于点Q，则PQ=BQ时，a的值是__________。【答案】4或【解析】解：P点横坐标为a，因为P点在抛物线上，所以P点坐标为，又PQy轴，且Q点在函数上，所以点Q坐标为，B点坐标为根据平面内两点间的距离公式，知道PQ＝，BQ=,根据题意，PQ=BQ，所以＝，解得a的值分别为4或.三、解答题1.（2015年四川省宜宾市，24，12分）如图，抛物线与x轴分别交于点A（-2，0）、B（4，0），与y轴交于点C，顶点为点P。（1）求抛物线的解析式；（2）动点M、N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H。①当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；②是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】（1）抛物线的解析式为：（2）①H（，）②存在点F（，），使△PFB为直角三角形【解析】解：（1）由题意得：，解得：，∴抛物线的解析式为：（2）①设点M、N从点O同时出发t秒后四边形OMHN为矩形，则M（t，0）、N（0，t）、H（t，t）∵点H在抛物线上，∴解得：∴H（，）②设存在点F，使△PFB为直角三角形如图，连结PF，BP，过点F作FQ⊥对称轴于点Q∵c=4，A（-2，0），B（4，0），∴∠OBC=45°，P点的横坐标为1，∵点P为抛物线的顶点，∴y=,P（1，），∴∵∠OBC=45°，M（t，0），∴MF=BM=4-t即在Rt△PQF中，FQ=1-t，PQ=，∴PF2=∵△PFB为直角三角形，∴Ⅰ）当点F为直角顶点时，=+整理得：∵△=，∴该方程无解Ⅱ）当点P为直角顶点时，=+解得：t=，F（，）综上所述：存在点F（，），使△PFB为直角三角形。2.（2015浙江省丽水市，24，12分）某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上．在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为（米），与桌面的高度为（米），运动时间为（秒），经过多次测试后，得到如下部分数据：（秒）0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 …（米）0 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2 …（米）0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 …（1）当为何值时，乒乓球达到最大高度？（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？（3）乒乓球落在桌面上弹起，与满足＝．①用含的代数式表示；②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米．若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求的值．【答案】解：以点A为原点，以桌面中线为轴，乒乓球运动方向为正方向，建立平面直角坐标系．（1）由表格中的数据，可得＝0.4（秒）．答：当为0.4秒时，乒乓球达到最大高度．（2）由表格中数据，可画出关于的图象，根据图象的形状，可判断是的二次函数．可设＝．将（0，0.25）代入，可得＝．∴＝．当＝0时，＝，＝（舍去），即乒乓球与端点A的水平距离是米．（3）①由（2）得乒乓球落在桌面上时，对应的点为（，0）．代入＝，得＝0，化简整理，得＝．②由题意可知，扣杀路线在直线＝上．由①，得＝．令＝，整理，得＝0．当＝＝0时符合题意．解方程，得＝，＝．当＝时，求得＝，不符合题意，舍去．当＝时，求得＝，符合题意．答：当＝时，能恰好将球沿直线扣杀到点A．3.（2015四川省自贡市，22，1分）观察下表：序号 1 2 3 …图形   …我们把某格中字母和所得的多项式称为特征多项式，例如第1格的"特征多项式"为，回答下列问题：（1）第3格的"特征多项式"为________，第4格的"特征多项式"为________，第格的"特征多项式"为________（为正整数）；（2）若第1格的"特征多项式"的值为－10，第2格的"特征多项式"的值为－16，①求，的值；②在此条件下，第格的"特征多项式"是否有最小值．若有，求出最小值和相应的值；若没有，说明理由．【答案】解：（1），，．（2）①依题意，得．解得．②设最小值为W，则依题意得：W＝＝＝．答：有最小值为－18，相应的值为3．4.（2015四川省自贡市，23，12分）如图，己知抛物线＝（≠0）的对称轴为直线＝－1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与轴交于点B．（1）若直线＝经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴＝－1上找－点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴＝－1上的－个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．【答案】解：（1）依题意得：，解得．∴抛物线解析式为＝．∵对称轴＝－1，且抛物线经过点A（1，0），∴把B（－3，0），C（0，3）分别代入直线＝得，解得．∴直线＝的解析式为＝．（2）设直线BC与对称轴＝－1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小．把＝－1代入直线＝得，＝2．∴M（－1，2）．即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（－1，2）．（注：本题只求M坐标没说要证明为何此时MA＋MC的值最小，所以答案没证明MA＋MC的值最小的原因）（3）设P（－1，），又B（－3，0），C（0，3），∴BC2＝18，PB2＝＝，PC2＝＝．①若点B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即＝，解得＝－2．②若点C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即＝，解得＝4．③若点P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即＝18，解得＝，＝．综上所述P的坐标为（－1，－2）或（－1，4）或（－1，）或（－1，）．5.（2015四川省遂宁市，25，12分）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)三点．(1)求该抛物线的解析式；(2)在y轴上是否存在点M，使△ACM为等腰三角形，若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不存在，请请说明理由；(3)若点P(t，0)为线段AB上一动点(不与A、B重合)，过P作y轴的平行线，记该直线右侧与△ABC围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式．【答案】(1)；(2)M1(0，3＋)，M2(0，3－)，M3(0，－3)，M4(0，)；(3)．【解析】解：(1)由y＝ax2＋bx＋c经过A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)，设函数解析式为，将C(0，3)代入，得3＝－8a，得a＝，所以解析式为，；(2)设M(0，m)，则AC＝，CM＝，AM＝，1①当AC＝CM，得13＝(m－3)2，得m＝3±，得M1(0，3＋)，M2(0，3－)，2②当AC＝AM，得13＝m2＋4，得m＝3(舍去)或m＝－3，所以M3(0，－3)；3③当CM＝AM，得(m－3)2＝m2＋4，－6m＋9＝4，得m＝，所以M4(0，)(3)分两种情况，①当－2＜t≤0时，如图a，由P(t，0)，得AP＝t－2，OP＝－t，由PK∥y轴交AC于K，所以△APK∽△AOC，所以，得，得，所以S＝＝，即：S＝(－2＜t≤0)，②当0＜t＜4时，如图b，由P(t，0)，得OP＝t，PB＝4－t，由PH∥y轴交BC于点H，所以△BPH∽△POC，所以，得PH＝，所以S＝＝．即：S＝(0＜t＜4)．6．（2015四川省巴中市，31，12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴交于点A（－2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连接BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连接PB，PD，BD，求△BDP的面积的最大值即此时点P的坐标．【答案】解：（1）依题意，把点A（－2，0）、C（8，0）代入二次函数解析式，得解得∴二次函数解析式为．（2）存在点E，使得△CDE为等腰三角形．依题意，点D的坐标为（3，0）．OB=4，OC=8，BC．直线BC的解析式为y=x－4．有如下情形：①当CE=DE时，过点E作EF⊥OC，∴点F为DC中点．∴DF=（OC－OD）=．∴OF=．在直线BC的解析式中，令x=，得y=．∴点E的坐标为．②当CD=CE时，过点E作EG⊥OC，∴EG∥BO，∴△CEG∽△CBO．∴，，∴OG=8－．在直线BC的解析式中，令x=8－，得y=．∴点E的坐标为．③当CD=DE时，过点E作EH⊥OC．设E的坐标为，∴OH=x，HE=，DH=3－x．在Rt△HDE中，，∴25=．整理，得．解得x1=0，x2=8（舍去）．此时点E与点B重合，坐标为（0，－4）．（3）如图，过点P作PH⊥OB于点H．设点P的坐标为．∴所以当时，最大，最大值为．此时点P的坐标为．7.（2015福建省福州市，26，13分）如图，抛物线与x轴交于O、A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q.(1)这条抛物线的对称轴是；直线PQ与x轴所夹锐角的度数是；(2)若两个三角形面积满足，求m的值；(3)当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C(2，2)的直线AC与直线PQ交于点D，①求PD+DQ的最大值；②求PD·DQ的最大值.【答案】解：(1)x=2；45°.(2)设直线PQ交x轴于点B，分别过点O、A作PQ的垂线，垂足分别为E、F.(显然，当点B在OA的延长线上时，不成立.①如图所示，当点B落在线段OA上时，，由△OBE∽△ABF得，∴AB=3OB.∴.由得点A（4,0），∴OB=1，∴B(1，0).∴1+m=0，∴m=-1.②如图所示，当点B落在线段AO的延长线上时，，由△OBE∽△ABF得，∴AB=3OB.∴.由得点A（4,0），∴OB=2，∴B(-2，0).∴-2+m=0，∴m=2.综上所述，当m=-1或2时，.(3)①如图所示，过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，则△CHQ是等腰三角形.∵∠CDQ=45°+45°=90°，∴AD⊥PH，∴DQ=DH，∴PD+DQ=PH.过点P作PM⊥CH于点M，则△PMH是等腰直角三角形.∴.∴当PM最大时，PH最大.∴当点P在抛物线的顶点处时，PM取得最大值，此时PM=6.∴PH的最大值为.即PD+DQ的最大值为.解法2：如图所示，过点P作PE⊥x轴，交AC于点E，作DF⊥CQ于点F，则△PDE、△CDQ、△PFQ是等腰直角三角形.设点P()，则E()，F().∴，PF=PQ=|2-x|，∴点Q()，∴，∴（0＜x＜4）.∴当x=2时，PD+DQ的最大值为.②由①可知：PD+DQ≤.设PD=a，则DQ≤.∴PD·DQ≤.∵当点P在抛物线的顶点时，，∴PD·DQ≤18.∴PD·DQ的最大值为18.附加说明：（对a的取值范围的说明）设点P的坐标为()，延长PM交AC于N.PD=a.∵＜0，0＜n＜4，∴当时，由最大值为.∴0＜a≤.8.（2015山东省青岛市，22，10分）如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽的4m.按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m.(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等.如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【答案】解：(1)由题意得点B的坐标为（0，4），点C的坐标为（3，），∴，解得，∴该抛物线的函数关系式为.∵，∴拱顶D到地面OA的距离为10.(2)当x=6+4=10时，，∴这辆货车能安全通过.(3)当y=8时，，即，∴，∴两排灯的水平距离的最小值是：(m).9.（2015重庆B卷，26，12分）如图，抛物线与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E.（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标.【答案】（１）y＝x+1，（２）；（3）或【解析】解：⑴AD：y＝x+1；⑵过点F作x轴的垂线，交直线AD于点M，易证△FGH≌△FGM故设则FM=则C=故最大周长为⑶①若AP为对角线如图，由△PMS∽△MAR可得由点的平移可知故Q点关于直线AM的对称点T为②若AQ为对角线如图，同理可知P由点的平移可知Q故Q点关于直线AM的对称点T为10.（2015四川省泸州市）如图，已知二次函数的图象M经过A(-1，0),B(4，0),C(2，-6)三点。（1）求该二次函数的解析式；（2）点G是线段AC上的动点（点G与线段AC的端点不重合），若△ABG与△ABC相似，求点G的坐标；【出处：21教育名师】（3）设图象M的对称轴为，点是图象M上一动点，当△ACD的面积为时，点D关于的对称点为E，能否在图象M和上分别找到点P、Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形。若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由。【答案】解：（1）设抛物线解析式为，根据题意得，解得a=1,b=-3,c=-4∴二次函数的解析式为：（2）设直线AC的解析式为y=kx+b,根据题意得，解得k=-2,b=-2∴AC的解析式为y=-2x-2∵△ABG∽△ABC∴∵AB=3-(-1)=4，AC=∴AG=设G点坐标为（a,-2a-2）,则解得a=∴G点坐标为（）（3）如图，分别过点D、C作DE⊥AB、CF⊥AB,分别交AB于点E、F则∵G点坐标为（m,n）∴n=∵-1＜m＜2∴AE=m+1,FE=2-m,DE=,CF=6∴解得m=∴G点坐标（）∴E点坐标（）① 当DE为对角线时，则P为抛物线顶点，其坐标为（）；② 当DE为一边时，则PQ=DE=2，则P点横坐标为-0.5，3.5，P点坐标为（），（）11.（2015浙江省湖州市，3，分）如图，已知抛物线C1：y＝a1x2＋b1x＋c1和C2：y＝a2x2＋b2x＋c2都经过原点，顶点分别为A、B，与x轴的另一交点分别为M、N．如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线．请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是＿＿＿＿和＿＿＿＿．【答案】答案不唯一，如：和．【解析】这类题答案不唯一，考试中为节省时间计，越简单越好，越特殊越好．因为要求四边形NBMA是矩形，所以两条抛物线必是关于原点成中心对称图形，为简单起见，若Rt△ANM是∠ANM＝30°的直角三角形，相对简单，此时，不妨设A(1，)，则M(2，0)，设右边抛物线的解析式为y＝ax2＋bx，代入A、M的坐标，可求得其解析式为，另一条也易得．这样的姐妹抛物线还可以源源不断写出．12.（2015浙江省湖州市，1，分）(本小题12分)已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A(0，2)，B(1，0)分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点．现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点D．(1)如图1，若该抛物线经过原点O，且a＝．①求点D的坐标及该抛物线的解析式；②连结CD．问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；(2)如图2，若该抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点E(1，1)，点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．【答案】【解析】解：(1)①过点D作DF⊥x轴于点F，如图所示．∵∠DBF＋∠ABO＝90°，∠BAO＋∠ABO＝90°，∴∠DBF＝∠BAO，又∵∠AOB＝∠BFD＝90°，AB＝BD，∴△AOB≌△BFD，∴DF＝BO＝1，BF＝AO＝2，∴D点坐标是(3，1)．根据题意，得，c＝0，且a×32＋b×3＋c＝1，∴b＝，∴该抛物线解析式为．②∵C、D两点纵坐标都为1，∴CD∥x轴，∴∠BCD＝∠ABO，∴∠BAO与∠BCD互余，若要使得∠POB与∠BCD互余，则需满足∠POB＝∠BAO，设点P的坐标为(x，)，(Ⅰ)当点P在x轴上方时，过点P作PG⊥x轴于点G，则tan∠POB＝tan∠BAO，即，∴，解得x1＝0(舍去)，x2＝，＝，∴点P的坐标是(，)，(Ⅱ)当点P在x轴下方时，过点P作PH⊥x轴于点H，则,∴，解得x1＝0(舍去)，x2＝．∴＝，∴点P的坐标是(，)．综上所述，在抛物线上存在点P1(，)，P2(，)，使得∠POB与∠BCD互余．(2)a的取值范围是a＜或．13.（2015浙江省金华市，24，12分）如图，抛物线y＝ax?＋c(a≠0)与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点(点C在x轴正半轴上)，△ABC为等腰直角三角形，且面积为4.现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线过点C时，与x轴的另一个交点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H.(1)求a，c的值.(2)连结OF，试判断△OEF是否为等腰三角形，并说明理由.(3)先将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线AF或射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P.是否存在这样的点Q，使以点P，Q，E为顶点的三角形与△POE全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，∴OA＝BC，又∵△ABC的面积＝BC×OA＝4，即＝4，∴OA＝2，∴A，B，C，∴c＝2，∴抛物线的函数表达式为，有，解得，∴，c＝2.（2）△OEF是等腰三角形.理由如下：∵A，B，∴直线AB的函数表达式为，又∵平移后的抛物线顶点F在射线BA上，∴设顶点F的坐标为（m，m＋2），∴平移后的抛物线函数表达式为，∵抛物线过点C，∴，解得∴平移后的抛物线函数表达式为，即.…1分当y＝0时，，解得∴E（10，0），OE＝10，又F（6，8），OH＝6，FH＝8，∴又∵，∴OE＝OF，即△OEF为等腰三角形.（3）点Q的位置分两种情形.情形一、点Q在射线HF上.当点P在轴上方时，如图2.由于△PQE≌△POE，∴，在Rt△QHE中，，∴.当点P在轴下方时，如图3，有，过P点作于点，则有PK＝6，在Rt中，，∵，∴，∵，∴，又∵，∴∽，∴，即，解得，∴.情形二、点在射线AF上.当时，如图4，有，∴四边形POEQ为矩形，∴的横坐标为10，当时，，∴.当时，如图5.过作y轴于点，过E点作x轴的垂线交QM于点N.设的坐标为，∴，，，在中，有，即，解得，当时，如图5，，∴，当时，如图6，，∴.综上所述，存在点，，，，，使以P，Q，E三点为顶点的三角形与△POE全等.14.（2015山东省德州市，24，12分）已知抛物线y=-mx2+4x+2m与x轴交于点A(α,0),B(β,0),且.(1)求抛物线的解析式.(2)抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l的对称点为E.是否存在x轴上的点M、y轴上的点N，使四边形DNME的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由.(3)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标.【答案】解：(1)由题意可知，α，β是方程-mx2+4x+2m=0的两根，由根与系数的关系可得：α+β=,αβ=-2.∵,∴,即.∴m=1.∴抛物线解析式为y=-x2+4x+2.(2)存在x轴上的点M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长最小.∵y=-x2+4x+2=-(x-2)2+6.∴抛物线的对称轴l为x=2,顶点D的坐标为（2，6）.又∵抛物线与y轴交点C的坐标为（0，2）,点E与点C关于l对称，∴E点坐标为（4，2），作点D关于y轴的对称点D＇，点E关于x轴的对称点E＇.则D＇坐标为（-2，6），E＇坐标为（4，-2），连接D＇E＇.交x轴于M，交y轴N.此时，四边形DNME的周长最小为D＇E＇+DE.如图1所示.延长E＇E,D＇D交于一点F.在Rt△D＇E＇F中，D＇F=6，E＇F=8.∴D＇E＇===10,设对称轴l与CE交于点G，在Rt△DGE中，DG=4，EG=2，∴DE===2.∴四边形DNME的周长的最小值为10+2.(3)如图2，P为抛物线上的点，过P作PH⊥x轴，垂足为H.若以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形.则△PHQ≌△DGE.∴PH=DG=4,∴|y|=4.∴当y=4时，-x2+4x+2=4，解得x=2±,∴点P的坐标为（2-，4），（2+，4），（2+，-4），（2-，-4）.15.（2015四川省达州市，23，8分）阅读与应用：阅读1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为，所以，从而（当a＝b时取等号）．阅读2：若函数（m＞0，x＞0，m为常数），由阅读1结论可知：，所以当即时，函数的最小值为．阅读理解上述内容，解答下列问题：问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，为，求当x＝__________时，周长的最小值为__________．问题2：已知函数y1＝x＋1（x＞－1）与函数y2＝x2＋2x＋10（x＞－1），当x＝__________时，的最小值为__________．问题3：某民办学习每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资4900元；二是学生生活费成本每人10元；三是其他费用．其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01．当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入＝支出总费用÷学生人数）【答案】2，8；，；当学校学生人数为700人时，该校每天生均投入最低，最低费用是24元．【解析】解：问题1因为x＞0，4＞0，所以，当即时，取最小值8．问题2由题意得，因为x＞－1，所以x＋1＞0，所以，当即时，取最小值．问题3设学校学生人数为x人，生均投入为y元，依题意得：，因为x＞0，所以，当即x=700时，y取最小值24．答：当学校学生人数为700人时，该校每天生均投入最低，最低费用是24元．16.（2015四川省达州市，25，12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数的图象抛物线经过A、C两点．（1）求该二次函数的表达式；（2）F、G分别为x轴、y轴上的动点，首尾顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；（3）抛物线上是否存在点P，时△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】【解析】解：（1）将A（0，4）、C（5，0）代入得，解得，∴该二次函数的表达式为．（2）∵四边形OABC为矩形，∴∠BAO＝∠AOC＝90°，AB＝OC＝5，BC＝OA＝4∴B（5，4），∵E为BC中点，∴E（5，2），∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠DOC＝45°，∴∠ADO＝∠AOD＝45°，∴AD＝OA＝4，∴D（4，4），作D关于y轴的对称点D′，作E关于x轴的对称点E′，连接D′G、E′F，则D′（－4，4），E′（5，－2），且D′G＝DG，E′F＝EF，四边形DEFG的周长＝DE＋EF＋FG＋GD＝DE＋E′F＋FG＋GD′≥DE＋E′D′，根据勾股定理，，，∴四边形DEFG周长的最小值是．（3）设△ODP边OD上的高为h，根据勾股定理，∵，∴，如图，过O作MN⊥OD交OD于O，使得，过M、N分别做MH⊥y轴，NI⊥x轴，∵∠AOD＝∠DOC＝45°，∴∠OMH＝∠NIO＝45°＝∠AOD＝∠DOC，∴MH＝OH，OI＝NI，根据勾股定理MH2＋OH2＝OM2，OI2＋NI2＝ON2，∴MH＝OH＝OI＝NI＝3，∴M（－3，3），N（3，－3），分别过M、N作OD的平行线l1、l2，设lOD：y＝kx，将D代入得4＝4k，解得k＝1，∴lOD：y＝x，设l1：y＝x＋b1，l2：y＝x＋b2，将M代入l1，N代入l2得，解得，∴l1：y＝x＋6，l2：y＝x－6．将l1与抛物线解析式联立得，解得，；将l2与抛物线解析式联立得，解得，；综上，存在点P，使得△ODP的面积为12，符合条件的P点坐标为：、、、．17.（2015湖南省长沙市，25，10分）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为"中国结"．（1）求函数的图像上所有"中国结"的坐标；（2）若函数（，为常数）的图像上有且只有两个"中国结"，试求出常数的值，与相应"中国结"的坐标；（3）若二次函数（为常数）的图像与轴相交得到两个不同的"中国结"，试问该函数的图像与轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个"中国结"？【答案】（1）（2），；，（3）6个.【解析】解：（1）；（2）若函数（，为常数）的图像上有且只有两个"中国结"，则，当时，"中国结"为；当时，"中国结"为．（3）令，则有，解得，，∴，，当且仅当时，有整数解，即有"中国结"存在．此时函数为此抛物线的顶点为，故满足条件的"中国结"有：共计6个．18.（2015湖南省长沙市，26，10分）若关于的二次函数（，，，，是常数）与轴交于两个不同的点，（），与轴交于点，其图像顶点为点，点为坐标原点．（1）当，时，求与的值；（2）当时，试问能否为等边三角形？判断并证明你的结论；（3）当（）时，记，的面积分别为，，若，且，求的值．(第26题图)【答案】（1）；（2）时，为等边三角形；（3）【解析】解：（1）令的两根为．把，代入，得解得，故方程为：，解得另一根为．（2）当时，，整理得，当为等边三角形时，∵顶点∴∴∴（舍去）当时，，重合，故不能组成等边三角形．（3）由得，，即，∴．由得，∴．∴（舍）∴方程可化为，又∵，所以，解得19.（2015山东临沂，26，13分）在平面直角坐标系中，O为原点，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，点B关于原点的对称点为点C。（1） 求过点A、B、C三点的抛物线的解析式；（2） P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q。① 当四边形PBQC为菱形时，求点p的坐标；② 若点P的横坐标为t（-1<t<1）,当t为何值时，四边形PBQC面积最大，并说明理由。【答案】（1）（2）①，②t=0【解析】解：（1）所以所以x=1y=-1所以B（-1,1）因为点B关于原点的对称点为点C，所以C（1，-1）因为直线与y轴交于点A，所以A(0，-1)设抛物线为过A、B、C所以解之得所以抛物线为（2）①因为对角线互相垂直平分的四边形为菱形所以与BC垂直的直线为y=x所以所以所以所以，②因为四边形PBQC面积最大所以三角形BPC的面积最大，所以P离开BC的距离最远，因为-1<t<1所以点p在直线BC的下方。设过P点与BC平行的直线为+b当+b与抛物线只有一个交点时，点p到直线的距离最远。所以所以所以所以△==0所以b=1所以x=0即t=0故答案为（1）（2）①，②t=020.（2015四川省凉山州市，28，12分）如图，已知抛物线y=x2﹣(m+3)x+9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y=x+3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴分别交于D、E两点（1）求m的值；（2）求A、B两点的坐标；（3）点P(a，b)(﹣3＜a＜1)是抛物线上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求a、b的值.【答案】（1）3；（2）A(1，4)，B(6，9)；（3）a=﹣1，b=16.【解析】解：（1）∵抛物线的顶点在x轴上，∴它与x轴只有一个交点，∴(m+3)2﹣4×9=0，解得m=3或m=-9，又，即，∴m=3；（2）由（1）可得抛物的解析式为y=x2﹣6x+9.解方程组，得或，∴点A的坐标为(1，4)，点B的坐标为(6，9)；（3）如图，连接AC，BC，CE.∵当y=0时，x=﹣3，∵当x=0时，y=3，∴点D(﹣3，5)，E(0，3)，∴OD=OE=3，又∵顶点C的坐标为(3，0)∴OC=6，∴△CED是直角三角形，且CE⊥BD，∴CE为△ABC的AB边上的高，过C作直线CF∥AB，则点F的坐标为(﹣3，0)∴EF=6，即直线CF可以看作直线y=x+3向下平移6个单位得到的，将直线y=x+3向上平移12个单位得到的直线的解析式为y=x+15，又∵△PAB的面积是△ABC的面积的2倍，∴点P是直线y=x+15与抛物线y=x2﹣6x+9.的交点坐标，由，得或，又点P(a，b)(﹣3＜a＜1)，∴点P的坐标为(﹣1，16)∴a=﹣1，b=16.21.（2015浙江省台州市，23，12）如图，在多边形ABCDE中，∠A=∠AED=∠D=90°，AB=5，AE=2，ED=3．过点E作EF//CB交AB于点F，FB=1，过AE上的点P作PQ//AB交线段EF于点Q，交折线BCD于点Q，设AP=x，PO·OQ=y（1）①延长BC交ED于点M，则MD=______，DC=______；②求y关于x的函数解析式；（2）当a≤x≤（a＞0）时，9a≤y≤6b，求a，b的值；（3）当1≤y≤3时，请直接写出x的取值范围．【答案】（1）①2，1；②（2）（3）.【解答】解：（1）①，；②∵，∴.在△中，，∴.∵，∴.∵，∴．当时，如图1所示，∵，，∴四边形是平行四边形．∴.∴．当时，如图2所示，∵，∴．∵，∴四边形是矩形．∴．∴．∴（2）关于的函数图象如图3所示．当时，随着的增大而减小，所以解得（3）.22.(2015广东省广州市，25，14分)(本小题满分14分)已知O为坐标原点，抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与轴相交于点A(x1，0)，B(x1，0)．与轴交于点C，且O，C两点之间的距离为3，x1ox2＜0，|x1|＋|x2|＝4，点A，C在直线y2＝－3x2＋t上．(1)求点C的坐标；(2)当y1随着x的增大而增大时，求自变量的取值范围；(3)将抛物线y1向左平移n(n＞0)个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2－5n的最小值．【答案】解：(1)令x＝0，则y＝c，∴C(0，c)∵OC的距离为3，∴|c|＝3，即c＝±3∴C(0，3)或C(0，－3)(2)∵x1x2＜0∴x1x2异号①若C(0，3)，即c＝3把C(0，3)代入y2＝－3x＋t，则0＋t＝3，即t＝3∴y2＝－3x＋3把A(x1，0)代入y2＝－3x＋3，则－3x1＋3＝0，即x1＝1∴A(1，0)∵x1x2异号，x1＝1＞0∴x2＜0∵|x1|＋|x2|＝4∴1－x2＝4，x2＝－3，则B(－3，0)代入y1＝ax2＋bx＋3得，解得：y1＝－x2＋－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，则当x≤－1时，y随x增大而增大．②若C(0，－3)，即c＝－3把C(0，－3)代入y2＝－3x＋t，则0＋t＝－3，即t＝－3∴y2＝－3x－3把A(x1，0)代入y2＝－3x－3，则－3x1－3＝0，即x1＝－1∴A(－1，0)∵x1x2异号，x1＝－1＜0∴x2＞0∵|x1|＋|x2|＝4∴1＋x2＝4，x2＝3，则B(3，0)代入y1＝ax2＋bx＋3得，解得：y1＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，则当x≥1时，y随x增大而增大．综上所述，若c＝3，当y随x增大而增大时，x≤－1若c＝－3，当y随x增大而增大时，x≥1(3)①若c＝3，则y1＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，y2＝－3x＋3y1向左平移n个单位后则解析式为：y3＝－(x＋1＋n)2＋4则当x≤－1－n时，y随x增大而增大．y2向下平移n个单位后则解析式为：y4＝－3x＋3－n要使平移后直线与P有公共点，则当x＝－1－n，y3≥y4即－(－1－n＋1＋n)2＋4≥－3(－1－n)＋3－n，解得，n≤－1∵n＞0，n≤－1不符合条件，应舍去．②若c＝－3，则y1＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，y2＝－3x－3y1只向左平移n个单位后则解析式为：y3＝(x－1＋n)2－4则当x≥1－n时，随x增大而增大．y2向下平移n个单位后则解析式为：y4＝－3x－3－n要使平移后直线与P有公共点，则当x＝1－n，y4≥y3即－3(1－n)－3－n≥(1－n－1＋n)2－4，解得：n≥1综上所述，n≥12n2－5n＝2－，∴当n＝时，2n2－5n的最小值为－．【解析】(1)依照数轴上的距离即可得到答案：C(0，3)或C(0，－3)．(2)由(1)知C(0，3)或C(0，－3)．所以要分两种情况解决．但是两种情况的解法是一样的，即：解出y2和A点坐标，再求出点B的坐标，代入y1，利用待定系数法即可解出解析式，再根据二次函数的性质写出顶点式，自变量的取值范围即可写出．(3)在(2)的基础上，用顶点式去平移，当抛物线开口向下时，二次函数值要大于等于一次函数值；当抛物线开口向上时，二次函数值要小于等于一次函数值；这样才能确保有交点，解出以后要保证n＞0，否则舍去即可．在解出的n的取值范围内找2n2－5n的最小值，即2－的最小值．23.（2015安徽，22，12分）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长度是x米，矩形区域ABCD的面积为y平方米.(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；(2)x取何值时，y有最大值？最大值是多少？?【答案】(1)(2)y有最大值是300平方米.【解析】解：(1)设AE=a,由题意,得AE·AD=2BE·BC,AD=BC,∴BE=a,AB=a.由题意,得2x+3a+2·a=80,∴a=20-x.∴,即.(2)∵∴当x=20时,y有最大值,最大值是300平方米.24.(2015贵州省安顺市,26,14分）如图，抛物线与直线AB交于点A（-1，0），B（4，），点D是抛物线A，B两点间部分上的一个动点（不与点A，B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD.（1）求抛物线的解析式；（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S取最大值时的点C的坐标。解：(1)由题意得解得：∴y=-x2+2x+.（2）设直线AB为：y=kx+b，则有解得∴y=x+则D(m,-m2+2m+),C(m,m+),CD=(-m2+2m+)-(m+)=-m2+m+2∴S=(m+1)·CD+(4-m)·CD=×5×CD=×5×(-m2+m+2)=-m2+m+5∵-<0∴当m=时,S有最大值。当m=时，m+=×+=∴点C(,).25.（2015山东省威海市，25，12分）已知：抛物线：交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），与y轴交于点D（0，）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）P为直线x=1上一点，连接PA，PC．当PA=PC时，求点P的坐标；（3）M为抛物线上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．【答案】（1）；（2）点P的坐标为（1，1）；（3）12．【解析】解：（1）由题意，得，a=﹣1，∴b＝2．∴抛物线的函数表达式为．设，解，得x1＝﹣1，x2＝3．∴点A的坐标为（﹣1，0）．设y＝a（x＋1）（x－5），将点D（0，）代入，得∴抛物线的函数表达式为．（2）设直线x＝1与x轴交于点G，过点C作CH⊥PG，垂足为H．由（1）知，C的坐标为（0，3）．则HG=OC=3．设P点的纵坐标为m，在Rt△APG中，AG=2，PG=m．∴．在Rt△CHP中，CH=OG=1，HP=3－m．∴．∵AP=CP，∴．解，得m＝1．∴点P的坐标为（1，1）．（3）设点M，则N．当时，解，得x1=﹣1，．①当时，．显然，，∴当时，MN有最大值．②当时，．显然，当时，MN随x的增大而增大．所以当点M与点F重合，即x=5时，MN有最大值：．综上所述，在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为12．26.（2015浙江省温州市，23，12分）如图抛物线交x轴正半轴于点A，顶点为M，对称轴MB交x轴于点B，过点C（2，0）作射线CD交MB于点D（D在x轴上方），OE∥CD交MB与点E，EF∥x轴交CD与点F，作直线MF.（1）求点A、M的坐标.(2)当BD为何值时，点F恰好落在该抛物线上？（3）当BD=1时，①求直线MF的解析式，丙判断点A是否落在该直线上.②延长OE交FM于点G，取CF中点P，连结PG，△FPG，四边形DEGP，四边形OCDE的面积分别记为S1，S2，S3，则S1：S2：S3=_________________.解：（1）令y=0，则-x2+6x=0，解得x1=0，x2=6，∴A（6,0），∴对称轴是直线x=3，∴M（3,9）.（2）∵OE∥CF，OC∥EF，C（2,0），∴EF=OC=2，∴BC=1，∴点F的横坐标为5，∵点E落在抛物线y=-x2+6x上，∴F（5，5），BE=5.∵,∴DE=2BD,∴BE=3BD,∴BD=.（3）①当BD=1时，BE=3，∴F（5，3）.设MF的解析式为y=kx+b，将M（3,9），F（5，3）代入，得，解得，∴y=-3x+18.∵当x=6时，y=-3×6+18=0，∴点A落在直线MF上.②因为BD=1,BC=1,所以△BDC为等腰直角三角形,所以△OBE为等腰直角三角形,所以CD=,CF=OE=3,所以DP=,PF=,根据MF及OE解析式求得点G的坐标为（，），作GN⊥EF于点N，则EN=GN=，所以EG=,S△FPG，S梯形DEGP，S梯形OCDE的高相等,所以三者面积比等于底之比故S△FPG:S梯形DEGP:S梯形OCDE=PF：（DP+EG）：（DC+OE）=：（+）：（3+1）=：2：4=3：4：8。27.（2015四川资阳，24，12分）已知直线y=kx+b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y=x2相交于B、C两点.（1）如图13-1，当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式；（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图13-2，设(m<0)，过点的直线l∥x轴，BR⊥l于R，CS⊥l于S，连接FR、FS．试判断△RFS的形状，并说明理由．www.21-cn-jyvvvvv【答案】解：（1）因为点C在抛物线上，所以C（1，）．又因为直线BC过C、F两点，故得方程组，解之，得，所以直线BC的解析式为：．（2）要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，则MD=OF．设M（x1,），则D（x1，）．因为MD∥y轴，所以MD=，由MD=OF，可得，①当时，解得x1=0（舍）或x1=，所以M（，）；②当时，解得，所以M（，）或M（，）．综上所述，存在这样的点M，使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，M点坐标为（，）或（，）或（，）．（3）过点F作FT⊥BR于点T，因为点B在抛物线上，所以m2=4n.在Rt△BTF中，BF====，因为n>0，所以BF=n+1.又因为BR=n+1，所以BF=BR.，所以∠BRF=∠BFR.又因为BR⊥l，EF⊥l，所以BR∥EF，所以∠BRF=∠RFE，所以∠RFE=∠BFR.同理，可得∠EFS=∠CFS.所以∠RFS=∠BFC=90，所以△RFS是直角三角形.28.（2015四川南充，25，10分））已知抛物线与x轴交于点A（m－2，0）和B（2m＋1，0）（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x＝1．（1）求抛物线解析式．（2）直线y＝kx＋2(k≠0)与抛物线相交于两点M（x1，y1），N(x2，y2)（x1＜x2），当最小时，求抛物线与直线的交点M和N的坐标．（3）首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为L．若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O，B移动后的坐标及L的最小值．【答案】（1）；（2）,；（3）,；【解析】解：解：（1）令y=0，得由韦达定理可知：；又抛物线的对称轴为，即∴解得∴∴抛物线的解析式为………………………………………3分（2）由可得……………………………4分∴∴当时，取到最小值2………………………………5分此时，∴直线解析式为,……………………………………6分（3）如图，设平移后的O、B两点为和以、为边作平行四边形，则有，再将C点以x轴为对称轴对称到点，连接,,则有∴………………………………………7分又由（1）易知∵∴,∴直线的解析式为与x轴的交点为∵为定值∴当取最小值时L最小此时,则………………………………………9分又∴………………………………………10分29.（2015山东省菏泽市，21，10分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，k为正整数.（1）求k的值；（2）当此方程有一根为零时，直线y=x+2与关于x的二次函数的图象交于AB两点，若M是AB线段上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次函数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标；（3）将（2）中二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后图象与原图象x轴上方的部分组成一个"W"形状的新图象，若直线与该新图象恰好有三个公共点，求b的值.解：（1）∵关于x的一元二次方程=0有两个不相等的实数根.∴b2-4ac=4-4×＞0，∴k-1＜2，∴k＜3.∵k为正整数，∴k的值是1,2.（2）把x=0代入到方程=0，得k=1,此时二次函数为y=x2+2x.此时直线y=x+2与二次函数y=x2+2x的交点A(-2,0),B(1,3),由题意可设M（m,m+2),其中-2＜m＜1，则N（m,m2+2m),MN=m+2-（m2+2m)=-m2-m+2=-(m+)2+.当m=-时，MN的长度最大值为，此时点M的坐标为（-，）；（3）当y=x+b过点A时，直线与新图象有3个公共点，（如图2所示）把A（-2,0）代入y=x+b得b=1，当y=x+b与新图象的封闭部分有一个公共点时，直线与新图象有3个公共点，由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于x轴对称，所以其解析式为：y==-x2-2x.∴有一组解，此时-x2-x-b=0有两个相等的实数根，则（）2-4b=0，所以b=.综上所述，b=1或b=.30.（2015上海市，24，12分）已知在平面直角坐标系XOY中（如图6），抛物线与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，AB=.点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴相交于点C，线段BP与x轴相交于点D.设点P的横坐标为m.(1)求这条抛物线的表达式；(2)用含m的代数式表示线段CO的长；(3)当tan∠ODC=求∠PAD的正弦值.【答案】（1）这条抛物线的表达式为;(2)线段CO的长;(3)∠PAD的正弦值【解析】解：(1)∵AB=,OB=4∴OA=2，即A(∴二次函数解析式为(2)由（1）得，P∴∴OC=(3)tan∠ODC==解得：m=3，m=-1(舍)作PH⊥x轴∴PH=∴AP=∴sin∠PAD=31.（2015天津市，25，10分）已知二次函数（为常数）（1）当时，求二次函数的最小值；（2）当时，若在函数值的情况下，只有一个自变量与其对应，求此时二次函数的解析式；（3）当时，若在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，求此时二次函数的解析式.【答案】（1）当时，求二次函数的解析式为，即：。∴当时，二次函数的最小值.（2）当时，二次函数的解析式为.由题意得方程有两个相等的实数根.有，解得.此时二次函数的解析式为或.（3）当时，二次函数的解析式为.它的图象开口向上，对称轴为的抛物线.①若，即，若在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值随的增大而增大。故当时，为最小值.所以，解得（舍），；②若，即.当时，为最小值.所以，解得（舍），（舍）；③若，即.若在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值随的增大而减小.当时，为最小值.所以时，即，解得（舍），.综上所述，或.∴此时二次函数的解析式为或.【考点解剖】本题考查了二次函数表达式的确定、配方法、分类讨论等知识点，解题的关键是掌握二次函数的图像及性质，并能合理地进行分类讨论．32.（2015浙江省衢州市，22，10分）小明在课外学习中遇到这样一个问题：定义：如果二次函数与满足，则称这两个函数互为"旋转函数"。求函数的"旋转函数"。小明是这样思考的，由函数可知根据，求出，就能确定这个函数的"旋转函数"。请参考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数的"旋转函数"。（2）若函数与互为"旋转函数"，求的值。（3）已知函数的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C,点A，B，C关于原点的对称点分别为,试证明经过点的二次函数与函数互为"旋转函数"【答案】(1)(2)-1(3)证明略【解析】解：（1）由题可出的旋转函数为（2）得m=-3，（3）知由题可知设经过点的二次函数为将代入得求得二次函数为经判断，故经过点的二次函数与函数互为"旋转函数"33.（2015山东潍坊，24，14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为A，与轴的交点分别为B（，0），C（，0），且.直线AD//x轴，在x轴上有一动点E（t，0），过点E作平行于y轴的直线与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q.（1）求抛物线的解析式；（2）当时，求△APC面积的最大值；（3）当时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似.若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意知，是方程的两根，∴.由解得∴B（2，0），C（6，0）.则，解得，该抛物线的解析式为.（2）由，当时，则A（0，3），设直线AC的解析式为，由解得∴直线AC的解析式为.要构成△APC，显然t≠6，下面分两种情况讨论：①当时，设直线与AC的交点为F，则.∵，∴.∴②当6＜t≤8时，延长AC交直线l于点H，则H（t，），则PH=，∴此时，当t=8时，△APC面积的最大值是12＞.综上，当t=8时，△APC面积的最大值是12．（3）由题意可知：OA=3，OB=2，Q（t，3），t＞2.①如图，当点P在直线AD下方时，令△AOB∽△AQP，∴，∴，解得：t=0（舍去）或．令△AOB∽△PQA，∴，∴，解得：t=0（舍去）或t=2（舍去）．②当P在直线AD上方时，△AOB∽△AQP，∴，∴解得t=0（舍去），或．令△AOB∽△PQA，∴，∴，解得t=0（舍去）或t=14．综上所述，满足条件的点P有3个，此时t的值分别是，，14．34.（2015四川省广安市，26，10分）如图，边长为1的正方形ABCD一边AD在x负半轴上，直线l：经过点B（x，1）与x轴、y轴分别交于点H、F，抛物线y=-x2+bx+c顶点E在直线l上.⑴求A、D两点的坐标及抛物线经过A、D两点时的解析式.⑵当该抛物线的顶点E（m，n）在直线l上运动时，连接EA、ED，试求△EAD的面积S与m之间的函数解析式.并写出m的取值范围.⑶设抛物线与y轴交于G点，当抛物线顶点E在直线l上运动时，以A、C、E、G为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出E点坐标；若不能，请说明理由.解：⑴∵直线l：经过点B（x，1），∴1=，解得x=-2，∴B（-2，1），∴OA=2，∴OD=AD+OA=3，∴A（-2，0），D（-3，0），∵抛物线y=-x2+bx+c经过A、D两点，∴，解得，∴抛物线经过A、D两点时的解析式为y=-x2-5x-6.⑵过点E作EM⊥x轴，∵抛物线的顶点E（m，n）在上，∴，∵直线与x轴的交点H（-4，0）∴①当E在x轴上方时，即m＞-4时，EM=，则S△EAD=，②当E在x轴下方时，即m＜-4时，EM=-，则S△EAD=，∴，⑶∵四边形ACEG为平行四边形，∴△ACD≌△GEN，则NG=AD=1，EN=CD=1，∵抛物线y=-x2+bx+c与y轴交点为G（0，c），∴E(-1，c+1)，∵点E在上，∴，解得c=，∴c+1=，∴E(-1，).35.（2015浙江省杭州市，20，10分）设函数y=(x－1)[(k－1)x+(k－3)]（k是常数）.（1）当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；（2）根据图象，写出你发现的一条结论；（3）将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值.（第20题）解：(1)当k=0时，y=－（x－1）(x+3),所画函数图象如图；（2）①图象都过点（1,0）和点（－1,4）；②图象总交x轴于点（1,0）；③k取0和2时的函数图象关于点（0,2）中心对称；④函数y=（x－1）[(k－1)x+（x－3）]的图象都经过点（1,0）和（－1,4）；等等.（其他正确结论也行）（3）平移后的函数y3的表达式为：y3=(x+3)2－2，所以当x=－3时，函数y3的最小值等于－2.（第20题）36.(2015年山东省济宁市)（本题满分11分）如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴相交于点C；直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D；以C为顶点的抛物线经过点B。（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时，求出点P的坐标及最小距离。解：（1）连接AE由已知得：AE=CE=5，OE=3，在Rt△AOE中，由勾股定理得OA=∵OC⊥AB，∴由垂径定理得，OB=OA=4，OC=OE+CE=3+5=8，∴A（0，4）B（0，-4）C（8，0）∵抛物线的顶点为点C，∴设抛物线的解析式为y=a,将点B的坐标代入上解析式，得64a=-4，故a=∴y=∴y=为所求抛物线的解析式……………………3分（2）在直线l的解析式中，令y=0，得，解得所以点D的坐标为（，0）；当x=0时，y=4，所以点A在直线l上，在Rt△AOE和Rt△DOA中，∵，，∴，∵∠AOE=∠DOA=90°，∴△AOE∽△DOA，∴∠AEO=∠DAO，∵∠AEO+∠EAO=90°，∴∠DAO+∠EAO=90°，即∠DAE=90°，因此，直线l与E相切于点A。…………………………7分（3）过点P作直线l的垂线段PQ，垂足为Q；过点P作直线PM垂直于x轴，交直线l于点M。设M（m，），P（，则PM==当m=2时，PM取得最小值。此时，P（2，），对于△PQM，∵PM⊥x轴，∴∠QMP=∠DAO=∠AEO，又∵∠PQM=90°，∴△PQM的三个内角固定不变，∴在动点P运动的过程中，△PQM的三边的比例关系不变，∴当PM取得最小值时，PQ也取得最小值，所以，当抛物线上的动点P的坐标为（2，）时，点P到直线l的距离最小，其最小距离为。………………………………………………11分37.（2015江苏省泰州市，22，10分）（本题满分10分）已知二次函数y=x2＋mx＋n的图像经过点P（?3，1），对称轴是经过（?1,0）且平行于y轴的直线.（1）求m、n的值；（2）如图，一次函数y=kx＋b的图像经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图像相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA﹕PB=1﹕5，求一次函数的表达式．解：（1）由题意得，∴m=2，n=－2；（2）分别过点P、B作x轴的垂线，垂足分别为点C、D，则PC∥BD，∴△APC∽△ABD，∴，∵PA﹕PB=1﹕5，∴，∴BD=6，令x2＋2x－2=6，得x1=2，x2=－4（舍去），∴点B坐标为（2，6），∴，解之，得，∴一次函数的表达式为y=x＋4．38.（2015内蒙古呼和浩特，25，12分）已知：抛物线y=x2+(2m－1)x+m2－1经过坐标原点，且当x<0时，y随x的增大而减小.(1)求抛物线的解析式，并写出y<0时，对应x的取值范围;(2)设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B，DC⊥x轴于点C.①当BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长;②设动点A的坐标为(a，b)，将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标;如果不存在，请说明理由.解：(1)∵抛物线经过坐标原点(0,0)∴m2－1=0∴m=±1∴y=x2+x或y=x2－3x.∵x<0时，y随x的增大而减小，∴y=x2－3x.由图象知：y<0时，0<x<3.(2)①当BC=1时,由抛物线的对称性知点B的横坐标为1，从而点A的纵坐标为－2．∴AB=2，所以矩形的周长为2×（1+2）=6；②∵点A的坐标为（a，b），∴当点A在对称轴左侧时，如图1，矩形ABCD的一边BC=3－2a，另一边AB=3a－a2.周长L=－2a2+2a+6,其中0＜a＜32.当点A在对称轴右侧时,如图,2，矩形的一边BC=3－(6－2a)=2a－3,另一边AB=3a－a2，周长L=－2a2+10a－6，其中32＜a＜3.∴当0＜a＜32时，L=－2(a－12)2+132∴当a=12时，L最大=132，A点坐标为(12,－54)；当32＜a＜3时，L=－2(a－52)2+132∴当a=52时，L最大=132，A点坐标为(52,－54).图1图239.（2015山东济南，28，9分）抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)过点A（1，-1），B（5，-1），与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数关系式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作□CBPQ,若P在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且□CBPQ的面积为30，求点P的坐标：(3)如图2，！！！！！！O1过A、B、C三点，AE为直径，点M为！！！！！！！（7个！）上的一动点（不与点A、E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值.【答案】【解析】解：（1）把A（1，-1）B（5，-1）代入-1=a+b+4-1=25a+5b+4∴a=1b=-6∴设p（，）则S△CBP=15（S△CBP=梯形－两个直角三角形）∴∵m＞0∴m=6∴P（6,4）（3）连接AB，EB则可知∠ABE=90°=∠MBN又∵∠EAB=∠EMB∴△EAB∽△NMB∴01在AB的中垂线上∴设O1（3，m）∵m=2∴O1（3,2）∴E（5,5）∴AB=4，EB=6∵△EAB∽△NMB∴∴∴∴当MB为直径时，MB最大此时NB最大∴MB=AE=∴NB==最大40.（2015浙江宁波，23，10分）已知抛物线，其中m是常数.(1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；(2)若该抛物线的对称轴为直线①求该抛物线的函数解析式；②该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点.【答案】解：(1)证明：∵由y=0得,,∵m≠m+1，∴抛物线与x轴一定有两个交点(m，0)，(m+1，0).(2)①∵∴抛物线的对称轴为直线,解得m=2，抛物线的函数解析式为.②∵,∴该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点.41.（2015浙江宁波，25，12分）如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角.(第25题图)(1)如图2，已知∠MON=90°,点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°.求证：∠APB是∠MON的智慧角.(2)如图1，已知∠MON=α(0°<α<90°)，OP=2.若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积.(3)如图3，C是函数图象上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴和y轴于A，B两点，且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标.【答案】解：(1)证明：∵∠MON=90°，P是∠MON平分线上一点，∴∠AOP=∠BOP=∠MON=45°.∵∠AOP+∠OAP+∠APO=180°，∴∠OAP+∠APO=135°.∵∠APB=135，∴∠APO+∠OPB=135°，∴∠OAP=∠OPB,∴△AOP∽△POB，∴,∴,∴∠APB是∠MON的智慧角.(2)∵∠APB是∠MON的智慧角，∴,∴∵P为∠MON平分线上一点，∴∠AOP=∠BOP=∴△AOP∽△POB，∴∠OAP=∠OPB，∴∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA=180°-,即∠APB=180°-.过A作AH⊥OB于H，∴∵OP=2,∴(3)设点C(a，b)，则ab=3，过点C作CH⊥OA，垂足为点H，i)当点B在y轴的正半轴上时，当点A在x轴的负半轴上时，BC=2CA不可能；当点A在x轴的正半轴上时，∵BC=2CA，∴,∵CH∥OB，∴△ACH∽△ABO,∴,∴OB=3b,OA=.∴.∵∠APB是∠AOB的智慧角，∴,∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，∴点P的坐标为(,).ii)当点B在y轴的负半轴上时，∵BC=2CA,∴AB=CA.∵∠AOB=∠AHC=90°,又∵∠BAO=∠CAH，∴△ACH≌△ABO，∴OB=CH=b，OA=AH=，∴∵∠APB是∠AOB的智慧角，∴,∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，∴点P的坐标为(,).∴点P的坐标为(,)或(,).42.（2015四川省绵阳市，24，12分）已知抛物线与y轴相交于A点，顶点为M，直线分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线MA相交于N点．（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M、A的坐标；（2）将△NAC沿着y轴翻折，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连结CD，求a的值与△PCD的面积；（3）在抛物线上是否存在点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）M（-1,1+a）；（2），；（3）存在，当P点为和时，A、C、P、N能够成平行四边形．【解析】解：（1）由题意得联立，整理得．由，解得．∵a≠0，∴且a≠0．令x=0，得y=a，∴A（0，a）．由，得M（-1,1+a）（2）设直线MA为，代入A（0，a）、M（-1,1+a）得解得，故直线MA为．联立解得．由于P点是N点关于y轴的对称点，∴，将P点代入，得，解得或（舍去）∴．∴（3）①当点p在y轴左侧时，由四边形ACPN为四边形，则AC与PN相互平分，点P与N关于原点（0,0）中心对称，而故代入得②点P在y轴右侧时，由四边形ACPN为四边形，则NP//AC且NP=AC，而故代入得解得∴P∴当P点为和时，A、C、P、N能够成平行四边形．43.（2015山东烟台，24，12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A，B，C，D四点，其中A，B两点坐标升别为(－1，0)，(0，－2)，点D在.x轴上且AD为⊙M的直径，点E是⊙M与y轴的另一个交点，过劣弧上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1.5.（1）求点D的坐标及抛物线的表达式；（2）若点P是x轴上的一个动点，试求出△PEF的周长最小时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.解：（1）连接MB，设⊙M的半径为r.∵A(－1，0)，B(0，－2)，∴Rt△OMB中，OB=2，OM=r－1，由勾股定理得22+(r－1)2=r2.∴r=.∴AD=5.∴点D的坐标是(4，0).∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(－1，0)，B(0，－2)，D(4，0)，解得a=，b=－，c=－2.∴抛物线的表达式为y=x2－x－2.（2）连接BF，与x轴相交于点P，则点P即为所求.连接MF.∵在△MFH中，MF=2.5，FH=1.5，∴MH==2.∴OH=3.5.由题意得△POB∽△PHF，∴=.即=.∴OP=2.∴△PEF的周长最小时点P的坐标是(2，0).（3）存在，Q1(，)，Q2(，－)，Q3(，－4)，Q4(，－).44.（2015湖南株洲，24，10分）已知抛物线的表达式为（1）若抛物线与轴有交点，求的取值范围；（2）设抛物线与轴两个交点的横坐标分别为、，若，求的值；（3）若P、Q是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA、QB都垂直于轴，垂足分别为A、B，且△OPA与△OQB全等，求证：【答案】（1）（2）c=-5（3）【解析】解：（1）∵与轴有交点∴有实数根∴△＝即：解之得：（2）∵有解，且∴，即：解之得：（3）设P的坐标为，则Q点坐标为，且，将这两个点的坐标代入方程得：（1）－（2）得：故可得：故可得代入方程（2）得：因为存在这样的点，所以上方程有解，所以判别式即故：而当时，，此时故45.（2015江苏省无锡市，27，10）（本题满分10分）一次函数y＝34x的图像如图所示，它与二次函数y＝ax2－4ax＋c的图像交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图像的对称轴交于点C．（1）求点C的坐标．（2）设二次函数图像的顶点为D．①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式．②若CD＝AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．【答案】（1）（2，）；（2）①；②或【解答】解：（1）∴二次函数的对称轴为x=2当x=2时，∴C点坐标为（2，）（2）①若点D和点C关于x轴对称，则点D坐标为（2，），CD=3∵△ACD的面积等于3∴点A到CD的距离为2,∴点A的横坐标为0（点A在点B左侧）∵点A在直线上∴点A的坐标为（0，0）将点A，点D坐标代入二次函数解析式，得∴二次函数解析式为②若CD=AC，如图，设CD=AC=x（x>0）过A点作AH⊥CD，则AH=AC=x∵x>0∴x=5D点坐标为（2，）或（2，），A点坐标为（－2，）将A（－2，），D（2，）代入二次函数中，得∴二次函数解析式为将A（－2，），D（2，）代入二次函数中，得∴二次函数解析式为综上可得，二次函数关系式为：或46.（2015湖南省益阳市，21，15分）已知抛物线E1：经过点A(1，m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2，2)，点A、B关于y轴的对称点分别为点．（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图10-1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图10-2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E2相交于点，求与的面积之比．【答案】（1）m=1，抛物线E2所对应的二次函数表达式为；（2）存在符合条件的点Q坐标为(2，4)与(，3)．（3）【解析】解：（1）∵抛物线E1经过点A(1，m)，∴m=12=1．∵抛物线E2的顶点在原点，可设它对应的函数表达式为()，又点B(2，2)在抛物线E2上，∴，解得:，∴抛物线E2所对应的二次函数表达式为．（2）假设在第一象限内，抛物线E1上存在点Q，使得△为直角三角形，由图象可知直角顶点只能为点B或点Q．①当点B为直角顶点时，过B作交抛物线E1于Q，则点Q与B的横坐标相等且为2，将x=2代入y=x2得y=4，∴点Q的坐标为(2，4)．②当点Q为直角顶点时，则有，过点Q作于G，设点Q的坐标为(t，t2)()，则有，整理得：,∵,∴，解得，(舍去)，∴点Q的坐标为(，3)，综合①②，存在符合条件的点Q坐标为(2，4)与(，3)．（3）过点P作PC⊥x轴,垂足为点C，PC交直线于点E，过点作D⊥x轴,垂足为点D，D交直线于点F，依题意可设P(c，c2)、(d，)(c>0，)，∵，∴，∴d=2c．又=2，=4，∴．21题解图121题解图247.（2015贵州遵义，27，14分）如图，抛物线与x轴交于A（-4,0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A、C、D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积；（3）以AB为直径作⊙M，直线经过点E（-1，-5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式．【答案】（1）；（2）点D坐标为（-2，2）此时△ACD有最大面积，为2；（3）符合条件的直线解析式为：或．【解析】解：（1）设y=a(x+4)(x-2)过（0，2）∴-8a=2∴∴．（2）如图所示，作DH∥y轴交AC于点H，设直线AC的解析式：y=kx+2过（-4，0）∴-4k+2=0∴∴设点D（m，），H（m，）（-4＜m＜0）∴DH=（）-（）=而AO=4，∴S△ACD=DH·AO=×()×4=其中当时，Smax=，此时yD==2∴当点D坐标为（-2，2）时，△ACD有最大面积，为2．（3）如图（1）所示，设直线EF1与⊙M相切，其中切点为F1，作F1G⊥x轴交x轴于点G；∵A（-4，0），B（2，0）∴AB的中点M（-1，0），⊙M的半径r=3，∵E（-1，-5），M（-1，0）∴EM=5在Rt△MEF1中，∠MF1E=90°，∴cos∠F1ME==，易得：F1G∥ME，∴∠GF1M=∠F1ME∴cos∠GF1M=cos∠F1ME=在Rt△GF1M中，∠F1GM=90°，∴cos∠GF1M===∴F1G=由勾股定理得：GM=，∴GO=GM+MO=+1=∴F1（，）此时直线EF的解析式为：；如图（2），同理可得：F2（，），此时直线EF的解析式为：；综上所述，过点E并且于⊙M相切的直线解析式为：或．48.（2015山东日照市，22，14分）（本题满分14分）如图，抛物线与直线交于A、B两点，交轴于D、C两点，连接ＡＣ，BC，已知A（0,3）C（3，0）（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下：（1）P为轴右侧抛物线上一动点，连接ＰＡ，过点Ｐ作ＰＱ⊥PA交轴于点Q，问：是否存在点P使得以Ａ、P、Q为顶点的三角形与△ＡＣＢ相似？若存在，请求出所有符合条件的点Ｐ的坐标，若不存在，请说明理由。（２）设Ｅ为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段ＤＥ以每秒一个单位的速度运动到Ｅ点，再沿线段ＥＡ以每秒个单位的速度运动到点A后停止，当点E坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？【答案】（1）抛物线的解析式为，tan∠BAC=（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下：（1）∴(,)(2)E1（2,1）【解析】（Ⅰ）∵抛物线经过A（0,3）C（3，0）两点，∴，，求抛物线的解析式为，方法一：又∵，∴∴时，，点B（4,1），解析式：，当时，，∴点D（2,0），点C（3,0），设直线与轴交于点E，，当时，，点E（6,0）点C（3,0），点E（6,0）∴CE=3，∴=tan∠BAC=方法二：过点E作BE⊥轴，∵点C（3,0），点B（4,1），∴AO=CO，AO⊥CO，BE=CE,BE⊥CE,∴∠OCA=∠BCE=45°，∴∠ACB=90°，，同理，tan∠BAC=（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下：（1）设存在点P，使得△ＡPQ∽△ＡＣＢ如图，①若，设AQ=m,则PQ=3m,∴P(3m,3-m),P在解析式：上，，，∵P为轴右侧抛物线上一动点∴(,)②若，设AQ=3m,则PQ=m,∴P(m,3-3m),P在解析式：上，，，∵P为轴右侧抛物线上一动点∴P不存在。故∴(,)（2）如图：由题意可得：M在整个运动时间=过点E作EF⊥轴于点F，∴A∴M在整个运动时间==DE+EF过点D作直线AC的对称点D1，过点Ｄ１作D1F1⊥轴于点F1，交AC于点E1，∴E1为所求作的点。点Ｄ（２,０），D1（3,1）即直线与的交点，∴E1（2,1）49.（2014江苏省苏州市，27，10分）如图，已知二次函数（其中0＜m＜1）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC．（1）∠ABC的度数为▲°；（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）45．理由如下：令x=0，则y=-m，C点坐标为（0，-m）．令y=0，则，解得，．∵0＜m＜1，点A在点B的左侧，∴B点坐标为（m，0）．∴OB=OC=m．∵∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°．（2）解法一：如图①，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，由题意得，抛物线的对称轴为．设点P坐标为（，n）．∵PA=PC，∴PA2=PC2，即AE2+PE2=CD2+PD2．∴．解得．∴P点的坐标为．解法二：连接PB．由题意得，抛物线的对称轴为．∵P在对称轴l上，∴PA=PB．∵PA=PC，∴PB=PC．∵△BOC是等腰直角三角形，且OB=OC，∴P在BC的垂直平分线上．∴P点即为对称轴与直线的交点．∴P点的坐标为．（3）解法一：存在点Q满足题意．∵P点的坐标为，∴PA2+PC2=AE2+PE2+CD2+PD2=．∵AC2=，∴PA2+PC2=AC2．∴∠APC＝90°．∴△PAC是等腰直角三角形．∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，∴△QBC是等腰直角三角形．∴由题意知满足条件的点Q的坐标为（-m，0）或（0，m）．①如图①，当Q点的坐标为（-m，0）时，若PQ与x轴垂直，则，解得，PQ=．若PQ与x轴不垂直，则．∵0＜m＜1，∴当时，取得最小值，PQ取得最小值．∵＜，∴当，即Q点的坐标为（，0）时，PQ的长度最小．②如图②，当Q点的坐标为（0，m）时，若PQ与y轴垂直，则，解得，PQ=．若PQ与y轴不垂直，则．∵0＜m＜1，∴当时，取得最小值，PQ取得最小值．∵＜，∴当，即Q点的坐标为（0，）时，PQ的长度最小．综上：当Q点坐标为（，0）或（0，）时，PQ的长度最小．解法二：如图①，由（2）知P为△ABC的外接圆的圆心．∵∠APC与∠ABC对应同一条弧，且∠ABC＝45°，∴∠APC＝2∠ABC＝90°．下面解题步骤同解法一．50.（2015贵州省铜仁市，25，14分）如图，已知：关于x的二次函数的图象与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求二次函数的表达式；(4分)(2)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形.若存在，请求出点P的坐标；(5分)(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积.(5分)【答案】解：(1)A(1，0)，C(0，3)的函数的图象上∴0=1+b+cc=3∴b=-4，即二次函数的表达式是（2）如图1，当BC为底边时，作BC的垂直平分线，则P(0，0)当BC为腰时，分别以B、C为圆心作圆则P(0，3+)；P（3，3-）；P（0，-3）第25题图1（3）第25题图2第25题图3如第25题图2、3，设经过的时间为t时，△MNB的面积为：S=MB·DN=(3-1-t)2t==∴当t=1时，△MNB的面积最大，最大的值为2，其中M、N的坐标分别为M（2，0），N（2，-2）或M（2，0），N（2，2）51.（2015江西省，第23题，10分）如图，已知二次函数L1：y＝ax2－2ax＋a＋3(a>0)和二次函数L2：y＝－a(x＋1)2＋1(a>0)图像的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．(1)函数y＝ax2－2ax＋a＋3(a>0)的最小值为；当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是；(2)当EF＝MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状(直接写出，不必证明)；(3)若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A(m，0)，当△AMN为等腰三角形时，求方程－a(x＋1)2＋1＝0的解．【答案】（1）3，（2）四边形ENFM是矩形(3)【解析】解：（1）∵，∴；∵，∴当时，L1的值随着的增大而减小，当时，L2的值随着的增大而减小，∴的取值范围是（2）∵，∴，∵，∴，∴，如图，∵，∴，∴，∴AM=AN∵，∴∴，∴AE=AF∴四边形是平行四边形，已知，∴四边形ENFM是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形（3）∵，，∴① 当时，有，∴，等式不成立；② 当时，有∴；③ 当时，有，∴∴或，∵的对称轴为，∴左交点坐标分别是（-4,0）或（，0），∴方程的解为.52.（2015广东省深圳市，23，9分）如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象过点A（－3，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）探究：在抛物线的对称轴DE上是否存在点P，使得点P到直线AD和到x轴的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）探究：在对称轴DE左侧的抛物线上是否存在点F，使得2S△FBC＝3S△EBC？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝－x2－2x＋3（2）P1（－1，－1）P2＝（－1，－－1）（3）F（，）【解析】（1）将A（－3，0），C（0，3）代入y＝－x2＋bx＋c解∴y＝－x2－2x＋3（2）方法一：存在，当P在∠DAB的角平分线上时，如答图1，作PM⊥AD，设P（－1，y0），则PM＝PDsin∠ADE＝(4－y0)，PE＝y0∵PM＝PE，∴(4－y0)＝y0，解得y0＝－1，P（－1，－1）当P在∠DAB的外角平分线上时，如答图2，作PN⊥AD，设P（－1，y0），则PN＝PDsin∠ADE＝(4－y0)，PE＝－y0∵PM＝PE，∴(4－y0)＝－y0，解得y0＝－－1，P（－1，－－1）综上所述，P点坐标为P（－1，－1）或P（－1，－－1）方法二：存在，设P（－1，y0）AD解析式：y＝2x＋6则：|y0|＝（利用点到直线的距离公式）解得：y0＝－1或y0＝－－1∴P1（－1，－－1），P2（－1，－1）（3）方法一：S△BCE＝3，又S△FBC＝3S△EBC∴S△FBC＝如答图3，过F作FQ⊥x轴交BC延长线于Q，则S△FBC＝FQoOB＝FQ＝BC：y＝－3x＋3设F（x0，－x02－2x0＋3），则Q（x0，－3x0＋3）∴－3x0＋3＋x02＋2x0－3＝9∴x02－x0－9＝0∴x0＝，（x0＝舍去）∴F（，）方法二：S△BCE＝3，又2S△FBC＝3S△EBC∴S△FBC＝如答图4，过F点作FG∥BC，交x轴于G点则GB＝＝3，可得G（－2，0）∵kGF＝kBC＝－3∴GF：y＝－3x＋6∴解得x1＝，x2＝（舍去）∴F（，）53.（2015湖南省永州市，26，10分）已知抛物线y＝ax2＋bx十c的项点为(1，0)，与y轴的交点坐标为(0，)，R(1,1)是抛物线对称轴l上的一点.(1)求抛物线y＝ax2＋bx十c的解析式；(2)若P是抛物线上的一个动点（如图一），求证：点P到R的距离与点P到直线y＝－1的距离恒相等；(3)设直线PR与抛物线的另一个交点为Q，,F为线段PQ的中点，过点P，E,Q分别作直线y＝－1的垂线，垂足分别为M，F，N（如图二）.求证：PF⊥QF.(第26题图一)(第26题图二)【答案】(1)y＝(x-1)2；(2)证明略；(3)证明略；.【解析】解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx十c的项点为(1，0)，∴可设其解析式为y＝a(x-1)2.把(0，)代入上式，得=a(0-1)2.解得a＝.∴抛物线的解析式为y＝(x-1)2.(2)设点P的坐标为(x，(x－1)2),则PM＝(x－1)2＋1,PR＝(x－1)2＋[(x－1)2―1]2＝(x－1)2＋1,∴PM＝PR.(3)(2)中已证PM＝PR..与(2)中同理可得：QN＝QR.∴PM＋QN＝PR＋QR＝PQ.∵QN∥EF∥PM,且QE＝PE,∴NF＝MF.∴EF＝(QN＋PM).∴EF＝PQ.又∵QE＝PE,∴△PQF是直角三角形，且∠PFQ＝90°.∴PF⊥QF.54.（2015江苏淮安，28，14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8 ，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动；同时，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动，过线段MN的中点G作边AB的垂线，垂足为点G，交△ABC的另一边于点P，连接PM、PN。当点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动，设运动时间为t秒。（1）当t=秒时，动点M、N相遇；（2）设△PMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（3）取线段PM的中点K，连接KA、KC。在整个运动过程中，△KAC的面积是否变化？若变化，直接写出它的最大值和最小值；若不变化，请说明理由。【答案】(1)2.5(2)(3)【解析】解：（1）∠ACB=90°，AC=6，BC=8，所以AB=10因为AM=t，BN=3t，所以3t+t=10所以t=2.5（2）因为BN=3t，AM=t，所以MN=10-4t，GN=5-2t，所以BG=5-2t+3t=5+t因为所以所以PG=所以所以（3）55.（2015年江苏扬州市）（本题满分12分）科研所计划建一幢宿舍楼，因为科研所实验中会产生辐射，所以需要有两项配套工程：①在科研所到宿舍楼之间修一条笔直的道路；②对宿舍楼进行防辐射处理，已知防辐射费万元与科研所到宿舍楼的距离之间的关系式为：（0≤≤9），当科研所到宿舍楼的距离为1时，防辐射费用为720万元；当科研所到宿舍楼的距离为9或大于9时，辐射影响忽略不计，不进行防辐射处理，设每公里修路的费用为万元，配套工程费=防辐射费+修路费（1）当科研所到宿舍楼的距离为=9时，防辐射费=万元；，（2）若每公里修路的费用为90万元，求当科研所到宿舍楼的距离为多少时，配套工程费最少？（3）如果配套工程费不超过675万元，且科研所到宿舍楼的距离小于9，求每公里修路费用万元的最大值56.（2015湖南常德，25，10分）如图10，曲线是抛物线的一部分，且表达式为,曲线与曲线关于直线x=3对称.⑴求A、B、C三点的坐标和曲线的表达式；⑵过点C作直线CD∥x轴交曲线于点D，连接AD，在曲线上有一点M，使得四边形ACDM为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，则这样的四边形为筝形），请求出点M的横坐标；⑶设直线CM与x轴交于点N，试问在线段MN下方的曲线上是否存在一点P，使△PMN的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】⑴A(-1,0);B(3,0);C(0,);；⑵⑶存在，【解析】解：⑴令解得，∴A点坐标为（-1，0），B点坐标为（3，0），将x=0代入中，∴A点坐标为（-1，0），B点坐标为（3，0），C点坐标为（0，）∵曲线与曲线关于直线x=3对称∴曲线与x轴交于点（3，0），（7，0）∴曲线表达式为：即：（2）令解得∴D（2,）∴CD=2,∵AC=∴AC=CD∴点C在AD的垂直平分线上，如图10-1，取AD的中点E，则E（），即E（）设直线CE的表达式为：，代入C（0，），E（），解得∴直线CE的表达式为：令解得,(舍去)∴点M的横坐标为⑶存在.如图10-1，在线段MN下方的曲线上取一点P，设P（），过P点作直线PQ⊥x轴，交线段MN于点Q，则Q（）∴PQ=，==∵∴当时，PQ最长，此时△PMN的面积也最大当时，∴点P的的坐标为57.（2015娄底市，26，10分）如图，抛物线y=ax2+bx-经过点A(1，0)和点B(5，0)，与y轴交于点C。（1）求抛物线的解析式；（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的○A，求○A的半径；（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB、PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）（3）△BCP的面积=；点p的坐标为（，）【解析】解：（1）将点A和点B的坐标代入函数的解析式得：解得：所以抛物线得解析式为:（2）作AD⊥BC，垂足为D.将x=0代入抛物线的解析式得：y=∴△ABC的面积==×4×=在Rt△OBC中，BC==△ABC的面积==××AD=∴AD=所以○A的半径为.(3)过点p作EF∥BC，EF交y轴于点E，当EF与抛物线相切时，△BCP的面积最大.设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0）将点B和点C的坐标代入得：解得：k=设直线EF的解析式为y=x+c,将y=x+c,代入得;x+c=整理得：∵直线EF与抛物线相切∴△=0即：25-4（3c+5）=0解得：c=∴直线EF的解析式为y=x+∴x+=解得：x=将x=代入y=x+得：y=所以点p的坐标为（，）作EG⊥CB，则∴AG=∴△BCP的面积==57.（2015成都市）（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【答案】：（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐标为（1，）或（1，－4）【解析】：解：（1）A（－1，0）∵直线l经过点A，∴0＝－k＋b，b＝k∴y＝kx＋k令，即∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4∴，∴k＝a∴直线l的函数表达式为：（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F设E（x，），则F（x，）EF＝－()＝S△ACE＝S△AFE－S△CFE∴△ACE的面积的最大值为.∵△ACE的面积的最大值为∴＝，解得（3）令＝()，即＝0解得x1＝－1，x2＝4∴D（4，5a）∵y＝，∴抛物线的对称轴为x＝1设P（1，m）①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a）m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a）∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°∴AD2＋PD2＝AP2∴即，∵a＜0，∴∴P1（1，）②若AD是矩形的一条对角线则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，－3a）m＝5a－(－3a)＝8a，则P（1，8a）∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°∴AP2＋PD2＝AD2∴(－1－1)2＋(8a)2＋(1－4)2＋(8a－5a)2＝52＋(5a)2即，∵a＜0，∴∴P2（1，－4）综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形点P的坐标为（1，）或（1，－4）58.(2015年湖南衡阳，27，10分)如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的橫坐标为２，连结AM、BM.（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断△ABM的形状，并说明理由；（3）把抛物线与直线y＝x的交点称为抛物线的不动点，若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点.【答案】(1)；（２）直角三角形；（３）m≤【解析】解：（１）∵抛物线的顶点在y轴上，∴设抛物线解析式为.∵直线y＝x+1交x轴于点A，∴点A坐标（-1，０）.把x＝２代入y＝x+1,得y＝３.∴点B坐标为（２，3）.把点A（-1，０）,B（２，3）代入，得，解得.∴抛物线解析式为.（２）△ABM为直角三角形.理由：∵点A（-1，０）,B（２，3），M（0，-1）∴AB＝＝，AM＝＝，BM＝＝.∵＝20，＝20∴＝，∴△ABM为直角三角形，且∠BAM＝90°.（３）∵将抛物线平移，使顶点为（m，2m），∴设平移后抛物线解析式为∵抛物线与直线y＝x的交点为不动点，∴∴.要使抛物线总有不动点，必使△≥0即≥0，m≤.∴当m≤时，平移后的抛物线总有不动点.