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2016年高考试题（数学理科）北京卷详解版2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合A=B=，则（A）（B）（C）（D）（2）若x,y满足，则2x+y的最大值为（A）0（B）3（C）4（D）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（A）1（B）2（C）3（D）4（4）设a,b是向量，则"IaI=IbI"是"Ia+bI=Ia-bI"的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知x,yR,且xyo，则（A）-（B）（C）(-0（D）lnx+lny(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）（B）（C）（D）1(7)将函数图像上的点P（，t）向左平移s（s﹥0）个单位长度得到点P′.若P′位于函数的图像上，则（A）t=，s的最小值为（B）t=，s的最小值为（C）t=，s的最小值为（D）t=，s的最小值为（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球（B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C）乙盒中红球不多于丙盒中红球（D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）设aR，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。（10）在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）（11）在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则=____________________.（12）已知为等差数列，为其前n项和，若，，则.（13）双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点。若正方形OABC的边长为2，则a=_______________.（14）设函数①若a=0，则f(x)的最大值为____________________；②若f(x)无最大值，则实数a的取值范围是_________________。三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题13分）在ABC中，（I）求的大小（II）求的最大值（16）（本小题13分）A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；A班 66.577.58B班 6789101112C班 34.567.5910.51213.5（I）试估计C班的学生人数；（II）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（III）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记，表格中数据的平均数记为，试判断和的大小，（结论不要求证明）（17）（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD=,（I）求证：PD平面PAB;（II）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（III）在棱PA上是否存在点M，使得BMll平面PCD?若存在，求的值；若不存在，说明理由。（18）（本小题13分）设函数f(x)=xe+bx，曲线y=f(x)dhko(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4，（I）求a,b的值；(II)求f(x)的单调区间。（19）（本小题14分）已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，A（a,0）,B(0,b)，O（0，0），△OAB的面积为1.（I）求椭圆C的方程；(II)设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。求证：lANllBMl为定值。（20）（本小题13分）设数列A：，,…(N≥2)。如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有＜，则称n是数列A的一个"G时刻"。记"G（A）是数列A的所有"G时刻"组成的集合。（I）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G（A）的所有元素；(II)证明：若数列A中存在使得>，则G（A）；(III）证明：若数列A满足-≤1（n=2,3,…,N）,则G（A）的元素个数不小于-。2016年北京高考数学（理科）答案与解析1. C【解析】集合，集合，所以.2. C【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为，最大值为.3.B【解析】开始，；第一次循环，；第二次循环，，第三次循环，条件判断为"是"跳出，此时.4.D【解析】若成立，则以，为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，，表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以不一定成立，从而不是充分条件；反之，成立，则以，为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以不一定成立，从而不是必要条件.5.C【解析】.考查的是反比例函数在单调递减，所以即所以错；.考查的是三角函数在单调性，不是单调的，所以不一定有，错；.考查的是指数函数在单调递减，所以有即所以对；考查的是对数函数的性质，，当时，不一定有，所以错.6．A【解析】通过三视图可还原几何体为如图所示三棱锥，则通过侧视图得高，底面积，所以体积.7．A【解析】点在函数上，所以，然后向左平移个单位，即，所以，所以的最小值为.8．B【解析】取两个球往盒子中放有种情况：①红+红，则乙盒中红球数加个；②黑+黑，则丙盒中黑球数加个；③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加个；④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加个．因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机．③和④对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样．综上，选B．9.【解析】∵其对应点在实轴上∴，10.【解析】由二项式定理得含的项为11.【解析】将极坐标转化为直角坐标进行运算，直线的直角坐标方程为∵，∴圆的直角坐标方程为圆心在直线上，因此为圆的直径，12.【解析】∵∴∵，∴∴13.2【解析】不妨令为双曲线的右焦点，在第一象限，则双曲线图象如图∵为正方形，∴，∵直线是渐近线，方程为，∴又∵∴14．，．【解析】由，得，如下图，是的两个函数在没有限制条件时的图象．⑴；⑵当时，有最大值；当时，在时无最大值，且．所以，．15．【解析】⑴ ∵∴∴∴⑵∵∴∴∵∴∴∴最大值为1上式最大值为116．【解析】⑴，C班学生40人⑵在A班中取到每个人的概率相同均为设班中取到第个人事件为C班中取到第个人事件为班中取到的概率为所求事件为则⑶三组平均数分别为总均值但中多加的三个数据平均值为，比小，故拉低了平均值17．【解析】⑴∵面面面面∵，面∴面∵面∴又∴面⑵取中点为，连结，∵∴∵∴以为原点，如图建系易知，，，，则，，，设为面的法向量，令，则与面夹角有⑶假设存在点使得面设，由（2）知，，，，有∴∵面，为的法向量∴即∴∴综上，存在点，即当时，点即为所求.18．【解析】（I）∴∵曲线在点处的切线方程为∴，即①②由①②解得：，（II）由（I）可知：， 令，∴
 
极小值 
∴的最小值是∴的最小值为即对恒成立∴在上单调递增，无减区间.19．【解析】⑴由已知，，又，解得∴椭圆的方程为.⑵方法一：设椭圆上一点，则.直线：,令，得.∴直线：,令，得.∴将代入上式得故为定值.方法二：设椭圆上一点，直线PA:,令，得.∴直线:,令，得.∴故为定值.20．【解析】⑴⑵因为存在，设数列中第一个大于的项为，则，其中，所以，．⑶设数列的所有"时刻"为，对于第一个"时刻"，有，，则．对于第二个"时刻"，有（）．则．类似的，…，．于是，．对于，若，则；若，则，否则由⑵，知中存在"时刻"，与只有个"时刻"矛盾．从而，，证毕