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2016年高考试题（数学）江苏卷详解版2016年普通高等学校全国统一招生考试（江苏卷）数学试题一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。1.已知集合则________▲________.【答案】【解析】试题分析：．故答案应填：，考点：集合运算2.复数其中i为虚数单位，则z的实部是________▲________.【答案】5【解析】试题分析：．故答案应填：5考点：复数概念3.在平面直角坐标系xOy中，双曲线的焦距是________▲________.【答案】考点：双曲线性质4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________.【答案】0.1【解析】试题分析：这组数据的平均数为，．故答案应填：0.1，考点：方差5.函数y=的定义域是▲.【答案】【解析】试题分析：要使函数有意义，必须，即，．故答案应填：，考点：函数定义域6.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是▲.【答案】9考点：循环结构流程图7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是▲.【答案】【解析】点数小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为考点：古典概型概率8.已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1+a22=3，S5=10，则a9的值是▲.【答案】【解析】由得，因此考点：等差数列性质9.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是▲.【答案】7【解析】由，因为，所以共7个考点：三角函数图像10.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于B，C两点，且,则该椭圆的离心率是▲.(第10题)【答案】【解析】由题意得，因此考点：椭圆离心率11.设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[?1,1)上，其中若，则的值是▲.【答案】考点：分段函数，周期性质12.已知实数x，y满足，则x2+y2的取值范围是▲.【答案】考点：线性规划13.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，，，则的值是▲.【答案】【解析】因为,,因此，考点：向量数量积14.在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是▲.【答案】8.【解析】，因此，即最小值为8.考点：三角恒等变换，切的性质应用二、解答题（本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）在中，AC=6，（1）求AB的长；（2）求的值.【答案】（1）(2)考点：同角三角函数关系，正余弦定理，两角和与差公式16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且，.求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.【答案】（1）详见解析（2）详见解析（2）在直三棱柱中，因为平面，所以又因为所以平面因为平面，所以又因为所以因为直线，所以考点：直线与直线、平面与平面位置关系17.（本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高的四倍.（1）若则仓库的容积是多少？（2）若正四棱柱的侧棱长为6m,则当为多少时，仓库的容积最大？【答案】（1）312（2）(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m)，则0<h<6,OO1=4h.连结O1B1.因为在中，所以，即考点：函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:及其上一点A(2，4)（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；（3）设点T（t,o）满足：存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围。【答案】（1）（2）（3）【解析】故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设因为,所以……①因为点Q在圆M上，所以…….②将①代入②，得.于是点既在圆M上，又在圆上，从而圆与圆没有公共点，所以解得.因此，实数t的取值范围是.考点：直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算19.（本小题满分16分）已知函数.[:]设.（1）求方程=2的根;（2）若对任意,不等式恒成立，求实数m的最大值；（3）若，函数有且只有1个零点，求ab的值。【答案】（1）①0②4（2）1而，且，所以，故实数的最大值为4.若，则，于是，又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为.因为，所以，又，所以与"0是函数的唯一零点"矛盾.若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾.因此，.于是，故，所以.考点：指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点20.（本小题满分16分）记.对数列和的子集T，若,定义;若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.（1）求数列的通项公式；（2）对任意正整数，若，求证：；（3）设,求证：.【答案】（1）（2）详见解析（3）详见解析（3）下面分三种情况证明.①若是的子集，则.②若是的子集，则.③若不是的子集，且不是的子集.考点：等比数列的通项公式、求和21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．【选修4-1几何证明选讲】（本小题满分10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD.【答案】详见解析【解析】试题分析：先由直角三角形斜边上中线性质，再由，与互余，与互余，等角关系：，从而得证试题解析：证明：在和中，因为为公共角，所以∽，于是.在中，因为是的中点，所以，从而.所以.考点：相似三角形B.【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵矩阵B的逆矩阵，求矩阵AB.【答案】[:]因此，.考点：逆矩阵，矩阵乘法C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.【答案】考点：直线与椭圆参数方程D.【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）设a＞0，|x-1|＜，|y-2|＜，求证：|2x+y-4|＜a.【答案】详见解析试题分析：利用含绝对值的不等式进行放缩证明试题解析：证明：因为所以考点：含绝对值的不等式证明【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x-y-2=0，抛物线C：y2=2px(p＞0).（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为；②求p的取值范围.【答案】（1）（2）①详见解析，②（2）设，线段PQ的中点因为点P和Q关于直线对称，所以直线垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为，则可设其方程为考点：直线与抛物线位置关系23.（本小题满分10分）（1）求的值；（2）设m，nN*，n≥m，求证：（m+1）+（m+2）+（m+3）+…+n+（n+1）=（m+1）.【答案】（1）0（2）详见解析【解析】试题分析：（1）根据组合数公式化简求值（2）设置（1）目的指向应用组合数性质解决问题，而组合数性质不仅有课本上的，而且可由（1）归纳出的；单纯从命题角度看，可视为关于n的等式，可结合数学归纳法求证；从求和角度看，左边式子可看做展开式中含项的系数，再利用错位相减求和得含项的系数，从而达到化简求证的目的试题解析：解：（1）考点：组合数及其性质