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2016年北京中考第二轮复习要点讲解(二)二次函数综合题含答案解析第二讲：二次函数综合题内容 要求 中考分值 考察类型二次函数综合题 会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 7 二次函数综合1. 熟练掌握二次函数的有关知识点2. 掌握二次函数中的数形结合和转化的数学思想【例1】（2015西城1※27）已知二次函数的图象经过，两点．（1）求对应的函数表达式；（2）将先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线，将对应的函数表达式记为，求对应的函数表达式；（3）设，在（2）的条件下，如果在≤x≤a内存在某一个x的值，使得≤成立，利用函数图象直接写出a的取值范围．解：（1）∵二次函数的图象经过，两点，∴………………………………1分解得…………………………………2分∴抛物线的函数表达式为．……………………………………3分（2）∵，∴抛物线的顶点为．………………………………………………4分∴平移后抛物线的顶点为，它对应的函数表达式为．…5分（3）a≥（见图7）．………………………………………………………………7分【例2】（2015延庆1※27）二次函数的图象经过点A（﹣1，4），B（1，0），经过点B，且与二次函数交于点D．过点D作DC⊥x轴，垂足为点C．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在BD上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交BD于点M，求MN的最大值.解：（1）∵二次函数的图象经过点A（﹣1，4），B（1，0）∴∴m=-2,n=3∴二次函数的表达式为（2）经过点B∴画出图形∴∴∴∴MN的最大值为【例3】（2015朝阳1※27）．如图，将抛物线M1:向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M2，直线与M1的一个交点记为A，与M2的一个交点记为B，点A的横坐标是－3.（1）求的值及M2的表达式；（2）点C是线段AB上的一个动点，过点C作x轴的垂线，垂足为D，在CD的右侧作正方形CDEF.①当点C的横坐标为2时，直线恰好经过正方形CDEF的顶点F，求此时的值；②在点C的运动过程中，若直线与正方形CDEF始终没有公共点，求的取值范围（直接写出结果）.解：（1）∵点A在直线，且点A的横坐标是－3，∴A(－3，－3).………………………………………………………………1分把A(－3，－3)代入，解得=1.……………………………………………………………………2分∴M1:，顶点为(－2，－4).∴M2的顶点为(1，－1).∴M2的表达式为.…………3分（2）①由题意，C(2，2)，∴F(4，2).………………………………4分∵直线经过点F，∴2=4+.解得=－2.………………………5分②＞3，＜－6.………………7分【例4】（2014门头沟1※23）27．抛物线与轴交于点C(0，3)，其对称轴与轴交于点A(2，0)．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线适当平移，使平移后的抛物线的顶点为D(0，)．已知点B(2，2)，若抛物线与△OAB的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求的取值范围．解：（1）∵抛物线与轴交于点C(0，3)，∴；………………………1分∵抛物线的对称轴为，∴，解得，………………………2分∴抛物线的解析式为．………………………3分（2）由题意，抛物线的解析式为．………………………4分当抛物线经过点A(2，0)时，，解得．………………………5分∵O(0，0)，B(2，2)，∴直线OB的解析式为．由，得，（*）当Δ＝＝0，即时，………………………6分抛物线与直线OB只有一个公共点，此时方程（*）化为，解得，即公共点P的横坐标为1，点P在线段OB上．∴的取值范围是．………………………7分逆袭训练1.（2015丰台1※27）在平面直角坐标系中，抛物线经过点（-1，a），（3，a），且最低点的纵坐标为.（1）求抛物线的表达式及a的值；（2）设抛物线顶点C关于y轴的对称点为点D，点P是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）.如果直线DP与图象G恰有两个公共点，结合函数图象，求点P纵坐标t的取值范围.解：（1）∵抛物线过点（-1，a），（3，a），∴抛物线的对称轴x=1．.…….1分∵抛物线最低点的纵坐标为-4，∴抛物线的顶点是（1，-4）．..2分∴抛物线的表达式是，即．.…3分把（-1，a）代入抛物线表达式，求出．.…….4分（2）∵抛物线顶点关于y轴的对称点为点D，∴．求出直线的表达式为..…….5分求出直线的表达式为，当时，．.…….6分所以．.…….7分3.（2015海淀1※27）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与轴交于点A，顶点为点B，点C与点A关于抛物线的对称轴对称．（1）求直线BC的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4．将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G向下平移（）个单位后与直线BC只有一个公共点，求的取值范围． 解：（1）∵抛物线与轴交于点A，�薄嗟鉇的坐标为（0，2）．…………………………………………1分∵，∴抛物线的对称轴为直线，顶点B的坐标为（1，）．……2分又∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，∴点C的坐标为(2，2)，且点C在抛物线上．设直线BC的解析式为．∵直线BC经过点B（1，）和点C(2，2)，∴解得∴直线BC的解析式为．…………………………3分4.（2015石景山1※27）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点．（1）求抛物线的表达式及点的坐标；（2）当时的函数图象记为，求此时函数的取值范围；（3）在（2）的条件下，将图象在轴上方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象．若经过点的直线与图象在第三象限内有两个公共点，结合图象求的取值范围．解：（1）将代入，得．∴抛物线的表达式为．…1分点的坐标．………………2分（2）．∵当时，随增大而减小；当时，随增大而增大，∴当，；………………3分当，．∴的取值范围是．…………4分（3）当直线经过和点时，解析式为．…….………………5分当直线经过和点时，解析式为．……….……………6分结合图象可得，的取值范围是．………….7分5.（2014通州1※27）二次函数的图象与一次函数k的图象交于、两点，为二次函数图象的顶点.（1）求二次函数的表达式；（2）在所给的平面直角坐标系中画出二次函数的图象和一次函数k的图象；（3）把（1）中的二次函数的图象平移后得到新的二次函数的图象,.定义新函数f："当自变量x任取一值时，x对应的函数值分别为或，如果≠，函数f的函数值等于、中的较小值;如果=，函数f的函数值等于（或）."当新函数f的图象与x轴有三个交点时,直接写出m的取值范围.解：（1）设抛物线解析式为，由抛物线过点，可得………..(2分)（2）如图：………………………………………..(5分)（3）-4<m<0………………………………………..(7分)6.（2014门头沟2※27）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点A（4，0）和B（0，2）．（1）求该抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果该抛物线的顶点为C，点B关于抛物线对称轴对称的点为D，求直线CD的表达式；（3）在（2）的条件下，记该抛物线在点A，B之间的部分（含点A，B）为图象G，如果图象G向上平移m（m＞0）个单位后与直线CD只有一个公共点，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．解：（1）∵抛物线经过点A（4，0）和B（0，2）．∴………………………………………………1分解得∴此抛物线的表达式为．………………………2分（2）∵，∴C（1，）．…………………………………………………………3分∵该抛物线的对称轴为直线x=1，B（0，2），∴D（2，2）．……………………………………………………………4分设直线CD的表达式为y=kx+b．由题意得解得∴直线CD的表达式为．………………………………5分（3）0.5＜m≤1.5．……………………………………………………………7分7.（2015昌平2※27）已知抛物线经过原点O及点A（-4，0）和点B（-6，3）．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如图1，将直线沿y轴向下平移后与（1）中所求抛物线只有一个交点C，平移后的直线与y轴交于点D，求直线CD的解析式；（3）如图2，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，请直接写出新抛物线上到直线CD距离最短的点的坐标及该最短距离．解：（1）∵抛物线经过，，三点，∴……………………………………………………………………1分解得…………………………………………………………………………2分∴抛物线的解析式为．∵∴抛物线的顶点坐标为……………………………………………………3分（2）设直线CD的解析式为，根据题意，得，……………………………………………………4分化简整理，得，由，解得，…………………………………………………5分∴直线CD的解析式为．（3）点的坐标为，……………………………………………………………6分最短距离为．………………………………………………………………7分8.（2015海淀2※27）已知一次函数（k≠0）的图象经过，两点，二次函数（其中a＞2）．（1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）；（2）利用函数图象解决下列问题：①若，求当且≤0时，自变量x的取值范围；②如果满足且≤0时的自变量x的取值范围内恰有一个整数，直接写出a的取值范围．解：（1）∵一次函数（k≠0）的图象经过，两点，∴解得……………………………1分∴．……………2分∵，∴二次函数图象的顶点坐标为．…………3分（2）①当时，．…………4分如图10，因为且≤0，由图象得2＜x≤4．……6分②≤a＜．……………………………7分1.（2015丰台2※27）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过，两点.（1）求抛物线及直线AB的解析式；（2）点C在抛物线上，且点C的横坐标为3．将抛物线在点A，C之间的部分（包含点A，C）记为图象G，如果图象G沿y轴向上平移（）个单位后与直线AB只有一个公共点，求的取值范围．解：（1）∵抛物线过，两点．∴．…….1分解得，．∴抛物线的表达式是．…….2分设直线AB的表达式是，∴，解得，．…….3分∴直线AB的表达式是．…….4分（2）∵点C在抛物线上，且点C的横坐标为3．∴C（3，-5）．…….5分点C平移后的对应点为点代入直线表达式，解得．…….6分结合图象可知，符合题意的t的取值范围是．…….7分2．（2014西城1※23）抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中点的坐标为.（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）将（1）中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶点落在线段上，记该抛物线为，求抛物线所对应的函数表达式；（3）将线段平移得到线段（的对应点为，的对应点为），使其经过（2）中所得抛物线的顶点，且与抛物线另有一个交点，求点到直线的距离的取值范围。3.（2014房山1※23）如图，抛物线经过、两点，与轴的另一交点是．（1）求抛物线的解析式；（2）若点在第一象限的抛物线上，求点关于直线的对称点的坐标；（3）在（2）的条件下，过点D作于点E,反比例函数的图象经过点E，点在此反比例函数图象上，求的值． 4.（2013海淀2※23）已知：抛物线过点．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线在直线下方的部分沿直线翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为．点在图象上，且．①求的取值范围；②若点也在图象上，且满足恒成立，则的取值范围为．23解：（1）∵抛物线过点，∴．解得．∴抛物线的解析式为．--------------2分（2）①当时，．∴或.∴抛物线与轴交于点，.-----3分当时，．∴或．∴抛物线与直线交于点,.∴,关于直线的对称点，.----4分∴根据图象可得≤≤0或≤≤．----------------5分②的取值范围为≥4或≤．----------------7分5.（2013门头沟2※23）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点O，点B(-2,n)在这条抛物线上.（1）求抛物线的解析式；（2）将直线沿y轴向下平移b个单位后得到直线l，若直线l经过B点，求n、b的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与x轴交于点C，直线l与y轴交于点D，且与抛物线的对称轴交于点E.若P是抛物线上一点，且PB=PE，求P点的坐标.[来源:Zxxk.Com][来源:学科网]解：（1）∵拋物线经过原点，∴m26m8=0．解得m1=2，m2=4．由题意知m4，∴m=2．……………………………………………………………1分∴拋物线的解析式为．…………………………………2分（2）∵点B(-2,n)在拋物线上，∴n=3．………………………………………………………………3分∴B点的坐标为(-2，3)．∵直线l的解析式为，直线l经过B点，∴．∴．……………………………………………………………4分（3）∵拋物线的对称轴为直线x=2，直线l的解析式为y=-2x-1，∴拋物线的对称轴与x轴的交点C的坐标为(2,0)，直线l与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1)、E(2,-5).过点B作BG⊥直线x=2于G，与y轴交于F.则BG=4.在Rt△BGC中，.∵CE=5，∴CB=CE.过点E作EH⊥y轴于H.则点H的坐标为(0,-5).∵点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)，∴FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.∴△DFB≌△DHE.∴DB=DE.∵PB=PE，∴点P在直线CD上.∴符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.设直线CD的解析式为y=kx+a.将D(0,-1)、C(2,0)代入，得解得∴直线CD的解析式为.………………………………5分设点P的坐标为(x，)，∴=.解得，.∴，.∴点P的坐标为(，)或(，).…………7分6.（2013海淀1※23）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于、两点，点的坐标为．（1）求点坐标；（2）直线经过点.①求直线和抛物线的解析式；②点在抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为．将抛物线在直线上方的部分沿直线翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象．请结合图象回答：当图象与直线只有两个公共点时，的取值范围是．解：（1）依题意，可得抛物线的对称轴为.………………………1分∵抛物线与轴交于、两点，点的坐标为，∴点的坐标为．………………………2分（2）∵点B在直线上，∴①.∵点A在二次函数的图象上，∴②.………………………3分由①、②可得，.………………………4分∴抛物线的解析式为y＝，直线的解析式为y＝．……………5分（3）．………………………7分