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2016年北京中考第二轮复习要点讲解(一)二次函数与一元二次方程综合含答案解析第一讲：二次函数与一元二次方程的综合内容 要求 中考分值 考察类型二次函数与一元二次方程综合题 会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 7 二次函数与一元二次方程1. 熟练掌握二次函数的有关知识点2. 掌握二次函数与一元二次方程的联系。【例1】（2015怀柔1※27）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=（a-1）x2+2x+1与x轴有交点，a为正整数.（1）求a的值.（2）将二次函数y=（a-1）x2+2x+1的图象向右平移m个单位，向下平移m2+1个单位，当-2≤x≤1时，二次函数有最小值-3，求实数m的值.27.解：（1）∵二次函数y=（a-1）x2+2x+1与x轴有交点，令y=0，则（a-1）x2+2x+1=0，∴，解得a≤2.…………………………………1分.∵a为正整数.∴a=1、2又∵y=（a-1）x2+2x+1是二次函数，∴a-1≠0，∴a≠1，∴a的值为2.………………………………………2分（2）∵a=2，∴二次函数表达式为y=x2+2x+1，将二次函数y=x2+2x+1化成顶点式y=（x+1）2二次函数图象向右平移m个单位，向下平移m2+1个单位后的表达式为y=（x+1-m）2-（m2+1）.此时函数的顶点坐标为（m-1,-m2-1）.…………………………………4分当m-1＜-2，即m＜-1时，x=-2时，二次函数有最小值-3，∴-3=（-1-m）2-（m2+1），解得且符合题目要求.………………………………5分当-2≤m-1≤1,即-1≤m≤2,时，当x=m-1时，二次函数有最小值-m2-1=-3，解得.∵不符合-1≤m≤2的条件，舍去.∴.……………………………………6分当m-1＞1，即m＞2时，当x=1时，二次函数有最小值-3，∴-3=（2-m）2-（m2+1），解得,不符合m＞2的条件舍去.综上所述，m的值为或……………………………………7分【例2】（2015昌平1※23）已知二次函数．（1）二次函数的顶点在轴上，求的值；（2）若二次函数与轴的两个交点A、B均为整数点（坐标为整数的点），当为整数时，求A、B两点的坐标.23.解：（1）方法一∵二次函数顶点在轴上，∴，且……………………1分即，且……………………3分（2）∵二次函数与轴有两个交点，∴，且．……………………４分即，且．当且时，即可行．∵、两点均为整数点，且为整数∴ ……………………5分当时，可使，均为整数，∴当时，、两点坐标为和……………………6分【例3】（2015门头沟1※27）已知：关于x的一元二次方程－x2+(m+1)x+(m+2)=0（m＞0）．（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y=－x2+(m+1)x+(m+2)经过点（3，0），求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，记抛物线y=－x2+(m+1)x+(m+2)在第一象限之间的部分为图象G，如果直线y=k(x+1)+4与图象G有公共点，请结合函数的图象，求直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标t的取值范围．（1）证明：∵△=(m+1)2－4×(－1)×(m+2)=(m+3)2.……………………………………………………………1分∵m＞0，∴(m+3)2＞0，即△＞0，∴原方程有两个不相等的实数根.…………………………………2分（2）解：∵抛物线抛物线y=－x2+(m+1)x+(m+2)经过点（3，0），∴－32+3(m+1)+(m+2)=0，………………………………………………3分∴m=1.∴y=－x2+2x+3.………………………………………………………4分（3）解：∵y=－x2+2x+3=－(x－1)2+4，∴该抛物线的顶点为（1，4）.∴当直线y=k(x+1)+4经过顶点（1，4）时，∴4=k(1+1)+4，∴k=0，∴y=4.∴此时直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标为4.………………………5分∵y=－x2+2x+3，∴当x=0时，y=3，∴该抛物线与y轴的交点为（0，3）.∴此时直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标为3.………………………6分∴3＜t≤4.…………………………………………………………………7分【例4】（2014门头沟1※23）已知关于x的一元二次方程.（1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；（2）若原方程的两个实数根一个大于3，另一个小于8，求m的取值范围；（3）抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），现坐标系内有一矩形OCDE，如图11，点C（0，-5)，D（6，-5)，E（6，0),当m取第（2）问中符合题意的最小整数时，将此抛物线上下平移个单位，使平移后的抛物线与矩形OCDE有两个交点，请结合图形写出h的取值或取值范围（直接写出答案即可）．.解：(1)证明：Δ=………………1分==∵≥0，………………2分∴无论m取何实数时，原方程总有两个实数根.（2）解关于x的一元二次方程，得.………………3分由题意得………………4分解得.………………5分（3）或.……………7分逆袭训练1.（2015通州2※27）已知关于x的方程mx2－(3m－1)x+2m－2=0（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．（2）若关于x的二次函数y=mx2－(3m－1)x+2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求二次函数的表达式．.解：(1)△=9m2-6m+1-8m2+8m=m2+2m+1，=（m+1）2；∴△=（m+1）2≥0，………………………………………….(1分)∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根；(2)设x1，x2为抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2与x轴交点的横坐标．令y=0，则mx2-（3m-1）x+2m-2=0由求根公式得，x1=2，，…………………………….(2分)∴抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2不论m为任何不为0的实数时恒过定点（2，0）．∴x2=0或x2=4，∴m=1或)当m=1时，y=x2-2x，，∴抛物线解析式为y=x2-2x当时,答：抛物线解析式为y=x2-2x；或……….(3分)2.（2015朝阳2※27）已知：关于的一元二次方程．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为，（其中＞）．若是关于的函数，且，求这个函数的表达式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使，则自变量的取值范围为．（1）证明：是关于的一元二次方程， 1分=4．即．方程有两个不相等的实数根． 2分（2）解：由求根公式，得．∴或． 3分，＞，，． 4分．即为所求．………………………………………………………5分（3）0＜≤． …………………………………………………………………………7分3.（2015石景山2※27）已知关于的方程．（1）求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若关于的二次函数的图象经过坐标原点，得到抛物线．将抛物线向下平移后经过点进而得到新的抛物线,直线经过点和点，求直线和抛物线的解析式；（3）在直线下方的抛物线上有一点，求点到直线的距离的最大值．解：（1）当时，当时，∵，∴综上所述：无论取任何实数时，方程恒有实数根；………………………3分（2）∵二次函数的图象经过坐标原点∴∴………………………4分抛物线的解析式为：抛物线的解析式为：设直线所在函数解析式为：将和点代入∴直线所在函数解析式为：………5分（3）据题意：过点作轴交于，可证,则设，，∴………………………6分∵∴当时，∵随增大而增大，∴为所求.………………………7分4.（2015顺义2※27）已知关于x的方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）求证：抛物线总过x轴上的一个定点；（3）在平面直角坐标系xOy中，若（2）中的"定点"记作A，抛物线与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，且△OBC的面积小于或等于8，求m的取值范围．解：（1）=........................................................1分===∵，∴方程总有两个实数根．..............................................2分（2）=．...............................................3分∴，，∴抛物线总过x轴上的一个定点（-1,0）．................4分（3）∵抛物线与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，∴B（3-m,0），C（0,m-3），...................................................................................5分∴△OBC为等腰直角三角形，∵△OBC的面积小于或等于8，∴OB，OC小于或等于4，∴3-m4或m-34，.......................................................................................6分∴m-1或m7．∴-1m7且．............................................................................................7分5.（2014朝阳1※23）已知关于x的一元二次方程.（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，当关于x的抛物线与x轴交点的横坐标都是整数，且时，求m的整数值．解：（1）由题意m≠0，…………………………………………………………1分∵方程有两个不相等的实数根，∴△>0．………………………………………………………………2分即．得m≠﹣3．…………………………………………………………………3分∴m的取值范围为m≠0和m≠﹣3；（2）设y=0，则．∵，∴．∴，．………………………………………………5分当是整数时，可得m=1或m=-1或m=3．…………………………………………………………6分∵，∴m的值为﹣1或3．……………………………………………………………7分6.（2014东城2※23）已知：关于的一元二次方程．（1）求证：无论取何值，此方程总有两个实数根；（2）设抛物线，证明：此函数图像一定过轴，轴上的两个定点（设轴上的定点为点A，轴上的定点为点C）；（3）设此函数的图像与轴的另一交点为B，当△ABC为锐角三角形时，求的取值范围．解：（1）∵∴无论m取何值，此方程总有两个实数根.…………2分（2）由公式法：∴x1=－1,x2=.…………4分∴此函数图像一定过轴，轴上的两个定点，分别为A（－1，0）,C（0，－3）……4分（3）由（2）可知抛物线开口向上，且过点A（－1，0）,C（0，－3）和B（，0）.观察图象，当m＜0时，△ABC为钝角三角形，不符合题意.当m＞0时，可知若∠ACB=90°时，可证△AOC∽△COB.∴.∴.∴32=1×.∴OB=9.即B(9,0).∴当时，△ABC为锐角三角形.即当m>时，△ABC为锐角三角形.…………7分7.（2012东城1※23）已知关于x的一元二次方程.（1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围；（3）抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，当m取（2）中符合题意的最小整数时，将此抛物线向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求n的取值范围（直接写出答案即可）．解：(1)证明：Δ===∵≥0，∴无论m取何实数时，原方程总有两个实数根.………………2分（2）解关于x的一元二次方程，得.………………3分由题意得………………4分解得.………………5分（3）符合题意的n的取值范围是.……………7分8.（2014海淀2※23）已知关于的方程：①和②，其中.（1）求证：方程①总有两个不相等的实数根；（2）设二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），将、两点按照相同的方式平移后，点落在点处，点落在点处，若点的横坐标恰好是方程②的一个根，求的值；（3）设二次函数，在（2）的条件下，函数，的图象位于直线左侧的部分与直线（）交于两点，当向上平移直线时，交点位置随之变化，若交点间的距离始终不变，则的值是________________.解：（1），……………………………1分由知必有，故.方程①总有两个不相等的实数根.……………………………………………2分（2）令，依题意可解得，.∵平移后，点落在点处，∴平移方式是将点向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到.∴点按相同的方式平移后，点为.……………………3分则依题意有.…………………………4分解得，（舍负）.的值为3.………………………………………………………………………5分（3）.………………………………………………………………………7分1.（2013东城1※23）已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）当m为何整数时，原方程的根也是整数．解：(1)证明：Δ====．∵≥0，∴＞0．∴无论m取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根.…………2分（2）解关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0，得.………………3分要使原方程的根是整数，必须使得是完全平方数.设，则.∵+和的奇偶性相同，可得或解得或.………………5分将m=-1代入，得符合题意.………………6分∴当m=-1时，原方程的根是整数.……………7分2．（2013顺义1※23）已知关于的方程（1）求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于的二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为正整数，且为整数，求抛物线的解析式.（1）证明：①当时，方程为，所以，方程有实数根.……1分②当时,===………………………………2分所以,方程有实数根综①②所述，无论取任何实数时，方程恒有实数根…………3分（2）令，则解关于的一元二次方程，得，……………………5分二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为正整数，且为整数，所以只能取1，2所以抛物线的解析式为或………………7分3.（2014东城1※23）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（4m+1）x+3m+3=0（m＞1）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于m的函数，且y=x1﹣3x2，求这个函数的解析式；（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m=2的左侧部分沿直线m=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当关于m的函数y=2m+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围．解：（1）证明：所以方程有两个不等实根.………………2分………………5分（3）作出函数的图象，并将图象在直线左侧部分沿此直线翻折，所得新图形如图所示.易知点的坐标分别为当直线过点A时，可求得过点B时，可求得因此，……………7分4.（2014石景山1※23）已知关于的方程有两个实数根，且为非负整数.（1）求的值；（2）将抛物线：向右平移个单位，再向上平移个单位得到抛物线，若抛物线过点和点，求抛物线的表达式；（3）将抛物线绕点()旋转得到抛物线，若抛物线与直线有两个交点且交点在其对称轴两侧，求的取值范围．解：（1）∵方程有两个实数根，∴且，……………………1分则有且∴且又∵为非负整数，∴.………………………………2分（2）抛物线：平移后，得到抛物线：，……3分∵抛物线过，，可得，同理：，可得，…………………………4分∴：.…………5分（3）将抛物线：绕点()旋转180°后得到的抛物线顶点为（），………………6分当时，，由题意，，即：．……………………………7分5.（2014石景山2※23）关于的一元二次方程．（1）求证：无论为何值时，方程总有一个根大于；（2）若函数与x轴有且只有一个交点，求的值；（3）在（2）的条件下，将函数的图象沿直线翻折，得到新的函数图象．在轴上分别有点(t，0)，(0，2t)，其中，当线段与函数图象只有一个公共点时，求的值．解：（1）证明：∴，∵∴无论为何值时，方程总有一个根大于；（2）解：∵若函数与x轴有且只有一个交点∴∴（3）解：当时，函数依题意，沿直线翻折后的解析式为:，图象如图所示．可得，与，轴的交点分别为，．设直线的解析式为，由，(0，2t)．∴直线的解析式为………5分①当线段与函数图象相切时，∴②当线段经过点时，∴综上：当或时，线段与函数图象只有一个公共点．