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2016年河南省中考数学课件和练习第三章函数第4节二次根式第三章函数第四节二次根式玩转河南8年中招真题(2008～2015年)命题点1二次函数的图象与性质(高频)1.(2013河南8题3分)在二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是()A.x<1B.x>1C.x<－1D.x>－12.(2011河南11题3分)点A(2，y1)、B(3，y2)是二次函数y＝x2－2x＋1的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1________y2(填"＞"、"＜"或"＝")．3.(2014河南12题3分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A、B两点，若点A的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴为直线x＝2，则线段AB的长为__________．数图象与性质4.(2015河南12题3分)已知点A(4，y1)，B(2，y2)，C(－2，y3)都在二次函数y＝(x－2)2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是______________．【拓展猜押1】已知点A(a－2b，2－4ab)在抛物线y＝x2＋4x＋10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为________．【中招变式1】(2013河南8题)已知二次函数y＝－x2＋2bx＋1，当x<1时，y的值随x值的增大而增大，则参数b的取值范围是()A.b≥－1B.b≤－1C.b≥1D.b≤1【中招变式2】(2011河南11题)点A(－2，y1)、B(2，y2)是二次函数y＝x2－2x＋1的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1____y2(填"＞"、"＜"或"＝")．【中招变式3】(2014河南12题)已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若A点的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴为直线x＝2，则△ABC的面积为________．命题点2二次函数解析式的确定(高频)(2012河南5题3分)在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是()A.y＝(x＋2)2＋2B.y＝(x－2)2－2C.y＝(x－2)2＋2D.y＝(x＋2)2－2【拓展猜押2】若二次函数过点(0，1)，且与x轴交于点A(3，0)，B(－1，0)，则该二次函数的解析式为____________．命题点3二次函数与一元二次方程之间的关系(近8年未考查)命题点4二次函数与几何图形综合题(高频)1.(2015河南23题11分)如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点(含端点)，过点P作PF⊥BC于点F.点D，E的坐标分别为(0，6)，(－4，0)，连接PD，PE，DE.(1)请直接写出抛物线的解析式；(2)小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；(3)小明进一步探究得出结论：若将"使△PDE的面积为整数"的点P记作"好点"，则存在多个"好点"，且使△PDE的周长最小的点P也是一个"好点"．请直接写出所有"好点"的个数，并求出△PDE周长最小时"好点"的坐标．2.(2014河南23题11分)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，直线y＝－34x＋3与y轴交于点C，与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若PE＝5EF，求m的值；(3)若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．第2题图,【拓展猜押3】如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H.(1)求该抛物线的解析式；(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；(3)若E是线段AD上的一个动点(E与A，D不重合)，过E点作平行于y轴的直线交抛物线于F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S.①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．拓展猜押3题图3.(2010河南23题11分)在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4，0)，B(0，－4)，C(2，0)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．第3题图4.(2013河南23题11分)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝12x＋2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为(3，72)．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由；(3)若存在点P，使∠PCF＝45°，请直接写出相应的点P的坐标．第4题图命题点5二次函数的实际应用(近8年未考查)【答案】命题点1二次函数的图象与性质第1题解图1.A【解析】本题是根据二次函数的增减性求x的取值范围，通常有两种方法：一是画出函数图象；二是根据函数的性质直接解答．在y＝－x2＋2x＋1中，因为a＝－1＜0，对称轴为直线x＝－b2a＝－22×（－1）＝1，如解图，若y随x的增大而增大，则是对称轴左侧的图象，所以x＜1.2.<【解析】分别把x1＝2，x2＝3代入到函数解析式y＝x2－2x＋1中，求出y1＝1，y2＝4，所以y1<y2.3.8【解析】本题考查抛物线图象及性质，∵抛物线是轴对称图形，∴与x轴的交点A、B关于对称轴x＝2对称，又∵点A(－2，0)到对称轴的距离为4，∴点B到对称轴的距离也为4，故点B的坐标为(6，0)，所以线段AB＝8.4.y2＜y1＜y3【解析】本题考查二次函数图象及其性质．方法一：∵A(4，y1)、B(2，y2)、C(－2，y3)在抛物线y＝(x－2)2－1上，∴y1＝3，y2＝5－42，y3＝15.∵5－42＜3＜15，∴y2＜y1＜y3.方法二：设点A、B、C三点到抛物线对称轴的距离分别为d1、d2、d3，∵y＝(x－2)2－1的对称轴为直线x＝2，∴d1＝2，d2＝2－2，d3＝4，∵2－2＜2＜4，且a＝1＞0，∴y2＜y1＜y3.方法三(最优解)：∵y＝(x－2)2－1，∴对称轴为直线x＝2，∴点A(4,y1)关于x＝2的对称点是(0，y1)，∵－2＜0＜2且a＝1＞0，∴y2＜y1＜y3.命题点2二次函数解析式的确定B【解析】根据平移的特点，有y＝(x－2)2－4＋2＝(x－2)2－2.命题点3二次函数与一元二次方程之间的关系命题点4二次函数与几何图形综合题1.解：(1)抛物线的解析式为：y＝－18x2＋8.(3分)【解法提示】由题意设抛物线解析式为y＝ax2＋c，∵正方形OABC的边长为8，∴点A(－8，0)、C(0，8)，∴0＝a·（－8）2＋c8＝c，解得a＝－18c＝8，抛物线解析式为y＝－18x2＋8.(2)对于任意一点P，PD与PF的差为定值，这个猜想是正确的．理由如下：设P(x，－18x2＋8)，则PF＝8－(－18x2＋8)＝18x2.(4分)第1题解图过点P作PM⊥y轴于点M，则PD2＝PM2＋DM2＝(－x)2＋[6－(－18x2＋8)]2＝164x4＋12x2＋4＝(18x2＋2)2，∴PD＝18x2＋2，(6分)∴PD－PF＝18x2＋2－18x2＝2，故猜想正确．(7分)(3)好点共11个．(9分)∵当点P运动时，DE的大小不变，∴PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小，∵PD－PF＝2，∴PD＝PF＋2，∴PE＋PD＝PE＋PF＋2，∴当P，E，F三点共线时，PE＋PF最小，此时，点P，E的横坐标为－4，将x＝－4代入y＝－18x2＋8，得y＝6，∴P点坐标为(－4，6)，此时△PDE周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为"好点"，∴△PDE周长最小时点P的坐标为(－4，6)．(11分)【解法提示】如解图，过P作PN⊥AO于点N，由题知，S△PDE＝S梯形PNOD－S△PNE－S△DOE＝12(PN＋OD)·ON－12PN·NE－12DO·OE＝12×(－18x2＋8＋6)·(－x)－12×(－18x2＋8)(－4－x)－12·6·4＝－14x2－3x＋4＝－14(x＋6)2＋13由于－8≤x≤0，可得4≤S≤13，所以S的整数值有10个．由图象可知，当S＝12时，对应的"好点"有2个，所以"好点"共有11个．2.解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点．∴0＝－（－1）2－b＋c0＝－52＋5b＋c，∴b＝4c＝5，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x＋5.(5分)(2)∵点P的横坐标为m，∴P(m，－m2＋4m＋5)，E(m，－34m＋3)，F(m，0)．∵点P在x轴上方，要使PE＝5EF，点P应在y轴右侧，∴0<m<5，∴PE＝－m2＋4m＋5－(－34m＋3)＝－m2＋194m＋2.(4分)分两种情况讨论：①当点E在点F上方时，EF＝－34m＋3.∵PE＝5EF，∴－m2＋194m＋2＝5(－34m＋3)，即2m2－17m＋26＝0，解得m1＝2，m2＝132(舍去)；(6分)②当点E在点F下方时，EF＝34m－3.∵PE＝5EF，∴－m2＋194m＋2＝5(34m－3)，即m2－m－17＝0，解得m3＝1＋692，m4＝1－692(舍去)；∴m为2或1＋692.(8分)第2题解图(3)点P的坐标为P1(－12，114)，P2(4，5)，P3(3－11，211－3)．(11分)【解法提示】假设存在，作出示意图如解图，∵E和E′关于直线PC对称，∴∠E′CP＝∠ECP.又∵PE∥y轴，∴∠EPC＝∠E′CP＝∠PCE，∴PE＝EC.又∵CE＝CE′，∴四边形PECE′为菱形．过点E作EM⊥y轴于点M，∴△CME∽△COD，∴ODEM＝CDCE，∴CE＝|54m|.∵PE＝CE，∴－m2＋194m＋2＝54m或－m2＋194m＋2＝－54m(－1<m<5)，解得m1＝－12，m2＝4，m3＝3－11，m4＝3＋11(舍去)，∴可求得点P的坐标为P1(－12，114)，P2(4，5)，P3(3－11，211－3)．3.解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则有16a－4b＋c＝0c＝－44a＋2b＋c＝0，解得a＝12b＝1c＝－4，∴抛物线的解析式为y＝12x2＋x－4.(3分)(2)过点M作MD⊥x轴于点D.设M点的坐标为(m，n)，则AD＝m＋4，MD＝－n，n＝12m2＋m－4，第3题解图∴S＝S△AMD＋S梯形DMBO－S△ABO＝12(m＋4)(－n)＋12(－n＋4)(－m)－12×4×4＝－2n－2m－8＝－2(12m2＋m－4)－2m－8＝－m2－4m(－4<m<0)，(6分)∴S最大值＝4ac－b24a＝4.(7分)(3)满足题意的Q点的坐标有四个，分别是：(－4，4)，(4，－4)，(－2＋25，2－25)，(－2－25，2＋25)．(11分)4.解：(1)如解图①，第4题解图①直线y＝12x＋2与y轴相交的点C的坐标是(0，2)，由于抛物线与直线y＝12x＋2交于C、D两点，把C、D两点坐标代入抛物线解析式，得出方程组c＝2－32＋3b＋c＝72，解得b＝72c＝2，∴抛物线的解析式是y＝－x2＋72x＋2.(3分)(2)当m的值为1，2或3＋172时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形．(分)理由如下：∵PF∥OC，且以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形，∴PF＝OC＝2，∴将直线y＝12x＋2沿y轴向上平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点．第4题解图②由解图②可以直观地看出，这样的交点有3个．将直线y＝12x＋2沿y轴向上平移2个单位，得到直线y＝12x＋4，联立y＝12x＋4y＝－x2＋72x＋2，解得x1＝1，x2＝2，∴m1＝1，m2＝2；(7分)将直线y＝12x＋2沿y轴向下平移2个单位，得到直线y＝12x，联立y＝12xy＝－x2＋72x＋2，解得x3＝3＋172，x4＝3－172时(在y轴左侧，不合题意，舍去)，∴m3＝3＋72.当m的值为1，2或3＋172时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形．(9分)(3)符合条件的点P的坐标为(12，72)或(236，1318)．(11分)【解法提示】设点P的横坐标为m，则P(m，－m2＋72m＋2)，F(m，12m＋2)．第4题解图③如解图③所示，过点C作CM⊥PE于点M，则CM＝m，EM＝2，∴FM＝EF－EM＝12m，∴tan∠CFM＝2.在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF＝52m.过点P作PN⊥CD于点N，则PN＝FN·tan∠PFN＝FN·tan∠CFM＝2FN.∵∠PCF＝45°，∴PN＝CN，而PN＝2FN，∴FN＝CF＝52m，PN＝2FN＝5m，在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF＝FN2＋PN2＝52m.∵PF＝yp－yF＝(－m2＋72m＋2)－(12m＋2)＝－m2＋3m，∴－m2＋3m＝52m，整理得：m2－12m＝0，解得m＝0(舍去)或m＝12，∴P(12，72)；同理求得，另一点为P(236，1318)．∴符合条件的点P的坐标为(12，72)或(236，1318)．命题点5二次函数的实际应用【拓展猜押1】(0，10)【解析】将点A的坐标代入二次函数的解析式中，则有2－4ab＝(a－2b)2＋4(a－2b)＋10，∴(a＋2)2＋(2b－2)2＝0，∴由两个非负数和为0，则每个非负数为0，得a＋2＝0，2b－2＝0，解得a＝－2，b＝1，所以A(－4，10)，抛物线解析式化为顶点式为y＝(x＋2)2＋6，所以抛物线的对称轴为x＝－2，则点A(－4，10)关于直线x＝－2的对称点的坐标可设为(x0，10)，∴x0＋（－4）2＝－2，∴x0＝0，则所求的对称点的坐标为(0，10)．【中招变式1】C【解析】∵二次函数y＝－x2＋2bx＋1中a＝－1<0，∴抛物线的开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，根据题意可得抛物线的对称轴为x＝－2b2×（－1）＝b，当x<1时，y的值随x值的增大而增大，∴b≥1.【中招变式2】＞【解析】二次函数y＝x2－2x＋1的对称轴为x＝－b2a＝－－22＝1，开口向上，点A(－2，y1)在对称轴左侧，距离对称轴3个单位，点B(2，y2)在对称轴右侧，距离对称轴1个单位，根据二次函数开口向上，点在对称轴两侧，与对称轴距离越大的函数值越大，故y1＞y2.【中招变式3】48【解析】根据题意可得抛物线的对称轴为x＝－b2＝2，∴b＝－4，根据抛物线的对称性可得点B的坐标为(6，0)，∴AB＝6－(－2)＝8，将b＝－4，A(－2，0)代入y＝x2＋bx＋c可得0＝(－2)2＋(－4)×(－2)＋c，解得c＝－12，∴点C的坐标为(0，－12)，∴OC＝12，∴S△ABC＝12AB·OC＝12×8×12＝48.【拓展猜押2】y＝－13x2＋23x＋1【解析】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，设解析式为y＝ax2＋bx＋c，由题意，将点A(3，0)，B(－1，0)，(0，1)代入解析式，联立9a＋3b＋c＝0a－b＋c＝0，c＝1解得a＝－13，b＝23，c＝1，∴该二次函数的解析式为：y＝－13x2＋23x＋1.【拓展猜押3】解：(1)将A、B点分别代入抛物线解析式得：9a－3b＋3＝0a＋b＋3＝0，解得：a＝－1b＝－2，∴抛物线的解析式为：y＝－x2－2x＋3；(2)∵y＝－x2－2x＋3，令x＝0得y＝3，∴C(0，3)．拓展猜押3题解图①∵△PBC的周长为：PB＋PC＋BC，BC是定值，∴当PB＋PC最小时，△PBC的周长最小．如解图①，点A、B关于对称轴l对称，连接AC交l于点P，则点P为所求的点．∵AP＝BP，∴△PBC周长的最小值是：PB＋PC＋BC＝AC＋BC.∵A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)，∴AC＝32，BC＝10.∴△PBC周长的最小值是：32＋10.(3)如解图②，拓展猜押3题解图②①∵抛物线＝－x2－2x＋3的顶点D坐标为(－1，4)，A(－3，0)，设直线AD解析式y＝kx＋b，将A、D点分别代入得：k＝2b＝6，∴直线AD的解析式为：y＝2x＋6.∵点E的横坐标为m，∴E(m，2m＋6)，F(m，－m2－2m＋3)，∴EF＝－m2－2m＋3－(2m＋6)＝－m2－4m－3.∴S＝S△AEF＋S△DEF＝12EF·AG＋12EF·GH＝12EF·AH＝12×(－m2－4m－3)×2＝－m2－4m－3；②S＝－m2－4m－3＝－(m＋2)2＋1，∴当m＝－2时，S取最大值，最大值为1.此时点E的坐标为(－2，2)．