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2016年江苏省中考数学第一轮复习课后强化训练详解44:分类讨论型问题课后强化训练44分类讨论型问题基础训练1．已知△ABC的周长为13，且各边长均为整数，那么这样的等腰△ABC有(C)A.5个B.4个C.3个D.2个2．如图，点A的坐标是(2，2)，若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是(B),(第2题图))A.(4，0)B.(1，0)C.(－22，0)D.(2，0)3．若分式方程xx－1－1＝m（x－1）（x＋2）有增根，则m的值为(D)A.0和3B.1C.1和－2D.3(第4题图)4．如图，直线y＝2x与双曲线y＝2x在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，将△ABO绕点O旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为(D)A.(1.0)B.(1.0)或(－1.0)C.(2.0)或(0，－2)D.(－2.1)或(2，－1)5．⊙O的半径为2，弦BC＝23，点A是⊙O上一点，且AB＝AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为1或3．(第6题图)6．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6.若点P在AD边上，连结BP，PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为5或6．解：需要分类讨论：PB＝PC和PB＝BC两种情况．∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝6.如解图①，当PB＝PC时，点P是BC的中垂线与AD的交点，则AP＝DP＝12AD＝3.在Rt△ABP中，由勾股定理，得PB＝AP2＋AB2＝32＋42＝5；如解图②，当BP＝BC＝6时，△BPC也是以PB为腰的等腰三角形．综上所述，PB的长度是5或6.(第6题图解)7．在△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝6cm，D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向运动，设运动的时间为t(s)，过D，P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t的值为7或17．(第8题图)8．如图，已知反比例函数y＝k13x的图象与一次函数y＝k2x＋m的图象交于A－1，a，B13，－3两点，连结AO.(1)求反比例函数和一次函数的表达式．(2)设点C在y轴上，且与点A，O构成等腰三角形，请直接写出点C的坐标．解：∵y＝k13x的图象过点(13，－3)，∴k1＝3xy＝3×13×(－3)＝－3.∴反比例函数的表达式为y＝－1x，∴a＝－1－1＝1，∴点A的坐标为(－1，1)，∴－k2＋m＝1，13k2＋m＝－3.解得k2＝－3，m＝－2.∴一次函数的表达式为y＝－3x－2.(2)点C的坐标为(0，2)或(0，－2)或(0，1)或(0，2)．(第9题图)9．甲、乙两辆汽车分别从A，B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，乙车出发2h后休息，与甲车相遇后，继续行驶．设甲、乙两车与B地的路程分别为y甲(km)，y乙(km)，甲车行驶的时间为x(h)，y甲，y乙与x之间的函数图象如图所示，结合图象解答下列问题：(1)乙车休息了__0.5__h.(2)求乙车关于甲车相遇后y乙关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．(3)当两车相距40km时，直接写出x的值．解：(1)设甲车行驶的函数表达式为y甲＝kx＋b(k是不为0的常数)．∵y甲＝kx＋b的图象过点(0，400)，(5，0)，∴b＝400，5k＋b＝0，解得k＝－80，b＝400，∴甲车行驶的函数表达式为y甲＝－80x＋400，当y＝200时，x＝2.5，2．5－2＝0.5(h)．故答案为0.5.(2)设乙车与甲车相遇后y乙关于x的函数表达式为y乙＝k1x＋b1，∵y乙＝k1x＋b1的图象过点(2.5，200)，(5，400)，∴2.5k1＋b1＝200，5k1＋b1＝400，解得k1＝80，b1＝0.乙车与甲车相遇后y乙关于x的函数表达式为y乙＝80x(2.5≤x≤5)．(3)设乙车与甲车相遇前y乙关于x的函数表达式为y乙＝kx，∵图象过点(2，200)，∴2k＝220，解得k＝100，∴乙车与甲车相遇前y乙关于x的函数表达式为y乙＝100x.∴当0≤x<2.5，y甲－y乙＝40，即400－80x－100x＝40，解得x＝2；当2.5≤x≤5时，y乙－y甲＝40，即80x－(－80x＋400)＝40，解得x＝114，综上所述：x＝2或x＝114.拓展提高10．函数y1＝x和y2＝1x的图象如图所示，则y1＞y2的x取值范围是(C),(第10题图))A.x＜－1或x＞1B.x＜－1或0＜x＜1C.－1＜x＜0或x＞1D.－1＜x＜0或0＜x＜111．正三角形ABC所在平面内有一点P，使得△PAB，△PBC，△PCA都是等腰三角形，则这样的P点有(D)A.1个B.4个C.7个D.10个12．抛物线y＝x2－4x－5与x轴交于点A，B，点P在抛物线上，若△PAB的面积为27，则满足条件的点P有(C)A.1个B.2个C.3个D.4个13．在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6.若点P在直线AC上(不与点A，C重合)，且∠ABP＝30°，则CP的长为__6或23或43__．14．已知点A，B的坐标分别为(1，0)，(2，0)．若二次函数y＝x2＋(a－3)x＋3的图象与线段AB恰有一个交点，则a的取值范围是－1≤a≤－12或a＝3－23．15．点A，B，C都在半径为r的圆上，直线AD⊥直线BC，垂足为D，直线BE⊥直线AC，垂足为E，直线AD与BE相交于点H.若BH＝3AC，则∠ABC所对的弧长等于__13πr或53πr__．解：如解图①，∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠H＋∠DBH＝90°，∠C＋∠DBH＝90°，∴∠H＝∠C.又∵∠BDH＝∠ADC＝90°，∴△ACD∽△BHD，∴BDAD＝BHAC.∵BH＝3AC，∴BDAD＝3，∴∠ABC＝30°，∴∠ABC所对的弧长所对的圆心角为30°×2＝60°，∴∠ABC所对的弧长＝60π·r180＝13πr.(第15题图解)如解图②，∠ABC所对的弧长所对的圆心角为300°，∴∠ABC所对的弧长＝300π·r180＝53πr.故答案为13πr或53πr.(第16题图)16．菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝43，BD＝4，动点P在线段BD上从点B向点D运动，PF⊥AB于点F，四边形PFBG关于BD对称，四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称．设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S1，未被盖住部分的面积为S2，BP＝x.(1)用含x的代数式分别表示S1，S2.(2)若S1＝S2，求x的值．解：(1)①当点P在BO上(即0<x≤1)时，如解图①所示．∵四边形ABCD是菱形，AC＝43，BD＝4，∴AC⊥BD，BO＝12BD＝2，AO＝12AC＝23，S菱形ABCD＝12BD·AC＝83.∴tan∠ABO＝AOBO＝3.∴∠ABO＝60°.在Rt△BFP中，∵∠BFP＝90°，∠FBP＝60°，BP＝x，∴sin∠FBP＝FPBP＝FPx＝sin60°＝32.∴FP＝32x.∴BF＝x2.∵四边形PFBG关于BD对称，四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称，∴S△BFP＝S△BGP＝S△DEQ＝S△DHQ.∴S1＝4S△BFP＝4×12×32x·x2＝32x2.∴S2＝S菱形ABCD－S1＝83－32x2.(第16题图解)②当点P在OD上(2<x≤4)时，如解图②所示．∵AB＝4，BF＝x2，∴AF＝AB－BF＝4－x2.在Rt△AFM中，∵∠AFM＝90°，∠FAM＝30°，AF＝4－x2.∴tan∠FAM＝FMAF＝tan30°＝33.∴FM＝33(4－x2)．∴S△AFM＝12AF·FM＝124－x2·334－x2＝364－x22.∵四边形PFBG关于BD对称，四边形QEDH与四边形PEBG关于AC对称，∴S△AFM＝S△AEM＝S△CHN＝S△CGN.∴S2＝4S△AFM＝4×364－x22＝36(x－8)2.∴S1＝83－S2＝83－36(x－8)2.综上所述：当点P在BO上时，S1＝32x2，S2＝83－32x2；当点P在OD上时，S1＝83－36(x－8)2，S2＝36(x－8)2.(2)①当点P在BO上时，0＜x≤2.∵S1＝S2，S1＋S2＝83，∴S1＝43.∴S1＝32x2＝43.解得x1＝22，x2＝－22.∵22＞2，－22＜0，∴当点P在BO上时，S1＝S2的情况不存在．②当点P在OD上时，2＜x≤4.∵S1＝S2，S1＋S2＝83，∴S2＝43.∴S2＝36(x－8)2＝43.解得x1＝8＋26，x2＝8－26.∵8＋26＞4，2＜8－26＜4，∴x＝8－26.综上所述，若S1＝S2，则x的值为8－26.(第17题图)17．如图，已知抛物线y＝k8(x＋2)(x－4)(k为常数，且k＞0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝－33x＋b与抛物线的另一交点为D.(1)若点D的横坐标为－5，求抛物线的函数表达式．(2)若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值．(3)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连结AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？解：(1)抛物线y＝k8(x＋2)(x－4)，令y＝0，解得x＝－2或x＝4，∴点A(－2，0)，B(4，0)．∵直线y＝－33x＋b经过点B(4，0)，∴－33×4＋b＝0，解得b＝433，∴直线BD的表达式为y＝－33x＋433.当x＝－5时，y＝33，∴点D(－5，33)．∵点D(－5，33)在抛物线y＝k8(x＋2)(x－4)上，∴k8(－5＋2)(－5－4)＝33，∴k＝839.∴此时抛物线的函数表达式为y＝839(x＋2)(x－4)．(2)由抛物线表达式，令x＝0，得y＝－k，∴点C(0，－k)，OC＝k.∵点P在第一象限内的抛物线上，∴∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△APB.①若△ABC∽△APB，则有∠BAC＝∠PAB，如解图①所示．(第17题图解①)设点P(x，y)，过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y.tan∠BAC＝tan∠PAB，即k2＝yx＋2，∴y＝k2x＋k.∴点Px，k2x＋k，代入抛物线的表达式y＝k8(x＋2)(x－4)，得k8(x＋2)(x－4)＝k2x＋k，整理，得kx2－6kx－16k＝0，∵k>0，∴解得x＝8或x＝－2(与点A重合，舍去)，∴点P(8，5k)．∵△ABC∽△APB，∴ACAB＝ABAP，即k2＋46＝625k2＋100，解得k＝±455.∵k>0，∴k＝455.②若△ABC∽△APB，则有∠ABC＝∠PAB，如解图②所示．(第17题图解②)与①同理，可求得k＝2.综上所述，k＝455或k＝2.(3)由(1)知：D(－5，33)，如解图③，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN＝33，ON＝5，BN＝4＋5＝9，∴tan∠DBA＝DNBN＝339＝33，∴∠DBA＝30°.(第17题图解③)过点D作DK∥x轴，则∠KDF＝∠DBA＝30°.过点F作FG⊥DK于点G，则FG＝12DF.由题意，动点M运动的路径为折线AF＋DF，运动时间t＝AF＋12DF，∴t＝AF＋FG，即运动时间的大小等于折线AF＋FG的长度．由垂线段最短可知，折线AF＋FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．过点A作AH⊥DK于点H，则t最小＝AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．∵点A的横坐标为－2，直线BD的表达式为y＝－33x＋433，∴y＝－33×(－2)＋433＝23，∴点F(－2，23)．∴当点F的坐标为(－2，23)时，点M在整个运动过程中用时最少．