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2016年江苏省中考数学第一轮复习课后强化训练详解43:图形折叠问题课后强化训练43图形折叠问题基础训练1．用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是(D)(第2题图)2．如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为(C)A.53B.52C.4D.53．如图所示，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是(A)(第3题图)A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形(第4题图)4．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，则tan∠EAF＝__12__．解：∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝10.由折叠的性质得AF＝AD＝10，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°，在Rt△ABF中，BF＝AF2－AB2＝6，∴FC＝BC－BF＝4.设EF＝x，则DE＝x，CE＝CD－DE＝8－x，在Rt△CEF中，∵CF2＋CE2＝EF2，∴42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，即EF＝5，在Rt△AEF中，tan∠EAF＝EFAF＝510＝12.故答案为12.5．将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.已知AB＝AC＝6，BC＝8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是247或4．(第5题图)6．如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处．若AE＝23BE，则长AD与宽AB的比值是__355__．(第6题图)(第7题图)7．如图，在矩形ABCD中，P，Q分别是边AD，BC的中点，沿过点C的直线折叠矩形ABCD使点B落在线段PQ上的点F处，折痕交AB边于点E，交线段PQ于点G.若BC的长为3，则线段FG的长为__3．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，E，F分别为AD，CD的中点，沿BE将△ABE折叠．若点A恰好落在BF上，则AD＝__2__．,(第8题图)),(第9题图))9．如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是__12__cm.解：根据折叠性质可得∠FEG＝90°，EF＝FD.设AF＝x，则EF＝6－x.在Rt△AEF中，∵AF2＋AE2＝EF2，即x2＋32＝(6－x)2，解得x＝94，∴AF＝94，EF＝154.易得△AEF∽△BGE，可得AFBE＝AEBG＝EFEG，即943＝3BG＝154EG，∴BG＝4，EG＝5，∴△EBG的周长为3＋4＋5＝12.故填12(第10题图)10．如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A，D重合)，将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连结BP，BH.(1)求证：∠APB＝∠BPH.(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．(3)设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S关于x的函数表达式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)由折的叠性质，得PE＝BE，∠EPH＝∠EBC＝90°，∴∠EBP＝∠EPB，∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP，即∠PBC＝∠BPH.又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC.∴∠APB＝∠BPH.(2)△PHD的周长不变，为定值8.证明如下：如解图①，过点B作BQ⊥PH，垂足为Q.由(1)知∠APB＝∠BPH，又∵∠A＝∠BQP＝90°，BP＝BP，∴△ABP≌△QBP.∴AP＝QP，AB＝BQ.又∵AB＝BC，∴BC＝BQ.又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，∴△BCH≌△BQH.∴CH＝QH.∴△PDH的周长＝PD＋PH＋DH＝PD＋PQ＋QH＋DH＝PD＋HC＋AP＋DH＝AD＋CD＝8.(第10题图解)(3)如解图②，过点F作FM⊥AB，垂足为M，则FM＝BC＝AB.又∵EF为折痕，∴EF⊥BP.∴∠EFM＋∠MEF＝∠ABP＋∠BEF＝90°，∴∠EFM＝∠ABP.又∵∠A＝∠EMF＝90°，∴△EFM≌△PBA.∴EM＝AP＝x.在Rt△APE中，AE2＋AP2＝PE2，即(4－BE)2＋x2＝BE2，解得BE＝2＋x28.∴CF＝BE－EM＝2＋x28－x.又∵四边形PEFG与四边形BEFC全等，∴S＝12(BE＋CF)·BC＝124＋x24－x×4，即S＝12x2－2x＋8.配方得，S＝12(x－2)2＋6，∴当x＝2时，S有最小值6.拓展提高(第11题图)11．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将纸片折叠，点A，D分别落在点A′，D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，CFFD的值为(A)A.3－12B.36C.23－16D.3＋18解：如解图，延长DC与A′D′交于点M.(第11题图解)∵在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，∴∠DCB＝∠A＝60°，AB∥CD，∴∠D＝180°－∠A＝120°.根据折叠的性质，得∠A′D′F＝∠D＝120°，∴∠FD′M＝180°－∠A′D′F＝60°.∵D′F⊥CD，∴∠D′FM＝90°，∠M＝90°－∠FD′M＝30°.∵∠BCM＝180°－∠BCD＝120°，∴∠CBM＝180°－∠BCM－∠M＝30°，∴∠CBM＝∠M，∴BC＝CM.设CF＝x，D′F＝DF＝y，则BC＝CM＝CD＝CF＋DF＝x＋y，∴FM＝CM＋CF＝2x＋y.在Rt△D′FM中，tanM＝tan30°＝D′FFM＝y2x＋y＝33，∴x＝3－12y，∴CFFD＝xy＝3－12.(第12题图)12．小明在学习"锐角三角函数"时发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是(B)A.3＋1B.2＋1C.2.5D.5(第12题图解)解：∵将如解图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，∴AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝45°.∵还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，∴AE＝EF，∠EAF＝∠EFA＝45°2＝22.5°，∴∠FAB＝67.5°.设AB＝x，则AE＝EF＝2x，∴tan∠FAB＝tan67.5°＝FBAB＝2x＋xx＝2＋1.(第13题图)13．在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是62或213．解：(1)如解图①所示．连结CD.则CD＝22＋32＝13，∵D为AB的中点，∴AB＝2CD＝213；,图①),图②),(第13题图解))(2)如解图②所示．连结EF.则EF＝32＋32＝32，∵E为AB的中点，∴AB＝2EF＝62，故答案为62或213.(第14题图)14．如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F.若CF＝1，FD＝2，则BC的长为26解：如解图，过点E作EM⊥BC于点M，交BF于点N.∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，AD＝BC.∵∠EMB＝90°，∴四边形ABME是矩形，∴AE＝BM.由折叠的性质，得AE＝GE，∠EGN＝∠A＝90°，∴EG＝BM.又∵∠ENG＝∠BNM，∠EGN＝∠BMN＝90°，∴△ENG≌△BNM(A)．∴NG＝NM.∵E是AD的中点，∴AE＝ED＝BM＝CM.(第14题图解)∵EM∥CD，∴BN∶NF＝BM∶CM，∴BN＝NF，∴NM＝12CF＝12，∴NG＝12.∵BG＝AB＝CD＝CF＋DF＝3，∴BN＝BG－NG＝3－12＝52，∴BF＝2BN＝5，∴BC＝BF2－CF2＝52－12＝26.15．对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开．第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图①.第三步：再沿EA′所在的直线折叠，使点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图②.(1)求证：∠ABE＝30°.(2)求证：四边形BFB′E为菱形．(第15题图)解：(1)∵对折后AD与BC重合，折痕是MN，∴点M是AB的中点，∴A′是EF的中点．∵∠BA′E＝∠A＝90°，∴BA′垂直平分EF，∴BE＝BF，∴∠A′BE＝∠A′BF.由折叠的性质，得∠ABE＝∠A′BE，∴∠ABE＝∠A′BE＝∠A′BF，∴∠ABE＝13×90°＝30°.(2)由折叠的性质，得BE＝B′E，BF＝B′F.∵BE＝BF，∴BE＝B′E＝B′F＝BF，∴四边形BFB′E为菱形．16．课程学习：正方形折纸中的数学．动手操作：如图①，四边形ABCD是一张正方形纸片，先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后沿直线CG折叠，使点B落在EF上，对应点为B′.数学思考：(1)求∠CB′F的度数．(2)如图②，在图①的基础上，连结AB′，试判断∠B′AE与∠GCB′的大小关系，并说明理由．解决问题：(3)如图③，按以下步骤进行操作：第一步：先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后继续对折，使AB与DC重合，折痕为MN，再把这个正方形展平，设EF和MN交于点O；第二步：沿直线CG折叠，使点B落在EF上，对应点为B′，再沿直线AH折叠，使点D落在EF上，对应点为D′；第三步：设CG，AH分别与MN交于点P，Q，连结B′P，PD′，D′Q，QB′，试判断四边形B′PD′Q的形状，并证明你的结论．(第16题图)解：(1)由对折可知，∠EFC＝90°，CF＝12CD.∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∴CF＝12BC.由折叠的性质知CB′＝CB，∴CF＝12CB′，∴在Rt△B′FC中，sin∠CB′F＝CFCB′＝12，∴∠CB′F＝30°.(第16题图解①)(2)如解图①，连结BB′交CG于点K，由对折可知，EF垂直平分AB，∴B′A＝B′B，∠B′AE＝∠B′BE.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∴∠B′BE＋∠KBC＝90°，由折叠知，∠BKC＝90°，∴∠KBC＋∠GCB＝90°，∴∠B′BE＝∠GCB.又由折叠知，∠GCB＝∠GCB′，∴∠B′AE＝∠GCB′.(第16题图解②)(3)四边形B′PD′Q为正方形．证明：如解图②，连结AB′.由(2)可知∠B′AE＝∠GCB′，由折叠可知，∠GCB′＝∠PCN，∴∠B′AE＝∠PCN.由对折知∠AEB＝∠CNP＝90°，AE＝12AB，CN＝12BC，又∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∴AE＝CN，在△AEB′和△CNP，∵∠B′AE＝∠PCN，AE＝CN，∠AEB′＝∠CNP，∴△AEB′≌△CNP(A)．∴EB′＝NP.同理可得，FD′＝MQ，由对称性可知，EB′＝FD′，∴EB′＝NP＝FD′＝MQ.由两次对折可得，OE＝ON＝OF＝OM，∴OB′＝OP＝OD′＝OQ，∴四边形B′PD′Q为矩形，由对折知，MN⊥EF于点O，∴PQ⊥B′D′于点O，∴四边形B′PD′Q为正方形．17．已知抛物线y＝x2－2x＋a(a<0)与y轴相交于点A，顶点为M.直线y＝12x－a分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N.(1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则点M1，a－1，N43a，－13a.(2)如图，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积．(第17题图)(3)在抛物线y＝x2－2x＋a(a<0)上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由．解：(1)点M1，a－1，N43a，－13a.(2)由题意得：点N与点N′关于y轴对称，∴点N′－43a，－13a，将点N′的坐标代入y＝x2－2x＋a得－13a＝169a2＋83a＋a，解得a1＝0(不合题意，舍去)，a2＝－94.∴点N－3，34，∴点N到y轴的距离为3.∵点A0，－94，N′3，34，∴直线AN′的表达式为y＝x－94，它与x轴的交点为D94，0，∴点D到y轴的距离为94.∴S四边形ADCN＝S△ACN＋S△ACD＝12×92×3＋12×92×94＝18916.(3)当点P在y轴的左侧时，若ACPN是平行四边形，则PN平行且等于AC，∴把点N向上平移－2a个单位得到点P，坐标为43a，－73a，代入抛物线的表达式，得－73a＝169a2－83a＋a，解得a1＝0(不合题意，舍去)，a2＝－38，∴点P－12，78.当点P在y轴的右侧时，若APCN是平行四边形，则AC与PN互相平分，∴OA＝OC，OP＝ON.∴P与N关于原点对称，∴点P－43a，13a，将点P的坐标代入抛物线的表达式，得13a＝169a2＋83a＋a，解得a1＝0(不合题意，舍去)，a2＝－158，∴点P52，－58.∴存在这样的点P1－12，78或P252，－58，能使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形．