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2016年江苏省中考数学第一轮复习课后强化训练详解39:方案设计型问题课后强化训练39方案设计型问题基础训练1．为推进课改，王老师把班级里40名学生分成若干小组，每小组只能是5人或6人，则分组方案有(C)A.4种 B.3种C.2种D.1种2．小芳同学到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支0.8元，笔记本每本1.2元，小芳同学花了10元钱，则可供她选择的购买方案个数为(两样都买，余下的钱少于0.8元)(B)A.6个  B.7个C.8个  D.9个解：设购买x支中性笔，y本笔记本，根据题意，可得9.2＜0.8x＋1.2y≤10，符合条件的解为：当x＝2时，y＝7；当x＝3时，y＝6；当x＝5时，y＝5；当x＝6时，y＝4；当x＝8时，y＝3；当x＝9时，y＝2；当x＝11时，y＝1，故一共有7种方案．故选B.(第3题图)3．地球正面临第六次生物大灭绝，据科学家预测，到2050年，目前的四分之一到一半的物种将会灭绝或濒临灭绝，2012年底，长江江豚数量仅剩约1000头，其数量年平均下降的百分率在13%～15%范围内，由此预测，2013年底剩下江豚的数量可能为(B)A.970头B.860头C.750头D.720头4．某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下，有__2__种购买方案．解：设甲种运动服买了x套，乙种买了y套，20x＋35y＝365，当y＝3时，x＝13；当y＝7时，x＝6.所以有2种方案．5．为支援雅安灾区，某学校计划用"义捐义卖"活动中筹集的部分资金用于购买A，B两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元．(1)若购买这批学习用品用了26000元，则购买A，B两种学习用品各多少件？(2)若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？解：(1)设购买A型学习用品x件，则B型学习用品为(1000－x)件，根据题意，得20x＋30(1000－x)＝26000.解得x＝400，则1000－x＝1000－400＝600.答：购买A型学习用品400件，购买B型学习用品600件．(2)设最多购买B型学习用品m件，则购买A型学习用品为(1000－m)件，根据题意，得20(1000－m)＋30m≤28000.解得m≤800.答：最多购买B型学习用品800件．6．某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．(1)求每辆A型车、B型车的售价各为多少万元．(2)甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元．有哪几种购车方案？解：(1)设每辆A型车、B型车的售价分别是x万元、y万元．则x＋3y＝96，2x＋y＝62，解得x＝18，y＝26.答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元．(2)设购买A型车a辆，则购买B型车(6－a)辆，由题意，得18a＋26（6－a）≥130，18a＋26（6－a）≤140，解得2≤a≤3.∵a是正整数，∴a＝2或a＝3.∴共有两种方案：方案一，购买2辆A型车，4辆B型车；方案二，购买3辆A型车，3辆B型车．7．某球迷协会组织36名球迷拟租乘汽车赴比赛场地观看球赛．可租用的汽车有两种：一种每辆可乘8人，另一种每辆可乘4人，要求租用的车子不留空座，也不超载.(1)请你给出不同的租车方案(至少三种);(2)若8个座位的车子的租金是300元/天，4个座位的车子的租金是200元/天，请你设计出费用最少的租车方案，并说明理由．解：(1)方案1：四辆8人车，一辆4人车，4×8＋1×4＝36.方案2：三辆8人车，三辆4人车，3×8＋3×4＝36.方案3：二辆8人车，五辆4人车，2×8＋5×4＝36.方案4：一辆8人车，七辆4人车，1×8＋7×4＝36.方案5：九辆4人车，9×4＝36.(2)设8人车x辆，4人车y辆，则费用w＝300x＋200y.∵8x＋4y＝36，且0≤8x≤36，∴0≤x≤92，故w＝1800－100x.∴当x取最大整数值，即x＝4时，w的值最小．答：最佳方案为四辆8人车，一辆4人车．8．两个城镇A，B与两条公路l1，l2位置如图所示，电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C.(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹)(第8题图)解：(1)作出线段AB的垂直平分线．(2)作出角的平分线(2条)．它们的交点即为所求作的点C(2个)．(第8题图解)9．学校需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的进价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元．(1)求篮球和足球的单价．(2)根据实际需要，学校决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于足球数量的23，学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10500元．请问有几种购买方案？(3)若购买篮球x个，学校购买这批篮球和足球的总费用为y元，在(2)的条件下，哪种方案能使y最小？并求出y的最小值．解：(1)设一个篮球x元，则一个足球(x－30)元，由题意，得2x＋3(x－30)＝510，解得x＝120，答：一个篮球120元，一个足球90元．(2)设购买篮球x个，足球(100－x)个，由题意，得x≥23（100－x），120x＋90（100－x）≤10500，解得40≤x≤50.∵x为正整数，∴共有11种购买方案．(3)由题意，得y＝120x＋90(100－x)＝30x＋9000(40≤x≤50).∵y随x的增大而增大，∴当x最小＝40时，y最小，y最小＝30×40＋9000＝10200(元)．答：当x＝40时，y最小，y的最小值为10200元．10．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%.(1)今年A型车每辆售价多少元(用列方程的方法解答)?(2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，已知A，B两种型号车的进货和销售价格如下表： A型车 B型车进货价格(元) 1100 1400销售价格(元) 今年的销售价格 2000应如何进货才能使这批车获利最多大？解：(1)设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为(x＋400)元，由题意，得50000x＋400＝50000（1－20%）x，解得x＝1600.经检验，x＝1600是原方程的根且符合题意．答：今年A型车每辆售价1600元．(2)设今年新进A型车a辆，则新进B型车(60－a)辆，获利y元，由题意，得y＝(1600－1100)a＋(2000－1400)(60－a)，即y＝－100a＋36000.∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，∴60－a≤2a，∴a≥20.∵y＝－100a＋36000，∴k＝－100＜0，∴y随a的增大而减小．∴当a＝20时，y最大，y最大＝34000元．∴B型车的数量为60－20＝40(辆)．∴当新进A型车20辆，新进B型车40辆时，这批车获利最大．拓展提高11．为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠；方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠．(1)以x元表示商品价格，y元表示支出金额，分别写出两种购物方案中y关于x的函数表达式．(2)若某人计划在商都购买价格为5880元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱．解：(1)方案一：y＝0.95x；方案二：y＝0.9x＋300.(2)当x＝5880时，方案一：y＝0.95x＝5586(元)；方案二：y＝0.9x＋300＝5592(元)．∵5586＜5592，∴选择方案一更省钱．12．某工厂现有甲种原料380kg，乙种原料290kg，计划用这两种原料生产A，B两种产品共50件．已知生产一件A产品需要甲种原料9kg，乙种原料3kg，可获利700元；生产一件B产品需要甲种原料4kg，乙种原料10kg，可获利1200元．设生产A，B两种产品总利润为y元，其中A种产品生产件数是x.(1)写出y与x之间的函数表达式．(2)如何安排A，B两种产品的生产件数，使总利润y有最大值？并求出y的最大值．解：(1)由题意，得y＝700x＋1200(50－x)，即y＝－500x＋60000.(2)由题意，得9x＋4（50－x）≤380，3x＋10（50－x）≤290，解得30≤x≤36.∵y＝－500x＋60000，y随x的增大而减小，∴当x＝30时，y最大，y最大＝45000.答：生产B种产品20件，A种产品30件，总利润y有最大值，y最大＝45000元．13．现将三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片分别放在方格纸中，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，并且平行四边形纸片的每个顶点与小正方形的顶点重合(如图①、图②、图③)．,(第13题图))分别在图①、图②、图③中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，并把这两部分重新拼成符合下列要求的几何图形．要求：(1)在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形．(2)裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙．(3)所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合．解：如解图所示．,(第13题图解))14．某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额.消费金额(元) 300～400 400～500 500～600 600～700 700～900 …返还金额(元) 30 60 100 130 150 …注：300～400表示消费金额大于300元且小于或等于400元，其他类同．根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×(1－80%)＋30＝110(元)．(1)购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？(2)如果顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为多少元？解：(1)购买一件标价为1000元的商品，消费金额为800元，∴顾客获得的优惠额为1000×(1－80%)＋150＝350(元)．(2)设该商品的标价为x元．当80%x≤500，即x≤625时，顾客获得的优惠额不超过625×(1－80%)＋60＝185<226；当500<80%x≤600，即625≤x≤750时，(1－80%)x＋100≥226.解得x≥630.所以630≤x≤750.当600<80%x≤800×80%，即750<x≤800时，顾客获得的优惠额大于750×(1－80%)＋130＝280>226.综上所述，顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为630元．15．某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A，B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表： A型 B型价格(万元/台) 12 10月污水处理能力(吨/月) 200 160经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1380吨．(1)该企业有几种购买方案？(2)哪种方案更省钱？并说明理由．解：(1)设购买A型x台污水处理设备，则购买B型(8－x)台，根据题意，得12x＋10（8－x）≤89，200x＋160（8－x）≥1380，解得2.5≤x≤4.5.∵x是整数，∴x＝3或x＝4.当x＝3时，8－x＝5；当x＝4时，8－x＝4.答：有2种购买方案：第一种是购买3台A型污水处理设备，5台B型污水处理设备；第二种是购买4台A型污水处理设备，4台B型污水处理设备．(2)当x＝3时，购买资金为12×3＋10×5＝86(万元)；当x＝4时，购买资金为12×4＋10×4＝88(万元)．∵88＞86，∴为了节约资金，应购3台A型污水处理设备，5台B型污水处理设备．答：购买3台A型污水处理设备，5台B型污水处理设备更省钱．16．某景区内的环形路是边长为800m的正方形ABCD，如图①②.现有1号、2号游览车分别从出口A和景点C同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车(上、下车的时间忽略不计)，两车速度均为200m/min.(第16题图)探究：设行驶吋间为t(min)．(1)当0≤t≤8时，分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A的路程y1，y2(m)与时间t(min)之间的函数表达式，并求出当两车相距的路程是400m时t的值．(2)当t为何值时，1号车第三次恰好经过景点C？并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数．发现：如图②，游客甲在BC上的一点K(不与点B，C重合)处候车，准备乘车到出口A，设CK＝x(m)．情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车．比较哪种情况用时较多(含候车时间)?决策：己知游客乙在DA上从D向出口A走去，步行的速度是50m/min.当行进到DA上一点P(不与点D，A重合)时，刚好与2号车迎面相遇．(1)他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要说明理由．(2)设PA＝s(m)(0＜s＜800)．若他想尽快到达出口A，根据s的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式中，他该如何选择？解：探究：(1)由题意，得y1＝200t，y2＝－200t＋1600.当相遇前相距400m时，－200t＋1600－200t＝400，解得t＝3，当相遇后相距400m时，200t－(－200t＋1600)＝400，解得t＝5.答：当两车相距的路程是400m时，t的值为3min或5min.(2)由题意，得1号车第三次恰好经过景点C行驶的路程为800×2＋800×4×2＝8000(m)，∴1号车第三次恰好经过景点C的时间为8000÷200＝40(min)，两车第一次相遇的时间为：1600÷400＝4(min)．第一次相遇后两车每相遇一次需要的时间为800×4÷400＝8(min)，∴两车相遇的次数为(40－4)÷8＋1＝5.5.∴这一段时间内它与2号车相遇的次数为5次．发现：由题意，得情况一需要的时间为800×4－x200＝16－x200，情况二需要的时间为800×4＋x200＝16＋x200.∵16－x200＜16＋x200，∴情况二用时较多．决策：(1)∵游客乙在AD边上与2号车相遇，∴此时1号车在CD边上，∴乘1号车到达A的路程小于2个边长，乘2号车的路程大于3个边长，∴乘1号车比乘2号车用时少．(2)若步行比乘1号车的用时少，则s50<800×2－s200，解得s＜320.∴当0＜s＜320时，选择步行．同理可得：当320＜s＜800时，选择乘1号车；当s＝320时，选择步行或乘1号车用时一样．(第17题图)17．一天，数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的"圆锥形坑"的深度，来评估这些坑道对河道的影响，如图所示是同学们选择(确保测量过程中无安全隐患)的测量对象，测量方案如下：①先测出沙坑坑沿的圆周长是34.54m；②甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于B时恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上一点A看到坑底S(甲同学的视线起点C与点A，S三点共线)，经测量：AB＝1.2m，BC＝1.6m.根据以上测量数据，求"圆锥形坑"的深度(圆锥的高，π取3.14，结果精确到0.1m)．(第17题图解)解：取圆锥底面圆心O，连结OS，OA，则∠O＝∠ABC＝90°，OS∥BC，∴∠ACB＝∠ASO，∴△SOA∽△CBA，∴OSBC＝OABA，∴OS＝OA·BCBA.∵OA＝34.542π≈5.5，BC＝1.6，AB＝1.2，∴OS＝5.5×1.61.2≈7.3，∴"圆锥形坑"的深度约为7.3m.18．一种电讯信号转发装置的发射直径为31km.现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：(1)能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图①中画出安装点的示意图，并用大写字母M，N，P，Q表示安装点．(2)能否找到这样的3个安装点，使得在这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图②中画出示意图说明，并用大写字母M，N，P表示安装点，用计算、推理和文字来说明你的理由．,(第18题图))解：(1)如解图①，将正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为12×302＝152＜31，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求；(2)将原正方形分割成如解图②中的3个矩形，使得BE＝31.,(第18题图解))将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，则AE＝312－302＝61，DE＝30－61，∴OD＝（30－61）2＋152≈26.8＜31，即如此安装三个这个转发装置，也能达到预设要求．19．某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．解：分三类情况讨论如下：(1)如解图①所示，原来的花圃为Rt△ABC，其中BC＝6m，AC＝8m，∠ACB＝90°.由勾股定理易知AB＝10m，将△ABC沿直线AC翻折180°后，得等腰三角形ABD，此时，AD＝10m，CD＝6m．故扩建后的等腰三角形花圃的周长为12＋10＋10＝32(m)．,(第19题图解))(2)如解图②，因为BC＝6m，CD＝4m，∴BD＝AB＝10m．在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD＝42＋82＝45，此时，扩建后的等腰三角形花圃的周长为45＋10＋10＝20＋45(m)．(3)如解图③，设△ABD中DA＝DB，再设CD＝x(m)，则DA＝(x＋6)m，在Rt△ACD中，由勾股定理，得x2＋82＝(x＋6)2，解得x＝73.∴扩建后等腰三角形花圃的周长＝10＋2(x＋6)＝803(m)．