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2016年台湾初中教育会考中考数学科题本含答案与详解台湾2016年初中教育会考(中考)数学科题本与详解(5月14日10:30~11:50)第一部分：选择题(1~25题)1.x=3，y=1为下列哪一个二元一次方程式的解？(A)x2y=1(B)x2y=1(C)2x3y=6(D)2x3y=6[解]将x＝－3，y＝1代入各式，(A)(－3)＋2?1＝－1；(B)(－3)－2?1＝－5≠1；(C)2?(－3)＋3?1＝－3≠6(D)2?(－3)－3?1＝－9≠－6；故选(A)。2.算式[5(11)](324)之值为何？(A)1(B)16(C)83(D)1283[解][－5－(－11)]÷(32×4)＝[－5＋11]÷(3×2)＝6÷6＝1，故选(A)。3.计算(2x1)(x1)(x2x2)的结果，与下列哪一个式子相同？(A)x22x1(B)x22x3(C)x2x3(D)x23[解](2x＋1)(x－1)－(x2＋x－2)＝(2x2－2x＋x－1)－(x2＋x－2)＝2x2－x－1－x2－x＋2＝x2－2x＋1，故选(A)。4.如图(一)，已知扇形AOB的半径为10公分，圆心角为54°，则此扇形面积为多少平方公分？(A)100π(B)20π(C)15π(D)5π[解]扇形AOB面积＝10×10×π×54360＝15π(平方公分)，故选(C)。5.图(二)数在线的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c。若|ab|=3，|bc|=5，且原点O与A、B的距离分别为4、1，则关于O的位置，下列叙述何者正确？(A)在A的左边(B)介于A、B之间(C)介于B、C之间(D)在C的右边[解]∵OB＝1，∴O点在B点左侧1单位处或右侧1单位处，已知OA＝4：○1若O点在B点左侧1单位处，∵a－b＝3，∴OA＝3－1＝2(不合)；○2若O点在B点右侧1单位处，∵a－b＝3，∴OA＝3＋1＝4(合)；因此O点在B、C之间，故选(C)。6.多项式77x213x30可因式分解成(7xa)(bxc)，其中a、b、c均为整数，求abc之值为何？(A)0(B)10(C)12(D)22[解]利用十字交乘法将77x2－13x－30因式分解，可得77x2－13x－30＝(7x－5)(11x＋6)。可得a＝－5，b＝11，c＝6，则a＋b＋c＝(－5)＋11＋6＝12，故选(C)。7.图(三)、图(四)分别为甲、乙两班学生参加投篮测验的投进球数直方图。若甲、乙两班学生的投进球数的众数分别为a、b；中位数分别为c、d，则下列关于a、b、c、d的大小关系，何者正确？(A)a>b，c>d(B)a>b，c<d(C)a<b，c>d(D)a<b，c<d[解]由图(三)、图(四)可知a＝8，b＝6==>a＞b，甲班共有5＋15＋20＋15＝55(人)，乙班共有25＋5＋15＋10＝55(人)，∴甲、乙两班的中位数均为第28人，得c＝8，d＝7==>c＞d。故选(A)。8.如图(五)，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD￣上。若ECD=35，AEF=15，则B的度数为何？(A)50(B)55(C)70(D)75[解]∠CED＝180°－∠AEF－∠CEF＝180°－15°－90°＝75°，得∠D＝180°－∠CED－∠ECD＝180°－75°－35°＝70°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D＝70°(平行四边形对角相等)，故选(C)。9.小昱和阿帆均从同一本书的第1页开始，逐页依顺序在每一页上写一个数。小昱在第1页写1，且之后每一页写的数均为他在前一页写的数加2；阿帆在第1页写1，且之后每一页写的数均为他在前一页写的数加7。若小昱在某页写的数为101，则阿帆在该页写的数为何？(A)350(B)351(C)356(D)358[解]小昱所写的数为1,3,5,7,……,101,……，阿帆所写的数为1,8,15,22,……,？□,……设小昱所写的第n个数为101，==>an＝101＝1＋(n－1)×2，2(n－1)＝100，n－1＝50，n＝51，阿帆所写的第51个数为1＋(51－1)×7＝1＋50×7＝1＋350＝351。故选(B)。10.甲箱内有4颗球，颜色分别为红、黄、绿、蓝；乙箱内有3颗球，颜色分别为红、黄、黑。小赖打算同时从甲、乙两个箱子中各抽出一颗球，若同一箱中每球被抽出的机会相等，则小赖抽出的两颗球颜色相同的机率为何？(A)13(B)16(C)27(D)712[解1]将小赖从甲、乙两箱中抽出颜色球的所有情形已(甲,乙)表示有如下情形：(红,红),(红,黄),(红,黑),(黄,红),(黄,黄),(黄,黑),(绿,红),(绿,黄),(绿,黑),(蓝,红),(蓝,黄),(蓝,黑)；==>颜色相同的只有都抽出红色和都抽出黄色2种情形，∴同时抽中颜色相同的球机率为212＝16。[解2]同时抽中红球的机率为14×13＝112，同时抽中黄球的机率为14×13＝112，∴同时抽中颜色相同的球机率为112＋112＝16。故选(B)。11.坐标平面上有一个二元一次方程式的图形，此图形通过(3,0)、(0,5)两点。判断此图形与下列哪一个方程式的图形的交点在第三象限？(A)x4=0(B)x4=0(C)y4=0(D)y4=0[解]，故选(D)。12.如图(六)，△ABC中，D、E两点分别在AC￣、BC￣上，DE￣为BC￣的中垂线，BD￣为ADE的角平分线。若A=58，则ABD的度数为何？(A)58(B)59(C)61(D)62[解]∵BD是∠ADE的角平分线，∴∠1＝∠2……○1，∵DE是BC的中垂线，∴∠2＝∠3……○2，由○1、○2可得∠1＝∠2＝∠3，又∠1＋∠2＋∠3＝180，故∠1＝∠2＝∠3＝60，==>∠4＝∠C＝90－60＝30，∴∠ABD＝180－∠A－∠4－∠C＝180－58－30－30＝62。故选(D)。13.若一正方形的面积为20平方公分，周长为x公分，则x的值介于下列哪两个整数之间？(A)16，17(B)17，18(C)18，19(D)19，20[解]∵周长为x公分，∴边长为x4公分，==>(x4)2＝20，x216＝20，x2＝320，又172＝289，182＝324，∴172＜320＜182，即172＜x2＜182，又x为正整数，∴x介于17和18之间，故选(B)。14.如图(七)，圆O通过五边形OABCD的四个顶点。若ABD︵=150，A=65，D=60°，则BC︵的度数为何？(A)25(B)40(C)50(D)55[解]连接OB、OC，则△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，得∠1＝180－2∠A＝180－2×65＝50，∠2＝180－2∠D＝180－2×60＝60，∵︵ABD＝150。∴∠AOD＝150，可得∠3＝∠AOD－∠1－∠2，可得∠3＝150－50－60＝40。即︵BC＝40。故选(B)。15.图(八)的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和。若丙的一股长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？(A)12(B)35(C)23(D)423[解]设丁的一股长为a，且a＜2，∵甲面积＋乙面积＝丙面积＋丁面积，∴2a＋2a＝12×22＋12×a2，==>4a＝2＋12a2，==>a2－8a＋4＝0，==>a＝8(－8)2－4×1×42＝8432＝423，∵4＋23＞2，不合，4－23＜2，合，∴a＝4－23。故选(D)。16.图(九)的矩形ABCD中，E点在CD￣上，且AE￣<AC￣。若P、Q两点分别在AD￣、AE￣上，AP￣：PD￣=4：1，AQ￣：QE￣=4：1，直线PQ交AC￣于R点，且Q、R两点到CD￣的距离分别为q、r，则下列关系何者正确？(A)q<r，QE￣=RC￣(B)q<r，QE￣<RC￣(C)q=r，QE￣=RC￣(D)q=r，QE￣<RC￣[解]∵AP：PD＝AQ：QE＝4：1，∴PQ//DE，得PR//DC，且AR：RC＝4：1，∵两并行线的距离皆相等，∴q＝r，又AE＜AC，∴QE＝15AE＜15AC＝RC。故选(D)。17.已知a、b、c为三正整数，且a、b的最大公因子为12，a、c的最大公因子为18。若a介于50与100之间，则下列叙述何者正确？(A)8是a的因子，8是b的因子(B)8是a的因子，8不是b的因子(C)8不是a的因子，8是c的因子(D)8不是a的因子，8不是c的因子[解]○1∵(a,b)＝12，(a,c)＝18，∴a为12与18的公倍数，又[12,18]＝36，且a介于50与100之间，得a＝36×2＝72，因此8是a的因子，○2∵(a,b)＝12，设b＝12×m，其中m为正整数，又a＝72＝12×6，∴m和6互质，因此8不是b的因子。故选(B)。18.如图(十)，有一内部装有水的直圆柱形水桶，桶高20公分；另有一直圆柱形的实心铁柱，柱高30公分，直立放置于水桶底面上，水桶内的水面高度为12公分，且水桶与铁柱的底面半径比为2：1。今小贤将铁柱移至水桶外部，过程中水桶内的水量未改变，若不计水桶厚度，则水桶内的水面高度变为多少公分？(A)4.5(B)6(C)8(D)9[解]∵水桶底面半径：铁柱底面半径＝2：1，∴水桶底面积：铁柱底面积＝22：12＝4：1，设铁柱底面积为A，水桶底面积为4A，则水桶底面扣除铁柱部分的环形区域面积为4A－A＝3A，如右图所示，==>原有的水量为3A×12＝36A，所求＝36A4A＝9(公分)。故选(D)。19.表(一)为小洁打算在某电信公司购买一支MAT手机与搭配一个门号的两种方案。此公司每个月收取通话费与月租费的方式如下：若通话费超过月租费，只收通话费；若通话费不超过月租费，只收月租费。若小洁每个月的通话费均为x元，x为400到600之间的整数，则在不考虑其他费用并使用两年的情况下，x至少为多少才会使得选择乙方案的总花费比甲方案便宜？(A)500(B)516(C)517(D)600[解]∵400＜x＜600，∴若小洁选择甲方案，需以通话费计算，若小洁选择乙方案，需以月租费计算，甲方案使用两年＝24x＋15000，乙方案使用两年＝24×600＋13000＝27400，==>24x＋15000＞27400，24x＞12400，x＞51623，即x至少为517。故选(C)。20.如图(十一)，以矩形ABCD的A为圆心，AD￣长为半径画弧，交AB￣于F点；再以C为圆心，CD￣长为半径画弧，交AB￣于E点。若AD￣=5，CD￣=173，则EF￣的长度为何？(A)2(B)3(C)23(D)73[解]连接CE，CE＝CD＝173，BC＝AD＝5，∵△BCE为直角三角形，∴BE＝(173)2－52＝289－2259＝649＝83，又BF＝AB－AF＝173－5＝23，∴EF＝BE－BF＝83－23＝2。故选(A)。21.坐标平面上，某二次函数图形的顶点为(2,1)，此函数图形与x轴相交于P、Q两点，且PQ￣=6。若此函数图形通过(1,a)、(3,b)、(1,c)、(3,d)四点，则a、b、c、d之值何者为正？(A)a(B)b(C)c(D)d[解]∵二次函数图形的顶点为(2,－1)，∴对称轴为x＝2，∵12×PQ＝12×6＝3，∴图形与x轴的交点为(2－3,0)＝(－1,0)，和(2＋3,0)＝(5,0)，已知图形通过(2,－1)、(－1,0)、(5,0)三点，作简图如右，由图形可知：a＝b＜0，c＝0，d＞0。故选(D)。22.图(十二)的矩形ABCD中，E为AB￣的中点，有一圆过C、D、E三点，且此圆分别与AD￣、BC￣相交于P、Q两点。甲、乙两人想找到此圆的圆心O，其作法如下：(甲)作DEC的角平分线L，作DE￣的中垂线，交L于O点，则O即为所求(乙)连接PC￣、QD￣，两线段交于一点O，则O即为所求对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？(A)两人皆正确(B)两人皆错误(C)甲正确，乙错误(D)甲错误，乙正确[解](甲)如右上图，∵ED＝EC，∴△DEC为等腰三角形，==>L为CD之中垂线，==>O为两中垂线之交点，即O为△CDE的外心，==>O为此圆圆心。(乙)如右下图，∵∠ADC＝90°，∠DCB＝90°，∴PC、QD皆为此圆直径，==>PC与QD之交点O为此圆圆心，因此甲、乙两人皆正确。故选(A)。23.如图(十三)，正六边形ABCDEF中，P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心。若AF￣=2，则PQ￣的长度为何？(A)1(B)2(C)232(D)423[解]连接PF、QF、PC、QC，可得四边形FPCQ为筝形，所以PQ⊥CF，又△ACF?△ECF，且皆为30°、60°、90°的三角形，所以AC＝3AF＝23，CF＝2AF＝4，得PQ＝2×内切圆半径＝2×AF＋AC－CF2＝2＋23－4＝23－2。故选(C)。24.如图(十四)，OP￣为一条拉直的细线，A、B两点在OP￣上，且OA￣：AP￣=1：3，OB￣：BP￣=3：5。若先固定B点，将OB￣折向BP￣，使得OB￣重迭在BP￣上，如图(十五)，再从图(十五)的A点及与A点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比为何？(A)1：1：1(B)1：1：2(C)1：2：2(D)1：2：5[解]∵OA：AP=1：3=2：6OB：BP=3：5，∴OA＝28OP，OB＝38OP，==>AB＝38OP－28OP＝18OP，BP＝58OP，==>OA：AB：BP＝28OP：18OP：58OP＝2：1：5。设OA＝2r，AB＝r，BP＝5r，且图(十五)中与A点重迭处一起被剪开的点为A'，则BA'＝AB＝r，所求＝OA：AA'：A'P＝2r：(r＋r)：(5r－r)＝1：1：2。故选(B)。25.如图(十六)，矩形ABCD中，M、E、F三点在AD￣上，N是矩形两对角线的交点。若AB￣=24，AD￣=32，MD￣=16，ED￣=8，FD￣=7，则下列哪一条直线是A、C两点的对称轴？(A)直线MN(B)直线EN(C)直线FN(D)直线DN[解]∵A、C两点的对称轴为AC的中垂线，∴连接AC，过N作AC的垂直线，设此直线交AD于P点，AC＝AB2＋BC2＝242＋322＝40，AN＝12AC＝20，∵△ABC～△PNA(AA相似)，∴AC：AP＝BC：AN，==>40：AP＝32：20，==>AP＝40×2032＝25，∵AD＝32，FD＝7，∴AF＝32－7＝25＝AP，==>P点与F点重合，==>所求的对称轴为直线FN。故选(C)。第二部分：非选择题（第1~2题）1.如图(十七)，△ABC中，AB￣=AC￣，D点在BC￣上，BAD=30，且ADC=60。请完整说明为何AD￣=BD￣与CD￣=2BD￣的理由。[解](1)∵∠4＝60，∠1＝30，根据三角形外角定理可得：∠ABD＝∠4－∠1＝60－30＝30＝∠1。∴△ABD为等腰三角形，得AD＝BD。(2)承(1)，∠ABD＝30，又AB＝AC，可得△ABC亦为等腰三角形，即∠C＝∠ABD＝30，得∠2＝180－∠4－∠C＝180－60－30＝90，∴△ACD为30、60、90的直角三角形，==>AD：AC：CD＝1：3：2，故CD＝2AD＝2BD。2.如图(十八)，正方形ABCD是一张边长为12公分的皮革。皮雕师傅想在此皮革两相邻的角落分别切下△PDQ与△PCR后得到一个五边形PQABR，其中PD￣=2DQ￣，PC￣=RC￣，且P、Q、R三点分别在CD￣、AD￣、BC￣上，如图(十八)所示。(1)当皮雕师傅切下△PDQ时，若DQ￣长度为x公分，请你以x表示此时△PDQ的面积。(2)承(1)，当x的值为多少时，五边形PQABR的面积最大？请完整说明你的理由并求出答案。[解](1)DQ＝x公分，PD＝2DQ＝2x公分，则△PDQ面积＝x?2x2＝x2(平方公分)，(2)PD＝2x公分，CD＝12公分，则PC＝CR＝12－2x(公分)，五边形PQABR面积＝正方形ABCD面积－△PDQ面积－△PCR面积＝122－x2－12(12－2x)2＝144－x2－12(144－48x＋4x2)＝144－x2－72＋24x－2x2＝－3x2＋24x＋72＝－3(x2－8x＋42)＋72＋3×16＝－3(x－4)2＋120，故当x＝4时，五边形PQABR有最大面积为120平方公分。答：(1)x2平方公分，(2)当x＝4时，五边形PQABR有最大面积为120平方公分。