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2016年中考数学热点复习模拟试题29:相似与位似(含中考真题解析)专题29相似与位似?解读考点知识点 名师点晴比和比例 1.比例 知道什么是比例式、第四比例项、比例中项. 2.黄金分割 知道黄金分割的意义和生活中的应用. 3.比例的基本性质及定理 能熟练运用比例的基本性质进行相关的计算. 4.平行线分线段成比例定理 会直接运用定理进行计算和证明.相似形 5.相似三角形 知道什么是相似三角形. 6.相似三角形的判定和性质 能运用相似三角形的性质和判定方法证明简单问题. 7.相似多边形的性质 了解相似多边形的性质. 8.位似图形 知道位似是相似的特殊情况.能利用位似放大和缩小一个图形.?2年中考【2015年题组】1.(2015东营)若,则的值为()A.1B.C.D.【答案】D.【解析】试题分析:∵,∴==.故选D.考点:比例的性质.2.(2015南京)如图所示,△ABC中,DE∥BC,若,则下列结论中正确的是()A.B.C.D.【答案】C.考点:相似三角形的判定与性质.3.(2015荆州)如图,点P在△ABC的边AC上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件,不正确的是()A.∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABCC.D.【答案】D.【解析】试题分析:A.当∠ABP=∠C时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误;B.当∠APB=∠ABC时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误;C.当时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误;D.无法得到△ABP∽△ACB,故此选项正确.故选D.考点:相似三角形的判定.4.(2015随州)如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是()A.∠AED=∠BB.∠ADE=∠CC.D.【答案】D.考点:相似三角形的判定.5.(2015贵阳)如果两个相似三角形对应边的比为2:3,那么这两个相似三角形面积的比是()A.2:3B.C.4:9D.8:27【答案】C.【解析】试题分析:两个相似三角形面积的比是=4:9.故选C.考点:相似三角形的性质.6.(2015白银)如图,D.E分别是△ABC的边AB、BC上的点,DE∥AC,若S△BDE:S△CDE=1:3,则S△DOE:S△AOC的值为()A.B.C.D.【答案】D.【解析】试题分析:∵S△BDE:S△CDE=1:3,∴BE:EC=1:3;∴BE:BC=1:4;∵DE∥AC,∴△DOE∽△AOC,∴=,∴S△DOE:S△AOC==,故选D.考点:相似三角形的判定与性质.7.(2015淮安)如图,l1∥l2∥l3,直线a,b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F.若,DE=4,则EF的长是()A.B.C.6D.10【答案】C.考点:平行线分线段成比例.8.(2015乐山)如图,∥∥,两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F.已知,则的值为()A.B.C.D.【答案】D.【解析】试题分析:∵∥∥,,∴===,故选D.考点:平行线分线段成比例.9.(2015宜宾)如图,△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为1:2,∠OCD=90°,CO=CD.若B(1,0),则点C的坐标为()A.(1,2)B.(1,1)C.(,)D.(2,1)【答案】B.考点:1.位似变换;2.坐标与图形性质.10.(2015十堰)在平面直角坐标系中,已知点A(﹣4,2),B(﹣6,﹣4),以原点O为位似中心,相似比为,把△ABO缩小,则点A的对应点A′的坐标是()A.(﹣2,1)B.(﹣8,4)C.(﹣8,4)或(8,﹣4)D.(﹣2,1)或(2,﹣1)【答案】D.【解析】试题分析:∵点A(﹣4,2),B(﹣6,﹣4),以原点O为位似中心,相似比为,把△ABO缩小,∴点A的对应点A′的坐标是:(﹣2,1)或(2,﹣1).故选D.考点:1.位似变换;2.坐标与图形性质.11.(2015眉山)如图,A、B是双曲线上的两点,过A点作AC⊥x轴,交OB于D点,垂足为C.若△ADO的面积为1,D为OB的中点,则k的值为()A.B.C.3D.4【答案】B.考点:1.反比例函数系数k的几何意义;2.相似三角形的判定与性质.12.(2015绵阳)如图,D是等边△ABC边AB上的一点,且AD:DB=1:2,现将△ABC折叠,使点C与D重合,折痕为EF,点E,F分别在AC和BC上,则CE:CF=()A.B.C.D.【答案】B.【解析】,即,故选B.考点:1.翻折变换(折叠问题);2.相似三角形的判定与性质;3.综合题.13.(2015常德)若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比,则这称这两个扇形相似.如图,如果扇形AOB与扇形A1O1B1是相似扇形,且半径OA:O1A1=k(k为不等于0的常数).那么下面四个结论:①∠AOB=∠A1O1B1;②△AOB∽△A1O1B1;③;④扇形AOB与扇形A1O1B1的面积之比为.成立的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D.【解析】试题分析:由扇形相似的定义可得:,所以n=n1故①正确;因为∠AOB=∠A101B1,OA:O1A1=k,所以△AOB∽△A101B1,故②正确;因为△AOB∽△A101B1,故=k,故③正确;由扇形面积公式可得到④正确.故选D.考点:1.相似三角形的判定与性质;2.弧长的计算;3.扇形面积的计算;4.新定义;5.压轴题.14.(2015株洲)如图,已知AB、CD、EF都与BD垂直,垂足分别是B、D、F,且AB=1,CD=3,那么EF的长是()A.B.C.D.【答案】C.考点:相似三角形的判定与性质.15.(2015黔西南州)在数轴上截取从0到3的对应线段AB,实数m对应AB上的点M,如图1;将AB折成正三角形,使点A、B重合于点P,如图2;建立平面直角坐标系,平移此三角形,使它关于y轴对称,且点P的坐标为(0,2),PM的延长线与x轴交于点N(n,0),如图3,当m=时,n的值为()A.B.C.D.【答案】A.考点:1.相似三角形的判定与性质;2.实数与数轴;3.等边三角形的性质;4.平移的性质;5.综合题;6.压轴题.16.(2015宁波)如图,将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠,使点A落在BC边上的A2处,称为第1次操作,折痕DE到BC的距离记为h1;还原纸片后,再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠,使点A落在DE边上的A2处,称为第2次操作,折痕D1E1到BC的距离记为h2;按上述方法不断操作下去…,经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距离记为h2015,到BC的距离记为h2015.若h1=1,则h2015的值为()A.B.C.D.【答案】D.【解析】试题分析:连接AA1,由折叠的性质可得:AA1⊥DE,DA=DA1,又∵D是AB中点,∴DA=DB,∴DB=DA1,∴∠BA1D=∠B,∴∠ADA1=2∠B,又∵∠ADA1=2∠ADE,∴∠ADE=∠B,∴DE∥BC,∴AA1⊥BC,∴AA1=2,∴h1=2﹣1=1,同理,h2=,h3==,…∴经过第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距离hn=,∴h2015=,故选D.考点:1.相似三角形的判定与性质;2.三角形中位线定理;3.翻折变换(折叠问题);4.规律型;5.综合题.17.(2015天水)如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,测得AB=2米,BP=3米,PD=12米,那么该古城墙的高度CD是米.【答案】8.考点:相似三角形的应用.18.(2015柳州)如图,矩形EFGH内接于△ABC,且边FG落在BC上.若BC=3,AD=2,EF=EH,那么EH的长为.【答案】.【解析】试题分析:∵四边形EFGH是矩形,∴EH∥BC,∴△AEH∽△ABC,∵AM⊥EH,AD⊥BC,∴,设EH=3x,则有EF=2x,AM=AD﹣EF=2﹣2x,∴,解得:x=,则EH=.故答案为:.考点:1.相似三角形的判定与性质;2.矩形的性质;3.应用题.19.(2015河池)如图,菱形ABCD的边长为1,直线l过点C,交AB的延长线于M,交AD的延长线于N,则=.【答案】1.考点:1.相似三角形的判定与性质;2.菱形的性质;3.综合题.20.(2015贺州)如图,在△ABC中,AB=AC=15,点D是BC边上的一动点(不与B、C重合),∠ADE=∠B=∠α,DE交AB于点E,且tan∠α=.有以下的结论:①△ADE∽△ACD;②当CD=9时,△ACD与△DBE全等;③△BDE为直角三角形时,BD为12或;④0<BE≤,其中正确的结论是(填入正确结论的序号).【答案】②③.若△BDE为直角三角形,则有两种情况:(1)若∠BED=90°,∵∠BDE=∠CAD,∠B=∠C,∴△BDE∽△CAD,∴∠CDA=∠BED=90°,∴AD⊥BC,∵AB=AC,∴BD=BC=12;(2)若∠BDE=90°,如图2,设BD=x,则DC=24-x,∵∠CAD=∠BDE=90°,∠B=∠C=∠α,∴cos∠C=cosB=,∴,解得:,∴若△BDE为直角三角形,则BD为12或,故③正确;设BE=x,CD=y,∵△BDE∽△CAD,∴,∴,∴,∴,∴,∴,∴0<BE≤,∴故④错误;故答案为:②③.考点:1.相似三角形的判定与性质;2.全等三角形的判定与性质.21.(2015钦州)如图,以O为位似中心,将边长为256的正方形OABC依次作位似变化,经第一次变化后得正方形OA1B1C1,其边长OA1缩小为OA的,经第二次变化后得正方形OA2B2C2,其边长OA2缩小为OA1的,经第三次变化后得正方形OA3B3C3,其边长OA3缩小为OA2的,......,按此规律,经第n次变化后,所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数,则n=.【答案】16.考点:1.位似变换;2.坐标与图形性质.22.(2015南通)如图,矩形ABCD中,F是DC上一点,BF⊥AC,垂足为E,,△CEF的面积为,△AEB的面积为,则的值等于.【答案】.考点:1.相似三角形的判定与性质;2.矩形的性质;3.综合题.23.(2015扬州)如图,练习本中的横格线都平行,且相邻两条横格线间的距离都相等,同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上.若线段AB=4cm,则线段BC=cm.【答案】12.【解析】试题分析:如图,过点A作AE⊥CE于点E,交BD于点D,∵练习本中的横格线都平行,且相邻两条横格线间的距离都相等,∴,即,∴BC=12cm.故答案为:12.考点:平行线分线段成比例.24.(2015扬州)如图,已知△ABC的三边长为a、b、c,且a<b<c,若平行于三角形一边的直线l将△ABC的周长分成相等的两部分.设图中的小三角形①、②、③的面积分别为、、,则、、的大小关系是.(用"<"号连接)【答案】.∵0<a<b<c,∴0<a+b<a+c<b+c,∴<<,∴,故答案为:.考点:1.相似三角形的判定与性质;2.综合题;3.压轴题.25.(2015连云港)如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=90°,直线l1∥l2∥l3,l1与l2之间距离是1,l2与l3之间距离是2,且l1,l2,l3分别经过点A,B,C,则边AC的长为.【答案】.考点:1.相似三角形的判定与性质;2.平行线之间的距离;3.勾股定理;4.综合题.26.(2015盐城)设△ABC的面积为1,如图①,将边BC、AC分别2等分,BE1、AD1相交于点O,△AOB的面积记为S1;如图②将边BC、AC分别3等分,BE1、AD1相交于点O,△AOB的面积记为S2;…,依此类推,则Sn可表示为.(用含n的代数式表示,其中n为正整数)【答案】.考点:1.相似三角形的判定与性质;2.规律型;3.综合题;4.压轴题.27.(2015成都)已知菱形的边长为2,=60°,对角线,相交于点O.以点O为坐标原点,分别以,所在直线为x轴、y轴,建立如图所示的直角坐标系.以为对角线作菱形∽菱形,再以为对角线作菱形∽菱形,再以为对角线作菱形∽菱形,",按此规律继续作下去,在x轴的正半轴上得到点,,,......,,则点的坐标为________.【答案】(3n-1,0).考点:1.相似多边形的性质;2.菱形的性质;3.规律型;4.综合题;5.压轴题.28.(2015连云港)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BC=3,D为AC延长线上一点,AC=3CD,过点D作DH∥AB,交BC的延长线于点H.(1)求BDocos∠HBD的值;(2)若∠CBD=∠A,求AB的长.【答案】(1)4;(2)6.【解析】试题分析:(1)首先根据DH∥AB,判断出△ABC∽△DHC,即可判断出=3;然后求出BH的值是多少,再根据在Rt△BHD中,cos∠HBD=,求出BDocos∠HBD的值是多少即可;考点:1.相似三角形的判定与性质;2.解直角三角形.29.(2015镇江)某兴趣小组开展课外活动.如图,A,B两地相距12米,小明从点A出发沿AB方向匀速前进,2秒后到达点D,此时他(CD)在某一灯光下的影长为AD,继续按原速行走2秒到达点F,此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后,并测得这个影长为1.2米,然后他将速度提高到原来的1.5倍,再行走2秒到达点H,此时他(GH)在同一灯光下的影长为BH(点C,E,G在一条直线上).(1)请在图中画出光源O点的位置,并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM(不写画法);(2)求小明原来的速度.【答案】(1)作图见试题解析;(2)1.5m/s.【解析】试题分析:(1)利用中心投影的定义作图;(2)设小明原来的速度为xm/s,则CE=2xm,AM=(4x﹣1.2)m,EG=3xm,BM=13.2﹣4x,由△OCE∽△OAM,△OEG∽△OMB,得到,即代入解方程即可.试题解析:(1)如图,(2)设小明原来的速度为xm/s,则CE=2xm,AM=AF﹣MF=(4x﹣1.2)m,EG=2×1.5x=3xm,BM=AB﹣AM=12﹣(4x﹣1.2)=13.2﹣4x,∵点C,E,G在一条直线上,CG∥AB,∴△OCE∽△OAM,△OEG∽△OMB,∴,,∴,即,解得x=1.5,经检验x=1.5为方程的解,∴小明原来的速度为1.5m/s.答:小明原来的速度为1.5m/s.考点:1.相似三角形的应用;2.中心投影.30.(2015南充)如图,矩形纸片ABCD,将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP>AM),点A和点B都与点E重合;再将△CQD沿DQ折叠,点C落在线段EQ上点F处.(1)判断△AMP,△BPQ,△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形?(不需说明理由)(2)如果AM=1,sin∠DMF=,求AB的长.【答案】(1)△AMP∽△BPQ∽△CQD;(2)AB=6.试题解析:(1)△AMP∽△BPQ∽△CQD,∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=∠C=90°,根据折叠的性质可知:∠APM=∠EPM,∠EPQ=∠BPQ,∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°,∵∠APM+∠AMP=90°,∴∠BPQ=∠AMP,∴△AMP∽△BPQ,同理:△BPQ∽△CQD,根据相似的传递性,△AMP∽△CQD;(2)∵AD∥BC,∴∠DQC=∠MDQ,根据折叠的性质可知:∠DQC=∠DQM,∴∠MDQ=∠DQM,∴MD=MQ,∵AM=ME,BQ=EQ,∴BQ=MQ﹣ME=MD﹣AM,∵sin∠DMF==,∴设DF=3x,MD=5x,∴BP=PA=PE=,BQ=5x﹣1,∵△AMP∽△BPQ,∴,∴,解得:(舍)或x=2,∴AB=6.考点:1.翻折变换(折叠问题);2.相似三角形的判定;3.解直角三角形;4.探究型;5.综合题.31.(2015南通)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15,BC=9,点P,Q分别在BC,AC上,CP=3x,CQ=4x(0<x<3).把△PCQ绕点P旋转,得到△PDE,点D落在线段PQ上.(1)求证:PQ∥AB;(2)若点D在∠BAC的平分线上,求CP的长;(3)若△PDE与△ABC重叠部分图形的周长为T,且12≤T≤16,求x的取值范围.【答案】(1)证明见试题解析;(2)6;(3)1≤x≤.(2)连接AD,由PQ∥AB可得∠ADQ=∠DAB,再由点D在∠BAC的平分线上,得到∠DAQ=∠DAB,故∠ADQ=∠DAQ,AQ=DQ.在Rt△CPQ中根据勾股定理可知,AQ=12﹣4x,故可得出x的值,进而得出结论;(3)当点E在AB上时,根据等腰三角形的性质求出x的值,再分0<x≤;<x<3两种情况进行分类讨论.①当0<x≤时,T=PD+DE+PE=3x+4x+5x=12x,此时0<T≤;②当<x<3时,设PE交AB于点G,DE交AB于F,作GH⊥FQ,垂足为H,∴HG=DF,FG=DH,Rt△PHG∽Rt△PDE,∴,∵PG=PB=9﹣3x,∴,∴GH=(9﹣3x),PH=(9﹣3x),∴FG=DH=3x﹣(9﹣3x),∴T=PG+PD+DF+FG=(9﹣3x)+3x+(9﹣3x)+[3x﹣(9﹣3x)]=,此时,<T<18.∴当0<x<3时,T随x的增大而增大,∴T=12时,即12x=12,解得x=1;TA=16时,即=16,解得x=.∵12≤T≤16,∴x的取值范围是1≤x≤.考点:1.几何变换综合题;2.分类讨论;3.相似三角形的判定与性质;4.压轴题.32.(2015钦州)如图,在平面直角坐标系中,以点B(0,8)为端点的射线BG∥x轴,点A是射线BG上的一个动点(点A与点B不重合).在射线AG上取AD=OB,作线段AD的垂直平分线,垂足为E,且与x轴交于点F,过点A作AC⊥OA,交射线EF于点C.连接OC、CD,设点A的横坐标为t.(1)用含t的式子表示点E的坐标为_______;(2)当t为何值时,∠OCD=180°?(3)当点C与点F不重合时,设△OCF的面积为S,求S与t之间的函数解析式.【答案】(1)E(,8);(2);(3).试题解析:(1)∵AD=OB=8,∴AE=ED=4,∵点A的横坐标为t,∴E(,8);(2)当∠OCD=180°时,如图1,∵EC∥BO,∴,∴,∴EC=,∵AC⊥OA,∴∠1+∠2=90°,∵∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3,∵∠AEC=∠ABO,∴△AEC∽△OBA,∴,∴,∴EC=,∴=,∴,解得:或(舍去),∴t=;②当时,如图3,由(2)得:EC=,则CF=,∵OF=BE=,∴,即;考点:1.相似三角形的判定与性质;2.矩形的性质;3.动点型;4.分类讨论;5.四边形综合题;6.压轴题.33.(2015玉林防城港)已知:一次函数的图象与反比例函数()的图象相交于A,B两点(A在B的右侧).(1)当A(4,2)时,求反比例函数的解析式及B点的坐标;(2)在(1)的条件下,反比例函数图象的另一支上是否存在一点P,使△PAB是以AB为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)当A(a,﹣2a+10),B(b,﹣2b+10)时,直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C,连接BC交y轴于点D.若,求△ABC的面积.【答案】(1),B(1,8);(2)(﹣4,﹣2)、(﹣16,);(3)10.【解析】(3)过点B作BS⊥y轴于S,过点C作CT⊥y轴于T,连接OB,如图2,易证△CTD∽△BSD,根据相似三角形的性质可得.由A(a,﹣2a+10),B(b,﹣2b+10),可得C(﹣a,2a﹣10),CT=a,BS=b,即可得到.由A、B都在反比例函数的图象上可得a(﹣2a+10)=b(﹣2b+10),把代入即可求出a的值,从而得到点A、B、C的坐标,运用待定系数法求出直线BC的解析式,从而得到点D的坐标及OD的值,然后运用割补法可求出S△COB,再由OA=OC可得S△ABC=2S△COB.试题解析:(1)把A(4,2)代入,得k=4×2=8,∴反比例函数的解析式为,解方程组,得:或,∴点B的坐标为(1,8);(2)①若∠BAP=90°,过点A作AH⊥OE于H,设AP与x轴的交点为M,如图1,对于y=﹣2x+10,当y=0时,﹣2x+10=0,解得x=5,∴点E(5,0),OE=5.∵A(4,2),∴OH=4,AH=2,∴HE=5﹣4=1.∵AH⊥OE,∴∠AHM=∠AHE=90°.又∵∠BAP=90°,∴∠AME+∠AEM=90°,∠AME+∠MAH=90°,∴∠MAH=∠AEM,∴△AHM∽△EHA,∴,∴,∴MH=4,∴M(0,0),可设直线AP的解析式为,则有,解得m=,∴直线AP的解析式为,解方程组,得:或,∴点P的坐标为(﹣4,﹣2).②若∠ABP=90°,同理可得:点P的坐标为(﹣16,).综上所述:符合条件的点P的坐标为(﹣4,﹣2)、(﹣16,);考点:1.反比例函数综合题;2.待定系数法求一次函数解析式;3.反比例函数与一次函数的交点问题;4.相似三角形的判定与性质;5.压轴题.【2014年题组】1.(2014年福建南平卷)如图,△ABC中,AD、BE是两条中线,则S△EDC:S△ABC=()A.1:2B.2:3C.1:3D.1:4【答案】D.考点:1.相似三角形的判定与性质;2.三角形中位线定理.2.(2014年四川达州卷)如图,以点O为支点的杠杆,在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起,当杠杆OA水平时,拉力为F;当杠杆被拉至OA1时,拉力为F1,过点B1作B1C⊥OA,过点A1作A1D⊥OA,垂足分别为点C、D.①△OB1C∽△OA1D;②OAoOC=OBoOD;③OCoG=ODoF1;④F=F1.其中正确的说法有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D.【解析】试题分析:∵B1C⊥OA,A1D⊥OA,∴B1C∥A1D,∴△OB1C∽△OA1D,故①正确;∴,由旋转的性质得,OB=OB1,OA=OA1,∴OAoOC=OBoOD,故②正确;由杠杆平衡原理,OCoG=ODoF1,故③正确;∴是定值,∴F1的大小不变,∴F=F1,故④正确.综上所述,说法正确的是①②③④.故选D.考点:相似三角形的应用.3.(2014年四川雅安卷)在平行四边形ABCD中,点E在AD上,且AE:ED=3:1,CE的延长线与BA的延长线交于点F,则S△AFE:S四边形ABCE为()A.3:4B.4:3C.7:9D.9:7【答案】D考点:1、平行四边形的性质;2、相似三角形的判定与性质.4.(2014年浙江宁波卷)如图,梯形ABCD中AD∥BC,∠B=∠ACD=90°,AB=2,DC=3,则△ABC与△DCA的面积比为()A.2:3B.2:5C.4:9D.【答案】C.【解析】试题分析:∵AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC,又∵∠B=∠ACD=90°,∴△ABC∽△DCA,∴S△ABC:S△DCA=AB2:CD2=22:32=4:9,故选C.考点:相似三角形的判定与性质.5.(2014年湖北宜昌卷)如图,A,B两地被池塘隔开,小明通过下列方法测出了A、B间的距离:先在AB外选一点C,然后测出AC,BC的中点M,N,并测量出MN的长为12m,由此他就知道了A、B间的距离.有关他这次探究活动的描述错误的是()A.AB=24mB.MN∥ABC.△CMN∽△CABD.CM:MA=1:2【答案】D.考点:1.三角形中位线定理;2.相似三角形的应用.6.(2014年广东深圳卷)如图,双曲线经过Rt△BOC斜边上的点A,且满足,与BC交于点D,S△BOD=21,求k=.【答案】8.【解析】试题分析:如答图,过A作AH⊥x轴于点H.∵S△OAH=S△OCD,∴S四边形AHCB=S△BOD=21.∵AH∥BC,∴△OAH∽△OBC.∴,∵,.∴,解得S△OAH=4.∴k=8.考点:1.反比例函数系数k的几何意义;2.相似三角形的判定和性质.7.(2014年浙江绍兴卷)把标准纸一次又一次对开,可以得到均相似的"开纸".现在我们在长为、宽为1的矩形纸片中,画两个小矩形,使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行,或小矩形的边在原矩形的边上,且每个小矩形均与原矩形纸相似,然后将它们剪下,则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是.【答案】.考点:1.实践操作和阅读理解型问题;2.相似多边形的性质.8.(2014年浙江湖州卷)如图,已知在Rt△OAC中,O为坐标原点,直角顶点C在x轴的正半轴上,反比例函数(k≠0)在第一象限的图象经过OA的中点B,交AC于点D,连接OD.若△OCD∽△ACO,则直线OA的解析式为.【答案】y=2x.考点:1.反比例函数和一次函数交点问题;2.待定系数法的应用;3.曲线上点的坐标与方程的关系;4.相似三角形的性质.9.(2014年黑龙江哈尔滨卷)如图,在△ABC中,4AB=5AC,AD为△ABC的角平分线,点E在BC的延长线上,EF⊥AD于点F,点G在AF上,FG=FD,连接EG交AC于点H.若点H是AC的中点,则的值为.【答案】.由题意,易知△EDG为等腰三角形,且∠1=∠2;∵MN∥AD,∴∠3=∠4=∠1=∠2,又∵∠DKM=∠3(对顶角)∴∠DMK=∠4,∴DM∥GN,∴四边形DMNG为平行四边形,∴MN=DG=2FD.∵点H为AC中点,AC=4CM,∴.∵MN∥AD,∴,即,∴.考点:1、相似三角形的判定与性质;2、全等三角形的判定与性质;3、等腰三角形的判定与性质;4、平行四边形的判定与性质.10.(2014年广东卷)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥AB点D,BC=10cm,AD=8cm,点P从点B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m从底边BC出发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB、AC、AD于E、F、H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒(t>0).(1)当t=2时,连接DE、DF,求证:四边形AEDF为菱形;(2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大值,当△PEF的面积最大时,求线段BP的长;(3)是否存在某一时刻t,使△PEF为直角三角形?若存在,请求出此时刻t的值,若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2)BP=6cm;(3)当或时,△PEF为直角三角形.的面积存在最大值10cm2,此时BP=3×2=6cm.考点:1.菱形的判定;2.相似三角形;3.二次函数的性质;4.分类讨论的数学思想.?考点归纳归纳1:比例的基本性质、黄金分割基础知识归纳:1.黄金分割:把一条线段(AB)分割成两条线段,使其中较长线段(AC)是原线段AB与较短线段(BC)的比例线段,就叫作把这条线段黄金分割.即AC·AC=AB·BC,AC=;一条线段的黄金分割点有两个.2.比例的基本性质及定理(1)(2)(3)基本方法归纳:利用比例的基本性质变形是关键.注意问题归纳:比例式与乘积式转化时要弄清内外项.【例1】若4y-3x=0,则【答案】.考点:比例的基本性质.归纳2:三角形相似的性质及判定基础知识归纳:1.相似三角形的判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截得的三角形与原三角形相似;(2)两角对应相等,两三角形相似;(3)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;(4)三边对应成比例,两三角形相似;(5)两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似;(6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似.2.相似三角形性质相似三角形的对应角相等,对应边成比例,对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比,周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方..基本方法归纳:关键是熟练掌握相似三角形的判定.注意问题归纳:相似条件的寻找.【例2】已知:如图,四边形ABCD为平行四边形,以CD为直径作⊙O,⊙O与边BC相交于点F,⊙O的切线DE与边AB相交于点E,且AE=3EB.(1)求证:△ADE∽△CDF;(2)当CF∶FB=1∶2时,求⊙O与?ABCD的面积之比.【答案】(1)证明见解析;(2)π:3.(2)解:∵CF:FB=1:2,∴设CF=x,FB=2x,则BC=3x,∵AE=3EB,∴设EB=y,则AE=3y,AB=4y,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=3x,AB=DC=4y,∵△ADE∽△CDF,∴,∴,∵x、y均为正数,∴x=2y,∴BC=6y,CF=2y,在Rt△DFC中,∠DFC=90°,由勾股定理得:DF=,∴⊙O的面积为πo(DC)2=πoDC2=π(4y)2=4πy2,四边形ABCD的面积为BCoDF=6yo2y=12y2,∴⊙O与四边形ABCD的面积之比为4πy2:12y2=π:3.考点:相似三角形的判定与性质.归纳3:相似三角形综合问题基础知识归纳:相似三角形与几何图形的综合.基本方法归纳:理清题意,合理推断,准确运算是关键.注意问题归纳:审题不清、条件利用不全是常见错误.【例3】如图,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,弦ED⊥AB于点F,交BC于点G,过点C的直线与ED的延长线交于点P,PC=PG.(1)求证:PC是⊙O的切线;(2)当点C在劣弧AD上运动时,其他条件不变,若BG2=BF·BO.求证:点G是BC的中点.(3)在满足(2)的条件下,AB=10,ED=4,求BG的长.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).(2)证明:连OG,如图,∵BG2=BFoBO,即BG:BO=BF:BG,而∠FBG=∠GBO,∴△BGO∽△BFG,∴∠OGB=∠BFG=90°,即OG⊥BG,∴BG=CG,即点G是BC的中点;(3)解:连OE,如图,∵ED⊥AB,∴FE=FD,而AB=10,ED=4,∴EF=2,OE=5,在Rt△OEF中,OF=,∴BF=5-1=4,∵BG2=BFoBO,∴BG2=BFoBO=4×5,∴BG=2.考点:相似三角形综合题.归纳4:相似多边形与位似图形基础知识归纳:1.相似多边形的性质(1)相似多边形对应角相等,对应边成比例.(2)相似多边形周长之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方.2.位似图形(1)概念:如果两个多边形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,这样的图形叫做位似图形.这个点叫做位似中心.(2)性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比..基本方法归纳:掌握作图.注意问题归纳:准确找出对应点的位置.【例4】如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2;(1)把△ABC先向右平移4个单位,再向上平移1个单位,得到△A1B1C1;(2)以图中的O为位似中心,将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍,得到△A2B2C2.【答案】(1)作图见解析;(2)作图见解析.(2)延长OA1到A2,使0A2=20A1,同法得到其余各点,顺次连接即可.试题解析:考点:位似图形;作图.?1年模拟1.(2015届广东省广州市中考模拟)如图,△ABC∽△DEF,相似比为1:2.若BC=1,则EF的长是()A.1B.2C.3D.4【答案】B.考点:相似三角形的性质.2.(2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试)如图所示,在△ABC中,DE∥BC,若AD=1,DB=2,则的值为()A.B.C.D.【答案】C.【解析】试题分析:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴.故选C.考点:平行线分线段成比例.3.(2015届山东省聊城市中考模拟)如图,数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高,下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m,但当她马上测量树高时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图),他先测得留在墙壁上的影高为1.2m,又测得地面的影长为2.6m,请你帮她算一下,树高是()A.3.25mB.4.25mC.4.45mD.4.75m【答案】C.考点:相似三角形的应用.4.(2015届山东省聊城市中考模拟)如图,矩形OABC的顶点O是坐标原点,边OA在x轴上,边OC在y轴上.若矩形OA1B1C1与矩形OABC关于点O位似,且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的,则点B1的坐标是()A.(3,2)B.(-2,-3)C.(2,3)或(-2,-3)D.(3,2)或(-3,-2)【答案】D.【解析】试题分析:∵若矩形OA1B1C1与矩形OABC关于点O位似,且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的,∴两矩形的相似比为1:2,∵B点的坐标为(6,4),∴点B1的坐标是(3,2)或(-3,-2).故选D.考点:1.位似变换;2.坐标与图形性质.5.(2015届安徽省安庆市中考二模)如图,平行四边形ABCD中,点E是边AD的一个三等分点,EC交对角线BD于点F,则FC:EC等于()A.3:2B.3:4C.1:1D.1:2【答案】B.考点:1.相似三角形的判定与性质;2.平行四边形的性质.6.(2015届山东省日照市中考模拟)如图,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起,A为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°,它们的斜边长为2,若△ABC固定不动,△AFG绕点A旋转,AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m,CD=n.下列结论:(1)图中有三对相似而不全等的三角形;(2)mon=2;(3)BD2+CE2=DE2;(4)△ABD≌△ACE;(5)DF=AE.其中正确的有()A、2个B、3个C、4个D、5个【答案】A.(2)∵△ABE∽△DCA,∴,由题意可知CA=BA=,∴,∴m=,∴mn=2;(1<n<2);故(2)正确;(3)证明:将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置,则CE=HB,AE=AH,∠ABH=∠C=45°,旋转角∠EAH=90°.连接HD,在△EAD和△HAD中,∵AE=AH,∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD,AD=AD,∴△EAD≌△HAD,∴DH=DE.又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°,∴BD2+CE2=DH2,即BD2+CE2=DE2;故(3)正确;(4)若△ABC固定不动,△AFG绕点A旋转,∴∠BAD≠∠CAE,∴△ABD与△ACE不一定全等,∴(4)错误;(5)当AF与AB重合时,AE=AF,AB=AF,∴DF≠AF,∴AE与DF不一定相等;∴(5)错误.故选A.考点:1.相似三角形的判定与性质;2.全等三角形的判定与性质;3.等腰直角三角形.7.(2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模)如图,在平行四边形ABCD中,E为CD上一点,DE:EC=2:3,连接AE、BE、BD,且AE、BD交于点F,则S△DEF:S△EBF:S△ABF=.【答案】4:10:25.考点:1.相似三角形的判定与性质;2.平行四边形的性质.8.(2015届北京市平谷区中考二模)如图,利用标杆BE测量建筑物的高度,标杆BE高1.5米,测得AB=2米,BC=14米,则楼高CD为米.【答案】12.【解析】试题分析:此题考查了学生的作图能力与实际应用能力,解此题的关键是找到各部分以及与其对应的边长,利用楼高与标杆的高度成正比例求解即可.Rt△ACD与Rt△ABE两个直角三角形相似,列出比例式即可求解.考点:相似三角形的判定与性质.9.(2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟)如图,等腰△ABC中,底边BC=a,∠A=36°,∠ABC的平分线交AC于D,∠BCD的平分线交BD于E.设k=,则DE=.【答案】(-2)a.考点:1.相似三角形的判定与性质;2.黄金分割.10.(2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟)如图,梯形ABCD的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为p2、q2,则梯形的面积为.【答案】(p+q)2.【解析】试题分析:∵四边形ABCD是梯形,∴AB∥CD,如图,过O作OE⊥CD于E,延长EO交AB于F,则EF⊥AB,∴△ABO∽△CDO,∴,设上下底分别为mq,mp,两个三角形对应的高分别为nq,np,有=p2,得mn=2,∴S梯形ABCD=.考点:相似三角形的判定与性质.11.(2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟)如图,DB为半圆的直径,A为BD延长线上一点,AC切半圆于点E,BC⊥AC于点C,交半圆于点F.已知BD=2,设AD=x,CF=y,则y关于x的函数解析式是.【答案】y=.考点:1.切线的性质;2.函数关系式;3.相似三角形的判定与性质.12.(2015届山东省威海市乳山市中考一模)如图,从点A(0,2)出发的一束光,经x轴反射,过点B(3,4),则入射点C的坐标是.【答案】(1,0).考点:1.相似三角形的判定与性质;2.坐标与图形性质.13.(2015届山东省济南市平阴县中考二模)如图,Rt△ABO中,∠AOB=90°,点A在第一象限、点B在第四象限,且AO:BO=1:,若点A(x0,y0)的坐标x0,y0满足y0=,则点B(x,y)的坐标x,y所满足的关系式为.【答案】.【解析】考点:1.反比例函数图象上点的坐标特征;2.相似三角形的判定与性质.14.(2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟)如图,平行四边形ABCD中,AB=5,AD=7,AB⊥AC,点E在边AD上,满足=,点F在AB上,满足=,连结BE和CF相交于点G,则线段CG的长度是.【答案】.【解析】试题分析:延长BE,CD交于一点H,由四边形ABCD是平行四边形,得到AD∥BC,AB∥CD,再通过证明△HED∽△HBC,所以,所以DH=,因为AB∥CD,所以,解得CG=.故答案为:.考点:1.相似三角形的判定与性质;2.平行四边形的性质.15.(2015届湖北省黄石市6月中考模拟)如图,点A1,A2,A3,A4,…,An在射线OA上,点B1,B2,B3,…,Bn﹣1在射线OB上,且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An﹣1Bn﹣1,A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn﹣1,△A1A2B1,△A2A3B2,…,△An﹣1AnBn﹣1为阴影三角形,若△A2B1B2,△A3B2B3的面积分别为1、4,则△A1A2B1的面积为__________;面积小于2011的阴影三角形共有__________个.【答案】;6.考点:1.相似三角形的判定与性质;2.平行线的性质;3.三角形的面积;4.规律型.16.(2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模)如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.(1)求证:PC是⊙O的切线;(2)求证:BC=AB;(3)点M是的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MNoMC的值.【答案】(1)证明详见解析;(2)证明详见解析;(3)8.(2)证明:∵AC=PC,∴∠A=∠P,∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P.又∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB,∴∠COB=∠CBO,∴BC=OC.∴BC=AB.(3)解:连接MA,MB,∵点M是的中点,∴,∴∠ACM=∠BCM.∵∠ACM=∠ABM,∴∠BCM=∠ABM.∵∠BMN=∠BMC,∴△MBN∽△MCB.∴.∴BM2=MNoMC.又∵AB是⊙O的直径,,∴∠AMB=90°,AM=BM.∵AB=4,∴BM=2.∴MNoMC=BM2=8.考点:1.切线的判定;2.圆周角定理;3.相似三角形的判定与性质;4.圆的综合题.17.(2015届北京市平谷区中考二模)如图,已知,⊙O为△ABC的外接圆,BC为直径,点E在AB边上,过点E作EF⊥BC,延长FE交⊙O的切线AG于点G.(1)求证:GA=GE.(2)若AC=6,AB=8,BE=3,求线段OE的长.【答案】(1)见解析;(2).试题解析:(1)证明:连接OA,∵AG切⊙O点A,∴∠GAO=90°,∴∠BAO+∠GAE=90°.∵EF⊥BC,∴∠ABO+∠BEF=90°.∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO.∴∠GAE=∠BEF.∵∠BEF=∠GEA,∴∠GEA=∠GAE.∴GA=GE.考点:1.切线的性质;2.勾股定理;3.相似三角形的判定与性质.18.(2015届北京市平谷区中考二模)如图1,在□ABCD中,点E是BC边上的中点,点F是线段AE上一点,BF的延长线交射线CD于点G,若AB=6,,求DG的长.小米的发现,过点E作交BG于点H(如图2),经过推理和计算能够使问题得到解决.则DG=.如图3,四边形ABCD中,AD∥BC,点E是射线DM上的一点,连接BE和AC相交于点F,若,,求的值(用含的代数式表示).【答案】DG=2;.【解析】试题分析:(1)过点E作交BG于点H(如图2),利用平行四边形的性质可以得出△ABF∽△EHF,列比例式可得出EH的长,由已知条件,可知CG=2EH,然后用CD=AB的长再减去CG的长即可求出DG的长;过E作EG∥AD,延长CA交于点G,∴△CAD∽△CGE.∴.∵,∴.∴.∵AD∥BC,∴BC∥EG.∴△GEF∽△CBF.∴.∵,∴.∴.考点:1.相似三角形的判定与性质;2.平行四边形的性质.19.(2015届山东省威海市乳山市中考一模)24.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作半圆⊙O,交BC于点D,连接AD.过点D作DE⊥AC,垂足为点E.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)求证:BD2=ABoCE.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.(2)证明:∵∠B=∠C,∠CED=∠BDA=90°,∴△DEC∽△ADB,∴,∴BDoCD=ABoCE,∵BD=AD,∴BD2=ABoCE.考点:1.切线的判定;2.相似三角形的判定与性质.20.(2015届山东省日照市中考模拟)如图,?ABCD在平面直角坐标系中,AD=6,若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根,且OA>OB.(1)求sin∠ABC的值;(2)若E为x轴上的点,且S△AOE=,求经过D、E两点的直线的解析式,并判断△AOE与△DAO是否相似?(3)若点M在平面直角坐标系内,则在直线AB上是否存在点F,使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出F点的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1).(2)△AOE∽△DAO.(3)F1(3,8);F2(-3,0);F3(,),F4(-,).(3)根据菱形的性质,分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况,以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算.试题解析:(1)解x2-7x+12=0,得x1=4,x2=3.∵OA>OB,∴OA=4,OB=3.在Rt△AOB中,由勾股定理有AB=,∴sin∠ABC=;(2)∵点E在x轴上,S△AOE=,即AO×OE=,解得OE=.∴E(,0)或E(-,0).由已知可知D(6,4),设yDE=kx+b,当E(,0)时有,解得,∴yDE=x.同理E(-,0)时,yDE=.在△AOE中,∠AOE=90°,OA=4,OE=;在△AOD中,∠OAD=90°,OA=4,OD=6;∵,∴△AOE∽△DAO;(3)根据计算的数据,OB=OC=3,∴AO平分∠BAC,①AC、AF是邻边,点F在射线AB上时,AF=AC=5,所以点F与B重合,即F(-3,0);②AC、AF是邻边,点F在射线BA上时,M应在直线AD上,且FC垂直平分AM,点F(3,8);③AC是对角线时,做AC垂直平分线L,AC解析式为y=-x+4,直线L过(,2),且k值为(平面内互相垂直的两条直线k值乘积为-1),L解析式为y=x+,联立直线L与直线AB求交点,∴F(,);考点:1.相似三角形的判定;2.解一元二次方程-因式分解法;3.待定系数法求一次函数解析式;4.平行四边形的性质;5.菱形的判定;6.分类讨论;7.存在型;8.探究型.21.(2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.(1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值;(2)连接AQ、CP,若AQ⊥CP,求t的值.【答案】(1)t=1或时,△BPQ∽△BCA;(2)t=.【解析】试题分析:(1)分两种情况:①当△BPQ∽△BAC时,BP:BA=BQ:BC;当△BPQ∽△BCA时,BP:BC=BQ:BA,再根据BP=5t,QC=4t,AB=10cm,BC=8cm,代入计算即可;(2)过P作PM⊥BC于点M,AQ,CP交于点N,则有PB=5t,PM=3t,MC=8-4t,根据△ACQ∽△CMP,得出AC:CM=CQ:MP,代入计算即可.试题解析:根据勾股定理得:BA==10;(2)过P作PM⊥BC于点M,AQ,CP交于点N,如图所示:则PB=5t,PM=3t,MC=8-4t,∵∠NAC+∠NCA=90°,∠PCM+∠NCA=90°,∴∠NAC=∠PCM,∵∠ACQ=∠PMC,∴△ACQ∽△CMP,∴,∴,解得t=.考点:1.相似三角形的判定与性质;2.动点型;3.分类讨论.22.(2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.(1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值;(2)连接AQ、CP,若AQ⊥CP,求t的值.【答案】(1)t=1或时,△BPQ∽△BCA;(2)t=.【解析】试题分析:(1)分两种情况:①当△BPQ∽△BAC时,BP:BA=BQ:BC;当△BPQ∽△BCA时,BP:BC=BQ:BA,再根据BP=5t,QC=4t,AB=10cm,BC=8cm,代入计算即可;(2)过P作PM⊥BC于点M,AQ,CP交于点N,如图所示:则PB=5t,PM=3t,MC=8-4t,∵∠NAC+∠NCA=90°,∠PCM+∠NCA=90°,∴∠NAC=∠PCM,∵∠ACQ=∠PMC,∴△ACQ∽△CMP,∴,∴,解得t=.考点:1.相似三角形的判定与性质;2.动点型;3.分类讨论.23.(2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试)如图,从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC,切点分别为B、C,且⊙O直径BD=6,连接CD、AO.(1)求证:CD∥AO;(2)设CD=x,AO=y,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(3)若AO+CD=11,求AB的长.【答案】(1)证明见解析.(2)y=.0<x<6.(3).(2)解:∵CD∥AO,∴∠3=∠4.∵AB是⊙O的切线,DB是直径,∴∠DCB=∠ABO=90°.∴△BDC∽△AOB.∴.∴.∴y=.∴0<x<6;(3)解:由已知和(2)知:,把x、y看作方程z2-11z+18=0的两根,解这个方程得z=2或z=9,∴,(舍去),∴AB=.考点:1.切割线定理;2.平行线的性质;3.相似三角形的判定与性质.24.(2015届湖北省黄石市6月中考模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,DE⊥DB交AB于点E,设⊙O是△BDE的外接圆.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)若DE=2,BD=4,求AE的长.【答案】(1)证明见试题解析;(2).试题解析:(1)证明:连接OD,∵DE⊥DB,⊙O是△BDE的外接圆,∴BE是直径,点O是BE的中点,∵∠C=90°,∴∠DBC+∠BDC=90°,又BD为∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠DBC,∵OB=OD,∴∠ABD=∠ODB,则∠ODB+∠BDC=90°即∠ODC=90°又∵OD是⊙O的半径,∴AC是⊙O的切线.(方法不唯一,参照给分)(2)解:∵DE⊥DB,DE=2,BD=4,∴BE=,OE=,∴∠ABD=∠ADE,又∠A为公共角,∴△ADB∽△AED,则有,∴AD=2AE,在Rt△AOD中,AO2=OD2+AD2,即(+AE)2=()2+(2AE)2,解得AE=或AE=0(舍去),所以AE=.考点:1.切线的判定与性质;2.角平分线的性质;3.相似三角形的判定与性质.25.(2015届湖北省黄石市6月中考模拟)(1)如图①,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于点D.求证:AB2=ADoAC;(2)如图②,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D为BC边上的点,BE⊥AD于点E,延长BE交AC于点F.=1,求的值;(3)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D为直线BC上的动点(点D不与B、C重合),直线BE⊥AD于点E,交直线AC于点F.若=n,请探究并直接写出的所有可能的值(用含n的式子表示),不必证明.【答案】(1)见解析(2)2(3)见解析.(2)解:方法一:如图②,过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G,∵BE⊥AD,∴∠CGD=∠BED=90°,CG∥BF.∵=1,∴AB=BC=2BD=2DC,BD=DC,又∵∠BDE=∠CDG,∴△BDE≌△CDG,∴ED=GD=EG.由(1)可得:AB2=AD·AC,BD2=DE·AD,∴=4,∴AE=4DE,∴=2.∵CG∥BF,∴=2.(3)解:点D为直线BC上的动点(点D不与B、C重合),有三种情况:(I)当点D在线段BC上时,如图④所示:过点D作DG∥BF,交AC边于点G.∵=n,∴BD=nDC,BC=(n+1)DC,AB=n(n+1)DC.∵DG∥BF,∴=n,∴FG=nGC,FG=FC.由(1)可得:AB2=AE·AD,BD2=DE·AD,∴=(n+1)2;∵DG∥BF,∴=(n+1)2,即=(n+1)2,化简得:=n2+n;(III)当点D在线段CB的延长线上时,如图⑥所示:过点D作DG∥BF,交CA边的延长线于点G.同理可求得:=n﹣n2.考点:1.相似形综合题;2.射影定理;3.动点型;4.探究型.
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