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2016年中考数学热点复习模拟试题28：锐角三角函数(含中考真题解析)专题28锐角三角函数?解读考点知识点 名师点晴锐角三角函数 1．正弦 知道什么是正弦函数． 2．余弦 知道什么是余弦函数． 3．正切 知道什么是正切函数．特殊角的三角函数值 4.角的三角函数值 熟记特殊角的三角函数值，并能准确运算．解直角三角形的应用步骤 5．一般步骤 审题、画图、解直角三角形．?2年中考【2015年题组】1．（2015崇左）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则下列三角函数表示正确的是（）A．sinA=B．cosA=C．tanA=D．tanB=【答案】A．【解析】试题分析：∵在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，∴AC==5，∴sinA=．故选A．考点：1．锐角三角函数的定义；2．勾股定理．2．（2015玉林防城港）计算：=（）A．B．1C．D．【答案】B．【解析】试题分析：∵cos45°=sin45°=，∴=．故选B．考点：特殊角的三角函数值．3．（2015庆阳）在△ABC中，若角A，B满足，则∠C的大小是（）A．45°B．60°C．75°D．105°【答案】D．考点：1．特殊角的三角函数值；2．非负数的性质：绝对值；3．非负数的性质：偶次方．4．（2015南通）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（）A．B．C．D．2【答案】C．【解析】试题分析：设（2，1）点是B，作BC⊥x轴于点C，则OC=2，BC=1，则tanα==．故选C．考点：1．解直角三角形；2．坐标与图形性质．5．（2015乐山）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A．B．C．D．【答案】D．考点：1．锐角三角函数的定义；2．勾股定理；3．勾股定理的逆定理；4．网格型．6．（2015扬州）如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（）A．①②B．②③C．①②③D．①③【答案】D．考点：1．锐角三角函数的增减性；2．圆周角定理．7．（2015百色）有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是（）海里．A．B．C．10D．【答案】D．【解析】试题分析：由题意得：∠CAP=30°，∠CBP=45°，BC=10海里，在Rt△BCP中，∵∠CBP=45°，∴CP=BC=10海里，在Rt△APC中，AC===海里，∴AB=AC﹣BC=（）海里，故选D．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．8．（2015绵阳）如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（）A．（）米B．（）米C．（）米D．（）米【答案】D．考点：解直角三角形的应用．9．（2015荆门）如图，在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）A．B．C．D．【答案】A．考点：1．解直角三角形；2．等腰直角三角形．10．（2015巴彦淖尔）如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海里C到航线AB的距离CD是（）A．20海里B．40海里C．海里D．海里【答案】C．【解析】试题分析：根据题意可知∠CAD=30°，∠CBD=60°，∵∠CBD=∠CAD+∠ACB，∴∠CAD=30°=∠ACB，∴AB=BC=40海里，在Rt△CBD中，∠BDC=90°，∠DBC=60°，sin∠DBC=，∴sin60°=，∴CD=40×sin60°=40×=（海里）．故选C．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．11．（2015山西省）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2B．C．D．【答案】D．考点：1．锐角三角函数的定义；2．勾股定理；3．勾股定理的逆定理；4．网格型．12．（2015威海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=26°，BC=5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】试题分析：由tan∠B=，得AC=BCotanB=5×tan26．故选D．考点：计算器-三角函数．13．（2015日照）如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值（）A．B．C．D．【答案】D．考点：1．解直角三角形；2．综合题．14．（2015泰安）如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）A．20海里B．40海里C．海里D．海里【答案】D．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．15．（2015温州）如图，在Rt∠AOB的平分线ON上依次取点C，F，M，过点C作DE⊥OC，分别交OA，OB于点D，E，以FM为对角线作菱形FGMH．已知∠DFE=∠GFH=120°，FG=FE，设OC=x，图中阴影部分面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A．B．C．D．【答案】B．考点：1．菱形的性质；2．等边三角形的判定与性质；3．解直角三角形；4．综合题．16．（2015柳州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7，则sinB=．【答案】．【解析】试题分析：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7，∴sinB==．故答案为：．考点：1．锐角三角函数的定义；2．勾股定理．17．（2015桂林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是．【答案】．考点：解直角三角形．18．（2015巴中）如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan∠AOB=．【答案】．【解析】试题分析：过点A作AD⊥OB垂足为D，如图，在直角△ABD中，AD=1，OD=2，则tan∠AOB==．故答案为：．考点：1．锐角三角函数的定义；2．网格型．19．（2015白银）已知α、β均为锐角，且满足，则α+β=．【答案】75°．【解析】试题分析：由已知得：sinα=，tanβ=1，∴α=30°，β=45°，则α+β=30°+45°=75°．故答案为：75°．考点：1．特殊角的三角函数值；2．非负数的性质：绝对值；3．非负数的性质：算术平方根．20．（2015十堰）如图，小华站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30°，若小华的眼睛与地面的距离是1.6米，BG=0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i=4：3，坡长AB=8米，点A、B、C、D、F、G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长为米．（结果保留根号）【答案】．考点：1．解直角三角形的应用-仰角俯角问题；2．解直角三角形的应用-坡度坡角问题；3．综合题．21．（2015成都）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C．当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为________．【答案】或或．（2）当PA=PB时，如图（2），延长PO交AB于点K，类似（1）可知OK=3，PK=8，∠APC=∠AOK，∴PB=PA==，∵∠APC=∠AOK，∴cos∠APC=cos∠AOK，∴，∴，∴BC=PC－PB=；（3）当BA=BP时，如图（3），∵BA=BP，∴∠P=∠BAP，∵∠P+∠C=90°，∠CAB+∠BAP=90°，∴∠C=∠CAB，∴BC=AB=8．故答案为：或或．考点：1．等腰三角形的性质；2．解直角三角形；3．分类讨论；4．综合题；5．压轴题．22．（2015张家界）如图，在四边形ABCD中，AD=AB=BC，连接AC，且∠ACD=30°，tan∠BAC=，CD=3，则AC=．【答案】或．∴BH=AH=，在Rt△ABH中，由勾股定理得：，∴=．∵AB=AD，∴=，解得：，．当AC=时，AC＜DC，与图形不符舍去．∴AC=或．故答案为：或．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．解直角三角形；4．分类讨论；5．综合题．23．（2015桂林）计算：．【答案】2．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．特殊角的三角函数值．24．（2015北海）如图，A为某旅游景区的最佳观景点，游客可从B处乘坐缆车先到达小观景平台DE观景，然后再由E处继续乘坐缆车到达A处，返程时从A处乘坐升降电梯直接到达C处，已知：AC⊥BC于C，DE∥BC，BC=110米，DE=9米，BD=60米，α=32°，β=68°，求AC的高度．（参考数据：sin32°≈0.53；cos32°≈0.85；tan32°≈0.62；sin68°≈0.93；cos68°≈0.37；tan68°≈2.48）【答案】155.8．【解析】试题分析：先求出DF的长，得到CG的长，再求出AG的长，求和得到答案．试题解析：∵cos∠DBF=，∴BF=60×0.85=51，FH=DE=9，∴EG=HC=110﹣51﹣9=50，∵tan∠AEG=，∴AG=50×2.48=124，∵sin∠DBF=，∴DF=60×0.53=31.8，∴CG=31.8，∴AC=AG+CG=124+31.8=155.8．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．25．（2015贺州）根据道路管理规定，在贺州某段笔直公路上行驶的车辆，限速40千米/时，已知交警测速点M到该公路A点的距离为米，∠MAB=45°，∠MBA=30°（如图所示），现有一辆汽车由A往B方向匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用的时间为3秒．（1）求测速点M到该公路的距离；（2）通过计算判断此车是否超速．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）【答案】（1）10米；（2）此车没有超速．（2）由△AMN为等腰直角三角形得到AN=MN=10米，在Rt△BMN中，求出BN的长，由AN+NB求出AB的长，再求出速度，即可做出判断．试题解析：（1）过M作MN⊥AB，在Rt△AMN中，AM=，∠MAN=45°，∴sin∠MAN=，即，解得：MN=10，则测速点M到该公路的距离为10米；考点：1．解直角三角形的应用；2．应用题．26．（2015钦州）如图，船A、B在东西方向的海岸线MN上，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东60°方向上，在船B的北偏西37°方向上，AP=30海里．（1）尺规作图：过点P作AB所在直线的垂线，垂足为E（要求：保留作图痕迹，不写作法）；（2）求船P到海岸线MN的距离（即PE的长）；（3）若船A、船B分别以20海里/时、15海里/时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】（1）作图见试题解析；（2）15海里；（3）B船先到达．【解析】试题分析：（1）利用直角三角板中90°的直角直接过点P作AB所在直线的垂线即可；（2）解Rt△APE求出PE即可；（3）在Rt△BPF中，求出BP，分别计算出两艘船需要的时间，即可作出判断．试题解析：（1）如图所示：（2）由题意得，∠PAE=30°，AP=30海里，在Rt△APE中，PE=APsin∠PAE=APsin30°=15海里；（3）在Rt△PBE中，PE=15海里，∠PBE=53°，则BP=海里，A船需要的时间为：=1.5小时，B船需要的时间为：=1.25小时，∵1.5＞1.25，∴B船先到达．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．27．（2015南京）如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO=45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h，经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO=58°，此时B处距离码头O多远？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1，60）【答案】13.5km．考点：解直角三角形的应用．28．（2015宿迁）如图，观测点A、旗杆DE的底端D、某楼房CB的底端C三点在一条直线上，从点A处测得楼顶端B的仰角为22°，此时点E恰好在AB上，从点D处测得楼顶端B的仰角为38.5°．已知旗杆DE的高度为12米，试求楼房CB的高度．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin38.5°≈0.62，cos38.5°≈0.78，tan38.5°≈0.80）【答案】24．考点：1．解直角三角形的应用-仰角俯角问题；2．应用题．29．（2015泰州）如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1：2，顶部A处的高AC为4m，B．C在同一水平地面上．（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m时，求点D离地面的高．（≈2.236，结果精确到0.1m）【答案】（1）8；（2）4.5．【解析】试题分析：（1）根据坡度定义直接解答即可；考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．30．（2015盐城）如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC=17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α=60°时，测得楼房在地面上的影长AE=10米，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳．（取1.73）（1）求楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当α=45°时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由．【答案】（1）17.3；（2）当α=45°时，小猫仍可以晒到太阳．【解析】试题分析：（1）在Rt△ABE中，由tan60°=，即可求出AB=10tan60°=17.3米；（2）假设没有台阶，当α=45°时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F，与MC的交点为点H．由∠BFA=45°，可得AF=AB=17.3米，那么CF=AF﹣AC=0.1米，CH=CF=0.1米，所以大楼的影子落在台阶MC这个侧面上，故小猫仍可以晒到太阳．考点：解直角三角形的应用．31．（2015攀枝花）如图所示，港口B位于港口O正西方向120km处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向．一艘游船从港口O出发，沿OA方向（北偏西30°）以vkm/h的速度驶离港口O，同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1h加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去．（1）快艇从港口B到小岛C需要多长时间？（2）若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h，求v的值及相遇处与港口O的距离．【答案】（1）1；（2）v=20km/h，OE=60km或v=40km/h，OE=120km．【解析】试题分析：（1）要求B到C的时间，已知其速度，则只要求得BC的路程，再利用路程公式即可求得所需的时间；（2）过C作CD⊥OA，垂足为D，设相会处为点E．求出OC=OBocos30°=，CD=OC=，OD=OCocos30°=90，则DE=90﹣3v．在直角△CDE中利用勾股定理得出，即，解方程求出v=20或40，进而求出相遇处与港口O的距离．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．【2014年题组】1．（2014广东深圳卷）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】考点：1．解直角三角形的应用（仰角俯角和坡度坡角问题）；2．勾股定理；3．锐角三角函数定义；4．特殊角的三角函数值；5．待定系数法的应用．2．（2014届天津市和平区结课考试）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（）A.mB.mC.mD.m【答案】A【解析】试题分析：根据题意得：∠ABC=30°，AC⊥BC，AC=100m,在Rt△ABC中，BC===（m）．故选A考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。3．（2014四川凉山卷）在△ABC中，若，则∠C的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．105°【答案】C．考点：1．绝对值和偶次幂的非负数的性质；2．特殊角的三角函数值；3．三角形内角和定理．4．（2014四川凉山卷）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（）A．15mB．C．20mD．【答案】C．【解析】试题分析：∵Rt△ABC中，BC=10m，tanA=，∴AC=BC÷tanA=m．∴AB=m．故选C．考点：1．解直角三角形的应用（坡度坡角问题）；2．锐角三角函数定义；3．特殊角的三角函数值；4．勾股定理．5．（2014浙江湖州卷）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA=，则BC的长是（）A．2B．8C．D．【答案】A．考点：锐角三角函数定义．6．（2014浙江嘉兴卷）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC＝7米，则树高BC为米（用含α的代数式表示）．【答案】．【解析】试题分析：直接根据正切函数定义求解：∵，AC＝7米，∴（米）．考点：1．解直角三角形-仰角俯角问题；2．锐角三角函数定义．7．（2014贵州黔西卷）如图，AB是⊙O的直径，AB=15，AC=9，则tan∠ADC=．【答案】．考点：1．圆周角定理；2．勾股定理；3．锐角三角函数的定义；4．转换思想的应用．8．（2014浙江温州卷）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是．【答案】．【解析】试题分析：直接根据锐角三角函数的定义得：．考点：锐角三角函数的定义．9．（2014广西贺州卷）网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA=．【答案】．考点：1．网格问题；2．勾股定理；3．三角形的面积；4．锐角三角函数的定义．10．（2014海南卷）如图，一艘核潜艇在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行1464米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°．求海底C点处距离海面DF的深度（结果精确到个位，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）．【答案】2600米．【解析】试题分析：作CE⊥AB于E，构造直角三角形，依题意，AB=1000，∠EAC=30°，∠CBE=45°，设CD=x，则BE=x，进而利用正切函数的定义求出x即可．试题解析：解：如答图，过点C作CE⊥AB于E,依题意，AB=1464，∠EAC=30°，∠CBE=45°,设CE=x，则BE=x,Rt△ACE中，tan30°=,整理得出：3x=1464，解得：x=732（+1）≈2000米,∴AD+CE=2000+600=2600答：黑匣子C离海面约2600米．考点：1．解直角三角形的应用（仰角俯角问题）；2．锐角三角函数定义；3．特殊角的三角函数值；4．方程思想的应用．?考点归纳归纳1：锐角三角函数的定义基础知识归纳：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b正弦：sinA＝＝余弦：cosA＝＝余切：tanA＝＝基本方法归纳：根据定义准确分析判断．注意问题归纳：在直角三角形中运用．【例1】如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（）A． B．C．D．【答案】B．试题解析：连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E∴∠OAF=∠PBF=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB,∵△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r,∴PA=PB=r．在Rt△PBF和Rt△OAF中,,∴Rt△PBF∽Rt△OAF．∴，∴AF=FB,在Rt△FBP中,∵PF2-PB2=FB2，∴（PA+AF）2-PB2=FB2，∴（r+BF）2-（r）2=BF2,解得BF=r,∴tan∠APB=,故选B．考点：锐角三角函数的定义．归纳2：锐角三角函数的计算基础知识归纳：α sinα cosα tanα30°   45°   160°   基本方法归纳：结合图形记忆特殊三角函数值．注意问题归纳：区分三种锐角三角函数特殊值之间的异同处．【例2】在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA-1|+（cosB-）2=0，那么∠C=【答案】75°考点：特殊角的三角函数值．归纳3：解直角三角形基础知识归纳：解直角三角形的常用关系在Rt△ABC中，∠C＝90°，则：（1）三边关系：a2＋b2＝c2；（2）两锐角关系：∠A＋∠B＝90°；（3）边与角关系：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝；（4）sin2A＋cos2A＝1基本方法归纳：解这类问题的关键是以边角关系和勾股定理为主．注意问题归纳：灵活运用以上关系解题时要综合思考．【例3】在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB=，AD=1．求BC的长．【答案】2+1．考点：解直角三角形．归纳4：解直角三角形的实际运用基础知识归纳：1．仰角和俯角：仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角2．坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i＝________坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i＝tanα坡度越大，α角越大，坡面________3．方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角基本方法归纳：解这类问题的关键是构造直角三角形，应用锐角三角函数解题．注意问题归纳：所构造的直角三角形与已知条件或图形关系要密切．【例4】如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB、BC表示连接缆车站的钢缆，已知A、B、C三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米、310米、710米，钢缆AB的坡度i1=1：2，钢缆BC的坡度i2=1：1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？（注：坡度：是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）【答案】1000．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．?1年模拟1．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）在△ABC中，∠C=90°，BC：AC=1：2，则cosA=（）A．2B．C．D．【答案】B．【解析】试题解析：设BC=x，AC=2x，由勾股定理得AB=x，cosA=故选B．考点：锐角三角函数的定义．2．（2015届山东省日照市中考一模）如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值（）A．B．C．D．【答案】D．考点：解直角三角形．3．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为（）A．B．C．D．【答案】A．考点：1．锐角三角函数的定义；2．三角形的面积；3．勾股定理；4．表格型．4．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）在实数π、、、tan60°中，无理数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C．【解析】试题分析：∵tan60°=，∴在实数π、、、tan60°中，无理数有：，和tan60°．故选C．考点：1．无理数；2．特殊角三角函数值．5．（2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为，AC=2，则sinB的值是（）A．B．C．D．【答案】A．考点：1．锐角三角函数的定义；2．圆周角定理；3．三角形的外接圆与外心．6．（2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模）如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转90°得△A′OB′．已知∠AOB=30°，∠B=90°，AB=1，则B′点的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）【答案】D．【解析】试题分析：根据旋转的概念"旋转不改变图形的大小和形状"，已知B′A′=BA=1，∠A′OB′=∠AOB=30°，OB′=OB=，做B′C⊥x轴于点C，那么∠B′OC=60°，OC=OB′×cos60°=，B′C=OB′×sin60°=×=，∴B′点的坐标为（，）．故选D．考点：1．坐标与图形变化-旋转；2．锐角三角函数的定义．7．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A，已知：BC=10，cos∠BCD=，∠BCE=30°，则线段DE的长是（）A．B．7C．4+3D．3+4【答案】D．∴DE=DF+EF=3+4，故选D．考点：1．解直角三角形；2．圆周角定理．8．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）已知＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是．【答案】20°＜∠A＜30°．【解析】试题分析：∵＜cosA＜sin70°，sin70°=cos20°，∴cos30°＜cosA＜cos20°，∴20°＜∠A＜30°．故答案为：20°＜∠A＜30°．考点：锐角三角函数的增减性．9．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）计算：2-1+2cos30°-tan60°-（π+）0=．【答案】-．考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．10．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是__________．【答案】2．【解析】试题分析：首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP=1：3，即可得PF：CF=PF：BF=1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF==2，继而由∠APD=∠BPF求得tan∠APD=2．故答案为：2．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．锐角三角函数的定义；4．网格型．11．（2015届北京市门头沟区中考二模）某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物AB的高度．如图，他们先在点C处测得建筑物AB的顶点A的仰角为30°，然后向建筑物AB前进10m到达点D处，又测得点A的仰角为60°，那么建筑物AB的高度是m．【答案】．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．12．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sin∠EAB的值为．【答案】．【解析】试题分析：设正方形的边长为y，EC=x，由题意知，AE2=AB2+BE2，即（x+y）2=y2+（y-x）2，由于y≠0，化简得y=4x，∴sin∠EAB=．考点：1．相切两圆的性质；2．勾股定理；3．锐角三角函数的定义．13．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物AB的高度．如图，他们先在点C处测得建筑物AB的顶点A的仰角为30°，然后向建筑物AB前进20m到达点D处，又测得点A的仰角为60°，则建筑物AB的高度是m．【答案】．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．14．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）某中学初三年级的学生开展测量物体高度的实践活动，他们要测量一幢建筑物AB的高度．如图，他们先在点C处测得建筑物AB的顶点A的仰角为30°，然后向建筑物AB前进20m到达点D处，又测得点A的仰角为60°，则建筑物AB的高度是m．【答案】．【解析】试题分析：设AB=x，在Rt△ABC中，∠C=30°，则BC=，在Rt△ABD中，∠ADB=60°，则BD=，由题意知：，解得：，即建筑物AB的高度为m．故答案为：．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．15．（2015届广东省深圳市龙华新区中考二模）如图，某公园入口原有一段台阶，其倾角∠BAE=30°，高DE=2m，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i=1：5，则AC的长度是m．【答案】（10-2）．【解析】试题分析：如图，过点B作BF⊥CE于点F，则BF=DE=2m，在Rt△ABF中，∵∠BAE=30°，∴AF=（m），在Rt△BCF中，∵BF：CF=1：5，∴CF=5×2=10，则AC=CF-AF=（10-2）m．故答案为：（10-2）．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．16．（2015届北京市门头沟区中考二模）计算：．【答案】4．考点：1．实数的运算；2．零指数幂和负整数指数幂；3．特殊角的三角函数值和二次根式的化简．17．（2015届河北省中考模拟二）已知△ABC中的∠A与∠B满足（1-tanA）2+|sinB-|=0．（1）试判断△ABC的形状；（2）求（1+sinA）2-2-（3+tanC）0的值．【答案】（1）△ABC是锐角三角形；（2）．【解析】试题分析：（1）根据绝对值的性质求出tanA及sinB的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A及∠B的度数，进而可得出结论；考点：1．特殊角的三角函数值；2．非负数的性质：绝对值；3．非负数的性质：偶次方．18．（2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模）（10分）在中俄"海上联合﹣2014"反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，1.7）【答案】308米．【解析】试题分析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，分别在Rt△ACD中表示出CD和在Rt△BCD中表示出BD，从而利用二者之间的关系列出方程求解．试题解析：解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得：∠ACD=30°，∠BCD=68°，设AD=x，则BD=BA+AD=1000+x，在Rt△ACD中，CD===x，在Rt△BCD中，BD=CDotan68°，∴1000+x=xotan68°，解得：x=≈308米，∴潜艇C离开海平面的下潜深度为308米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．19．（2015届北京市平谷区中考二模）如图，已知点E，F分别是□ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．【答案】（1）见解析（2）．（2）解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，BC=10，∴AC=5，AB=．连接EF交于点O，∴AC⊥EF于点O，点O是AC中点．∴OE=．∴EF=．∴菱形AECF的面积是AC·EF=．考点：1．菱形的性质；2．平行四边形的性质；3．解直角三角形．20．（2015届北京市门头沟区中考二模）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，F为AC的中点，连接DF并延长至E，使得EF=DF，连接AE和EC．（1）求证：四边形ADCE为平行四边形；（2）如果DF=，∠FCD=30°，∠AED=45°，求DC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．（2）解：如图，过点F作FG⊥DC与G．∵四边形ADCE为平行四边形，∴AE∥CD．∴∠FDG=∠AED=45°，在Rt△FDG中，∠FGD=90°，∠FDG=45°，DF=，∵cos∠FDG=，∴DG=GF===2．在Rt△FCG中，∠FGC=90°，∠FCG=30°，GF=2，∵tan∠FCG=，∴，∴DC=DG+GC=．考点：1．解直角三角形；2．平行四边形的判定与性质；3．全等三角形的判定与性质．21．（2015届北京市门头沟区中考二模）如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，AE为⊙O的切线，过点B作BD⊥AE于D．（1）求证：∠DBA=∠ABC；（2）如果BD=1，tan∠BAD=，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）．（2）根据三角函数的知识可求出AD，从而根据勾股定理求出AB的长，根据三角函数的知识即可得出⊙O的半径．试题解析：（1）证明：连接OA．（如图）∵AE为⊙O的切线，BD⊥AE，∴∠DAO=∠EDB=90°，∴DB∥AO，∴∠DBA=∠BAO．又∵OA=OB，∴∠ABC=∠BAO，∴∠DBA=∠ABC．考点：1．切线的性质；2．解直角三角形．22．（2015届安徽省安庆市中考二模）某岛是我国南海上的一个岛屿，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图甲所示，其中∠B=90°，AB=100千米，∠BAC=30°，请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据≈1.414，≈1.73，≈2.45）；（2）国家为了建设的需要，在原有岛屿基础上沿海岸线AC向海洋填海，扩充岛屿的面积（如图乙），填成一个以AC为直径的半圆，点D在这个半圆上，求当△ACD的面积最大时，△ACD另外两条边的边长．【答案】（1）该岛的周长约为473米，面积约为8650米2；（2）△ACD另外两条边的边长约为141米、141米．【解析】试题分析：（1）根据直角三角形的性质和AB=100千米，∠BAC=30°求出AC、BC的长，根据周长和面积公式求出答案．（2）当D是AC的中点时，△ACD的面积最大，求出另外两条边的边长即可．试题解析：（1）∵∠B=90°，∠BAC=30°，AB=100，∴AC=200，BC=100，∴△ABC的周长考点：解直角三角形的应用．23．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）如图，山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．在高楼的顶端竖立一块倒计时牌CD，在点B处测量计时牌的顶端C的仰角是45°，在点A处测量计时牌的底端D的仰角是60°，求这块倒计时牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）【答案】2.7m．【解析】试题分析：首先作BF⊥DE于点F，BG⊥AE于点G，得出四边形BGEF为矩形，进而求出CF，EF，DE的长，进而得出答案．试题解析：作BF⊥DE于点F，BG⊥AE于点G，∵CE⊥AE，∴四边形BGEF为矩形，∴BG=EF，BF=GE，在Rt△ADE中，∵tan∠ADE=，∴DE=AEotan∠ADE=15，∵山坡AB的坡度i=1：，AB=10，∴BG=5，AG=5，∴EF=BG=5，BF=AG+AE=5+15，∵∠CBF=45°∴CF=BF=5+15，∴CD=CF+EF-DE=20-10≈20-10×1.732=2.68≈2.7（m），答：这块宣传牌CD的高度为2.7米．考点：1．解直角三角形的应用-仰角俯角问题；2．解直角三角形的应用-坡度坡角问题．24．（2015届山东省日照市中考一模）如图，已知，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，将△ECF绕点C逆时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到△MCN，连接AM，BN．（1）求证：AM=BN；（2）当MA∥CN时，试求旋转角α的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．试题解析：（1）∵CA=CB，∠ACB=90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，∴CE=CF，根据旋转的性质，CM=CE=CN=CF，∠ACM=∠BCN=α，在△AMC和△BNC中，，∴△AMC≌△BNC，∴AM=BN；（2）∵MA∥CN，∴∠ACN=∠CAM，∵∠ACN+∠ACM=90°，∴∠CAM+∠ACM=90°，∴∠AMC=90°，∴cosα=．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．旋转的性质；3．锐角三角函数的定义．25．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）如图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图．已知，斜屋面的倾角为25°，长为2.1米的真空管AB与水平线AD的夹角为40°，安装热水器的铁架水平横管BC长0.2米，求铁架垂直管CE的长（结果精确到0.01米）．【答案】0.51米．在Rt△ABF中，∵sin∠BAF=，∴BF=ABsin∠BAF=2.1sin40°≈1.350，∴真空管上端B到AD的距离约为1.35米．在Rt△ABF中，∵cos∠BAF=，∴AF=ABcos∠BAF=2.1cos40°≈1.609．∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，∴四边形BFDC是矩形，∴BF=CD，BC=FD．在Rt△EAD中，∵tan∠EAD=，∴ED=ADtan∠EAD=1.809tan25°≈0.844，∴CE=CD-ED=1.350-0.844=0.506≈0.51，∴安装铁架上垂直管CE的长约为0.51米．考点：解直角三角形的应用．26．（2015届山东省聊城市中考模拟）莘县旅游资源丰富，其中燕塔是莘县著名旅游景点（如图①）．一天身高1.5m的小明从A处仰视观看燕塔顶部，其仰角为30°．小明又向西走了30m，∠APB=15°（如图②）．请你帮小明算出雁塔的高度．（结果保留一位小数，参考数据：≈1.41，≈1.73）【答案】42.5m．答：雁塔的高度是42.5m．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．27．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转35°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测量出∠ODB为25°，点D到点O的距离为30cm．（1）求B点到OP的距离；（2）求滑动支架的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）【答案】（1）B点到OP的距离大约为11cm；（2）滑动支架的长约为26cm．（2）在Rt△BDE中，BD=≈26cm．故滑动支架的长约为26cm．考点：解直角三角形的应用．