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一、选择题1.（2015四川省自贡市，10，4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是 （）A． B．6 C． D．4【答案】A2.（2015山东省青岛市，7，3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O点，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF.若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为（）A.4B.C.D.28【答案】D3.（2015四川省遂宁市，6，4分）在正方形、矩形、菱形、平行四边形、等腰梯形中，其中中心对称图形的个数是()．A．2  B．3    C．4   D．5【答案】C．【解析】所谓中心对称图形，就是把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能和自身相重合．那么这个图形就是中心对称图形．显然正方形、矩形、菱形、平行四边形都是中心对称图形，共有4个，而等腰梯形不是中心对称图形．故选C．4.（2015四川省泸州市）菱形具有而平行四边形不具有的性质是A.两组对边分别平行B.两组对角分别相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直【答案】D5.（2015湖南省益阳市，5，5分）如图2，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是A．  B． C．  D．【答案】D【解析】本题考查矩形的性质：6.（2015浙江省湖州市，3，分）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F、G分别在边AD、BC上，连结OG、DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则下列结论不成立的是()．A．CD＋DF＝4 B．CD－DF＝2－3 C．BC＋AB＝2＋4 D．BC－AB＝2【答案】A【解析】如图所示，设AB与圆O相切于点M，BC与⊙O相切于点H，连结MO并延长MO交CD于点T，连接OH、OD，过点G作GN⊥AD于点N，分别交OD于点K，交OT于点P．由折叠易知，OG＝DG，OH⊥BC，所以∠OHG＝∠GCD＝90°，∠HOG＋∠OGH＝90°，∵OG⊥DG，所以∠OGH＋∠DGC＝90°，所以∠DGC＝∠HOG，所以△OHG≌△GCD，∴HG＝CD，GC＝OH＝1，易得四边形BMOH是正方形，所以BM＝BH＝MO＝OH＝1，设CD＝1，则HG＝1，AB＝1，所以AM＝m－1，又∵⊙O是△ABC的切圆，所以AC＝m＋1＋m－1＝2m，所以AC＝2AB，所以∠ACB＝30°，所以BC＝AB，2＋m＝m，得m＝＋1，m＝AB＝＋1，BC＝2＋m＝3＋，所以BC－AB＝2，D选项正确；BC＋AB＝2m＋2＝2＋4，C选项正确．由折叠知，OG＝GD，又OG⊥GD，所以△OGD是等腰直角三角形，且OR＝RD，所以RG＝RD，RG⊥RD，注意到GN⊥AD为所作，所以∠GRD＝∠FRD＝90°，∠RKG＝∠NKD，所以∠RKG＋∠RGK＝∠NKD＋∠NDK＝90°，所以∠NKD＝∠RGK，所以△RKG≌△RFD，所以FD＝KG，易得四边形OHGP是矩形，所以PG＝1，由GN∥DC，可得△OPK∽△OTD，所以，所以PK＝3－，所以KG＝4－＝DF，CD－DF＝＋1－(4－)=2－3，B选项正确；CD－DF＝＋1+(4－)=5，A选项错误．故选A．7.(2015浙江台州，9，4分)如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG∥AD交CD于电G，过点F作FH∥AB交BC于电H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（）A．6.5  B．6  C．5.5  D．5【答案】C8.（2015浙江省台州市，9，4）如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG//AD交CD于点G，过点F作FH//AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为           （）A．6.5    B．6    C．5.5    D．5【答案】C【解答】解：设菱形AEOF的边长AE=x，则菱形CGOH的边长OH=8－x，由题列方程4x－4（8－x）=12，解之得x=5.5，故选C9.（2015安徽，8，3分）在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C,点E在边AB上，∠AED=60°则一定有A.∠ADE=20°B.∠ADE=30°C.∠ADE=∠ADCD.∠ADE=∠ADC【答案】D【解析】解:当四边形ABCD为矩形时,∠ADE=30°且∠ADE=∠ADC,当四边形ABCD为不是矩形时,∠ADE≠30°.故选D10.（2015安徽，9，3分）如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=4，点E在AB上,点F在CD上,点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是A.B.C.5D.6【答案】C【解析】解:连接EF交AC于点O,∵若四边形EGFH是菱形，∴EF⊥GH,AB=2OC=2AO∵BC=4,AB=8,AC2=AB2+BC2,∴tan∠CAB=,AC=∴AO=,OE=,∴AE2=AO2+OE2,∴AE=5.故选C11.（2015山东临沂，12，3分）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB。添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A.AB=BEB.BE⊥DCC.∠ADB=90°D.CE⊥DE【答案】B【解析】因为四边形ABCD为平行四边形，所以ADBC因为DE=AD所以DEBC所以四边形EDBC为平行四边形，① 假若AB=BE，因为AB=BE，AD=DE，BD=BD,所以△ADB≌△EDB,所以∠BDE=90°所以四边形EDBC为矩形；② 假若∠ADB=90°，所以∠EDB=90°所以四边形EDBC为矩形；③ 假若CE⊥DE，所以∠DEC=90°所以四边形EDBC为矩形故选B12.（2015山东济南，13，3分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM=2，则线段ON的长为A．B．C．1D．【答案】C【解析】过点M作ME⊥AC于点E，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC=90°，因为∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，∴MB=ME，CE=BC,∴AE=ME=MB=,∴AB=+2，∴OA=CO=1+,所以OE=1,∴,∴，∴，故选C13.（2015四川南充，9，3分）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（）（A）1:2（B）1:3（C）1:（D）1:第9题图【答案】D【解析】由菱形ABCD的周长为得边长为。又高AE长为，所以，△ABC、△ACD均为正三角形，。故角线AC长和BD长之比为，应选D。14.（2015浙江省衢州市，8，3分）如图，已知某菱形花坛ABCD的周长是24m，∠BAD=120°，则花坛对角线AC的长是（）A.mB.6mC.mD.3m【答案】B【解析】解：易知△ABC为等边三角形，所以AC=AB=6.15.（2015浙江宁波，12，4分）如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形.若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为()A.①②B.②③C.①③D.①②③【答案】A16.（2015四川资阳，7，3分）若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是（）A．矩形  B．菱形  C．对角线相等的四边形  D．对角线互相垂直的四边形【答案】D.17.（2015山东烟台，7，3分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB于点E，交BD于点F，且点E是AB中点，则tan∠BFE的值是（）A.B.2C.D.【答案】D18.（2015山东日照市，6，3分）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件①ＡＢ＝ＢＣ，②∠ＡＢＣ＝９０°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使ABCD成为正方形（如右图）现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）（A）①②(B)②③(C)①③(D)②④【答案】B【解析】解：此题考查正方形的判定，即："在ABCD的基础上，需要再同时具备矩形和菱形的特征"。①是菱形的特征；②是矩形的特征；③是矩形的特征，④是菱形的特征。而B中都是矩形的特征，故选B.19.（2015广东省深圳市，12，3分）如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG，BF．给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG＝2AG；③△EBF∽△DEG；④S△BEF＝．其中所有正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，∴∠DFG＝∠A＝90°，∴△ADG≌△FDG，∴①正确；∵正方形边长12，∴BE＝EC＝EF＝6设AG＝GF＝x，则EG＝x＋6，BG＝12－x，由勾股定理：EG2＝BE2＋BG2，即：(x＋6)2＝62＋(12－x)2，解得：x＝4，∴AG＝GF＝4，BG＝8，BG＝2AG，∴②正确；BE＝EF＝6，△BEF为等腰三角形，易知△GDE不是等腰三角形，∴③错误；S△BEG＝×6×8＝24，S△BEF＝oS△BEG＝o24＝，∴④正确20.（2015娄底市，5，3分）下列命题中错误的是（）A．平行四边形的对角线相互平分B．菱形的对角线相互垂直C．同旁内角互补D．矩形的对角线相等【答案】C【解析】解：两直线平行，同旁内角互补，两条直线不平行，同旁内角不相等。故选;C。二、填空题1.（2015山东省青岛市，12，3分）如图，平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心，顶点A、B的坐标分别为(1,1)(-1,1)，把正方形ABCD绕点O逆时针方向旋转45°得正方形A′B′C′D′，则正方形ABCD与正方形A′B′C′D′重叠部分组成的正八边形的边长为.【答案】2.（2015浙江省丽水市，15，4分）如图，四边形ABCD与四边形AECF都是矩形，点E，F在BD上，已知∠BAD＝120°，∠EAF＝30°，则＝________．【答案】3.（2015年四川省宜宾市，12，3分）如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E，若PE=3，则点P到AD的距离为。【答案】3【解析】由菱形的性质："菱形的对角线平分每一组对角"得AC平分∠DAB，∵PE⊥AB于点E，若PE=3，∴点P到AD的距离=PE=34.（2015重庆B卷，1８，4分）如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB=2，BC=，点E、F分别是线段AB，AD上的点，连接CE，CF，当∠BCE=∠ACF，且CE=CF时，AE+AF=.【答案】【解析】解：如图作FG⊥AC,易证△BCE≌△GCF（A），∴BE=GF,BC=CG，∵在Rt△ABC中tan∠ACB＝＝＝.∴∠ACB=30°，∴AC=2AB=4，∠DAC=∠ACB=30°(内错角)，∵FG⊥AC，∴AF=2GF,∴AE+AF=AE+2BE=AB+BE,设BE=x，在Rt△AFG中AG=GF=x，∴AC=AG+CG=x+2=4，解得x=-2.∴AE+AF=AE+2BE=AB+BE=2+-2＝.5.（2015年四川省宜宾市，16，3分）在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD与点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H。给出下列结论：①△ABE≌△DCF；②；③；④。其中正确的是。（写出所有正确结论的序号）【答案】①③【解析】①选项很易证明是正确的，②选项证明△DPF∽△BHP得，故错；③通过观察可发现△DPH∽△CPD，进而得，故正确；④，故错。6.（2015浙江省湖州市，3，分）已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3(如图所示)，以此类推…．若A1C1＝2，且点A，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是＿＿＿＿．【答案】(或写成)【解析】解：放入平面直角坐标系中来考查．由题意知A(0，1)，D2(3，2)所以OD10的解析式为y＝，由A1C1＝2，得BC2＝3，设C2C3＝m，则D3(3＋m，m)，D3坐标代入y＝，得3m＝3＋m＋3，得m＝3，所以A2C2＝3＝2×；设C3C4＝n，则BC4＝6＋n，所以D4(6＋n，n)，D4坐标代入y＝，得3n＝6＋n＋3，得m＝，所以A3C3＝n＝＝2×＝2×()2；设C4C5＝k，则BC5＝＋k，D5(＋k，k)，D5坐标代入y＝，得3k＝＋k＋3，4k＝27，k＝，所以A4C4=k＝＝2×()3；……所以A9C9＝2×()8＝.7.（2015四川省泸州市）如图，在矩形ABCD中，，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：21教育名师原创作品①∠AEB=∠AEH②DH=③④其中正确命题的序号是（填上所有正确命题的序号）.8.(2015浙江台州，16，5分)如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边）．当这个正六边形的边长最大时，AE的最小值为．【答案】9.（2015四川省凉山州市，26，5分）菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E(0，﹣1)，当EP+BP最短时，点P的坐标为   .【答案】.【解析】解：如图，连接DE交OC于点P，即点P满足EP+BP最短.如图，延长CD交y轴于点F，则CF⊥y轴，∵四边形OBCD是菱形，∵OD=CD=OB=2，∵∠DOB=60°，则∠DOF=30°，∴DF=1，OF=，∴D(1,)，C(3，)，设直线DE的解析式为，则，∴，则，设直线OC的解析为，则，∴，则，由，得，∴点P的坐标为.10.（2015山东济南，21，3分）如图在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE=2，连接CF.以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是；③tan∠DCF=；④△ABF的面积为.其中一定成立的是.（把所有正确结论的序号都填在横线上）.【答案】①②③【解析】①∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC∠ABD=∠CBD∵BF=BF∴△ABF≌△CBF∴①正确②过E作EG⊥AB于G∵AB=6∴BC=6∵CE=2∴BE=4∵∠BAD=60°∴∠CBG=60°∴∠BEG=30°∴EG=∴②正确③延长AE交DC延长线于H，过D作DM⊥AE于M点，过点D作DN⊥AB于N点.则△ABE∽△HCE∴CH=3由②可求知AE=，∠DCF=∠DAF，所以EH=，在△ADN中可求得DN=∵△ADH=即，∴DM=在Rt△ADM中，AM=∴tan∠DCF=tan∠DAF=，∴③正确.④：由△BEF∽△DAF∴∴∵△ABD为等边三角形∵三边上的高均为∴S△ABF=故④错误.所以答案为①②③.11.（2015上海市，16，4分）已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠FAD=_____度.【答案】22.5【解析】12.（2015四川南充，16，3分）如图，正方形ABCD边长为1，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结DQ．给出如下结论：①DQ＝1；②；③S△PDQ＝；④cos∠ADQ=．其中正确结论是＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（填写序号）【答案】①②④【考点解剖】本题考查了…………，解题的关键是…………．【答案】【解析】解：①正确。理由：连接OQ，OD，∵DP=CD=BO=AB，且DP∥OB，∴四边形OBPD是平行四边形。∴∠AOD=∠OBQ,∠DOQ=∠OQB，∵OB=OQ，∴∠OBQ=∠OQB∴∠AOD=∠DOQ，∴△AOD≌△QOD，∴∠OQD=∠DAO=90°，DQ=AD=1.所以①正确。②正确。理由：延长DQ交BC于点E，过点Q作QF⊥CD，垂足为F，根据切线长定理，得QE=BE，设QE=x，则BE=x，DE=1+x，CE=1-x，在Rt△CDE中，（1+x）2=（1-x）2+1解得x=，CE=∵△DQF∽△DEC，∴，得FQ=，∵△PQF∽△PBC，∴,∴，所以②正确；③错误，理由：S△PDQ=DP·QF=××=，所以③错误；④正确，理由：∵AD∥BC，∴∠ADQ=∠DEC，∴cos∠ADQ=cos∠DEC==，所以④正确。故答案为①②④.13.（2015江苏省无锡市，14，2）如图，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于__________cm．【答案】16【解答】解：连接AC，BD，根据中位线性质得EF=GH=AD，EH=GF=BD，又矩形中对角线AC=BD=8cm，则四边形EFGH的周长为16cm14.（2015四川省广安市，15，3分）如图，已知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点，AB=6cm，∠ABC=60°，则四边形EFGH的面积为______cm2.【答案】15.（2015山东日照市，14，4分）边长为1的一个正方形和一个等边三角形如右图摆放则△ＡＢＣ的面积为【答案】【解析】解：方法一：连接ＡＣ，由对称性可得：＝＝方法一：ＣＥ＝16.（2015贵州省铜仁市，15，4分）已知一个菱形的两条对角线长分别为6㎝和8㎝，则这个菱形的面积为㎝2；【答案】2417.（2015成都市）已知菱形A1B1C1D1的边长为2，?A1B1C1??60??，对角线A1C1，B1D1相交于点O.以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系.以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点An的坐标为_________________.【答案】：（3n－1，0）【解析】：解：由题意，点A1的坐标为（1，0），点A2的坐标为（3，0），即（32－1，0）点A3的坐标为（9，0），即（33－1，0）点A4的坐标为（27，0），即（34－1，0）……∴点An的坐标为（3n－1，0）三、解答题1.21.（2015山东省青岛市，21，8分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△ABD≌△CAE；(2)连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论【答案】(1)证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，BD=CD.∵AE∥BC，CE⊥AE，∴四边形ADCE是矩形.∴AD=CE.在Rt△ABD与Rt△CAE中，,∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL).(2)DE∥AB，DE=AB.证明如下：如图所示，∵四边形ADCE是矩形，∴AE=CD=BD，AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴DE∥AB，DE=AB.2.27．（2015四川省巴中市，27，10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N．（1）请你判断OM与ON的数量关系，并说明理由；（2）过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，当AB=6，AC=8时，求△BDE的周长．【答案】解：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AO=CO．∴∠MAO=∠NCO．在△AOM与△CON中，∴△AOM≌△CON．∴OM=ON．（2）依题意，DE∥AC，又AC⊥BD，AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形，DE⊥BD．∴CE=AD=AB=BC=6，DE=AC=8．∴在Rt△BDE中，由勾股定理，得．∴△BDE的周长为BD＋BE＋DE=＋20．3.（2015浙江省金华市，21，8分）如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF＝AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E.(1)求证：DE＝AB(2)以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G.若BF＝FC＝1，试求的长.【答案】解：（1）证明：∵DE⊥AF，∴∠AED＝90°，又∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAE＝∠AFB，∠AED＝∠B＝90°，又∵AF＝AD，∴△ADE≌△FAB（A），∴DE＝AB.（2）∵BF＝FC＝1，∴AD＝BC＝BF＋FC＝2，又∵△ADE≌△FAB，∴AE＝BF＝1，∴在Rt△ADE中，AE＝AD，∴∠ADE＝30°，又∵DE＝，∴EG⌒的长＝4.（2015四川省凉山州市，21，8分）如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由.【答案】AF=BF+EF.【解析】解：AF=BF+EF，理由如下：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴∠1+∠2=90°，∵DE⊥AG，∴∠AED=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，∵BF∥DE，∴∠BFA=∠AED，∴△ABF≌△DAE（A），∴AE=BF，∵AF=AE+EF，∴AF=BF+EF.5.(2015广东省广州市，18，9分)(本小题满分9分)如图7，正方形ABCD中，点E、F分别在AD，CD上，且AE＝DF，连接BE，AF．求证：BE＝AF．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形∴AD＝AB，∠D＝∠EAB＝90°在△EAB和△FEA中∴△EAB≌△FEA(S)∴BE＝AF．【解析】很明显要证明三角形全等，正方形的边相等，角相等，已知三角形的另一边相等，所以用边角边就可以证明全等，然后全等三角形的对应边相等即可证明．判定三角形全等的方法：边角边(S)：有两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．角边角(A)：有两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．角角边(A)：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．边边边(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．HL公理：两直角三角形中斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．6.（2015山东省聊城市，21，8分）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE。求证：四边形BECD是矩形【解析】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵在△ABD和△CBD中，AB=BC，∠ABD=∠CBD，BD是公共边，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD，又∵四边形ABED是平行四边形，∴AD∥BE且AD=BE，AB=DE，∵AD=CD，∴CD∥BE且CD=BE，∴四边形BECD是平行四边形，∵AB=BC，∴BC=DE，∴四边形BECD是矩形。7.（2015湖南省长沙市，22，8分）如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，将对角线所在的直线绕点顺时针旋转角后得直线，直线与、两边分别相交于点和点．（1）求证：；（2）当时，求线段的长度．(第22题图)【答案】(1)略(2)【解析】解：（1）在菱形中，，，∴在和中，∴（2），，∴是等边三角形．，∴，时，．在中，,．又由（1），，∴．8.（2015江苏省南京市，24，8分）如图，点E、F分别在AB、CD上，连接EF，∠AFE、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H．（1）求证：四边形EGFH是矩形．（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB、CD于点M、N，过H作PQ∥EF，分别交AB、CD交于点P、Q，得到四边形MNQP．此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列图中补全他的证明思路．【答案】【解析】解：（1）证明：∵EH平分∠BEF。∴，∵FH平分∠DFE，∴∵AB∥CD∴∴又∴同理可证，∵EG平分∠AEF，∴∵EH平分∠BEF，∴∵点A、E、B在同一条直线上。∴∠AEB=180°.即∠AEF+∠BEF=180°。∴即∠GEH=90°。∴四边形EGFH是矩形。（2）本题答案不唯一，下列解法供参考，例如，FG平分∠CFE；GE=FH；∠GME=∠HQH；∠GEF=∠EFH9.（2015浙江嘉兴，19，8分）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于点G.(1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角.(2)选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明.【答案】⑴与∠AED相等的角有：∠BFA，∠GAD；⑵略【解析】解：⑴与∠AED相等的角有：∠BFA，∠GAD；⑵选∠AED=∠BFA证明：∵四边形中ABCD是正方形∴∠DAE=∠B=90°，DA=AB在Rt△DAE与Rt△ABF中DA=ABAF=DE∴Rt△DAE≌Rt△ABF∴∠AED=∠BFA10.（2015浙江嘉兴，24，14分）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做"等邻边四边形".⑴概念理解如图1，在四边形ABCD中添加一个条件使得四边形ABCD是"等邻边四边形".请写出你添加的一个条件.⑵问题探究①小红猜想：对角线互相平分的"等邻边四边形"是菱形.她的猜想正确吗？请说明理由.②如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC沿∠ABC的平分线方向平移得到，连接，.小红要使平移后的四边形是"等邻边四边形"，应平移多少距离（即线段的长）？⑶应用拓展如图3，"等邻边四边形"ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，.试探究BC，CD，BD的数量关系.【答案】⑴AB=BC或BC=CD或CD=AD或DA=AB（任写一个即可）⑵①正确.理由略②或或⑶【解析】解：⑵①正确.理由为：∵四边形的对角线互相平分，∴为个四边形是平行四边形，∵四边形是"等邻边四边形"，∴这个四边形有一组邻边相等，∴这个"等邻边四边个形"是菱形②四由∠ABC=90°，AB=2，BC=1，得AC=∵将Rt△ABC平移得到∴，，，，(Ⅰ)如图2-1，当时，(Ⅱ)如图2-2，当时，(Ⅲ)如图2-3，当时，延长交AB于点D，则，∵平分∠ABC，∴，∴，∴.设,则，∵在中，∴解得：(不合题意，舍去)∴(Ⅳ)如图2-4，当时，与(Ⅲ)同理得：设,则解得：(不合题意，舍去)∴⑶如图3，BC，CD，BD的数量关系为：∵AB=AD，∴将△ADC线绕点A旋转到△ABF，连接CF，则△ABF≌△ADC，∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，∴∠BAD=∠CAF，，∴△ACF∽△ABD，∴∵,∴，∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，∴∠ABC+∠ADC=360°-（∠BAD+∠BCD）=360°-90°=270°∴∠ABC+∠ABF=270°，∴∠CBF=90°，∴∴11.（2015山东临沂，25，11分）如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE（1）请判断：AF与BE的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，若将条件"两个等边三角形ADE和DCF"变成"两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC",第（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；（3）若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断。【答案】（1）相等垂直（2）成立（3）成立，AF=BE，AF⊥BE【解析】解：（1）因为正方形ABCD，所以AB=AD=CD∠BAD=∠ACD=90°因为△ADE和△CDE为等边三角形，所以∠DAE=∠CDF=60°,AE=AD,CD=DF所以∠BAD+∠DAE=∠ACD+∠CDE所以∠BAE=∠ADE所以AE=DE所以在△ADF和△BAE中，AE=DE，∠BAE=∠ADE，AB=AD所以△ADF≌△BAE所以BE=AF∠ABE=∠DAF因为∠DAF+∠BAF=90°所以∠ABE+∠BAF=90°所以∠AMB=90°所以AF⊥BE(2)因为正方形ABCD，所以AB=AD=CD∠BAD=∠ACD=90°因为EA=ED=FD=FC所以△AED≌△DFC所以∠DAE=∠CDF所以∠BAD+∠DAE=∠ACD+∠CDE所以∠BAE=∠ADE所以在△ADF和△BAE中，AE=DE，∠BAE=∠ADE，AB=AD所以△ADF≌△BAE所以BE=AF∠ABE=∠DAF因为∠DAF+∠BAF=90°所以∠ABE+∠BAF=90°所以∠AMB=90°所以AF⊥BE(3)成立，AF=BE，AF⊥BE故答案为：（1）相等垂直（2）成立（3）成立，AF=BE，AF⊥BE12.(2015贵州省安顺市,24,12分）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F（1）证明AE=DF.（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由.解：因为DE∥AC，DF∥AB，所以四边形AEDF是平行四边形，所以AE=DF（2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，证明：因为DE∥AC，DF∥AB，所以四边形AEDF是平行四边形，∠DAF=∠FDA所以AF=DF，所以平行四边形AEDF为菱形13.（2015山东济南，23，7分）（1）如图，在矩形ABCD中，BF=CE.求证：AE=DF.【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形.∴AB=CD∠ABC=∠DCB∵BF=CE∴BC-BF=BC-CE即BE=FC∴△ABE≌△DCF（S）∴AE=DF14.（2015四川省绵阳市，25，14分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且CG=AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A→C→G的路线向G点匀速运动（M不与A、G重合），设运动时间为t秒．连结BM并延长交AG于N．（1）是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；（2）当点N在AD边上时，若BN⊥NH，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN=NH；（3）过点M分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F，矩形AEMF与△ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值．【答案】（1）存在，当点M为AC中点时，有AM=BM则△ABM为等腰三角形；当点M与点C重合时，AB=BM则△ABM为等腰三角形；当点M在AC上且AM=2时，AM=AB，则△ABM为等腰三角形；当点M为CG的中点时，AM=BM则△ABM为等腰三角形．（2）证明略；（3）【解析】解：（1）当点M为AC中点时，有AM=BM则△ABM为等腰三角形；当点M与点C重合时，AB=BM则△ABM为等腰三角形；当点M在AC上且AM=2时，AM=AB，则△ABM为等腰三角形；当点M为CG的中点时，AM=BM则△ABM为等腰三角形．（2）证明：在AB上取点K，使AK=AN,连接KN．∵AB=AD,BK=AB-AK,ND=AD-AN,∴BK=DN．又DH平分直角∠CDG,,∴∠CDH=45°，∴∠NDH=90°+45°=135°。∴∠BKN=180°-∠AKN=135°，∴∠BKN=∠NDH∵在Rt△ABN中，∠ABN+∠ANB=90°，又BN⊥NH，即∠BNH=90°∴∠ANB+∠DNH=180°-∠BNH=180°-90°=90°．∴∠ABN=∠DNH．∴△BNK≌△NHD（A）∴BN=NH．（3）①当M在AC上时，即时，易知△AMP为等腰直角三角形．∵AM=t，∴．∴．当M在CG上时，即时，．∵△ACD≌△GCD（S）．∴∠ACD=∠GCD=45°．∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90°．∴∠G=90°-∠GCD=90°-45°=45°．∴△MFG为等腰三角形．∴FG=MG·cos45°=．．∴S=S△ACG-S△CMJ-S△FMG==．∴ ②在范围内，当时，S的最大值为在范围内，，当时，S的最大值为．∵，∴当秒时，S的最大值为．15.（2015江苏泰州，25，12分）（本题满分12分）如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G分别是AB、CD、DA上的动点，且AE=BF=CG=DH.（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）判断直线EG是否经过某一定点，说明理由；（3）求四边形EFGH面积的最小值．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=90°，AB=DA，∵AE=DH，∴BE=AH，∴△AEH≌△BFE，∴EH=FE，∠AHE=∠BEF，同理：FE=GF=HG，∴EH=FE=GF=HG，∴四边形EFGH是菱形，∵∠A=90°，∴∠AHE＋∠AEH=90°，∴∠BEF＋∠AEH=90°，∴∠FEH=90°，∴菱形EFGH是正方形；解：（2）直线EG经过正方形ABCD的中心，理由如下：连接BD交EG于点O，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，AB=DC∴∠EBD=∠GDB，∵AE=CG，∴BE=DG，∵∠EOB=∠GOD，∴△EOB≌△GOD，∴BO=DO，即点O为BD的中点，∴直线EG经过正方形ABCD的中心；（3）设AE=DH=x，则AH=8－x，在Rt△AEH中，EH2=AE2＋AH2=x2＋(8－x)2=2x2－16x＋64=2(x－4)2＋32，∴四边形EFGH面积的最小值为32cm2.16.（2015四川南充，24，10分）如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，，．△ADP沿点A旋转至△ABP'，连结PP'，并延长AP与BC相交于点Q．（1）求证：△APP'是等腰直角三角形；（2）求∠BPQ的大小；（3）求CQ的长．【答案】(1)略；（2）45°；(3)。【解析】（1）证明：因为△ABP′是由△ABP顺时针旋转90°得到，则AP=AP′，∠PAP′=90°∴△ABP′是等腰直角三角形.…………………（2分）（2）解：∵△ABP′是等腰直角三角形∴∠APP′=45°，PP′=，又∵BP′=，BP=2，∴PP′2+BP2=BP′2∴∠BPP′=90°…………………（4分）∵∠APP′=45°∴∠BPQ=180°-∠APP′-∠BPP′=45°.…………………（5分）（3）解：过点B作BE⊥AQ于点E，则△PBE为等腰直角三角形∴BE=PE，BE2+PE2=PB2∴BE=PE=2………………（7分）∴AE=3∴AB=,则BC=………………（8分）∵∠BAQ=∠EAB，∠AEB=∠ABQ=90°∴△ABE∽△AQB∴，即：∴AQ=………………（9分）∴BQ==∴CQ=BC-BQ=………………（10分）17.（2015浙江省衢州市，24，12分）如图，在△ABC中，AB=5，AC=9，，动点P从A点出发，沿射线AB方向以每秒5个单位速度运动，动点Q从点C出发，以相同的速度在线段AC上由C向A运动，当Q点运动到A点时，P，Q两点同时停止运动，以PQ为边作正方形PQEF（P、Q、E、F按逆时针排序），以CQ为边在AC上方作正方形QCGH.（1）求tanA的值（2）设点P运动时间为t，正方形PQEF的面积为S,请探究S是否存在最小值？若存在求出这个最小值；若不存在请说明理由（3）当t为何值时，正方形PQEF的某个顶点（Q点除外）落在正方形QCGH上，请直接写出t的值(第24题图)（备用图）【答案】【解析】解：(1)如图①，过E作BI⊥AC于I，∵∴又AC=9，∴BI=3.在Rt△BIA中，AB=5,BI=3,∴AI=4,∴tanA=①(2)如图②，过P作PL⊥AQ于点L，∵AP=5t,tanA=，②∴PL=3t，AL=4t，又∵AQ=9-5t，所以LQ=，在Rt△PLQ中，PQ?=PL?+LQ?=（3t）?+（9-9t）?=90t?-162t+81（0＜t≤）,∴当t=时，S存在最小值，最小值为.(3)t=.如图③，当E点在正方形QCGH上时，三角形HEQ≌△LPQ，∴HQ=LQ，即5t=9-5t-4t，解得t=③如图④，当F点在正方形QCGH上时，分别延长GH，LP，交于点M，易知△PMF≌△QLP，∴MP=LQ，即5t-3t=9-5t-4t，解得t=.④如图⑤，当E点,P点都在正方形QCGH上时，可知QE=AQ，即9-5t=4t，解得t=1.18.（2015浙江宁波，24，10分）在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上，这样的多边形称为格点多边形.记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可表示为，其中m，n为常数.(1)在下面的方格纸中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形(非菱形)、菱形；(2)利用(1)中的格点多边形确定m，n的值.【答案】解：(1)(2)三角形：a=4，b=6，S=6；平行四边形：a=3，b=8，S=6；菱形：a=5，b=4，S=6；任选两组数据代入S=ma+nb-1，解得m=1，.19.（2015四川资阳，23，11分）如图12，E、F分别是正方形ABCD的边DC、CB上的点，且DE=CF，以AE为边作正方形AEHG，HE与BC交于点Q，连接DF．（1）求证：△ADE≌△DCF；（2）若E是CD的中点，求证：Q为CF的中点；（3）连接AQ，设S△CEQ=S1，S△AED=S2，S△EAQ=S3，在（2）的条件下，判断S1+S2=S3是否成立？并说明理由．【答案】解：（1）由AD=CD，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF得△ADE≌△DCF；(2)易证△ADE∽△ECQ，所以．因为，所以，即点Q是CF中点．（3）成立.理由：因为△ADE∽△ECQ，所以，所以．因为∠C=∠AEQ=90°，所以△AEQ∽△ECQ，所以△AEQ∽△ECQ∽△ADE．所以，．所以．由，所以，即．20.（2015山东潍坊，23，12分）如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点.分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.（1）求证：DE⊥AG；（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角（0°<α<360°）得到正方形，如图2.①在旋转过程中，当∠是直角时，求的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求长的最大值和此时的度数，直接写出结果不必说明理由.解：（1）如图1，延长ED交AG于点H.∵O为正方形ABCD对角线的交点.∴OA=OD，OA⊥OD.∵OG=OE，∴Rt△AOG≌Rt△DOE，∴∠AGO=∠DEO.∵∠AGO+∠GAO=90°，∴∠DEO+∠GAO=90°，∴∠AHE=90°，即DE⊥AG.（2）①在旋转过程中，∠成为直角有以下两种情况：（ⅰ）α由0°增大到90°过程中，当∠为直角时，∵，∴在Rt△中，，∴∠.∵OA⊥OD，∴∠DOG′=90°－∠=30°，即α=30°.（2）α由90°增大到180°过程中，当∠为直角时，同理可求的∠AOG′=30°，所以α=90°+∠=150°.综上，当∠为直角时，α=30°或150°.②AF′长的最大值是，此时α=315°.理由：当AF′长的最大时，点F′在直线AC上，如图所示：∵AB=BC=CD=AD=1，∴AC=BD=，AO=OD=．∴OE′=E′F′=2OD=．∴OF′=．∴AF′=AO+OF′=．∵∠E′OF′=45°∴旋转角α=360°-45°=315°．21.（2015江西省，第20题，8分）(1)如图1，纸片□ABCD中，AD＝5，S□ABCD＝15．过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE'的位置，拼成四边形AEE'D，则四边形AEE'D的形状为()A．平行四边形   B．菱形    C．矩形    D．正方形(2)如图2，在(1)中的四边形纸片AEE'D中，在EE'上取一点F，使EF＝4，剪下△AEF，将它平移至△DE'F'的位置，拼成四边形AFF'D．①求证：四边形AFF'D是菱形；②求四边形AFF'D的两条对角线的长．【答案】(1)C（2）答案略【解析】解：(1)由平移知：AEDE′,∴四边形AEE′D是平行四边形，又AE⊥BC,∴∠AEE′=90°,∴四边形AEE′D是矩形，∴C选项正确.(2)①∵AFDF′,∴四边形AFF′D是平行四边形，∵AE=3,EF=4,∠E=90°,∴AF=5,∵S□ABCD=AD·AE=15,∴AD=5,∴AD=AF,∴四边形AFF′D是菱形.②如下图，连接AF′,DF，在Rt△AEF′中，AE=3,EF′=9,∴AF′=在Rt△DFE′中，FE′=1,DE′=AE=3,∴DF=∴四边形AFF′D两条对角线的长分别是和.22.(2015浙江省绍兴市，23，12分)(本题12分)正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图。(1)若α=0°，则DF=BF，请加以证明；(2)试画一个图形(即反例)，说明(1)中命题的逆命题是假命题；(3)对于(1)中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由。【答案】(1)证明：如图1，正方形ABCD和正方形AEFG中，∵GF=EF，AG=AE，而AD=AB，∴DG=BE。又∵∠DGF=∠BEF=Rt∠，∴△DGF≌△BEF，∴DF=BF；(2)解：图形(即反例)如图2；(3)解：不唯一，如点F在正方形ABCD内或α＜180°。【解析】本题考查了正方形的性质、图形旋转的性质以及逆命题的概念和反例．第(1)题，α=0°时，即点G、E分别在正方形ABCD的边AD、AB上，从而应用三角形全等解决问题；第(2)题，α=180°时，仍然具有△DGF≌△BEF且DF=BF。23.（2015江苏淮安，27，12分）阅读理解：如图①，如果四边形ABCD满足AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，那么我们把这样的四边形叫做"完美筝形"。将一张如图①所示的"完美筝形"纸片ABCD先折叠成如图②所示形状，再展开得到图③，其中CE、CF为折痕，∠BCE=∠ECF=∠FCD，点B＇为点B的对应点，点D＇为点D的对应点，连接EB＇、FD＇相交于点O。简单应用：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为"完美筝形"的是；（2）当图③中的∠BCD=120°时，∠AEB＇=;（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的"完美筝形"有个（包含四边形ABCD）。拓展提升：当图③中的∠BCD=90°时，连接AB＇，请探求∠AB＇E的度数，并说明理由。【答案】（1）正方形（2）80°（3）2个45°【解析】解：（1）因为平行四边形和菱形中不一定有正方形，矩形没有两个邻边相等，所以一定的是正方形。（2）在图3中，因为∠BCD=120°，∠BCE=∠ECF=∠FCD，所以∠BCE=∠ECF=∠FCD=40°又因为∠B=90°，所以∠BEC=50°，所以∠B＇EC=50°所以∠AEB＇=180°-50°-50°=80°（3）"完美筝形"有2个，分别为四边形ABCD和OB＇CD＇∠BCD=90°,四边形ABCD为正方形，所以∠BCE=∠ECF=∠FCD=30°所以假设BE=X，所以BC=x，所以AB=x，所以AE=(-1)x，所以∠AEG=60°，所以EG=AG=所以B'G=x-==AG所以∠AB'G=45°故答案为（1）正方形（2）80°（3）2个45°24.（2015义乌23，10分）如图1，正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，点E在AB上，连结DF，BF.现将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=，其中0°≤≤180°，如图2.（1）若=0°，则DF=BF.请加以证明.（2）试画一个图形（反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题.（3）对于（1）中命题的逆命题，如果补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由.（1）证明：若=0°，如图1.∵四边形AEFG是正方形，∴GF=EF=AG=AE，∠AGF=∠AEF=90°.∴∠DGF=∠BEF=90°.∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∴AD-AG=AB-AE，即DG=BE，在△DGF和△BEF中，，∴△DGF≌△BEF（S）∴BF=DF.（2）反例如图：DF=BF，但≠0°，=180°.（3）答案不唯一，如：补充条件：＜180°.25.(2015年湖南衡阳，28，10分)如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连结CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM＝CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连结ND、BM，设OP＝t.（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）；（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由；（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小.【答案】（１）4+t，t）；（２）不改变；（３）t＝２时，四边形BNDM的面积最小.【解析】解：（１）如图，过点M作ME⊥Ox于点E，∵∠CPM＝90°,∴∠CPO+∠MPE＝90°.∵∠CPO+∠OCP=90°,∴∠MPE=∠OCP.∵∠COP=∠PEM=90°,CP=PM∴△OCP≌△EPM(A),∴OE=PE=4,OP=ME=t，∴OE＝４+t，∴点M的坐标为（４+t，t）.（２）MN的长度恒为４.理由：设MN交AB于点F，∵∠FAE＝∠MEA=∠MFA=90°，∴四边形FAEM为矩形.∴ME=FA=t，∴BF＝４-t.∵OE＝t+４，OA＝４，∴AE＝t，∴FM＝AE＝t，∵MN∥OA，∠BOA＝45°,∴∠BNF＝45°,∴△BNF为等腰直角三角形，∴NF=FB＝4-t∴MN=NF+FM=4.(3)∵DA∥ME∴，∴，DA＝∴BD＝∵BD⊥MN∴＝（）×4＝∴当t＝２时，四边形BNDM的面积最小.26.（2015贵州遵义，24，10分）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A做AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．【答案】（1）证明略；（2）证明略；（3）S菱形ADCF=10．【解析】解：（1）证明：∵AF∥BC∴∠AFE=∠DBE∵E是AD的中点∴AE=DE∵∠AEF=∠DEB∴△AEF≌△DEB．（2）证明：∵△AEF≌△DEB∴AF=DB∵D是BC的中点，∴DC=DB∴AF=DC∵AF∥DC∴四边形ADCF是平行四边形在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，∴AD=CD∴□ADCF是菱形．（3）解：∵菱形ADCF是中心对称图形∴S菱形ADCF=2S△ADC∵D是BC的中点，∴CD=BC∴S△ADC=S△ABC，即S△ABC=2S△ADC∴S菱形ADCF=S△ABC=AB·AC=×5×4=10．27.（2015娄底市，25，10分）如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交BA的延长线于点M.（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；（2）若AB=3，BP=2PC，求QM的长；（3）当BP=m，PC=n时，求AM.【答案】（1）AP=BQ（2）QM=3.25（3）AM=【解析】解：AP=BQ，理由：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°∵AP⊥QB，∠C=90°∴∠APB=∠CQB在Rt△BCQ和Rt△ABP中：AB=BC，∠ABC=∠C，∠APB=∠CQB∴Rt△BCQ≌Rt△ABP∴AP=BQ.（2）由（1）可知：QC=PB,∵AB=3，PB=2PC∴QC=2由折叠的性质可知：QC′=2,∠CQB=∠C′QB，CB=C′B=3∵DC∥AB∴∠MBQ=∠CQB∴∠C′QB=∠MBQ∴MQ=MB设AM=x，则QM=3+x，MC′=1+x在Rt△BMC′中，由勾股定理得：（1+x）2+32=(3+x)2解得x=0.25∴QM=3.25（3）∵BP=m，PC=n设AM=x，则BM=（m+n）+x，MC′=n+x，C′B=m+n在Rt△BMC′中，由勾股定理得：（n+x）2+(m+n)2=(m+n+x)2解得：x=∴AM=.