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一、选择题1.（2015江苏泰州，6，3分）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】D2.(2015浙江省绍兴市，7，4分)如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线。此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE。则说明这两个三角形全等的依据是A.SB.AC.AD.SSS第7题【答案】D【解析】本题考查了全等三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握全等三角形常见判定方法．由图和条件可知：AB=AD，BC=DC，AC是公共边，即AC=AC，根据三角形全等的判定方法可得这两个三角形全等的依据是"边边边"，因此，本题的正确答案为D．3.（2015义乌7，3分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可说明△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则此两个三角形全等的依据是（）A.SB.AC.AD.SSS【答案】D二、填空题1.（2015江西省，第9题，3分）如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA＝OB．则图中有对全等三角形．【答案】3【解析】∵∠POE=∠POF,∠PEO=∠PFO=90°OP=OP,∴△POE≌△POF(A),又OA=OB,∠POA=∠POB,OP=OP,∴△POA≌△POB(A),∴PA=PB,∵PE=PF,∴Rt△PAE≌Rt△PBF(HL).∴图中共有3对全的三角形.故答案为32.（2015娄底市，13，3分）已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需要加一个条件，你添加的条件是.(只需写一个，不添加辅助线)【答案】AD=CD或∠ABD=∠CBD【解析】解：△ABD和△CBD中，AB=BC，BD=BD，根据全等三角形的判定定理可知AD=CD或∠ABD=∠CBD时，两三角形全等.3.（2015湖南省永州市，15，3分）如下图，在△ABC中，己知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则CE＝____(第15题图)【答案】CE＝3.【解析】解：∵∠1＝∠2，∠A＝∠A，BE＝CD，∴△ABE≌△ACD.∴AD＝AE＝2,AB＝AC＝5.∴CE＝AC－AE＝5－2＝3.三、解答题1.（2015年四川省宜宾市，18，6分）如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE。求证：∠A=∠D【答案】证明：∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE即∠DCE=∠ACB在△ACB和△DCE中，AC=DC，∠DCE=∠ACB，BC=EC，∴△ACB≌△DCE，∴∠A=∠D2.（2015重庆B卷，20，7分）如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AC=DE，AB∥EF.求证：BC=FD.【答案】答案略【解析】证明：∵AB∥EF∴∠A＝∠E∴△ABC≌△EFD∴BC=FD3.（2015重庆B卷，25，12分）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F.求证：；（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交与点F，作DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：.【答案】（１）2；（２）答案略；（３）答案略【解析】解：⑴由四边形AEDF的内角和为360°，可知DE⊥AB，故BE＝２⑵取AB的中点G，连接DG易证：DG为△ABC的中位线，故DG=DC，∠BGD＝∠C＝60°又四边形AEDF的对角互补，故∠GED＝∠DFC∴△DEG≌△DFC故EG=CF∴BE+CF=BE+EG=BG=AB⑶取AB的中点G，连接DG同⑵，易证△DEG≌△DFC故EG=CF故BE-CF=BE-EG=BG=AB设CN＝x在Rt△DCN中，CD=2x，DN=x在RT△DFN中，NF=DN=x，故EG=CF=（-1）xBE=BG+EG=DC+CF=2x+（-1）x=（+1）x故BE+CF=（+1）x+（-1）x＝２x，（BE-CF）=[(+1)x-（-1）x]=２x.故.4.（2015福建省福州市，19，8分）如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD.【答案】证明：∵∠3=∠4，∴∠ABC=∠ABD.在△ABC和△ABD中，∴△ABC≌△ABD(A)∴AC=AD.5.（2015四川省泸州市）如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD.求证：BC=DE.【答案】证明：∵∠1=∠2∴∠CAB=∠EAD在△CAB和△EAD中∴△CAB≌△EAD∴BC=DE6.（2015山东济南，27，9分）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与点A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D.（1）直接写出∠NDE的度数；（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD=，其他条件不变，求线段AM的长.【答案】【解析】（1）∵∠ACB=90°，∠MCN=90°∴∠ACM+∠BCM=∠NCB+∠BCM=90°∴∠NCB=∠MCA∵CN=CMBC=AC∴△NCB≌△MCA∴∠NBC=∠MAC=90°=∠ACB∴BN平行AC∴∠NDE=∠EAC=90°（2）不变.如图2：在△ACM和△BCN中∴△ACM≌△BCN（S）∴∠N=∠AMC又∵∠MFD=∠NFC∴∠MOF=∠FCN=90°（3）过点G作GK⊥BC，则∵∠1=15°∴∠3=30°又∵∠ACM=60°∴∠GCB=30°∴∠4=∠ABC+∠GCB=75°∴AE=AM又∵△AMC≌△BNC∴∠1=∠2∴∠BDA=∠ACB=90°∵BD=∴AB=2BD=∴AC=BC=设BK=a则GK=a，KC=a∴∴a=1∴BK=GK=1GB=∴AG=即AM=7.（2015四川南充，19，8分）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE．求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF＝2CD．【答案】（1）略；（2）AF＝2CD．【解析】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD=90°.∵CE⊥AB，∴∠B+∠BCE=90°.∴∠EAF=∠ECB.………………………………（1分）在△AEF和△CEB中，∴△AEF≌△CEB.………………………………（3分）（2）∵△AEF≌△CEB.∴AF=BC.………………………………（4分）∵AB=AC，AD⊥BC.∴CD=BD,BC=2CD.………………………………（5分）∴AF=2CD.………………………………（6分）8.（2015湖南省益阳市，20，12分）已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且AP<PB．AP绕点A逆时针旋转角得到AP1，BP绕点B顺时针也旋转角得到BP2，连接PP1、PP2．（1）如图9-1，当时，求的度数；（2）如图9-2，当点P2在AP1的延长线上时，求证：∽；（3）如图9-3，过BP的中点E作l1⊥BP，过BP2的中点F作l2⊥BP2，l1与l2交于点Q，连接PQ，求证：P1P⊥PQ．【答案】（1）90；(2)(3)证明略；【解析】解：（1）由旋转的性质得：AP=AP1，BP=BP2．∵，∴均为等腰直角三角形,∴，∴.（2）由旋转的性质可知均为顶角为的等腰三角形，∴，∴.在和中，，又，∴∽．（3）如图，连接QB.∵l1，l2分别为PB，P2B的中垂线，∴，.又BP=BP2，∴．在Rt△QBE和Rt△QBF中，，，∴Rt△QBE≌Rt△QBF，∴．由中垂线性质得:，∴．由（2）知,∴,即P1P⊥PQ．9.（2015浙江省温州市，18，8分）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D.（1）求证：AB=CD.（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠Ｄ的度数.【答案】(1)证明：∵AB∥CD,∴∠B=∠C,∵AE=DF,∠A=∠D,∴△ABE≌△DCF，∴AB=CD.(2)解：∵AB=CF，AB=CD，∴DC=CF，∴∠D=∠CFD，∠B=∠C=30°，∴∠D=75°10.（2015浙江省杭州市，18，8分）如图，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，点M，N分别在AB，AC边上，AM=2MB，AN=2NC.求证：DM=DN.证明：因为AM=2MB，所以AM=AB，同理，AN=AC，又因为AB=AC,所以AM=AN.因为AD平分∠BAC，所以∠MAD=∠NAD.在△AMD和△AND中，,所以△AMD≌△AND，所以DM=DN.11.（2015山东烟台，25，14分）【问题提出】如图1，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，连接EF.试证明：AB=DB+AF.【类比探究】（1）如图2，如果点E在线段AB的延长线上，其它条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由.（2）如果点E在线段BA的延长线上，其它条件不变，请在图3的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由.【问题提出】证明：由旋转知BE=AF，∠ABC=∠FAC，EC=FC，∠ECF=60°，∴△ECF是等边三角形.∴∠FEC=60°.∴∠AEF+∠BEC=120°.∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°.∴∠BEC+∠BCE=120°，∴∠AEF=∠BCE.∵ED=EC，∴∠D=∠ECD.∴∠AEF=∠D.∵∠FAC=60°，∠BAC=60°，∴∠EAF=120°.∵∠ABC=60°，∴∠DBE=120°.∴∠EAF=∠DBE.∴△AEF≌△BDE.∴AE=DB.∵AB=AE+EB，EB=AF，AE=DB，∴AB=DB+AF.【类比探究】（1）AB=DB－AF.解：由旋转知BE=AF，∠EBC=∠FAC，EC=FC，∠ECF=60°，∴△ECF是等边三角形.∴∠FEC=60°，∴∠FEA+∠BEC=60°.∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°.∴∠BEC+∠BCE=60°，∴∠FEA=∠BCE.∵DE=CE，∴∠D=∠BCE，∴∠FEA=∠D.∵∠ABC=60°，∴∠DBE=60°，∠EBC=120°.∴∠FAC=∠EBC=120°.∵∠BAC=60°，∴∠FAE=60°.∴∠FAE=∠DBE.∵∠FEA=∠D，AF=BE，∴△AEF≌△BDE.∴AE=DB.∵AB=AE－BE，AF=BE，∴AB=DB－AF.【类比探究】（2）AB=AF－DB.只画出图3中的一个图即可.12.（2015山东省菏泽市，20，10分）如图，已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC.（1）如左图，过点A作AFAB，并截取AF＝BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；（2）如右图，E是直线BC上的一点，且CE＝BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数，若不是，请说明理由.解：（1）△CDF是等腰三角形.证明：∵∠ABC=90°，AF⊥AB，∴∠FAD=∠DBC.∵AD=BC，AF=BD，∴△FAD≌△DBC，∴FD=DC，∠1=∠2.∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°，即∠CDF=90°，∴△CDF是等腰直角三角形.（1）过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DF、CF.∵∠ABC=90°，AF⊥AB，∴AF∥CE.又∵BD=CE、AF=BD∴AF=CE，∴四边形AFCE是平行四边形.∴FC∥AE，∴∠APD=∠FCD由（1）知，∠APD=45°.说明：1.此处的辅助线也可以使用平移方法：将线段CE沿EA方向移至AF的位置，连接FD、FC.2.方法二：将线段CE沿CD方向移至DF的位置，连接AF、EF.方法三：将线段AD沿AE方向移至EF的位置，连接CF、DF.13.（2015湖南株洲，22，8分）（本题满分8分）如图，在ABC中，∠C＝90?，BD是ABC的一条角一平分线，点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形，（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长【答案】（1）证明略（2）OE=2【解析】解：（1）过点O作ON⊥AB于点M∵正方形OECF∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F∵BD平分∠ABC，OM⊥AB于M，OE⊥BC于E∴OM＝OE＝OF∵OM⊥AB于M，OE⊥BC于E∴∠AMO＝90°，∠AFO＝90°∵∴Rt△AMO≌Rt△AFO∴∠MA0＝∠FAO[来源:学+科+网]∴点O在∠BAC的平分线上（2）方法一：[来源:学科网]∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12∴AB＝13易证：BE＝BM，AM＝AF又BE＝BC－CE，AF＝：AC－CF，而CE＝CF＝OE故：BE＝12－OE，AF＝5－OE显然：BM＋AM＝AB即：BE＋AF＝1312－OE＋5－OE＝13解得OE＝2方法二利用面积法：S△ABC＝S△ABC＝从而解得。OE＝214.（2015江苏淮安，21，8分）已知，在矩形ABCD中，点E、F在边AD上，且AE=DF.求证：BF=CE【答案】因为矩形ABCD，所以∠A=∠D=90°，AB=CD。因为AE=DF，所以AD-AE=AD-DE，所以DE=AF，在△ABF和△DCE中，∠A=∠D，DE=AF，AB=CD，所以△ABF≌△DCE，所以BF=CE【解析】解：因为矩形ABCD，所以∠A=∠D=90°，AB=CD。因为AE=DF，所以AD-AE=AD-DE，所以DE=AF，在△ABF和△DCE中，∠A=∠D，DE=AF，AB=CD，所以△ABF≌△DCE，所以BF=CE15.（2015湖南常德，26，10分）如图11，在菱形ABCD中，E是CD上的一点，连接BE交AC于O，连接DO并延长交BC于F.⑴求证：△FOC≌△EOC⑵将图11中的AD、BE分别延长交于点N，连接CN，作EM∥BC交CN于M，再连接FM即得到图12.求证：①；②FD=FM【答案】⑴证明略⑵证明略【解析】⑴证明：∵四边形ABCD是菱形∴BC=DC，∠BCA=∠DCA又CO=CO∴△BCO≌△DCO∴CF=CE又∠FCO=∠ECOCO=CO∴△FOC≌△EOC⑵证明：①∵EM∥BC∴△EMN∽△EBC∴∴∵AD∥BC,EM∥BC∴EM∥DN∴又由⑴可知△FOC≌△EOC则CE=CF，CD=CB∴∴②∵又∠FCM=∠BCN∴△FCM∽△BCN∴∠FMC=∠BNC∴FM∥BN又∵EM∥BC∴四边形BEMF是平行四边形∴FM=BE又∵在△DCF与△BCE中CF=CE∠DCF=∠BCECD=CB∴△DCF≌△BCE，∴FD=BE∴FD=FM16.（2015贵州省铜仁市，21，10分）已知：如图，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，FE＝FD.求证：AD＝CE.第21题图第21题图1【答案】解：如图1，过点D作DG//BC，∵在等边三角形ABC，FE＝FD.∴∠ADG＝∠B＝60°＝∠A∴三角形ADG是等边三形∴DG＝AD∵∠DGF＝∠FCE，∠FDG＝∠E∴△DGF≌△CEF∴DG＝CE∴AD＝CE17.（2015湖南省永州市，23，8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°,BC＝DC,延长AD到E点，使DE＝AB.(1)求证:∠ABC＝∠EDC;(2)求证：△ABC≌△EDC.(第23题图)【答案】(1)证明略；(2)证明略.【解析】(1)证明：在四边形ABCD中，∵∠A＝∠BCD＝90°,∴∠B＋∠ADC＝180°.又∵∠ADC＋∠EDC＝180°,∴∠ABC＝∠EDC.(2)证明：连接AC.(第23题图)∵BC＝DC∠ABC＝∠EDCAB＝DE,∴△ABC≌△EDC.18.（2014江苏省苏州市，24，8分）如图，在△ABC中，AB=AC．分别以B、C为圆心，BC长为半径在BC下方画弧，设两弧交于点D，与AB、AC的延长线分别交于点E、F，连接AD、BD、CD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若BC=6，∠BAC＝50，求、的长度之和（结果保留）．【答案】（1）由作图可知BD=CD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC．（2）∵AB=AC，BAC=50°，∴∠ABC＝∠ACB=65°．∵BD=CD=BC，∴△BDC为等边三角形．∴∠DBC＝∠DCB=60°．∴∠DBE＝∠DCF=55°．∵BC=6，∴BD=CD=6．∴的长度=的长度=．∴、的长度之和为