资源资源简介：

2016届全国中考数学模拟专题练（21份）§4.6矩形、菱形、正方形A组2015年全国中考题组一、选择题1．(2015·四川泸州，6，3分)菱形具有而平行四边形不具有的性质是()A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直解析根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直．A．不正确，两组对边分别平行，两者均有此性质；B．不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质；C．不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；D．菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．答案D2．(2015·山东日照，6，3分)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使?ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是()A．①②B．②③C．①③D．②④解析A．∵四边形ABCD是平行四边形，∴当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，当②∠ABC＝90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项错误；B．∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，当AC＝BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项正确；C．∵四边形ABCD是平行四边形，∴当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，当③AC＝BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项错误；D．∵四边形ABCD是平行四边形，∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项错误．答案B3．(2015·山东青岛，7，3分)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连结EF.若EF＝3，BD＝4，则菱形ABCD的周长为()A．4B．46C．47D．28解析有三角形的中位线的性质可得AC＝2EF＝23，再由菱形的性质可得OA＝3，BO＝2，所以AB＝（3）2＋22＝7，所以周长＝4AB＝47.答案C4．(2015·安徽，9，4分)如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4.点E在边AB上，点F在边CD上，点G，H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是()A．25B．35C．5D．6解析连结EF交AC于O，由四边形EGFH是菱形，得到EF⊥AC，OE＝OF，由于四边形ABCD是矩形，得到∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，通过△CFO≌△AEO，得到AO＝CO，求出AO＝12AC＝25，根据△AOE∽△ABC，即可得到结果．答案C5．(2015·重庆B卷，12，4分)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC＝60°，顶点C的坐标为(m，33)，反比例函数y＝kx的图象与菱形对角线AO交D点，连结BD，当DB⊥x轴时，k的值是()A．63B．－63C．123D．－123解析首先过点C作CE⊥x轴于点E，由∠BOC＝60°，顶点C的坐标为(m，33)，可求得OC的长，又由菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，可求得OB的长，且∠AOB＝30°，继而求得DB的长，则可求得点D的坐标，又由反比例函数y＝kx的图象与菱形对角线AO交D点，即可求得答案．答案D二、填空题6．(2015·湖北黄冈，12，3分)如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E.若∠CBF＝20°，则∠AED等于________度．解析根据正方形的性质得出∠BAE＝∠DAE，再利用S证明△ABE与△ADE全等，再利用三角形的内角和解答即可．答案657．(2015·山东滨州，14，4分)如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC＝35，则对角线AC的长为________．解析连结BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.在Rt△AOB中，∵AB＝15，sin∠BAC＝35，∴sin∠BAC＝BOAB＝35，∴BO＝9，∴AB2＝OB2＋AO2，∴AO＝AB2－OB2＝152－92＝12，∴AC＝2AO＝24.答案248．(2015·四川宜宾，12，3)如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E，若PE＝3，则点P到AD的距离为________．解析由菱形的性质："菱形的对角线平分每一组对角"得AC平分∠DAB，∵PE⊥AB于点E，若PE＝3，∴点P到AD的距离＝PE＝3.答案39．(2015·山东日照，14，4分)边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC的面积为______．解析过点C作CD和CE垂直正方形的两个边或其延长线，垂足分别为D，E，如图，则四边形DBEC是矩形，∴CE＝DB＝12，∴△ABC的面积＝12×1×12＝14.答案14三、解答题10．★(2015·浙江嘉兴，19，8分)如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF＝DE，AF和DE相交于点G.(1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角；(2)选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明．解(1)与∠AED相等的角有：∠BFA，∠GAD，∠CDE；(2)选∠AED＝∠BFA.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAE＝∠B＝90°，DA＝AB.在Rt△DAE与Rt△ABF中，DA＝AB，AF＝DE，∴Rt△DAE≌Rt△ABF.∴∠AED＝∠BFA.11．(2015·浙江衢州，21，8分)如图1，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图2.(1)求证：EG＝CH；(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．(1)证明由折叠知AE＝AD＝EG，BC＝CH.由矩形ABCD知AD＝BC，∴EG＝CH.(2)解∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，AF＝2.∴DG＝2，DF＝2，∴AD＝2＋2，由折叠知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠4＝90°，∠1＋∠3＝90°.∵∠1＋∠AFE＝90°，∴∠3＝∠AFE.又∵∠A＝∠B＝90°，由(1)知，AE＝BC，∴△EFA≌△CEB，∴AF＝BE，∴AB＝AE＋BE＝2＋2＋2＝2＋22.B组2014～2011年全国中考题组一、选择题1．(2014·重庆B卷，8，4分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为()A．30°B．60°C．90°D．120°解析由矩形的性质可得∠ABC＝90°，AO＝OB，又∵∠ACB＝30°，∴∠BAC＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°.故选B.答案B2．(2014·浙江宁波，6，4分)菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是()A．10B．8C．6D．5解析∵菱形的两条对角线长分别是6和8，对角线互相垂直平分，∴菱形的边长为32＋42＝5，故选D.答案D3．(2014·浙江宁波，11，4分)如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3.H是AF的中点，那么CH的长是()A．2.5B.5C.322D．2解析法一取BE的中点M，连结HM，∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，BC＝1，CE＝3，∴AB⊥BE，FE⊥BE，∴AB∥FE，∵H是AF的中点，∴HM＝12(AB＋EF)＝12(1＋3)＝2，HM∥FE，∴HM⊥BE.∵BM＝12(BC＋CE)＝2，∴CM＝BM－BC＝2－1＝1，在Rt△HMC中，HC＝HM2＋CM2＝22＋12＝5，故选B.法二连结AC，CF，则∠ACB＝∠FCE＝45°.∴∠ACF＝90°.∵AC＝2，CF＝32，∴AF＝（2）2＋（32）2＝25，∵H是AF的中点，∴HC＝12AF＝5，故选B.答案B4．(2014·山东青岛，7，3分)如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB＝6，BC＝9，则BF的长为()A．4B．32C．4.5D．5解析设BF＝x，则C′F＝CF＝9－x.∵C′是AB的中点，AB＝6，∴BC′＝3.在Rt△BFC′中，BF2＋C′B2＝C′F2，∴32＋x2＝(9－x)2，解得x＝4.故选A.答案A5．(2013·江苏连云港，8，3分)如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为()A．1B.2C．4－22D．32－4解析由∠BAE＝22.5°，∠ADB＝45°，易知△ADE是等腰三角形，△BEF是等腰直角三角形，所以DE＝AD＝4，BE＝42－4，设EF＝x，则2x2＝(42－4)2，解得x＝4－22，故选C.答案C二、填空题6．(2013·江苏宿迁，12，3分)如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α是________度时，两条对角线长度相等．解析当∠α是90°时，平行四边形框架是矩形，由矩形的性质可知，对角线长度相等．答案907．(2014·浙江金华，15，3分)如图，矩形ABCD中，AB＝8，点E是AD上的一点，有AE＝4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是________．解析因为G是CD的中点，所以DG＝CG＝4.在△DGE与△CGF中，∠D＝∠GCF，DG＝CG，∠EGD＝∠FGC，所以△DGE≌△CGF.所以CF＝DE，FG＝EG.令BC＝AD＝x，则CF＝DE＝x－4，所以BF＝2x－4，在Rt△DGE中，根据勾股定理可得EG＝ED2＋DG2＝（x－4）2＋42.又因为HF垂直平分BE，所以EF＝BF，BF2＝(2EG)2，所以(2x－4)2＝4[(x－4)2＋42]，解得x＝7，故答案为7.答案78．(2013·浙江舟山，16，4分)如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝BF＝1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程为________．解析依题意，得到右图．易发现小球是沿着E→F→G→H→M→N→E的轨迹来运动的，故需分别求出线段EF，FG，GH，HM，MN，NE的长度，同时通过观察图形，易得到EF＝HM＝5，GH＝EN＝125，FG＝MN＝325，∴当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程为65.答案659．(2013·浙江丽水，15，4分)如图，四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，其中点C在AF上，点E，G分别在BC，CD上，若∠BAD＝135°，∠EAG＝75°，则ABAE＝________．解析作EH⊥AB于H，由对称性知，图形关于AF对称，∴∠BAE＝∠DAG＝12(∠BAD－∠EAG)＝30°，∠B＝180°－∠BAD＝45°.在Rt△BHE中，∠B＝∠BEH＝45°，设BH＝x，则EH＝BH＝x，在Rt△EHA中，∠BAE＝30°，则AE＝2HE＝2x，AH＝AE2－EH2＝（2x）2－x2＝3x.∴AB＝BH＋AH＝x＋3x，故ABAE＝x＋3x2x＝1＋32.答案1＋32三、解答题10．(2014·浙江嘉兴，20，8分)已知：如图，在?ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF.(1)求证：△DOE≌△BOF；(2)当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AD∥BC.∴∠EDB＝∠FBO.∵O为BD中点，∴BO＝DO.在△EOD和△FOB中，∠EDO＝∠OBF，DO＝BO，∠EOD＝∠FOB.∴△DOE≌△BOF(A)．(2)解当∠DOE＝90°时，四边形BFED为菱形．理由：∵△DOE≌△BOF，∴BF＝DE.又∵BF∥DE，∴四边形EBFD是平行四边形．∵∠DOE＝90°，即EF⊥BD.∴四边形BFED为菱形．11．★(2013·山东济宁，20，6分)如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE.(1)求证：AF＝BE；(2)如图2，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？并说明理由．(1)证明设AF与BE交于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°，∴Rt△ADF中，∠FAD＋∠AFD＝90°.∵AF⊥BE，∴∠AGE＝90°，在Rt△AGE中，∠FAD＋∠AEG＝90°.∴∠AFD＝∠AEG.∴△DAF≌△ABE.∴AF＝BE.(2)解MP＝NQ理由：过点A作AF∥MP交CD于点F，过点B作BE∥NQ交AD于E，得到?BEQN和?AFPM，∴AF＝MP，BE＝NQ，由(1)得AF＝BE，∴MP＝NQ.§4.5多边形与平行四边形A组2015年全国中考题组一、选择题1．(2015·山东济宁，7，3分)只有下列哪一种正多边形，可以进行平面镶嵌()A．正五边形B．正六边形C．正八边形D．正十边形解析设正多边形的每个内角的度数为n度，若能平面镶嵌则360÷n为整数．答案B2．(2015·安徽，8，4分)在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，点E在边AB上，∠AED＝60°，则一定有()A．∠ADE＝20°B．∠ADE＝30°C．∠ADE＝12∠ADCD．∠ADE＝13∠ADC解析利用三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，分别表示出∠A，∠B，∠C，根据∠A＝∠B＝∠C，得到∠ADE＝12∠EDC，因为∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝12∠EDC＋∠EDC＝32∠EDC，所以∠ADE＝13∠ADC，即可解答．答案D3．(2015·湖北孝感，8，3分)已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是()A．正五边形B．正六边形C．正七边形D．正八边形解析设所求正n边形边数为n，则60°·n＝360°，解得n＝6.故正多边形的边数是6.答案B4．(2015·江苏常州，6，2分)如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列说法一定正确的是()A．AO＝ODB．AO⊥ODC．AO＝OCD．AO⊥AB解析根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．对角线不一定相等，A错误；对角线不一定互相垂直，B错误；对角线互相平分，C正确；对角线与边不一定垂直，D错误．答案C5．(2015·江苏连云港，5，3分)已知四边形ABCD，下列说法正确的是()A．当AD＝BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD＝BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC＝BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形解析∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C不正确；∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确．答案B6.(2015·江西南昌，5，3分)如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是()A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形B．BD的长度增大C．四边形ABCD的面积不变D．四边形ABCD的周长不变解析由将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，由平行四边形的判定定理知四边形变成平行四边形，由于四边形的每条边的长度没变，所以周长没变；拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，BD的长度增加了．答案C7．(2015·浙江衢州，4，3分)如图，在?ABCD中，已知AD＝12cm，AB＝8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于()A．8cmB．6cmC．4cmD．2cm解析因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC，所以∠DAE＝∠AEB，又因为AE平分∠BAD，所以∠BAE＝∠DAE，所以∠BAE＝∠AEB，所以BE＝AB＝8，所以EC＝12－8＝4(cm)．答案C二、填空题8．(2015·浙江杭州，16，4分)如图，在四边形纸片ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠B＝150°，将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD＝________．解析如图1所示：延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC于点T，当四边形ABCE为平行四边形时，∵AB＝BC，∴四边形ABCE是菱形．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝150°，BC∥AN，∴∠ADC＝30°，∠BAN＝∠BCE＝30°，则∠NAD＝60°，∴∠AND＝90°.∵四边形ABCE面积为2，∴设BT＝x，则BC＝EC＝2x，故2x·x＝2，解得：x＝1(负数舍去)，则AE＝EC＝2，EN＝22－12＝3，故AN＝2＋3，则AD＝DC＝4＋23；如图2，当四边形BEDF是平行四边形时，∵BE＝BF，∴平行四边形BEDF是菱形．∵∠A＝∠C＝90°，∠B＝150°，∴∠ADB＝∠BDC＝15°.∵BE＝DE，∴∠AEB＝30°，∴设AB＝y，则BE＝2y，AE＝3y.∵四边形BEDF面积为2，∴AB×DE＝2y2＝2，解得：y＝1，故AE＝3，DE＝2，则AD＝2＋3.综上所述：CD的值为2＋3或4＋23.答案23＋4或2＋39．(2015·湖北十堰，14，3)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB为边向外作等边△ACD、等边△ABE，EF⊥AB，垂足为F，连结DF，当ACAB＝________时，四边形ADFE是平行四边形．解析由△ABE为等边三角形，EF垂直于AB，利用三线合一得到EF为角平分线，得到∠AEF＝30°.若四边形ADFE是平行四边形，则AD∥EF，∴∠DAF＝∠AFE＝90°.又∵∠DAC＝60°，∴∠CAB＝30°.又∵cos∠CAB＝ACAB，∴ACAB＝32.答案32三、解答题10．(2015·四川遂宁，19，9分)如图，?ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，求证：(1)AE＝CF；(2)四边形AECF是平行四边形．证明(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠ABE＝∠CDF.在△ABE和△CDF中，AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，BE＝DF，∴△ABE≌△CDF(S)．∴AE＝CF.(2)∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF.∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．11．(2015·江苏扬州，23，10分)如图，将?ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连结BE.(1)求证：四边形BCED′是平行四边形；(2)若BE平分∠ABC，求证：AB2＝AE2＋BE2.证明(1)∵将?ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，∴∠DAE＝∠D′AE，∠DEA＝∠D′EA，∠D＝∠AD′E.∵DE∥AD′，∴∠DEA＝∠EAD′，∴∠DAE＝∠EAD′＝∠DEA＝∠D′EA，∴∠DAD′＝∠DED′，∴四边形DAD′E是平行四边形，∴DE＝AD′.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB綊DC，∴CE綊D′B，∴四边形BCED′是平行四边形．(2)∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠EBA.∵AD∥BC，∴∠DAB＋∠CBA＝180°.∵∠DAE＝∠BAE，∴∠EAB＋∠EBA＝90°，∴∠AEB＝90°，∴AB2＝AE2＋BE2.B组2014～2011年全国中考题组一、选择题1．(2013·浙江杭州，3，3分)在?ABCD中，下列结论一定正确的是()A．AC⊥BDB．∠A＋∠B＝180°C．AB＝ADD．∠A≠∠C解析平行四边形的对角线互相平分，但不一定垂直，∴A错误；∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，∴B正确；平行四边形的对边相等，但邻边不一定相等，∴C错误；∵∠A＝∠C，∴D错误．故选B.答案B2．(2014·江苏宿迁，3，3分)如图，?ABCD中，BC＝BD，∠C＝74°，则∠ADB的度数是()A．16°B．22°C．32°D．68°解析∵BC＝BD，∠C＝74°，∴∠BDC＝∠C＝74°，∴∠DBC＝180°－74°×2＝32°.∵?ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝32°.故选C.答案C3．(2014·贵州黔东南，3，4分)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是()A．AB∥DC，AD＝BCB．AB∥DC，AD∥BCC．AB＝DC，AD＝BCD．OA＝OC，OB＝OD解析A中，条件为一组对边平行，另一组对边相等，不能判断四边形ABCD是平行四边形；B中，条件是两组对边分别平行，能判断四边形ABCD是平行四边形；C中，条件是两组对边相等，能判断四边形ABCD是平行四边形；D中，条件是对角线互相平分，能判断四边形ABCD是平行四边形．故选A.答案A二、填空题4．(2014·江苏泰州，9，3分)五边形的内角和为________．解析(5－2)×180°＝540°，则五边形的内角和为540°.答案540°5.(2014·福建福州，14，4分)如图，在?ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则?ABCD的周长是________．解析在?ABCD中，BC＝AD＝6，∵BE＝2，∴CE＝4.∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED.∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE.∴∠CED＝∠CDE，∴CD＝CE＝4.∴?ABCD的周长是(6＋4)×2＝20.答案206．(2011·浙江丽水，15，4分)如图，在?ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是________．解析∵AB∥DC，∴∠H＝∠BFE＝90°，∠ECH＝∠B.又∵BE＝EC，∴Rt△BEF≌Rt△CEH，∴BF＝CH，FE＝EH，∴S△DEF＝S△DEH＝12S△DFH.在Rt△BEF中，∠ABC＝60°，BE＝12BC＝2，∴BF＝1，FE＝BEsin60°＝2×32＝3，∴S△DFH＝12DH·FH＝12×(1＋3)×23＝43，∴S△DEF＝23.答案23三、解答题7．★(2013·北京，19，5分)如图，在?ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝12BC，连结DE，CF.(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；(2)若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长．(1)证明在?ABCD中，AD∥BC，AD＝BC.∵F是AD中点，∴DF＝12AD.又∵CE＝12BC，∴DF＝CE且DF∥CE.∴四边形CEDF为平行四边形．(2)解过点D作DH⊥BE于H，在?ABCD中，∵∠B＝60°，∴∠DCE＝60°.∵AB＝4，∴CD＝4.∴CH＝2，DH＝23.在?CEDF中，CE＝DF＝12AD＝3.∴EH＝1.在Rt△DHE中，DE＝（23）2＋12＝13.8．(2013·浙江台州，22，12分)如图，在?ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE＝BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在点B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连结DG，B′G.求证：(1)∠1＝∠2；(2)DG＝B′G.证明(1)在?ABCD中，AB∥CD，∴∠2＝∠FEC.由折叠，得∠1＝∠FEC，∴∠1＝∠2.(2)由(1)知：∠1＝∠2，∴EG＝GF.∵AB∥CD，∴∠DEG＝∠EGF由折叠，得EC′∥FB′，∴∠B′FG＝∠EGF，∴∠B′FG＝∠DEG.∵DE＝BF＝B′F，∴DE＝B′F.∴△DEG≌△B′FG.∴DG＝B′G.§4.3全等三角形A组2015年全国中考题组一、选择题1．(2015·贵州六盘水，9，3分)如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是()A．∠A＝∠DB．AB＝DCC．∠ACB＝∠DBCD．AC＝BD解析A．可利用A定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B.可利用S定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C.利用A判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；D.SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意．答案D2．(2015·江苏泰州，6，3分)如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是()A．1对B．2对C．3对D．4对解析根据已知条件"AB＝AC，D为BC中点"，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，O，F，推出△AOE≌△COE，易根据"SSS"得到△COD≌△BOD，△AOC≌△AOB.故共有4对全等三角形．答案D3．(2015·湖北宜昌，14，3分)如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析根据全等三角形的判定得出点P的位置即可．要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个．答案C二、填空题4．(2015·江西南昌，9，3分)如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA＝OB，则图中有________对全等三角形．解析由OP平分∠MON，PE⊥OM，PF⊥ON，得PE＝PF，∠1＝∠2，∠PEO＝∠PFO＝90°，可证得△POE≌△POF(A)．由OA＝OB.∠1＝∠2，OP＝OP证得△AOP≌△BOP(S)，从而得出PA＝PB.又∵∠PEA＝∠PFB＝90°，PE＝PF，∴Rt△PAE≌Rt△PBF(HL)．∴图中共有3对全等三角形．答案35．(2015·黔东南州，12，4分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连结BD.请添加一个适当的条件________，使△ABD≌△CDB(只需写一个)．解析∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，而BD＝DB，∴当添加AB＝CD时，可根据"S"判断△ABD≌△CDB.答案AB＝CD(答案不唯一)6．(2015·湖南邵阳，12，3分)如图，在?ABCD中，E，F为对角线AC上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形：________．解析∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠DAC＝∠BCA.∵BE∥DF，∴∠DFC＝∠BEA，∴∠AFD＝∠BEC，在△ADF与△CBE中，∠DAC＝∠BCA，∠AFD＝∠CEB，AD＝BC，∴△ADF≌△CBE(A)．(答案不唯一)答案△ADF≌△CBE(答案不唯一)三、解答题7．(2015·浙江杭州，18，8分)如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC.点M，N分别在AB，AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC.求证：DM＝DN.证明∵AM＝2MB，∴AM＝23AB，同理AN＝23AC.又∵AB＝AC，∴AM＝AN.∵AD平分∠BAC，∴∠MAD＝∠NAD.在△AMD和△AND中，AM＝AN，∠MAD＝∠NAD，AD＝AD，∴△AMD≌△AND，∴DM＝DN.8．(2015·四川泸州，18，6分)如图，AC＝AE，∠1＝∠2，AB＝AD.求证：BC＝DE.证明∵∠1＝∠2，∴∠CAB＝∠DAE.在△BAC和△DAE中，AC＝AE，∠CAB＝∠DAE，AB＝AD，∴△BAC≌△DAE(S)，∴BC＝DE.9．(2015·山东青岛，21，8分)已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△ABD≌△CAE；(2)连结DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．(1)证明∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，BD＝CD.∵AE∥BC，CE⊥AE，∴四边形ADCE是矩形．∴AD＝CE.在Rt△ABD与Rt△CAE中，AD＝CE，AB＝CA，∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)．(2)解DE∥AB，DE＝AB.证明如下：如图所示，∵四边形ADCE是矩形，∴AE＝CD＝BD，AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴DE∥AB，DE＝AB.B组2014～2011年全国中考题组一、选择题1．(2013·浙江台州，10，4分)已知△A1B1C1与△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：①若A1B1＝A2B2，A1C1＝A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1＝∠A2，∠B1＝∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2.对于上述的两个判断，下列说法正确的是()A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①，②都错误D．①，②都正确解析①中，∵A1B1＝A2B2，A1C1＝A2C2，又∵两三角形周长相等，∴C1B1＝C2B2.由三边对应相等可得两三角形全等，∴①正确；②中，∵∠A1＝∠A2，∠B1＝∠B2，∴△A1B1C1∽△A2B2C1.又∵△A1B1C1，△A2B2C2周长相等．∴△A1B1C1≌△A2B2C2.∴②正确，故选D.答案D2．(2014·贵州安顺，4，3分)用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是()A．SB．SSSC．AD．A解析由作图痕迹和作图方法可知：OC＝OD＝O′C′＝O′D′，CD＝C′D′，则根据"SSS"证明△OCD≌△O′C′D′，得出∠A′O′B′＝∠AOB.故选B.答案B3．(2014·四川南充，5，3分)如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1，3)，则点C的坐标为()A．(－3，1)B．(－1，3)C．(3，1)D．(－3，－1)解析如图，作CE⊥x轴于E，由正方形的性质可得OA＝OC，∠COE＝∠OAF，又知∠CEO＝∠OFA＝90°，∴△COE≌△OAF.∴CE＝OF＝1，OE＝AF＝3，∴点C的坐标为(－3，1)．故选A.答案A二、填空题4．(2014·湖南长沙，17，3分)如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝________．解析∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF.∵BE＝CF，∴BC＝EF.又∵AB＝DE，∴△ABC≌△DEF(S)．∴DF＝AC＝6.答案65．(2013·浙江义乌，14，4分)如图，已知∠B＝∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE(不标注新的字母，不添加新的线段)，你添加的条件是________．解析∵∠A＝∠A，AB＝AC，∠B＝∠C，∴△ABD≌△ACE(A)．其他证明略．答案AB＝AC或AD＝AE或BD＝CE或BE＝CD(写出一个即可)6．(2014·黑龙江齐齐哈尔，13，3分)如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，要使△ABD≌△ACE，则只需添加一个适当的条件：________(只填一个即可)．解析∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.故可添加BD＝CE，可由"S"证明△ABD≌△ACE；添加∠BAD＝∠CAE，可由"A"证明△ABD≌△ACE；添加∠ADB＝∠AEC，可由"A"证明△ABD≌△ACE；也可添加间接条件，如：∠BAE＝∠CAD，∠ADE＝∠AED等．答案BD＝CE或∠BAD＝∠CAE或∠ADB＝∠AEC等(写出一个即可)三、解答题7．(2013·浙江嘉兴，18，8分)如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC.(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)当∠AEB＝50°时，求∠EBC的度数．(1)证明∵AB＝DC，∠A＝∠D，∠AEB＝∠DEC，∴△ABE≌△DCE.(2)解∵△ABE≌△DCE，∴BE＝CE.∴∠EBC＝∠ECB.∵∠AEB＝50°，∠AEB＝∠EBC＋∠ECB，∴∠EBC＝25°.8．★(2013·陕西，18，6分)如图，∠AOB＝90°，OA＝OB，直线l经过点O，分别过A，B两点作AC⊥l，交l于点C，BD⊥l，交l于点D，求证：AC＝OD.证明∵∠AOB＝90°，∴∠AOC＋∠BOD＝90°.∵AC⊥l，BD⊥l，∴∠ACO＝∠BDO＝90°.∴∠A＋∠AOC＝90°.∴∠A＝∠BOD.又∵OA＝OB，∴△AOC≌△OBD.∴AC＝OD.专题四图表信息问题一、选择题1．(原创题)小林家今年1～5月份的用电量情况如图所示，由图可知，相邻的两个月中，用电量变化最大的是()A．1月至2月B．2月至3月C．3月至4月D．4月至5月解析1～5月份的用电量分别为110，125，95，100，90(单位：千瓦时)，1月至2月用电量增加125－110＝15，2月至3月用电量减少125－95＝30，3月至4月用电量增加100－95＝5，4月至5月用电量减少100－90＝10，由此可知，2月至3月用电量变化最大．故选B.答案B2．(改编题)"保护水资源，节约用水"应成为每个公民的自觉行为．下表是某小区随机抽查到的10户家庭的月用水情况，则下列关于这10户家庭的月用水量说法错误的是()月用水量(吨)4569户数(户)3421A.中位数是5吨B．众数是5吨C．极差是3吨D．平均数是5.3吨解析由表格可知，排列后的10个数据中的第5和第6个数都是5，故中位数是5，A正确；在这一组数据中5是出现次数最多的，故众数是5，B正确；极差是9－4＝5，C错误；平均数是4×3＋5×4＋6×2＋910＝5.3，D正确；故选C.答案C3．(原创题)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①2a－b<0；②abc<0；③a＋b＋c<0；④a－b＋c>0；⑤4a＋2b＋c>0，其中错误的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析观察图象，抛物线开口向下，与y轴交在负半轴，所以a<0，c<0；对称轴在y轴左侧，故－b2a＜0，而a＜0，所以b＜0，所以abc<0，②正确；同时对称轴又在－1的右侧，因此－b2a>－1，化简整理得2a－b<0，故①正确；当x＝1时，图象在x轴下方，因此y<0，即a＋b＋c<0，故③正确；当x＝－1时，y＝a－b＋c<0，当x＝2时，4a＋2b＋c<0，故④、⑤都错误．故选B.答案B二、解答题4．(原创题)为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自2013年1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示：每月用气量单价(元/m3)不超出75m3的部分2.5超出75m3不超出125m3的部分a超出125m3的部分a＋0.25(1)若甲用户3月份的用气量为60m3，则应缴费________元；(2)若调价后每月支出的燃气费为y(元)，每月的用气量为x(m3)，y与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；(3)在(2)的条件下，若乙用户2，3月份共用天然气175m3(3月份用气量低于2月份用气量)，共缴费455元，乙用户2，3月份的用气量各是多少？解(1)由题意，得60×2.5＝150(元)；(2)由题意，得a＝(325－75×2.5)÷(125－75)，a＝2.75，∴a＋0.25＝3.设OA的解析式为y1＝k1x，则有2.5×75＝75k1，∴k1＝2.5，∴线段OA的解析式为y1＝2.5x(0≤x≤75)；设线段AB的解析式为y2＝k2x＋b，由图象，得187.5＝75k2＋b，325＝125k2＋b，解得：k2＝2.75，b＝－18.75.∴线段AB的解析式为：y2＝2.75x－18.75(75＜x≤125)；(385－325)÷3＝20，故C(145，385)，设射线BC的解析式为y3＝k3x＋b1，由图象，得325＝125k3＋b1，385＝145k3＋b1.解得：k3＝3，b1＝－50.∴射线BC的解析式为y3＝3x－50(x＞125)．(3)设乙用户2月份用气xm3，则3月份用气(175－x)m3，当x＞125，175－x≤75时，3x－50＋2.5(175－x)＝455，解得：x＝135，175－135＝40，符合题意；当75＜x≤125，175－x≤75时，2．75x－18.75＋2.5(175－x)＝455，解得：x＝145，不符合题意，舍去；当75＜x≤125，75＜175－x≤125时，2．75x－18.75＋2.75(175－x)－18.75＝455，此方程无解．∴乙用户2，3月份的用气量各是135m3，40m3.5．(改编题)我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品．九年级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．(1)王老师采取的调查方式是________(填"普查"或"抽样调查")，王老师所调查的4个班征集到作品共________件，其中B班征集到作品________件，请把图2补充完整；(2)王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件．(3)如果全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生．现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率(要求写出用树状图或列表分析过程)．解(1)抽样调查123(2)王老师所调查的四个班平均每个班征集作品x＝14×12＝3(件)，∴估计全年级征集到参展作品：3×14＝42(件)．(3)列表如下：第1人结果第2人男1男2男3女1女2男1男1男2男1男3男1女1男1女2男2男2男1男2男3男2女1男2女2男3男3男1男3男2男3女1男3女2女1女1男1女1男2女1男3女1女2女2女2男1女2男2女2男3女2女1共有20种机会均等的结果，其中一男一女占12种．∴P(一男一女)＝1220＝35，即恰好抽中一男一女的概率是35.