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2016年安徽省中考数学要点复习《函数》单元检测卷含答案解析单元检测卷三函数(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.函数y=的自变量x的取值范围是()A.x>1 B.x≥0 C.x≠1 D.x≥0,且x≠1解析:根据题意,得x≥0,且x-1≠0,解得x≥0,且x≠1.答案:D2.下列函数中,图象经过原点的是()A.y=3x B.y=1-2x C.y= D.y=x2-1答案:A3.当x>0时,函数y=的图象位于第四象限,则k的取值可以是()A.0 B.1 C.2 D.3解析:因为反比例函数y=的图象是双曲线,当x>0时,图象如果位于第四象限,那么k-1<0,即k<1,故只有选项A符合.答案:A4.如果点P(2x+6,x-4)在平面直角坐标系的第四象限内,那么x的取值范围在数轴上可表示为()解析:由题意可得解得-3<x<4,故C正确.答案:C5.在平面直角坐标系xOy中,如果有点P(-2,1)与点Q(2,-1),那么:①点P与点Q关于x轴对称;②点P与点Q关于y轴对称;③点P与点Q关于原点对称;④点P与点Q都在函数y=-的图象上.前面的四种描述中正确的是()A.①② B.②③ C.①④ D.③④解析:点P与点Q关于原点对称,故③正确;把点P和点Q的坐标代入y=-均符合,因此它们都在函数y=-的图象上,故④也是正确的.因此选D.答案:D6.对于一次函数y=-2x+4,下列结论错误的是()A.函数值随自变量的增大而减小B.函数的图象不经过第三象限C.函数的图象向下平移4个单位长度得函数y=-2x的图象D.函数的图象与x轴的交点坐标是(0,4)解析:由一次函数y=-2x+4可知其图象经过第一、二、四象限,于是选项A,B正确,通过平移可知C正确.由函数的图象与x轴相交可知交点的纵坐标值为0,故D错误.答案:D7.如图,在平面直角坐标系中,点P在直线y=2x+2与直线y=2x+4之间,则a的取值范围是()A.2<a<4 B.1<a<3C.1<a<2 D.0<a<2解析:若点P在直线y=2x+2上,则有a=2×+2=1;若点P在直线y=2x+4上,则有a=2×+4=3.故当1<a<3时,点P在这两条直线之间.答案:B8.如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位,那么我们把这种变换称为抛物线的简单变换.已知一条抛物线经过两次简单变换后得到的抛物线是y=x2+1,则原抛物线的解析式不可能是()A.y=x2-1 B.y=x2+6x+5C.y=x2+4x+4 D.y=x2+8x+17解析:∵抛物线y=x2+1向左平移4个单位得到y=(x+4)2+1=x2+8x+17,向下平移2个单位得到y=x2+1-2=x2-1;抛物线y=x2+1向左平移2个单位且向下平移1个单位得到y=(x+2)2+1-1=x2+4x+4,∴原抛物线的解析式不可能是y=x2+6x+5.答案:B9.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(-1,2),与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论:①b2-4ac<0;②a+b+c<0;③方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根.其中正确结论的个数为()A.0 B.1 C.2 D.3解析:∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,∴①错误;∵顶点为D(-1,2),∴抛物线的对称轴为直线x=-1.∵抛物线与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,∴当x=1时,y<0.∴a+b+c<0,∴②正确;∵当x=-1时,二次函数有最大值为2,即只有x=-1时,ax2+bx+c=2,∴方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根,∴③正确.答案:C10.如图,边长为4的正方形ABCD边上的动点P从A点出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动,同时动点Q从B点出发,以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动,当点P到B点时,P,Q两点同时停止运动.设P点的运动时间为t,△APQ的面积为S,则S与t的函数关系式的图象是()解析:当运动时间t取0≤t≤2时,点P以每秒1个单位长度的速度在AB上运动,点Q以每秒2个单位长度的速度在BC上运动,如下图(1),此时,AP=t,BQ=2t,所以△APQ的面积为S=×t×2t=t2,此时函数的图象为抛物线的一部分;当运动时间t取2<t≤4时,点P以每秒1个单位长度的速度还是在AB上运动,而点Q以每秒2个单位长度的速度在CD上运动,如下图(2),此时,AP=t,BC+CQ=2t,所以△APQ的面积为S=×t×4=2t,此时函数的图象为直线的一部分.综合得,此题的正确答案为D.图(1)图(2)答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)11.若存在两个变量x与y,y是x的函数,该函数同时满足两个条件:①图象经过(1,1)点;②当x>0时,y随x的增大而减小.则这个函数的表达式是.(写出一个即可)解析:因为反比例函数具有题目中②的特征,因此不妨设这个函数的表达式为y=,再把①中坐标(1,1)代入,解得k=1,故这个函数的表达式可以是y=.答案:y=等(答案不唯一,只要符合题意即可)12.如图放置的△OAB1,△B1A1B2,△B2A2B3,…都是边长为1的等边三角形,点A在x轴上,点O,B1,B2,B3,…都在直线l上,则点A2015的坐标是.解析:直线l的解析式为y=x,等边三角形高为,各点的纵坐标分别是等边三角形高的1倍、2倍、3倍、……,分别把纵坐标代入解析式可求得其横坐标,即得各点的坐标为A1,A2,A3,…由此规律可知A2015的坐标是.答案:13.如图,A是反比例函数y=图象上一点,过点A作AB⊥y轴于点B,点P在x轴上,△ABP的面积为2,则k的值为.解析:因为AB⊥y轴于点B,点P在x轴上,所以AB∥x轴,△ABP的面积为AB·OB=2.所以AB·OB=4,即k的值为4.答案:414.如图(1),E为矩形ABCD边AD上一点,点P从点B沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止,点Q从点B沿BC运动到点C时停止,它们运动的速度都是1cm/s.若P,Q同时开始运动,设运动时间为t(s),△BPQ的面积为y(cm2).已知y与t的函数图象如图(2),则下列结论:①AE=6cm;②sin∠EBC=;③当0<t≤10时,y=t2;④当t=12s时,△PBQ是等腰三角形,其中正确的结论有.解析:(1)分析函数图象可知,BC=10cm,ED=4cm,故AE=AD-ED=BC-ED=10-4=6cm,故结论①正确.(2)如图(1)所示,连接EC,过点E作EF⊥BC于点F,由函数图象可知,BC=BE=10cm,∵S△BEC=40=BC·EF=×10×EF,∴EF=8.∴sin∠EBC=,故结论②正确.(3)如图(2)所示,过点P作PG⊥BQ于点G,∵BQ=BP=t,∴y=S△BPQ=BQ·PG=BQ·BP·sin∠EBC=·t·t·t2.故结论③错误.(4)当t=12s时,点Q与点C重合,点P运动到ED的中点,设为N,如图(3)所示,连接NB,NC.此时AN=8,ND=2,由勾股定理求得NB=8,NC=2,∵BC=10,∴△BCN不是等腰三角形,即此时△PBQ不是等腰三角形.故结论④错误.答案:①②三、(本大题共2小题,每小题8分,共16分)15.已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行,且过点(8,2),求此一次函数的表达式.解:设此一次函数的表达式为y=kx+b,由题意得解得故此一次函数的表达式为y=-x+10.16.在如图所示的三个函数图象中,有两个函数图象能近似地刻画如下a,b两个情境:情境a:小芳离开家不久,发现把作业本忘在家里,于是返回家里找到了作业本再去学校;情境b:小芳从家出发,走了一段路程后,为了赶时间,以更快的速度前进.(1)情境a,b所对应的函数图象分别为,.(填写序号)(2)请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境.解:(1)③①(2)小芳离开家走了一段路程后来到一个报亭,在报亭读了一段时间报后,按原速回家了.(答案不唯一)四、(本大题共2小题,每小题8分,共16分)17.如图,在平面直角坐标系中,?OABC的顶点A,C的坐标分别为A(2,0),C(-1,2),反比例函数y=(k≠0)的图象经过点B.(1)求k的值;(2)将?OABC沿x轴翻折,点C落在点C'处,判断点C'是否在反比例函数y=(k≠0)的图象上,请通过计算说明理由.解:(1)∵四边形OABC是平行四边形,∴BC=AO.∵A(2,0),∴OA=2,∴BC=2.∵C(-1,2),∴点B坐标为(1,2).∵反比例函数y=(k≠0)的图象经过点B,∴k=1×2=2.(2)在,理由如下:由(1)可得反比例函数表达式为y=.∵?OABC沿x轴翻折,点C落在点C'处,∴C'点坐标是(-1,-2).∵把C'点坐标(-1,-2)代入函数表达式能使表达式左右两边相等,∴点C'在反比例函数y=的图象上.18.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx经过点A(-2,-4),B(2,0).(1)求抛物线y=ax2+bx的表达式;(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点,求AM+OM的最小值.解:(1)把点A(-2,-4),B(2,0)的坐标代入y=ax2+bx中,得解这个方程组,得a=-,b=1.所以抛物线的表达式为y=-x2+x.(2)由y=-x2+x=-(x-1)2+,可得抛物线的对称轴为x=1,并且对称轴垂直平分线段OB,即OM=BM,则OM+AM=BM+AM.连接AB交直线x=1于M点,则此时OM+AM最小.过点A作AN⊥x轴于点N,在Rt△ABN中,AB==4,因此OM+AM的最小值为4.五、(本大题共2小题,每小题10分,共20分)19.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(8,1),B(0,-3),反比例函数y=(x>0)的图象经过点A,动直线x=t(0<t<8)与反比例函数的图象交于点M,与直线AB交于点N.(1)求k的值;(2)求△BMN面积的最大值.解:(1)将A点坐标(8,1)代入y=,得k=8.(2)设直线AB的解析式为y=mx+b,将A点坐标(8,1)和B点坐标(0,-3)代入得解得故直线AB的解析式为y=x-3,所以N.又M,所以MN=+3,△BMN的面积为S=t=-t2+t+4=-(t-3)2+.所以当t=3时,△BMN的面积的最大值为.20.如图,二次函数y=ax2-4x+c的图象过原点,与x轴交于点A(-4,0).(1)求此二次函数的表达式;(2)若在抛物线上存在点P,满足S△AOP=8,请直接写出点P的坐标.解:(1)依题意,得解得因此所求二次函数的表达式为y=-x2-4x.(2)令P(m,n),则S△AOP=AO·|n|=×4|n|=8,解得n=±4.又∵点P(m,n)在抛物线y=-x2-4x上,∴-m2-4m=±4,分别解得m1=-2,m2=-2+2和m3=-2-2.∴P1(-2,4),P2(-2+2,-4),P3(-2-2,-4).六、(本题满分12分)21.已知抛物线y=-x2+2x+2.(1)该抛物线的对称轴是直线,顶点坐标为;(2)选取适当的数据填入下表,并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线;x …      …y …      …(3)若该抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)的横坐标满足x1>x2>1,试比较y1与y2的大小.解:(1)∵y=-x2+2x+2=-(x-1)2+3,∴对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,3).(2)选取数据如下表:x … -1 0 1 2 3 …y … -1 2 3 2 -1 …描点画图,得到抛物线如图所示.(3)由(2)可知在对称轴x=1的右侧,y随x的增大而减小,因为x1>x2>1,所以y1<y2.七、(本题满分12分)22.某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计),这些薄板的形状均为正方形,边长(单位:cm)在5~50之间,每张薄板的成本价(单位:元)与它的面积(单位:cm2)成正比例,每张薄板的出厂价y(元)与薄板的边长x(cm)成一次函数,在营销过程中得到了表格中的数据:薄板的边长(cm) 20 30出厂价(元/张) 50 70(1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式.(2)已知出厂一张边长为40cm的薄板,获得利润是26元(利润=出厂价-成本价).求一张薄板的利润w(元)与边长x(cm)满足的函数关系式.(3)当边长为多少时,出厂一张薄板获得的利润最大?最大利润是多少?解:(1)设y=kx+n,由表格中数据得解得∴y=2x+10.(2)由题意设w=y-mx2,即w=2x+10-mx2,将x=40,w=26代入w=2x+10-mx2中,得26=2×40+10-m×402,解得m=,故w=-x2+2x+10.(3)∵w=-x2+2x+10=-(x-25)2+35,又a=-<0,∴当x=25时,w有最大值.即出厂一张边长为25cm的薄板,所获得的利润最大,最大利润为35元.八、(本题满分14分)23.某小岛渔产丰富.一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼.捕捞一段时间后,发现一外国舰艇进入该水域向小岛驶来,渔船向渔政部门报告,并立即返航.渔政船接到报告后,立即从该港口出发赶往小岛.如图是渔政船及渔船与港口的距离s(nmile)和渔船离开港口的时间t(h)之间的函数图象.(假设渔船与渔政船沿同一航线航行)(1)直接写出渔船离开港口的距离s(nmile)和它离开港口的时间t(h)的函数关系式;(2)求渔船和渔政船相遇时,两船与小岛的距离;(3)在渔政船驶往小岛的过程中,渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30nmile?解:(1)当0≤t≤5时,sOA=30t;当5<t≤8时,sAB=150;当8<t≤13时,sBC=-30t+390.(2)渔政船离开港口的距离与渔政船离开港口的时间的函数关系式设为s=kt+b,将点E,F的坐标代入,得解得k=45,b=-360,故sEF=45t-360.解直线BC,EF对应函数关系式的方程组所以渔船离小岛的距离为150-90=60(nmile).(3)s渔=-30t+390,s渔政=45t-360.分两种情况:①s渔-s渔政=30.根据题意有-30t+390-(45t-360)=30,解得t=(或9.6).②s渔政-s渔=30.根据题意有45t-360-(-30t+390)=30,解得t=(或10.4).答:渔船从港口出发经过9.6h或10.4h与渔政船相距30nmile.