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单元检测卷四图形初步与三角形(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.已知线段AB=16cm,O是线段AB上一点,M是AO的中点,N是BO的中点,则MN=()A.10cm B.6cm C.8cm D.9cm解析:∵M是AO的中点,N是BO的中点,∴MN=MO+ON=AO+OB=AB=8cm.答案:C2.已知∠1=1°30',∠2=1°18',则∠1与∠2的数量关系为()A.∠1=∠2 B.∠1-∠2=12'C.∠1-∠2=22' D.∠2-∠1=12'解析:∠1-∠2=1°30'-1°18'=12'.答案:B3.如图,直线l1,l2,l3交于一点,直线l4∥l1,若∠1=124°,∠2=88°,则∠3的度数为()A.26° B.36° C.46° D.56°解析:∵∠1=∠2+∠4,∠1=124°,∠2=88°,∴∠4=36°.∵l1∥l2,∴∠3=∠4=36°.故选B.答案:B4.现有3cm,4cm,7cm,9cm长的四根木棒,任取其中三根组成一个三角形,那么可以组成的三角形的个数有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析:四条木棒的所有组合:3,4,7;3,4,9;3,7,9;4,7,9,只有3,7,9和4,7,9能组成三角形.故选B.答案:B5.等腰三角形的底边长为6,底边上的中线长为4,它的腰长为()A.5 B.6 C.7 D.8答案:A6.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2,CD=,点P在四边形ABCD的边上.若点P到BD的距离为,则点P的个数为()A.2 B.3 C.4 D.5解析:过点A作AE⊥BD于点E,过点C作CF⊥BD于点F,∵∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=2,CD=,∴∠ABD=∠ADB=45°.∴∠CDF=90°-∠ADB=45°.∵sin∠ABD=,∴AE=AB·sin∠ABD=2·sin45°=2=2>,∴在AB和AD边上符合P到BD的距离为的点有2个.答案:A7.如图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形.根据图中标示的各点位置,判断△ACD与下列哪一个三角形全等?()A.△ACFB.△AEDC.△ABCD.△BCF解析:∵根据图形可知AD=AD,AE=AC,DE=DC,∴△ACD≌△AED.答案:B8.如图,某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞行高度AC=1200m,从飞机上看地平面指挥台B的仰角α=30°,则飞机A与指挥台B的距离为()A.1200m B.1200mC.1200m D.2400m解析:∵∠ABC=∠α=30°,∴AB==2400(m).答案:D9.如图,若正方形网格中每个小方格的边长为1,则△ABC是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形解析:根据勾股定理计算出BC2,AB2,AC2,再根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形.答案:A10.如图,点A,C都在直线l上,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,三点E,B,D到直线l的距离分别是6,3,4,计算图中由线段AB,BC,CD,DE,EA所围成的图形的面积是()A.50 B.62 C.65 D.68解析:如图,过点E,B,D分别作EF⊥l,BG⊥l,DH⊥l,点F,G,H分别为垂足.易得△EFA≌△AGB,△BGC≌△CHD,从而AF=BG,AG=EF;GC=DH,CH=BG.故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16,则所求面积为(6+4)×16-3×4-6×3=50.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)11.如图,AC与BD相交于点O,且AB=CD,请添加一个条件,使得△ABO≌△CDO.解析:由题意可知∠AOB=∠COD,AB=CD,∵AB是∠AOB的对边,CD是∠COD的对边,∴只能添加角相等,故可添加∠A=∠C或∠B=∠D或AB∥CD.答案:∠A=∠C(或AB∥CD或∠B=∠D)12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC于点D,CD=2,则点D到AB的距离是.解析:由角平分线的性质,得点D到AB的距离等于CD,也是2.答案:213.如图,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°,则当△PAB为直角三角形时,AP的长为.解析:如图,分三种情况讨论:(1)(2)(3)图(1)中,∠APB=90°,∵AO=BO,∠APB=90°,∴PO=AO=BO=2,又∠AOC=60°,∴△APO是等边三角形,∴AP=2.图(2)中,∠APB=90°,∵AO=BO,∠APB=90°,∴PO=AO=BO=2,又∠AOC=60°,∴∠BAP=30°,在Rt△ABP中,AP=cos30°×4=2.图(3)中,∠ABP=90°,∵BO=AO=2,∠BOP=∠AOC=60°,∴PB=2.∴AP==2.答案:2,2或214.已知△ABC是直角边长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推,第n个等腰直角三角形的斜边长是.解析:反复运用勾股定理,得AC=,AD=()2,AE=()3,…,所以第n个等腰直角三角形的斜边长是()n.答案:()n三、(本大题共2小题,每小题8分,共16分)15.如图,锐角三角形ABC中,直线l为BC的中垂线,直线m为∠ABC的角平分线,l与m相交于P点.若∠A=60°,∠ACP=24°,求∠ABP的度数.解:∵直线m为∠ABC的角平分线,∴∠ABP=∠CBP.∵直线l为BC的中垂线,∴BP=CP,∴∠CBP=∠BCP,∴∠ABP=∠CBP=∠BCP,在△ABC中,3∠ABP+∠A+∠ACP=180°,即3∠ABP+60°+24°=180°,解得∠ABP=32°.16.如图所示,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD.(1)求证:BE=AD.(2)求证:AC是线段ED的垂直平分线.(3)△DBC是等腰三角形吗?并说明理由.(1)证明:∵∠ABC=90°,BD⊥EC,∴∠1与∠3互余,∠2与∠3互余.∴∠1=∠2.∵∠ABC=∠DAB=90°,AB=BC,∴△BAD≌△CBE(A).∴AD=BE.(2)证明:∵E是AB中点,∴EB=EA.由(1)AD=BE得AE=AD.∵AD∥BC,∴∠7=∠ACB=45°.∵∠6=45°,∴∠6=∠7.由等腰三角形的性质,得EM=MD,AM⊥DE.∴AC是线段ED的垂直平分线.(3)解:△DBC是等腰三角形(CD=BD).理由:由(2),得CD=CE.由(1),得CE=BD.∴CD=BD.∴△DBC是等腰三角形.四、(本大题共2小题,每小题8分,共16分)17.如图,已知∠DAB+∠D=180°,AC平分∠A,且∠CAD=25°,∠B=95°.(1)求∠DCA的度数;(2)求∠ACE的度数.解:(1)∵∠DAB+∠D=180°,∴AB∥CD.∵∠CAD=∠CAB=25°,∴∠DCA=∠CAB=25°.(2)∵∠CAD=∠CAB=25°,∠B=95°,∠ACE是△ABC的外角,∴∠ACE=∠B+∠CAB=95°+25°=120°.18.如图,四边形ABCD是平行四边形,△AB'C和△ABC关于AC所在的直线对称,AD和B'C相交于点O,连接BB'.(1)请直接写出图中所有的等腰三角形(不添加字母);(2)求证:△AB'O≌△CDO.(1)解:△ABB',△AOC和△BB'C;(2)证明:在?ABCD中,AB=DC,∠ABC=∠D,由轴对称知AB'=AB,∠ABC=∠AB'C,∴AB'=CD,∠AB'O=∠D.在△AB'O和△CDO中,∴△AB'O≌△CDO.五、(本大题共2小题,每小题10分,共20分)19.2015年4月25日14时11分,尼泊尔发生8.1级地震,震源深度20km.中国救援队火速赶往灾区救援,探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象.在废墟一侧某面上选两探测点A,B,AB相距2m,探测线与该面的夹角分别是30°和45°(如图).试确定生命所在点C与探测面的距离.(参考数据≈1.41,≈1.73)解:过点C作CD⊥AB,设CD=xm,∵∠ABE=45°,∴∠CBD=45°,∴DB=CD=xm,∵∠CAD=30°,∴AD=CD=xm.∵AB相距2米,∴x-x=2,解得x=.答:生命所在点C与探测面的距离是m.20.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点E,∠BAC=90°,∠CED=45°,∠DCE=30°,DE=,BE=2.(1)求CD的长;(2)求四边形ABCD的面积.解:(1)如图,过点D作DH⊥AC,∵∠CED=45°,DH⊥EC,DE=,∴EH=DH,∵EH2+DH2=ED2,∴EH2=1,∴EH=DH=1.又∵∠DCE=30°,∴DC=2.(2)由(1)知HC=,∵∠AEB=45°,∠BAC=90°,BE=2,∴AB=AE=2,∴AC=2+1+=3+,∴×2×(3+)+×1×(3+)=.六、(本题满分12分)21.如图,AB=AC,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE与CD相交于点O.(1)求证:AD=AE;(2)连接BC,DE,试判断BC与DE的位置关系,并说明理由.证明:(1)在△ACD与△ABE中,∵∠A=∠A,∠ADC=∠AEB=90°,AB=AC,∴△ACD≌△ABE.∴AD=AE.(2)互相平行.在△ADE与△ABC中,∵AD=AE,AB=AC,∴∠ADE=∠AED,∠ABC=∠ACB,且∠ADE==∠ABC.∴DE∥BC.七、(本题满分12分)22.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的角平分线,且∠B=∠ADB,过点C作CM垂直于AD的延长线,垂足为M.(1)若∠DCM=α,试用α表示∠BAD;(2)求证:AB+AC=2AM.解:(1)∵CM⊥AM,∠DCM=α,∴∠CDM=∠ADB=∠B=90°-α,∴∠BAD=180°-2∠ABD=180°-2(90°-α)=2α.(2)证明:如图,延长AM到F使MF=AM,连接CF,则有AC=CF.∵AD平分∠CAB,∴∠CAF=∠BAF=∠F.∴CF∥AB.∴∠FCD=∠ABD=∠ADB=∠CDF.∴CF=DF.∵AD+DF=2MA,∴AB+AC=2MA.八、(本题满分14分)23.我们把两条中线互相垂直的三角形称为"中垂三角形".例如图1,图2,图3中,AF,BE是△ABC的中线,AF⊥BE,垂足为P.像△ABC这样的三角形均为"中垂三角形".设BC=a,AC=b,AB=c.特例探索(1)如图1,当∠ABE=45°,c=2时,a=,b=;如图2,当∠ABE=30°,c=4时,a=,b=;图1图2图3归纳证明(2)请你观察(1)中的计算结果,猜想a2,b2,c2三者之间的关系,用等式表示出来,利用图3证明你发现的关系式;拓展应用(3)如图4,在?ABCD中,点E,F,G分别是AD,BC,CD的中点,BE⊥EG,AD=2,AB=3,求AF的长.图4解:(1)如图1,连接EF,则EF是△ABC的中位线,∴EF=AB=.∵∠ABE=45°,AF⊥BE,∴△ABP是等腰直角三角形.∵EF∥AB,∴△EFP也是等腰直角三角形.∴AP=BP=2,EP=FP=1.∴AE=BF=.∴a=b=2.图1图2图3图4如图2,连接EF,则EF是△ABC的中位线.∵∠ABE=30°,AF⊥BE,AB=4,∴AP=2,BP=2.∵EF??AB,∴PE=,PF=1.∴AE=,BF=.∴a=2,b=2.(2)a2+b2=5c2.如图3,连接EF,设AP=m,BP=n,则c2=AB2=m2+n2,∵EF??AB,∴PE=BP=n,PF=AP=m.∴AE2=m2+n2,BF2=n2+m2.∴b2=AC2=4AE2=4m2+n2,a2=BC2=4BF2=4n2+m2.∴a2+b2=5(m2+n2)=5c2.(3)如图4,延长EG,BC交于点Q,延长QD,BA交于点P,延长QE,BE分别交PB,PQ于点M,N,连接EF.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD??BC,AB??CD.∵E,G分别是AD,CD的中点,∴△EDG≌△QCG≌△EAM,∴CQ=DE=,DG=AM=1.5,∴BM=4.5.∵,∴.∴BP=9.∴M是BP的中点.∵AD??FQ,∴四边形ADQF是平行四边形.∴AF∥PQ.∵E,F分别是AD,BC的中点,∴AE??BF.∴四边形ABFE是平行四边形,∴OA=OF.由AF∥PQ得:,,∴.∴PN=QN.∴N是PQ的中点.∴△BQP是"中垂三角形",∴PQ2=5BQ2-BP2=5×(3)2-92=144,∴PQ=12.∴AF=PQ=4.