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2016年河南省中考数学课件和练习第四章第5节锐角三角函数第四章三角形第五节锐角三角函数及其应用玩转河南8年中招真题(2008～2015年)命题点1锐角三角函数(近8年未考查)命题点2直角三角形的边角关系(近8年未考查)命题点3锐角三角函数的实际应用(高频)类型一仰角、俯角问题1.(2015河南20题9分)如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°.若坡角∠FAE＝30°，求大树的高度．(结果保留整数．参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，3≈1.73)第1题图【拓展猜押】如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为65°，热气球与高楼的水平距离AD为120m．求这栋高楼的高度.(结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可)拓展猜押题图2.(2014河南19题9分)在中俄"海上联合-2014"反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．(结果保留整数．参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，3≈1.7)第2题图3.(2012河南20题9分)某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅．如图所示，一条幅从楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定．小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前D处测得楼顶A点的仰角为31°，再沿DB方向前进16米到达E处，测得点A的仰角为45°.已知点C到大厦的距离BC＝7米，∠ABD＝90°.请根据以上数据求条幅的长度(结果保留整数．参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86)．第3题图4.(2011河南19题9分)如图所示，中原福塔(河南广播电视塔)是世界第一高钢塔．小明所在的课外活动小组在距地面268米高的室外观光层的点D处，测得地面上点B的俯角α为45°，点D到AO的距离DG为10米；从地面上的点B沿BO方向走50米到达点C处，测得塔尖A的仰角β为60°.请你根据以上数据计算塔高AO，并求出计算结果与实际塔高388米之间的误差．(参考数据：3≈1.732，2≈1.414.结果精确到0.1米)第4题图类型二坡度、坡角问题5.(2013河南19题9分)我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位.如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE＝68°，新坝体的高为DE，背水坡坡角∠DCE＝60°.求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC(结果精确到0.1米．参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50，3≈1.73)．第5题图类型三测量问题6.(2009河南20题9分)如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90m的顶灯．已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m，矩形面与地面所成的角α为78°.李师傅的身高为1.78m，当他攀升到头顶距天花板0.05～0.20m时，安装起来比较方便．他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便？(参考数据：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70)第6题图7.(2008河南20题9分)如图所示，A、B两地之间有条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A→D→C→B到达．现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC＝11km，∠A＝45°，∠B＝37°，桥DC和AB平行，则现在从A地到B地可比原来少走多少路程？(结果精确到0.1km.参考数据：2≈1.41，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80)第7题图【答案】命题点1锐角三角函数命题点2直角三角形的边角关系命题点3锐角三角函数的实际应用类型一仰角、俯角问题1.解：延长BD交AE于点G，过点D作DH⊥AE于点H.由题意知：∠DAE＝∠BGA＝∠BDN＝30°，DA＝6，∴GD＝6，∴GH＝AH＝DA·cos30°＝6×32＝33.∴GA＝2GH＝63.(2分)设BC的长为x米，在Rt△GBC中，GC＝BCtan∠BGC＝xtan30°＝3x，(4分)在Rt△ABC中，AC＝BCtan∠BAC＝xtan48°.(6分)∵GC－AC＝GA，∴3x－xtan48°＝63，(8分)∴x≈13，即大树的高度约为13米．(9分)第1题解图第2题解图2.解：如解图，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得∠ACD＝30°，∠BCD＝68°.设AD＝x，则BD＝BA＋AD＝1000＋x.在Rt△ACD中，CD＝ADtan∠ACD＝xtan30°＝3x．(4分)在Rt△BCD中，BD＝CD·tan68°.∴1000＋x＝3x·tan68°，(7分)∴x＝10003tan68°－1≈10001.7×2.5－1≈308.(9分)∴潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米．3.解：设AB＝x米，∵∠AEB＝45°，∠ABE＝90°，∴BE＝AB＝x，(2分)在Rt△ABD中，tan∠D＝ABBD，即tan31°＝xx＋16，∴x＝16tan31°1－tan31°≈16×0.61－0.6＝24，即AB≈24米．(6分)在Rt△ABC中，AC＝BC2＋AB2≈72＋242＝25.(8分)即条幅的长度约为25米．(9分)4.解：∵DE∥BO，α＝45°，∴∠DBF＝α＝45°.∴在Rt△DBF中，BF＝DF＝268.(2分)∵BC＝50，∴CF＝BF－BC＝268－50＝218.由题意知四边形DFOG是矩形，∴FO＝DG＝10.∴CO＝CF＋FO＝218＋10＝228.(5分)在Rt△ACO中，β＝60°，∴AO＝CO·tan60°≈228×1.732＝394.896，(7分)∴误差为394.896－388＝6.896≈6.9(米)．即计算结果与实际高度的误差约为6.9米．(9分)类型二坡度、坡角问题5.解：在Rt△ABE中，tan68°＝BEAE，则AE＝BEtan68°≈1622.50＝64.8，(2分)在Rt△CDE中，tan60°＝DECE，则CE＝DEtan60°＝176.63≈176.61.73≈102.08，(6分)∵三点C、A、E在同一条直线上，∴CA＝CE－AE＝102.08－64.8＝37.28≈37.3(米)．(8分)答：工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米．(9分)类型三测量问题6.解：如解图，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F.∵AB＝AC，∴CE＝12BC＝0.5，(2分)在Rt△AEC和Rt△DFC中，∵tan78°＝AEEC，∴AE＝EC×tan78°≈0.5×4.70＝2.35，(4分)又∵sinα＝AEAC＝DFDC，∴DF＝DCAC·AE＝37×AE≈1.007，(7分)李师傅站在第三级踏板上时，头顶距地面的高度约为：1．007＋1.78＝2.787(m)，头顶与天花板的距离约为：2.90－2.787≈0.11(m)，∵0.05＜0.11＜0.20，∴他安装比较方便．(9分)第6题解图第7题解图7.解：如解图，过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G.∵DC∥AB，DG∥CB，四边形DCBG为平行四边形，∴DC＝GB，GD＝BC＝11，∴两条路程之差为AD＋DG－AG.(3分)在Rt△DGH中，DH＝DG·sin37°≈11×0.60＝6.60，GH＝DG·cos37°≈11×0.80＝8.80，(5分)在Rt△ADH中，AD＝2DH≈1.41×6.60≈9.31，AH＝DH≈6.60，∴AD＋DG－AG＝(9.31＋11)－(6.60＋8.80)≈4.9(km)．即现在从A到B地可比原来少走约4.9km.(9分)【拓展猜押】解：在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝BDAD，∴BD＝AD·tan30°＝120×33＝403.在Rt△ACD中，∵tan∠DAC＝CDAD，∴CD＝120·tan65°，∴BC＝BD＋CD＝403＋120·tan65°.答：这栋高楼的高度为(403＋120·tan65°)米．