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2016年江苏省中考数学第一轮复习课后强化训练详解41:探索型问题课后强化训练41探索型问题基础训练1．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是(D),(第1题图))A.38B.52C.66D.74解：除右下方格外，其余三个方格中数字的排列规律比较明显：左上方格中数字是0，2，4，6；左下方格中的数字应是2，4，6，8；右上方格中的数字应是4，6，8，10.根据前3个正方形中四个数字间的关系可知，6＋m＝8×10，m＝74.2．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，3)，点C的坐标为12，0，点P为斜边OB上的一动点，则PA＋PC的最小值为(B)(第2题图)A.132B.312C.3＋192D．27(第3题图)3．如图，在一张△ABC纸片中，∠C＝90°，∠B＝60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为(C)A.1B.2C.3D.4解：将该三角形剪成两部分，拼图使得△ADE和直角梯形BCDE不同的边重合，即可解题．(1)使得BE与AE重合，即可构成邻边不等的矩形，如解图①；,(第3题图解))(2)使得CD与DA重合，即可构成等腰梯形，如解图②；(3)使得CD与AD重合，即可构成有一个角为锐角的菱形，如解图③.故选C.4．如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有_5n＋1根小棒．(第4题图)解：第1个图中共有6根小棒，第2个图中共有6＋5＝11根小棒，第3个图中共有6＋5＋5＝16(根)小棒，第4个图中共有6＋5＋5＋5＝21(根)小棒……第n个图有6＋5＋5＋…＋5(n－1)＝5n＋1根小棒．故答案为5n＋1.5．观察数表：根据表中数的排列规律，则★处所表示的数是－10_．6．有一组数：2，－3，2，－3，2，－3，2，－3，…，根据这个规律，那么第2016个数是__－3__．解：数列中2和－3成对出现，又2016＝2×1008，因此，第2016个数是－3.故答案为－3.7．已知正数a和b，有下列命题：①若a＋b＝2，则ab≤1；②若a＋b＝3，则ab≤32；③若a＋b＝6，则ab≤3.根据以上三个命题所提供的规律猜想：若a＋b＝9，则ab≤__92__．并就此规律写出其一般表达式ab≤a＋b2．解：考虑到1＝22；3＝62.可得一般规律：ab≤a＋b2.8．已知点P的坐标为(m，0)，在x轴上存在点Q(不与P点重合)，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在反比例函数y＝－2x的图象上．小明对上述问题进行了探究，发现不论m取何值，符合上述条件的正方形只有两个，且一个正方形的顶点M在第四象限，另一个正方形的顶点M1在第二象限．,(第8题图))(1)如图所示，若反比例函数表达式为y＝－2x，P点坐标为(1，0)，图中已画出一个符合条件的正方形PQMN，请你在图中画出符合条件的另一个正方形PQ1M1N1，并写出点M1的坐标：点M1的坐标是__(－1，2)__．(2)请你通过改变P点坐标，对直线M1M的表达式y＝kx＋b进行探究可得k＝__－1__，若点P的坐标为(m，0)时，则b＝__m__．(3)依据(2)的规律，如果点P的坐标为(6，0)，请你求出点M1和点M的坐标．解：(1)如解图；点M1的坐标为(－1，2)．,(第8题图解))(2)k＝－1，b＝m.(3)由(2)知，直线M1M的表达式为y＝－x＋6，则点M(x，y)满足x·(－x＋6)＝－2.解得x1＝3＋11，x2＝3－11，∴y1＝3－11，y2＝3＋11，∴点M1，M的坐标分别为(3－11，3＋11)，(3＋11，3－11)．9．一节数学课后，老师布置了一道课后练习：如图，已知在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BO⊥AC于点O，点P，D分别在AO和BC上，PB＝PD，DE⊥AC于点E.(第9题图)求证：△BPO≌△PDE.(1)理清思路，完成解答：本题证明的思路可以用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．(2)特殊位置，证明结论：若BP平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP＝CD.(3)知识迁移，探索新知：若点P是一个动点，当点P运动到OC的中点P′时，满足题中条件的点D也随之在直线BC上运动到点D′，请直接写出CD′与AP′的数量关系(不必写解答过程)．解：(1)证明：∵PB＝PD，∴∠PBD＝∠2.∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠C＝45°.∵BO⊥AC于点O，∴∠1＝45°.∴∠1＝∠C＝45°.∵∠3＝∠PBD－∠1，∠4＝∠2－∠C，∴∠3＝∠4.又∵BO⊥AC，DE⊥AC，∴∠BOP＝∠PED＝90°.在△BPO和△PDE中，∵∠3＝∠4，∠BOP＝∠PED，BP＝PD，∴△BPO≌△PDE.(2)由(1)可得∠3＝∠4，∵BP平分∠ABO，∴∠ABP＝∠3.∴∠ABP＝∠4.又∵∠A＝∠C，PB＝PD，∴△ABP≌△CPD.∴AP＝CD.(3)CD′与AP′的数量关系是：CD′＝23AP′.拓展提高10．将自然数按以下规律排列，则2008所在的位置是第__18__行第__45__列. 第一列 第二列 第三列 第四列 …第一行 1 2 9 10 …第二行 4 3 8 11 …第三行 5 6 7 12 …第四行 16 15 14 13 …第五行 17 …   …     解：观察表格可得：奇数的平方数都在第一行，偶数的平方数都在第一列；由于2008＝452－17，因此，2008在第18行，第45列．故答案为18，45.11．在由m×n(m×n＞1)个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f，(1)当m，n互质(m，n除1外无其他公因数)时，观察下列图形并完成下表：,(第11题图))m n m＋n f1 2 3 21 3 4 32 3 5 42 5 7 3 4 7 猜想：当m，n互质时，在m×n的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m，n的关系式是__f＝m＋n－1__(不需要证明)．(2)当m，n不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立．解：(1)通过题中所给网格图形，先计算出2×5，3×4网格的对角线所穿过的小正方形个数f，再对照表中数值归纳f与m，n的关系式．(2)根据题意，画出当m，n不互质时，结论不成立的反例即可，如2×4.12．已知在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．(第12题图)(1)如图①，当b＝2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC＝90°.(2)如图②，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC＝90°？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．(3)如图③，当b＜2a时，(2)中的结论是否仍然成立？请说明理由．解：(1)证明：∵b＝2a，点M是AD的中点，∴AB＝AM＝MD＝DC＝a.又∵在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠AMB＝∠DMC＝45°，∴∠BMC＝90°.(2)存在．理由如下：若∠BMC＝90°，则∠AMB＋∠DMC＝90°.又∵∠AMB＋∠ABM＝90°，∴∠ABM＝∠DMC.又∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABM∽△DMC.∴AMCD＝ABDM.设AM＝x，则xa＝ab－x，整理，得x2－bx＋a2＝0.∵b＞2a，a＞0，b＞0，∴Δ＝b2－4a2＞0.∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意．∴当b＞2a时，存在∠BMC＝90°.(3)不成立．理由如下：若∠BMC＝90°，由(2)可知x2－bx＋a2＝0，∵b＜2a，a＞0，b＞0，∴Δ＝b2－4a2＜0.∴方程没有实数根．∴当b＜2a时，不存在∠BMC＝90°，即(2)中的结论不成立．13．如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的顶点为M，直线y＝m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若三角形AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形(如图②)，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高．(第13题图)(1)抛物线y＝12x2对应的碟宽为________；抛物线y＝4x2对应的碟宽为________；抛物线y＝ax2(a>0)对应的碟宽为________；抛物线y＝a(x－2)2＋3(a>0)对应的碟宽________．(2)若抛物线y＝ax2－4ax－53(a>0)对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值．(3)将抛物线yn＝anx2＋bnx＋cn(an>0)的对应准蝶形记为Fn(n＝1，2，3，…)，定义F1，F2，…，Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若Fn与Fn－1的相似比为12，且Fn的碟顶是Fn－1的碟宽的中点，现在将(2)中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1.①求抛物线y2的表达式．②若F1的碟高为h1，F2的碟高为h2，…，Fn的碟高为hn，则hn＝________，Fn的碟宽右端点横坐标为________；F1，F2，…，Fn的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由．解：(1)4；12；2a；2a.(第13题图解)∵a＞0，∴y＝ax2的图象大致如解图，其必经过原点O.记线段AB为其准蝶形碟宽，AB与y轴的交点为C，连结OA，OB.∵△OAB为等腰直角三角形，AB∥x轴，∴OC⊥AB，∴∠AOC＝∠BOC＝12∠AOB＝12×90°＝45°，即△AOC和△BOC亦为等腰直角三角形，∴AC＝OC＝BC.∴xA＝yA，xB＝yB，即A，B两点x轴和y轴坐标绝对值相同．代入y＝ax2，得方程x＝ax2，解得x＝1a.∴由图象可知，点A－1a，1a，B1a，1a，C0，1a，即AC＝OC＝BC＝1a，∴AB＝1a＋1a＝2a，即y＝ax2的碟宽为AB＝2a.∴①抛物线y＝12x2对应的a＝12，得碟宽2a＝4；②抛物线y＝4x2对应的a＝4，得碟宽2a＝12；③抛物线y＝ax2(a＞0)的碟宽为2a；④抛物线y＝a(x－2)2＋3(a＞0)可看成y＝ax2向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的图形，∵平移不改变形状、大小、方向，∴抛物线y＝a(x－2)2＋3(a＞0)的准碟形≌抛物线y＝ax2的准碟形．∵抛物线y＝ax2(a＞0)的碟宽为2a，∴抛物线y＝a(x－2)2＋3(a＞0)的碟宽为2a.(2)∵y＝ax2－4ax－53＝a(x－2)2－(4a＋53)，∴同(1)得其碟宽为2a.∵y＝ax2－4ax－53的碟宽为6，∴2a＝6，解得a＝13.∴y＝13(x－2)2－3.(3)①∵F1的碟宽∶F2的碟宽＝2∶1，∴2a1∶2a2＝2∶1.∵a1＝13，∴a2＝23.∵y1＝13(x－2)2－3的碟宽AB在x轴上(点A在点B左边)，∴点A(－1，0)，B(5，0)，∴F2的碟顶坐标为(2，0)，∴y2＝23(x－2)2.②∵Fn的准碟形为等腰直角三角形，∴Fn的碟宽为2hn.∵2hn2hn－1＝12，∴hn＝12hn－1＝122hn－2＝123hn－3＝…＝12n－1h1.∵h1＝3，∴hn＝12n－1·3.∵hn∥hn－1，且都过Fn－1的碟宽中点，∴h1，h2，h3，…，hn－1，hn都在同一条直线上，∵h1在直线x＝2上．∴h1，h2，h3…，hn－1，hn都在直线x＝2上，∴Fn的碟宽右端点的横坐标为2＋12n－1·3.F1，F2，…，Fn的碟宽右端点是在一条直线上，该直线的表达为y＝－x＋5.14．如图①②是两个相似比为1∶2的等腰直角三角形，将两个三角形如图③放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合．(1)在图③中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC，BC交于点E，F，如图④.求证：AE2＋BF2＝EF2.(2)若在图③中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E，F，如图⑤，此时结论AE2＋BF2＝EF2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．(3)如图⑥，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE，AF分别与对角线BD交于M，N，试问线段BM，MN，DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由．,(第14题图))解：(1)在解图①中，由于AD＝BD，将△AED绕点D旋转180°，得△BE′D，,(第14题图解①))AE＝BE′，ED＝E′D.连结E′F.∵∠FBE′＝∠ABC＋∠ABE′＝∠ABC＋∠CAB＝90°.∴在Rt△FBE′中有E′B2＋BF2＝E′F2.又∵FD垂直平分EE′，∴EF＝FE′，∴代换，得AE2＋BF2＝EF2.(2)在解图②中，由AC＝BC，将△AEC绕点C旋转90°，得△BE′C，则AE＝BE′，CE＝CE′，连结E′F.,(第14题图解②))∵∠FBE′＝∠ABC＋∠CBE′＝∠ABC＋∠CAB＝90°，∴在Rt△BE′F中有E′B2＋BF2＝E′F2.又可证△CEF≌△CE′F，得EF＝FE′，∴代换，得AE2＋BF2＝EF2.(3)将△ADF绕点A瞬时针旋转90°，得△ABG，且FD＝GB，AF＝AG.,(第14题图解③))∵△CEF的周长等于正方形ABCD周长的一半，∴CE＋EF＋CF＝CD＋CB＝CF＋FD＋CE＋BE，化简，得EF＝EG，从而可得△AEG≌△AEF，推出∠EAF＝∠EAG＝45°.此时该问题就转化为图⑤中的问题了．由前面的结论知：MN2＝BM2＋DN2，再由勾股定理的逆定理知：线段BM，MN，DN可构成直角三角形．