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2016年江苏省中考数学第一轮复习课后强化训练37:相似三角形及其应用课后强化训练37相似三角形及其应用基础训练1．下列判断正确的是(B)A.不全等的三角形一定不是相似三角形B.不相似的三角形一定不是全等三角形C.相似三角形一定不是全等三角形D.全等三角形不一定是相似三角形2．△ABC中，∠ABC为直角，BD⊥AC，则下列结论正确的是(B)A.ABBD＝BCACB.ADBD＝ABBCC.CDBC＝ADABD.ACBC＝BDAD3．一个三角形三边长之比为4∶5∶6，三边中点连线组成的三角形的周长为30cm，则原三角形最大边长为(D)A.44cmB.40cmC.36cmD.24cm4．如图，在?ABCD中，点E在边DC上，DE∶EC＝3∶1，连结AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为(B)A.3∶4B.9∶16C.9∶1D.3∶1(第4题图)(第5题图)5．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是(B)6．如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12m，则旗杆AB的高为__9__m.(第6题图)(第7题图)7．如图，已知△ABC的面积是3的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于3－34(结果保留根号)．8．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连结CD，请添加一个适当的条件，使△ABC∽△ACD：∠ACD＝∠ABC(答案不唯一)(只填一个即可)．,(第8题图)),(第9题图))9．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB＝AC＝BD，连结MF，NF.(1)判断△BMN的形状，并证明你的结论．(2)判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．解：(1)△BMN是等腰直角三角形．证明：∵AB＝AC，点M是BC的中点，∴AM⊥BC，AM平分∠BAC.∵BN平分∠ABE，AC⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB＋∠EBA＝90°，∴∠MNB＝∠NAB＋∠ABN＝12(∠BAE＋∠ABE)＝45°.∴△BMN是等腰直角三角形．(2)△MFN∽△BDC.证明：∵点F，M分别是AB，BC的中点，∴FM∥AC，FM＝12AC.∵AC＝BD，∴FM＝12BD，即FMBD＝12.∵△BMN是等腰直角三角形，∴NM＝BM＝12BC，即NMBC＝12，∴FMBD＝NMBC＝12.∵AM⊥BC，∴∠NMF＋∠FMB＝90°.∵FM∥AC，∴∠ACB＝∠FMB.∵∠CEB＝90°，∴∠ACB＋∠CBD＝90°.∴∠CBD＋∠FMB＝90°.∴∠NMF＝∠CBD.在△MFN与△BDC中，∵NMCB＝FMDB，∠NMF＝∠CBD，∴△MFN∽△BDC.拓展提高10．如图，在Rt△ABC中(∠C＝90°)，放置边长分别为3，x，4的三个正方形，则x的值为(C)A.5B.6C.7D.12(第10题图)(第11题图)11．已知：在△ABC中，BC＝10，BC边上的高h＝5，点E在边AB上，过点E作EF∥BC，交AC边于点F.点D为BC上一点，连结DE，DF.设点E到BC的距离为x，则△DEF的面积S关于x的函数图象大致为(D)(第12题图)12．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC，BC相切于点D，E，则AD为(B)A.2.5B.1.6C.1.5D.113．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2m，MN＝0.8m，则木竿PQ的长度为__2.3__m.(第13题图)14．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为2321．(第14题图)(第15题图)15．如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为D′，点C落在C′处．若AB＝6，AD′＝2，则折痕MN的长为210．16．课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120mm，高AD＝80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问：加工成的正方形零件的边长是多少毫米？小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题：(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少毫米？(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．(第16题图)解：(1)设矩形的边长PN＝2ymm，则PQ＝ymm，由PN∥BC可得△APN∽△ABC，∴PNBC＝AEAD，即2y120＝80－y80，解得y＝2407，∴PN＝2407×2＝4807(mm)，答：这个矩形零件的两条边长分别为2407mm，4807mm.(2)设PN＝xmm，同(1)可得△APN∽△ABC，∴PNBC＝AEAD，即x120＝80－PQ80，解得PQ＝80－23x.∴矩形PQMN的面积S＝PN·PQ＝x80－23x＝－23x2＋80x＝－23(x－60)2＋2400，∴S的最大值为2400mm2，此时PN＝60mm，PQ＝80－23×60＝40(mm)．(第17题图)17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D.点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t(s)．(1)求线段CD的长．(2)设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ∶S△ABC＝9∶100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．(3)当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？解：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10.∵CD⊥AB，∴S△ABC＝12BC·AC＝12AB·CD，∴CD＝BC·ACAB＝4.8，∴线段CD的长为4.8.(2)①过点P作PH⊥AC，垂足为H，如解图①所示，由题可知DP＝t，CQ＝t，则CP＝4.8－t，∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∴∠HCP＝90°－∠DCB＝∠B.∵PH⊥AC，∴∠CHP＝90°，∴∠CHP＝∠ACB，∴△CHP∽△BCA，∴PHAC＝PCAB，即PH8＝4.8－t10，得PH＝9625－45t，∴S△CPQ＝12CQ·PH＝12t(9625－45t)＝－25t2＋4825t.②存在某一时刻t，使得S△CPQ∶S△ABC＝9∶100，∵S△ABC＝12×6×8＝24，且S△CPQ∶S△ABC＝9∶100，∴(－25t2＋4825t)∶24＝9∶100，整理，得5t2－24t＋27＝0，即(5t－9)(t－3)＝0，解得t＝95或t＝3.∵0≤t≤4.8，∴当t＝95s或t＝3s时，S△CPQ∶S△ABC＝9∶100.(3)①若CQ＝CP，则t＝4.8－t，解得t＝2.4.②若PQ＝PC，如解图①所示，∵PQ＝PC，PH⊥QC，∴QH＝CH＝12QC＝t2.∵△CHP∽△BCA，∴CHBC＝CPAB，∴t26＝4.8－t10，解得t＝14455.(第17题图解)③若QC＝QP，过点Q作QE⊥CP，垂足为E，如解图②所示．∵QC＝QP，QE⊥CP，∴CE＝PE＝12PC＝t2.∵∠QEC＝∠ACB＝90°，∠QCE＝∠ABC，∴△QCE∽△ABC，∴CEBC＝QCAB，∴4.8－t26＝t10，解得t＝2411.综上所述：当t为2.4s或4455s或2411s时，△CPQ为等腰三角形．