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2016年中考数学模拟试题汇编详解：二次函数二次函数一.选择题1.（2016·河北石家庄·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴，与y轴交于点C，且CO=2AO，CO=BO，AB=3，则下列判断中正确的是（）A．此抛物线的解析式为y=x2+x﹣2B．当x＞0时，y随着x的增大而增大C．在此抛物线上的某点M，使△MAB的面积等于5，这样的点共有三个D．此抛物线与直线y=﹣只有一个交点【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】先确定A、B点的坐标，则可利用交点式求出抛物线解析式，于是可对A选项进行判断；根据二次函数的性质对B选项进行判断；设M（t，t2﹣t﹣2），根据三角形面积公式得到×3×|t2﹣t﹣2|=5，再把方程化为t2﹣t﹣2=或t2﹣t﹣2=﹣，然后通过解两个方程确定t的值，从而可对C选项进行判断；通过解方程x2﹣x﹣2=﹣可对D选项进行判断．【解答】解：∵CO=2AO，CO=BO，AB=3，∴OA=1，OB=2，∴A（﹣1.0），B（2，0），∴抛物线解析式为y=（x+1）（x﹣2），即y=x2﹣x﹣2，所以A选项错误；∵抛物线的对称轴为直线x=，∴当x＞时，y随着x的增大而增大，所以B选项错误；设M（t，t2﹣t﹣2），当△MAB的面积等于5，则×3×|t2﹣t﹣2|=5，∴t2﹣t﹣2=或t2﹣t﹣2=﹣，∵方程t2﹣t﹣2=有两个不等实数解，而方程或t2﹣t﹣2=﹣没有实数解，∴满足条件的M点有2个，所以C选项错误；当y=﹣时，x2﹣x﹣2=﹣，解得x1=x2=∴抛物线与直线y=﹣只有一个交点，所以D选项正确．故选D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根的判别式和根与系数的关系．对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．2.（2016·河大附中·一模）如图．等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2=y，则y关于x的函数图象大致为()第2题答案：A3.．（2016·黑龙江大庆·一模）已知二次函数与x轴交于A、B两点，则线段AB的最小值为()A．  B．2  C．  D．无法确定答案：C4.（2016·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，对于二次函数(a≠0)的图象，得出了下面五条信息：①c＞0；②b=6a；③＞0；④a+b+c＜0；⑤对于图象上的两点(-6,m)、(1,n)，有m＜n.其中正确信息的个数有()A.2个  B.3个 C.4个  D.5个答案：C5.（2016·湖北襄阳·一模）函数与（）的图像可能是：（）答案：C第5题6.．(2016·上海普陀区·一模)如果a、b同号，那么二次函数y=ax2+bx+1的大致图象是（）A． B． C． D．【考点】二次函数的图象．【分析】分a＞0和a＜0两种情况根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与y轴的交点情况分析判断即可得解．【解答】解：a＞0，b＞0时，抛物线开口向上，对称轴x=﹣＜0，在y轴左边，与y轴正半轴相交，a＜0，b＜0时，抛物线开口向下，对称轴x=﹣＜0，在y轴左边，与y轴正半轴坐标轴相交，D选项符合．故选D．【点评】本题考查了二次函数图象，熟练掌握函数图象与系数的关系是解题的关键，注意分情况讨论．7．(2016·山东枣庄·模拟)已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（）A．只能是x=﹣1B．可能是y轴C．可能在y轴右侧且在直线x=2的左侧D．可能在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】根据题意判定点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：﹣2＜x2＜2，从而得出﹣2＜＜0，即可判定抛物线对称轴的位置．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过（﹣2，0），（2，3）两点，∴点（﹣2，0）关于对称轴的对称点横坐标x2满足：﹣2＜x2＜2，∴﹣2＜＜0，∴抛物线的对称轴在y轴左侧且在直线x=﹣2的右侧．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据点坐标判断出另一个点的位置是解题的关键8．(2016·上海浦东·模拟)下列函数的图像在每一个象限内，随着的增大而增大的是（A）（A）； （B）；（C）； （D）9.(2016·陕西师大附中·模拟)已知二次函数的图象如图所示，顶点为（－1，0），下列结论：①；②；③；④.其中正确结论的个数是（）A. 1B.2C.3D.410.（2016·江苏常熟·一模）抛物线y=﹣x2+x﹣1与坐标轴（含x轴、y轴）的公共点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据判别式的值得到△=﹣3＜0，根据△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到抛物线与x轴没有交点，由于抛物线与y轴总有一个交点，所以抛物线y=﹣x2+x﹣1与坐标轴的交点个数为1．【解答】解：∵△=12﹣4×（﹣1）×（﹣1）=﹣3＜0，∴抛物线与x轴没有交点，而抛物线y=﹣x2+x﹣1与y轴的交点为（0，﹣1），∴抛物线y=﹣x2+x﹣1与坐标轴的交点个数为1．故选B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系，△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．11.（2016·江苏省南京市钟爱中学·九年级下学期期初考试）已知，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下说法不正确的是（）A．根据图象可得该函数y有最小值B．当x=﹣2时，函数y的值小于0C．根据图象可得a＞0，b＜0D．当x＜﹣1时，函数值y随着x的增大而减小答案：C12.（2016·辽宁丹东七中·一模）二次函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（）A.2a+b＜0B.a+b+c＜0C.若-1＜m＜n＜1,则m+n＜-D.3+＞2答案：C13．（2016·辽宁丹东七中·一模）函数y=ax2－2与（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）答案：D14.（2016·广东·一模）如图，抛物线y=-x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D.下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a=-1，则b=4；③抛物线上有两点P（x1,y1）和Q（x2,y2），若x1<1<x2，且x1+x2>2，则y1>y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为，其中正确判断的序号是（）A.①B.②C.③D.④答案：C15.（2016·广东深圳·一模）已知二次函数y=a（x﹣1）2﹣c的图象如图所示，则一次函数y=ax+c的大致图象可能是（）A． B． C． D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】首先根据二次函数图象得出a，c的值，进而利用一次函数性质得出图象经过的象限．【解答】解：根据二次函数开口向上则a＞0，根据﹣c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y=ax+c的大致图象经过一、二、三象限，故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的性质，根据已知得出a，c的值是解题关键．16.（2016·广东深圳·联考）关于二次函数的图象与性质，下列结论错误的是A．抛物线开口方向向下B．当x=3时，函数有最大值-2C．当x＞3时，y随x的增大而减小D．抛物线可由经过平移得到答案：D4.（2016·广东深圳·联考）如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标分别为-1，3，则下列结论正确的个数有①ac＜0②2a+b=0③4a+2b+c＞0④对于任意x均有ax2+bx≥a+bA．1 B．2C．3 D．4答案：C二.填空题1.（2016·河大附中·一模）如图，一段抛物线：y=x(x-2)(0≤x≤2)，记为C1，它与x轴交于点O，A，；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…，如此进行下去，直至得C2016．若P(4031，a)在第2016段抛物线C2016上，则a=.第1题答案：12.（2016·湖北襄阳·一模）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为+3，由此可知铅球推出的距离为.答案：103.(2016·陕西师大附中·模拟)请给出一元二次方程＝0的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根.【答案】任何一个小于16的数4．(2016·山东枣庄·模拟)二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则a+b+1=3．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题．【分析】先把（1，1）代入y=ax2+bx﹣1可得a+b的值，然后利用整体代入的方法计算a+b+1的值．【解答】解：把（1，1）代入y=ax2+bx﹣1得a+b﹣1=1，所以a+b=2，所以a+b+1=2+1=3．故答案为3．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解决此题的关键是把抛物线上点的坐标代入抛物线解析式得到a、b的等量关系．5．(2016·上海普陀区·一模)在函数①y=ax2+bx+c，②y=（x﹣1）2﹣x2，③y=5x2﹣，④y=﹣x2+2中，y关于x的二次函数是④．（填写序号）【考点】二次函数的定义．【分析】根据形如y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，可得答案．【解答】解：①a=0时y=ax2+bx+c是一次函数，②y=（x﹣1）2﹣x2是一次函数；③y=5x2﹣不是整式，不是二次函数；④y=﹣x2+2是二次函数，故答案为：④．【点评】本题考查了二次函数，形如y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数，注意二次项的系数不能为零．6．(2016·上海普陀区·一模)二次函数y=x2+2x﹣3的图象有最低点．（填："高"或"低"）【考点】二次函数的最值．【分析】直接利用二次函数的性质结合其开口方向得出答案．【解答】解：∵y=x2+2x﹣3，a=1＞0，∴二次函数y=x2+2x﹣3的图象有最低点．故答案为：低．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，得出二次函数的开口方向是解题关键．7．(2016·上海浦东·模拟)已知函数，那么38．(2016·上海普陀区·一模)如果抛物线y=2x2+mx+n的顶点坐标为（1，3），那么m+n的值等于1．【考点】二次函数的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据抛物线y=2x2+mx+n的顶点坐标为（1，3），可知，从而可以得到m、n的值，进而可以得到m+n的值．【解答】解：∵抛物线y=2x2+mx+n的顶点坐标为（1，3），∴，解得m=﹣4，n=5，∴m+n=﹣4+5=1．故答案为：1．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的顶点坐标公式9.（2016·吉林东北师范大学附属中学·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点在抛物线上，连结．若是以为底边的等腰三角形，则的面积是．答案：10.（2016·江苏常熟·一模）如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶．试图让网球落入桶内，已知AB=4米，AC=3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．当竖直摆放圆柱形桶至少8个时，网球可以落入桶内．【考点】二次函数的应用．【分析】以抛物线的对称轴为y轴，水平地面为x轴，建立平面直角坐标系，设解析式，结合已知确定抛物线上点的坐标，代入解析式确定抛物线的解析式，由圆桶的直径，求出圆桶两边缘纵坐标的值，确定m的范围，根据m为正整数，得出m的值，即可得到当网球可以落入桶内时，竖直摆放圆柱形桶个数．【解答】解：（1）以点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系（如图），M（0，5），B（2，0），C（1，0），D（，0）设抛物线的解析式为y=ax2+k，抛物线过点M和点B，则k=5，a=﹣．∴抛物线解析式为：y=﹣x2+5；∴当x=1时，y=；当x=时，y=．∴P（1，），Q（，）在抛物线上；设竖直摆放圆柱形桶m个时网球可以落入桶内，由题意，得，≤m≤，解得：7≤m≤12；∵m为整数，∴m的最小整数值为：8，∴竖直摆放圆柱形桶至少8个时，网球可以落入桶内．故答案为：8．【点评】研究抛物线的问题，需要建立适当的平面直角坐标系，根据已知条件，求出相关点的坐标，确定解析式，这是解答其它问题的基础．11.（2016·江苏丹阳市丹北片·一模）抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线答案：；12.（2016·江苏丹阳市丹北片·一模）如图，已知⊙P的半径为1，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与轴相切时，圆心P的坐标为．答案：,（0，-1）13.（2016·江苏省南京市钟爱中学·九年级下学期期初考试）二次函数y=x2﹣4x﹣3的顶点坐标是（，）．答案：（2，﹣7）14.（2016·江苏省南京市钟爱中学·九年级下学期期初考试）若函数y=mx2﹣2x+1的图象与x轴只有一个交点，则m=．答案：0或115.（2016·上海市闸北区·中考数学质量检测4月卷）二次函数的对称轴是直线x=▲．16,（2016·河南三门峡·一模）二次函数y=x2﹣2x的图象的对称轴是直线__________．答案：17．（2016·河南三门峡·二模）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C（0，﹣3），M是抛物线的顶点，现将抛物线沿平行于y轴的方向向上平移三个单位，则曲线CMB在平移过程中扫过的面积为__________（面积单位）．答案：918.（2016·河南洛阳·一模）对于二次函数y=-x2+2x.有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1;②设y1=-x12+2x1，y2=-x22+2x2，则当x2>x1时，有y2>y1;③它的图象与x轴的两个交点是(0.0)和(2，0);④当0<x<2时，y>0．其中正确的结论的个数为个．答案：319．（2016·吉林长春朝阳区·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣2x﹣1交y轴于点A，过点A作AB∥x轴交抛物线于点B，点P在抛物线上，连结PA、PB，若点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上，则△ABP的面积是2．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】求得C的坐标，进而求得B的坐标，根据点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上得出三角形的高，然后根据三角形面积公式即可求得．【解答】解：令x=0，则y=x2﹣2x﹣1=﹣1，∴A（0，﹣1），把y=﹣1代入y=x2﹣2x﹣1得﹣1=x2﹣2x﹣1，解得x1=0，x2=2，∴B（2，﹣1），∴AB=2，∵点P关于x轴的对称点恰好落在直线AB上，∴△PAB边AB上的高为2，∴S=×2×2=2．故答案为2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求得A、B的坐标以及三角形的高是解题的关键．20．（2016·湖南省岳阳市十二校联考·一模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）；⑤设A（100，y1），B（﹣100，y2）在该抛物线上，则y1＞y2．其中正确的结论有①②④⑤．（写出所有正确结论的序号）【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：抛物线与y轴交于原点，c=0，（故①正确）；该抛物线的对称轴是：，直线x=﹣1，（故②正确）；当x=1时，y=a+b+c∵对称轴是直线x=﹣1，∴﹣b/2a=﹣1，b=2a，又∵c=0，∴y=3a，（故③错误）；x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c，又∵x=﹣1时函数取得最小值，∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，∵b=2a，∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．（故④正确），∵|100+1|＞|﹣100+1|，且开口向上，∴y1＞y2．（故⑤正确）．故答案为：①②④⑤．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．21.三.解答题1.（2016·河北石家庄·一模）如图，抛物线y=﹣x2+x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）由题意易求得A与B的坐标，然后有待定系数法，即可求得直线AB的函数关系式；（2）由s=MN=NP﹣MP，即可得s=﹣t2+t+1﹣（t+1），化简即可求得答案；（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，即可得方程：﹣t2+t=，解方程即可求得t的值，再分别分析t取何值时四边形BCMN为菱形即可．【解答】解：（1）∵当x=0时，y=1，∴A（0，1），当x=3时，y=﹣×32+×3+1=2.5，∴B（3，2.5），设直线AB的解析式为y=kx+b，则：，解得：，∴直线AB的解析式为y=x+1；（2）根据题意得：s=MN=NP﹣MP=﹣t2+t+1﹣（t+1）=﹣t2+t（0≤t≤3）；（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有﹣t2+t=，解得t1=1，t2=2，∴当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形．①当t=1时，MP=，NP=4，故MN=NP﹣MP=，又在Rt△MPC中，MC=，故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形，②当t=2时，MP=2，NP=，故MN=NP﹣MP=，又在Rt△MPC中，MC=，故MN≠MC，此时四边形BCMN不是菱形．【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式，线段的长与函数关系式之间的关系，平行四边形以及菱形的性质与判定等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是数形结合思想的应用．2．（2016·河大附中·一模）（本题满分11分）如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+l+交与A,B两点，其中A在y轴上，点B的横坐标为4，P为抛物线上一动点。过点.P作PC垂直于AB，垂足为C．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在直线AB上方的抛物线上，设P的横坐标为m，用m的代数式表示线段PC的长，并求出线段PC的最大值及此时点P的坐标；(3)若点P是抛物线上任意一点，且满足0°<∠PAB≤45°．请直接写出①点P的横坐标的取值范围；②纵坐标为整数的点P为"巧点"，"巧点"的个数.答案：第2题3.（2016·黑龙江大庆·一模）（本题7分）东风商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3000件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2000件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？答案：解：（1）由题意，可设y=kx+b，把（5，3000），（6，2000）代入得：，解得：k=-1000，b=8000，∴y与x之间的关系式为：y=﹣1000x+8000； 3分（2）设利润为W，则W=（x﹣4）（﹣1000x+8000）=﹣1000（x﹣4）（x﹣8）=﹣1000（x﹣6）2+4000所以当x=6时，W取得最大值，最大值为4000元． 6分答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为4000元． 7分4.（2016·黑龙江大庆·一模）（本题9分）在平面直角坐标系中，有三点A（-1，0），B（0，错误！未找到引用源。），C（3，0）．（1）求过点A、B、C的抛物线的解析式；（2）如图1，在线段AC上有一动点P，过P点作直线PD∥AB交BC于点D，求出△PBD面积的最大值；（3）如图2，在（2）的情况下，在抛物线上是否存在一点Q，使△QBD的面积与△PBD面积相等，如存在，直接写出Q点坐标，如不存在，请说明理由．第4题图1图2答案：解:（1）∵所求的函数解析式过A（-1，0），B（0，），C（3，0），∴设所求的函数解析式为：，当，时，，解得：，∴所求的函数解析式为:或． 2分（2）∵A（-1，0），B（0，），C（3，0），OA=1，OB=，OC=3，OB⊥AC，∴在Rt△AOB和Rt△BOC中，tan∠BAO=，tan∠BCO=，∴∠BAO=60°，∠BCO=30°则∠ABC=90°，∴AB⊥BC，∴BC=2OB=；又∵AB⊥BC，PD//AB，∴PD⊥AC，∵P在线段AC上，设P（m，0），∴PC==3-m∵∠BCO=30°，PD⊥AC，∴PD=PC=；DC===，BD=BC-DC==，∴=，∴△PBD面积的最大值是；  5分（3）（，），（，），（1，），（2，）．  9分图1图25.（2016·黑龙江齐齐哈尔·一模）（本题8分）如图，过点A（-1，0）、B（3，0）的抛物线y=-x2+bx+c与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E.（1） 求抛物线解析式；（2） 求抛物线顶点D的坐标；（3） 若抛物线的对称轴上存在点P使，求此时DP的长.第5题答案：解：（1）y=-x2+2x+3；（2）D（1，4）；-（3）1或7.6.（2016·湖北襄阳·一模）（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；第6题答案：解：（1）由抛物线过点A（－3，0），B（1，0），则解得∴二次函数的关系解析式．（2）连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．…4分设点P坐标为（m，n），则．PM=，，AO=3．（5分）当时，＝２．∴OC=2．＝＝＝．8分∵＝－１＜0，∴当时，函数有最大值．此时＝．∴存在点，使△ACP的面积最大．（3）存在点Q，坐标为：，．分△BQE∽△AOC，△EBQ∽△AOC，△QEB∽△AOC三种情况讨论可得出．7.．(2016·山东枣庄·模拟)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．（1）求此抛物线的解析式．（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题．【分析】（1）根据题意确定出B与C的坐标，代入抛物线解析式求出b与c的值，即可确定出解析式；（2）把抛物线解析式化为顶点形式，找出顶点坐标，四边形ABDC面积=三角形ABC面积+三角形BCD面积，求出即可．【解答】解：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4），把B与C坐标代入y=﹣x2+bx+c得：，解得：b=2，c=4，则解析式为y=﹣x2+2x+4；（2）∵y=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣2）2+6，∴抛物线顶点坐标为（2，6），则S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=×4×4+×4×2=8+4=12．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．20．(2016·上海普陀区·一模)将抛物线y=先向上平移2个单位，再向左平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（﹣1，4），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】利用二次函数平移的性质得出平移后解析式，进而利用x=0时求出新抛物线与y轴交点的坐标．【解答】解：由题意可得：y=（x+m）2+2，代入（﹣1，4），解得：m1=3，m2=﹣1（舍去），故新抛物线的解析式为：y=（x+3）2+2，当x=0时，y=，即与y轴交点坐标为：（0，）．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确利用二次函数平移的性质得出解析式是解题关键．8．(2016·上海普陀区·一模)已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2﹣的图象经过点、A（0，8）、B（6，2）、C（9，m），延长AC交x轴于点D．（1）求这个二次函数的解析式及的m值；（2）求∠ADO的余切值；（3）过点B的直线分别与y轴的正半轴、x轴、线段AD交于点P（点A的上方）、M、Q，使以点P、A、Q为顶点的三角形与△MDQ相似，求此时点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把点A、B的坐标代入函数解析式求得系数a、c的值，从而得到函数解析式，然后把点C的坐标代入来求m的值；（2）由点A、C的坐标求得直线AC的解析式，然后根据直线与坐标轴的交点的求法得到点D的坐标，所以结合锐角三角函数的定义解答即可；（3）根据相似三角形的对应角相等进行解答．【解答】解：（1）把A（0，8）、B（6，2）代入y=ax2﹣，得，解得，故该二次函数解析式为：y=x2﹣x+8．把C（9，m），代入y=x2﹣x+8得到：m=y=×92﹣×9+8=5，即m=5．综上所述，该二次函数解析式为y=x2﹣x+8，m的值是5；（2）由（1）知，点C的坐标为：（9，5），又由点A的坐标为（0，8），所以直线AC的解析式为：y=﹣x+8，令y=0，则0=﹣x+8，解得x=24，即OD=24，所以cot∠ADO===3，即cot∠ADO=3；（3）在△APQ与△MDQ中，∠AQP=∠MQD．要使△APQ与△MDQ相似，则∠APQ=∠MDQ或∠APQ=∠DMQ（根据题意，这种情况不可能），∴cot∠APQ=cot∠MDQ=3．作BH⊥y轴于点H，在直角△PBH中，cot∠P==3，∴PH=18，OP=20，∴点P的坐标是（0，20）．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数、一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．9.(2016·陕西师大附中·模拟)(10分)如图，抛物线与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E.（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标.24.(满分10分)解：⑴AD：y＝x+1；⑵过点F作x轴的垂线，交直线AD于点M，易证△FGH≌△FGM故设则FM=则C=故最大周长为⑶①若AP为对角线如图，由△PMS∽△MAR可得由点的平移可知故Q点关于直线AM的对称点T为②若AQ为对角线如图，同理可知P由点的平移可知Q故Q点关于直线AM的对称点T为10．(2016·上海闵行区·二模)如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线l．（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；（2）如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线l的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）将A、C两点坐标代入解析式即可求出a、c，将解析式配成顶点式即可得到对称轴方程和顶点坐标；（2）先由C、M两点坐标求出直线CM解析式，进而求出D点坐标，由于C、N两点关于抛物线对称轴对称，则CN∥AD，同时可求出N点坐标，然后得出CN=AD，结论显然；（3）设出P点纵坐标，表示出MP的长度，过点P作PH⊥DM于H，表示出PH的长度，在直角三角形PAE中用勾股定理列出方程，解之即得答案．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3），∴，∴，∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，对称轴为直线x=1，顶点M（1，4）；（2）如图1，∵点C关于直线l的对称点为N，∴N（2，3），∵直线y=kx+b经过C、M两点，∴，∴，∴y=x+3，∵y=x+3与x轴交于点D，∴D（﹣3，0），∴AD=2=CN又∵AD∥CN，∴CDAN是平行四边形；（3）设P（1，a），过点P作PH⊥DM于H，连接PA、PB，如图2，则MP=4﹣a，又∠HMP=45°，∴HP=AP=，Rt△APE中，AP2=AE2+PE2，即：，解得：，∴P1（1，﹣4+2），P2（1，﹣4﹣2）．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数与一次函数解析式、求抛物线的对称轴及顶点坐标、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、圆的切线性质、勾股定理、解一元二次方程等知识点，综合性较强，难度适中．第（3）问的直线与圆相切问题往往转化为点到直线的距离与半径相等来解决．11．(2016·上海浦东·模拟)如图，二次函数的图像与轴交于点A，且过点．（1）试求二次函数的解析式及点A的坐标；（2）若点关于二次函数对称轴的对称点为点，试求的正切值；（3）若在轴上有一点，使得点关于直线的对称点在轴上，试求点的坐标．解：(1)将点代入解析式，可得：，解之得所以二次函数解析式为．点A的坐标为（0，2）．（2）由题意，，，，．过点作于点．∴，，∴．(3)由题意，，从而点的坐标为或．①若点，设，由，有，解得:，即②若点，设，由，有，解得:，即综合知，点的坐标为或．12.（2016·河南三门峡·二模）（11分）如图，已知抛物线（a＞0）与x轴交于点A，B（点A在点B右侧），与y轴交于点C，抛物线过点N（6，-4）．（1）求实数a的值；（2）在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+CH最小，求出点H的坐标；（3）若把题干中"抛物线过点N（6，﹣4）"这一条件去掉，试问在第四象限内，抛物线上是否存在点F，使得以点B，A，F为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）∵抛物线过点N（6，一4），∴解得：，（2）∵∴令y=0，得x1=﹣2，x2=4；令x=0，得y=2∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（0，2）∵点A和点B关于抛物线的对称轴对称，∴在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+CH最小，即AH+CH最小，连接AC，则AC与抛物线的对称轴x=1的交点H即为所求如下图所示：设过点A（4，0），C（0，2）的直线解析式为：则解得，b=2∴令x=1代入，得∴AC与抛物线对称轴的交点H的坐标为（1，）即点H的坐标为（1，）时，使得BH+CH最小；（3）①作BF∥AC交抛物线于点F，如图：则∠FBA=∠BAC，由令x=0，则y=2，∴C（0，2），又∵A（，0），∴AC的解析式为设BF的解析式为，∵BF过点B（﹣2，0），∴∴BF的解析式为：∴解得：∴∵△BFA∽△ABC，∴AB2=BFoAC，∴化简整理得：16=0，不存在这种情形，即这种情况不存满足要求的F点；②∵B（﹣2，0），C（2，0），∴BC的解析式为，∠ABC=45°，在x轴下方作∠ABF=∠ABC=45°，如图：∴BF⊥BC，∴BF的解析式为∴解得：F（2a，﹣2a﹣2），∴∵△BFA∽△BAC，∴AB2=BFoBC，∴整理得：解得或（舍去），综上所述，时，以点B，A，F为顶点的三角形与△BAC相似．13.（2016·河南三门峡·一模）（11分）如图，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：，即：；∴抛物线的解析式为：（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：又∵OC⊥AB∴△OAC∽△OCB∴∠OCA=∠OBC∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；∴该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为（1.5，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：，即：，且△=0；∴，即∴直线l：由于S△MBC=BC×h，当h最大（即点M到直线BC的距离最远）时，△ABC的面积最大所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：解得：即M（2，﹣3）．14.（2016·吉林东北师范大学附属中学·一模）（10分）如图，在中，，，于点．动点从点出发，沿以的速度向终点运动，点不与重合．过点作交折线于点，以为边向右侧作正方形．设正方形与重叠部分图形的面积为，点运动的时间为．（1）当点在边上时，求的值．（2）用含的代数式表示的长．（3）求与之间的函数关系式．答案：解：（1）如图①，，．（2分）（2）①当时，．（3分）②当时，．（4分）（3）①如图②，当时，．（6分）②如图③，当时，．（8分）③如图④，当时，．（10分）15.（2016·吉林东北师范大学附属中学·一模）（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与直线交于、两点，点、的坐标分别为、．点在抛物线上，且不与点、重合，过点作轴的平行线交射线于点，以为边作矩形，与点始终在同侧，且．设点的横坐标为（），矩形的周长为．（1）用含的代数式表示点的坐标．（2）求与之间的函数关系式．（3）当矩形是正方形时，求的值．（4）直接写出矩形的边与抛物线有两个交点时的取值范围．答案：解：（1）∵点在抛物线上，∴．（2分）（2）∵轴，∴．当时，如图①，．．当时，如图②，．．（3）∵矩形是正方形，∴．当时，如图③，．解得．（7分）当时，如图④，．解得（舍去），．（9分）（4）或或．（12分）如图⑤、⑥、⑦．16.（2016·江苏常熟·一模）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨2元，就会少售出20件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润ω元，并把结果填写在表格中：销售单价（元） x销售量y（件） 1000﹣10x销售玩具获得利润ω（元） ﹣10x2+1300x﹣30000（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元？（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于400件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少元？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【分析】（1）利用已知结合销售单价每涨2元，就会少售出20件玩具，表示出涨价后的销量即可，进而得出w与x的函数关系；（2）利用（1）中所求，得出关于x的等式方程求出即可；（3）利用"玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于400件的销售任务"进而得出不等式组求出x的取值范围，再利用二次函数性质求出最值即可即可．【解答】解：（1）由题意可得：y=600﹣×20=1000﹣10x，w=y（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣30000，销售单价（元） x销售量y（件） 1000﹣10x销售玩具获得利润w（元） ﹣10x2+1300x﹣30000（2）根据题意得出：﹣10x2+1300x﹣30000=10000，解得：x1=50，x2=80，答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润．（3）根据题意得：解得：44≤x≤60，w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250，∵a=﹣10＜0，对称轴是直线x=65，∴当44≤x≤60时，w随x增大而增大．∴当x=60时，w最大值=12000（元）．答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为12000元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及不等式组的应用，根据题意得出x的取值范围是解题关键．17.（2016·江苏常熟·一模）如图，一次函数y=kx的图象与二次函数y=﹣x2+bx图象的交点M的坐标是（﹣4，﹣4）．（1）求k、b的值；（2）将直线y=kx沿y轴平移，分别交x轴、y轴于A、B两点问：二次函数y=﹣x2+bx图象上是否存在点P，使得以P、A、B为顶点的△PAB与△OAB相似，若存在求点P的坐标，若不存在说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把点M的坐标（﹣4，﹣4）分别代入一次函数与二次函数的解析式即可求出k和b的值；（2）存在点P，使得以P、A、B为顶点的△PAB与△OAB相似，设y=x+a，易证∠BAO=45°，所以可得△AOB为等腰直角三角形，若以P、A、B为顶点的△PAB与△OAB相似，则△PAB也为等腰直角三角形，由此可分四种情况分别讨论求出符合题意点P的坐标即可．【解答】解：（1）∵一次函数y=kx的图象与二次函数y=﹣x2+bx图象的交点M的坐标是（﹣4，﹣4），∴﹣4k=﹣4，﹣4=﹣16﹣4b，∴k=1，b=﹣3；（2）存在点P，使得以P、A、B为顶点的△PAB与△OAB相似，理由如下：设y=x+a，则∠BAO=45°，所以可得△AOB为等腰直角三角形，若以P、A、B为顶点的△PAB与△OAB相似，则△PAB也为等腰直角三角形，①如图①当∠BPA=90°时，则有OB=OA=PB=PA=a，所以点P（﹣a，a）代入y=﹣x2﹣3x得﹣a=a2﹣3a，解得：a=2，∴点P的坐标（﹣2，2）；②如图②当∠BPA=90°时，则有AP=AB，PB=2OB，所以点P（﹣2a，a）代入y=﹣x2﹣3x得a=4a2+6a，解得：a=，∴点P的坐标（﹣，）；③如图③当∠BPA=90°时，且B在x轴上方时，则有AP=AB，PB=2OB，所以点P（﹣a，a）代入y=﹣x2﹣3x得2a=﹣a2+3a，解得a=1，∴点P的坐标（﹣1，2）；④如图④当∠BPA=90°时，且B在x轴上，则有BP=AB，所以点P（﹣a，0）代入y=﹣x2﹣3x得0=﹣a2+3a，解得a=3，∴点P的坐标（﹣3，0）．【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、探究等腰三角形的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．18.（2016·江苏丹阳市丹北片·一模）（7分）今年以来，国务院连续发布了《关于加快构建大众创业万众创新支撑平台的指导意见》等一系列支持性政策，各地政府高度重视、积极响应，中国掀起了大众创业万众创新的新浪潮.某创新公司生产营销A、B两种新产品，根据市场调研，发现如下信息：信息1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系，当x＝1时，y＝7；当x＝2时，y＝12.信息2：销售B种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在正比例函数关系.根据以上信息，解答下列问题：（1）求；（2）该公司准备生产营销A、B两种产品共10吨，请设计一个生产方案，使销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？答案：（1）a=-1，b=8（2）方案：A3吨，B7吨，最大利润29万元。19.（2016·江苏丹阳市丹北片·一模）（本题满分10分）如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2）．将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°．得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH．（1）若抛物线l：y=ax2+bx+c经过G、O、E三点，求它的解析式。（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间（不含点R、E）运动，设△PQH的面积为s，当时，确定点Q的横坐标的取值范围．答案：（10分）（1）如图1，过G作GI⊥CO于I，过E作EJ⊥CO于J，∵A（2，0）、C（0，2），∴OE=OA=2，OG=OC=2，∵∠GOI=30°，∠JOE=90°﹣∠GOI=90°﹣30°=60°，∴GI=sin30°oGO==，IO=cos30°oGO==3，JO=cos30°oOE==，JE=sin30°oOE==1，∴G（﹣，3），E（，1），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，∵经过G、O、E三点，∴，解得，∴y=x2﹣x．（3分）（2）∵四边形OHMN为平行四边形，∴MN∥OH，MN=OH，∵OH=OF，∴MN为△OGF的中位线，∴xD=xN=oxG=﹣，∴D（﹣，0）．（3）设直线GE的解析式为y=kx+b，∵G（﹣，3），E（，1），∴，解得，∴y=﹣x+2．∵Q在抛物线y=x2﹣x上，∴设Q的坐标为（x，x2﹣x），∵Q在R、E两点之间运动，∴﹣＜x＜．①当﹣＜x＜0时，如图2，连接PQ，HQ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，﹣x+2），∵S△PKQ=o（yK﹣yQ）o（xQ﹣xP），S△HKQ=o（yK﹣yQ）o（xH﹣xQ），∴S△PQH=S△PKQ+S△HKQ=o（yK﹣yQ）o（xQ﹣xP）+o（yK﹣yQ）o（xH﹣xQ）=o（yK﹣yQ）o（xH﹣xP）=o[﹣x+2﹣（x2﹣x）]o[0﹣（﹣）]=﹣x2+．②当0≤x＜时，如图3，连接PQ，HQ，过点Q作QK∥y轴，交GE于K，则K（x，﹣x+2），同理S△PQH=S△PKQ﹣S△HKQ=o（yK﹣yQ）o（xQ﹣xP）﹣o（yK﹣yQ）o（xQ﹣xH）=o（yK﹣yQ）o（xH﹣xP）=﹣x2+．综上所述，S△PQH=﹣x2+．∵，∴＜﹣x2+≤，解得﹣＜x＜，∵﹣＜x＜，∴﹣＜x＜．20.（2016·江苏省南京市钟爱中学·九年级下学期期初考试）（14分）如图所示，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC=DE，求出点D的坐标；（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．答案：（14分）解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3），∴，解得，故抛物线的函数解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）令x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则点C的坐标为（3，0），∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴点E坐标为（1，﹣4），设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，∵DC2=OD2+OC2=m2+32，DE2=DF2+EF2=（m+4）2+12，∵DC=DE，∴m2+9=m2+8m+16+1，解得m=﹣1，∴点D的坐标为（0，﹣1）；（3）∵点C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4），∴CO=DF=3，DO=EF=1，根据勾股定理，CD===，在△COD和△DFE中，∵，∴△COD≌△DFE（SAS），∴∠EDF=∠DCO，又∵∠DCO+∠CDO=90°，∴∠EDF+∠CDO=90°，∴∠CDE=180°﹣90°=90°，∴CD⊥DE，①分OC与CD是对应边时，∵△DOC∽△PDC，∴=，即=，解得DP=，过点P作PG⊥y轴于点G，则==，即==，解得DG=1，PG=，当点P在点D的左边时，OG=DG﹣DO=1﹣1=0，所以点P（﹣，0），当点P在点D的右边时，OG=DO+DG=1+1=2，所以，点P（，﹣2）；②OC与DP是对应边时，∵△DOC∽△CDP，∴=，即=，解得DP=3，过点P作PG⊥y轴于点G，则==，即==，解得DG=9，PG=3，当点P在点D的左边时，OG=DG﹣OD=9﹣1=8，所以，点P的坐标是（﹣3，8），当点P在点D的右边时，OG=OD+DG=1+9=10，所以，点P的坐标是（3，﹣10），综上所述，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为（﹣，0）、（，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）．21.（2016·河南洛阳·一模）(11分)如图12，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(-4，0)，B（-1，0）两点．(1)求抛物线的解析式；(2)在y轴左侧的抛物线上有一动点D．①如图(a)，直线y-x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF⊥x轴，交QC于点F。请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为：1？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由，②如图(b)，若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当□ODAE的面积S为何值时，满足条件的点D恰好有3个？请直接写出此时S的值以及相应的D点坐标．（1）把点A（－4，0）、B（－1，0）代入解析式y=ax2+bx+3，得，解得，∴抛物线的解析式为：……………………….….……….……….3(2)过C作CM⊥DF于M，过D作DN⊥CQ于N，则CM=-2x，DF=DN，由题意可得DF=2CM，①当D在Q点右侧时：解得（x=0舍去）∴D(-1，0)…………………….5②当D在Q点左侧时：解得（x=0舍去）∴D()(3)当D点到x轴的距离等于抛物线顶点到x轴距离时，这样的点恰好只有3个，此时S=此时点的坐标：、、22.（2016·辽宁丹东七中·一模）（14分）如图，抛物线y=-2x2+x+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B．P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交过点B垂直于x轴的直线于点C．过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交过点B垂直于x轴的直线于点N．（1）求线段AB长；（2）证明：OP=PC；（3）当点P在第一象限时，设AP长为m，⊿OBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（4）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，⊿PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，直接写出所有能使⊿PBC成为等腰三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由．（1）AB＝（2）△PMO≌△CNP∴OP＝PC（3）①当0＜m＜时，BC＝1－m－m＝1－m∴S＝②当＜m＜时，BC＝m－1S＝(4)(0,1)或(,1－)23．（2016·吉林长春朝阳区·一模）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B，点A、B的坐标分别是（﹣1，0）、（4，0），与y轴交于点C，点P在第一、二象限的抛物线上，过点P作x轴的平行线分别交y轴和直线BC于点D、E，设点P的横坐标为m，线段DE的长度为d．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）当点P在第一象限时，求d与m之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当PE=2DE时，求m的值；（4）如图②，过点E作EF∥y轴交x轴于点F，直接写出四边形ODEF的周长不变时m的取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据待定系数法，可得BC的解析式，根据E点的纵坐标，可得E点的横坐标，根据两点间的距离，可得答案；（3）根据PE与DE的关系，可得关于m的方程，根据解方程根据解方程，可得答案；（4）根据周长公式，可得答案．【解答】解：（1）由题意，得解得∴这条抛物线对应的函数表达式是y=﹣x2+3x+4；（2）当x=0时，y=4．∴点C的坐标是（0，4）．设直线BC的函数关系式为y=kx+b．由题意，得解得∴直线BC的函数关系式为y=﹣x+4，∵PD∥x轴，∴yP=yE=﹣m2+3m+4．．∴xE=﹣m2+3m．图①，当0＜m＜3时，如图①，d=﹣m2+3m．当3＜m＜4时，如图②，d=m2﹣3m．（3）当0＜m＜3时，DE=﹣m2+3m，PE=﹣m2+4m．∵PE=2DE，∴﹣m2+4m=2（﹣m2+3m）．解得m1=0（不合题意，舍去），m2=2．当3＜m＜4时，DE=m2﹣3m，PE=﹣m2+4m．∵PE=2DE，∴﹣m2+4m=2（m2﹣3m）．解得m1=0（不合题意，舍去），m2=．当PE=2DE时，m=2或m=．（4）﹣1＜m＜0或3＜m＜4．解答如下：当0＜m＜3时，如图③，DE=﹣m2+3m，EF=﹣m2+3m+4．∴C=2（﹣m2+3m+4﹣m2+3m）=﹣4m2+12m+8．当﹣1＜m＜0或3＜m＜4时，如图④、⑤，DE=m2﹣3m，EF=﹣m2+3m+4．∴C=2（﹣m2+3m+4+m2﹣3m）=8．综上所述：四边形ODEF的周长不变时m的取值范围是﹣1＜m＜0或3＜m＜4．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行于x轴直线上点的纵坐标相等得出E点的纵坐标是解题关键；利用PE与DE的关系得出关于m的方程是解题关键；利用矩形的周长公式是解题关键．24．（2016·湖南省岳阳市十二校联考·一模）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是直线x=﹣1．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）点N在线段OA上，点M在线段OB上，且OM=2ON，过点N作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P．①当ON为何值时，四边形OMPN为矩形；②△AOQ能否为等腰三角形？若能，求出此时ON的值；若不能，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）可设顶点式，根据待定系数法可求抛物线对应的函数关系式；（2）①当四边形OMPN为矩形时，满足条件OM=PN，据此列一元二次方程求解；②△AOQ为等腰三角形时，可能存在三种情形，需要分类讨论，逐一计算．【解答】解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+k，∵点A（1，0），B（0，3）在抛物线上，∴，解得：．∴抛物线的解析式为：y=﹣（x+1）2+4；（2）①设ON=t（0＜t＜1）．则OM=2t，PN=﹣（t+1）2+4，∵四边形OMPN为矩形，∴OM=PN，即2t=﹣（t+1）2+4，整理得：t2+4t﹣3=0，解得t=﹣2，由于t=﹣﹣2＜0，故舍去，∴当ON=﹣2时，四边形OMPN为矩形；②Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3．若△AOQ为等腰三角形，有三种情况：（I）若OQ=AQ，如答图1所示：则N为OA中点，ON=OA=，∴ON=；（II）若OQ=OA，如答图2所示：设AN=x，则QD=ADotanA=3x，ON=OA﹣AN=1﹣x，在Rt△QON中，由勾股定理得：ON2+QN2=OQ2，即（1﹣x）2+（3x）2=12，解得x1=，x2=0（舍去），∴x=，ON=1﹣x=，∴ON=；（III）若OA=AQ，如答图3所示：设AN=x，则QD=ANotanA=3x，在Rt△AQN中，由勾股定理得：QN2+AN2=AQ2，即x2+（3x）2=12，解得x1=，x2=﹣（舍去），∴ON=1﹣x=1﹣，∴ON=1﹣．综上所述，当ON为、、（1﹣）时，△AOQ为等腰三角形．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、勾股定理、解直角三角形、矩形性质、等腰三角形的性质等知识点，综合性比较强，有一定的难度．第（2）问为运动型与存在型的综合性问题，注意要弄清动点的运动过程，进行分类讨论计算．26．（2016·湖南湘潭·一模）（10分）如图，已知直线与轴交于点A，与轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0).（1）求该抛物线的解析式；（2）动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标.26．（1）将A（0，1）、B（1，0）坐标代入得解得∴抛物线的解折式为（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为即E点的坐标（，）又∵点E在直线上∴解得（舍去），，∴E的坐标为（4，3）（Ⅰ）当A为直角顶点时过A作AP1⊥DE交x轴于P1点，设P1（a,0）,易知D点坐标为（－2，0）由Rt△AOD∽Rt△P1OA得即，∴＝∴P1（，0）（Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，P2点坐标为（，0）（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3（,0）由∠OP3A+∠FP3E＝90°，得∠OP3A＝∠FEP3Rt△AOP3∽Rt△P3FE由得解得，∴此时的点P3的坐标为（1，0）或（3，0）综上所述，满足条件的点P的坐标为（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）.27.（2016·广东·一模）（本题满分12分）抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．25.（12分）解：（1）由题意得：，解得：，∴抛物线解析式为；（2）令，∴x1=-1，x2=3，即B（3，0），设直线BC的解析式为y=kx+b′，∴，解得：，∴直线BC的解析式为，设P（a，3-a），则D（a，-a2+2a+3），∴PD=（-a2+2a+3）-（3-a）=-a2+3a，∴S△BDC=S△PDC+S△PDB，∴当时，△BDC的面积最大，此时P（，）；（3）由（1），y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴OF=1，EF=4，OC=3，过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，当M在EF左侧时，∵∠MNC=90°，则△MNF∽△NCH，∴，设FN=n，则NH=3-n，∴，即n2-3n-m+1=0，关于n的方程有解，△=（-3）2-4（-m+1）≥0，得m≥，当M在EF右侧时，Rt△CHE中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°，作EM⊥CE交x轴于点M，则∠FEM=45°，∵FM=EF=4，∴OM=5，即N为点E时，OM=5，∴m≤5，综上，m的变化范围为：≤m≤5．27.（2016·广东东莞·联考）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），点B在x正半轴上，且∠ABO=30度．动点P在线段AB上从点A向点B以每秒个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在x轴上取两点M，N作等边△PMN．（1）求直线AB的解析式；（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值；（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；动点型；分类讨论．【分析】（1）先在直角三角形AOB中，根据∠ABO的度数和OA的长，求出OB的长，即可得出B点的坐标，然后用待定系数法即可求出直线AB的解析式．（2）求等边三角形的边长就是求出PM的长，可在直角三角形PMB中，用t表示出BP的长，然后根据∠ABO的度数，求出PM的长．当M、O重合时，可在直角三角形AOP中，根据OA的长求出AP的长，然后根据P点的速度即可求出t的值．（3）本题要分情况进行讨论：①当N在D点左侧且E在PM右侧或在PM上时，即当0≤t≤1时，重合部分是直角梯形EGNO．②当N在D点左侧且E在PM左侧时，即当1＜t＜2时，此时重复部分为五边形，（如图3）其面积可用△PMN的面积﹣△PIG的面积﹣△OMF的面积来求得．（也可用梯形ONGE的面积﹣三角形FEI的面积来求）．③当N、D重合时，即t=2时，此时M、O也重合，此时重合部分为等腰梯形．根据上述三种情况，可以得出三种不同的关于重合部分面积与t的函数关系式，进而可根据函数的性质和各自的自变量的取值范围求出对应的S的最大值．【解答】解：（1）由OA=4，∠ABO=30°，得到OB=12，∴B（12，0），设直线AB解析式为y=kx+b，把A和B坐标代入得：，解得：，则直线AB的解析式为：y=﹣x+4．（2）∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，∴AB=2OA=8，∵AP=t，∴BP=AB﹣AP=8t，∵△PMN是等边三角形，∴∠MPB=90°，∵tan∠PBM=，∴PM=（8﹣t）×=8﹣t．如图1，过P分别作PQ⊥y轴于Q，PS⊥x轴于S，可求得AQ=AP=t，PS=QO=4﹣t，∴PM=（4﹣）÷=8﹣t，当点M与点O重合时，∵∠BAO=60°，∴AO=2AP．∴4=2t，∴t=2．（3）①当0≤t≤1时，见图2．设PN交EC于点G，重叠部分为直角梯形EONG，作GH⊥OB于H．∵∠GNH=60°，，∴HN=2，∵PM=8﹣t，∴BM=16﹣2t，∵OB=12，∴ON=（8﹣t）﹣（16﹣2t﹣12）=4+t，∴OH=ON﹣HN=4+t﹣2=2+t=EG，∴S=（2+t+4+t）×2=2t+6．∵S随t的增大而增大，∴当t=1时，Smax=8．②当1＜t＜2时，见图3．设PM交EC于点I，交EO于点F，PN交EC于点G，重叠部分为五边形OFIGN．作GH⊥OB于H，∵FO=4﹣2t，∴EF=2﹣（4﹣2t）=2t﹣2，∴EI=2t﹣2．∴S=S梯形ONGE﹣S△FEI=2t+6﹣（2t﹣2）（2t﹣2）=﹣2t2+6t+4由题意可得MO=4﹣2t，OF=（4﹣2t）×，PC=4﹣t，PI=4﹣t，再计算S△FMO=（4﹣2t）2×S△PMN=（8﹣t）2，S△PIG=（4﹣t）2，∴S=S△PMN﹣S△PIG﹣S△FMO=（8﹣t）2﹣（4﹣t）2﹣（4﹣2t）2×=﹣2t2+6t+4∵﹣2＜0，∴当时，S有最大值，Smax=．③当t=2时，MP=MN=6，即N与D重合，设PM交EC于点I，PD交EC于点G，重叠部分为等腰梯形IMNG，见图4．S=×62﹣×22=8，综上所述：当0≤t≤1时，S=2t+6；当1＜t＜2时，S=﹣2t2+6t+4；当t=2时，S=8．∵，∴S的最大值是．【点评】本题考查一次函数解析式的确定、图形的面积求法、三角形相似及二次函数的综合应用等知识，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．28.（2016·广东深圳·一模）如图，在直角坐标系中，以点A（，0）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于B，C两点，与y轴交于D，E两点．（1）写出B，C，D点坐标（不写计算过程）（2）若B、C、D三点在抛物线y=ax2+bx+c上，求这个抛物线的解析式．（3）若圆A的切线交于x轴正半轴于点M，交y轴负半轴与点N，切点为P，∠OMN=30°，试判断直线MN是否经过所示抛物线的顶点？说明理由．【考点】圆的综合题．【分析】（1）连接AD，构造直角三角形解答，在直角△ADO中，OA=，AD=2，根据勾股定理就可以求出AD的长，求出D的坐标，再利用圆的性质得出B，C的坐标．（2）求出B、C、D的坐标，用待定系数法设出一般式解答；（3）求出抛物线交点坐标，连接AP，则△APM是直角三角形，且AP等于圆的半径，根据三角函数就可以求出AM的长，已知OA，就可以得到OM，则M点的坐标可以求出；同理可以在直角△BNM中，根据三角函数求出BN的长，求出N的坐标，根据待定系数法就可以求出直线MN的解析式．将交点坐标代入直线解析式验证即可．【解答】解：（1）如图1，连接AD，得OA=，AD=2，∴OD===3，∴D（0，﹣3），∵点A（，0）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于B、C两点，∴B（﹣，0），C（3，0）；（2）∵B（﹣，0），C（3，0），D（0，﹣3）∴将B，C，D三点代入抛物线y=ax2+bx+c得，，解得：∴抛物线为：y=x2﹣x﹣3．（3）如图2，连接AP，在Rt△APM中，∠PMA=30°，AP=2∴AM=4∴M（5，0）∵ON=MO×tan30°=5∴N（0，﹣5）设直线MN的解析式为y=kx+b，由于点M（5，0）和N（0，﹣5）在直线MN上，则，解得∴直线MN的解析式为y=x﹣5∵抛物线的顶点坐标为（，﹣4），当x=时，y=﹣4∴点（，﹣4）在直线y=x﹣5上，即直线MN经过抛物线的顶点．【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及用待定系数法求函数解析式和圆以及存在性问题相结合，培养了同学们的实际应用能力，注意利用数形结合得出是解题关键．29.（2016·广东河源·一模）如图，已知抛物线＝22－2与轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与轴交于点C．（1）写出以A，B，C为顶点的三角形的面积；（2）过点E（0，6）且与轴平行的直线l1与抛物线相交于M，N两点（点M在点N的左侧），以MN为一边，抛物线上的任一点P为另一顶点作平行四边形。当平行四边形的面积为8时，求出点P的坐标；（3）过点D（m，0）（其中m＞1）且与轴垂直的直线l2上有一点Q（点Q在第一象限），使得以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似，求线段QD的长．（用含m的代数式表示）。解：（1）∵＝22－2，∴当＝0时，22－2＝0，解得＝±1．∴点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（1，0），AB＝2.又当＝0时，＝－2，∴点C的坐标为（0，－2），OC＝2.∴S△ABC＝ABoOC＝×2×2＝2.（2）将＝6代入＝22－2，得22－2＝6，解得＝±2，∴点M的坐标为（－2，6），点N的坐标为（2，6），MN＝4．∵平行四边形的面积为8，∴MN边上的高为8÷4＝2，∴点P的纵坐标为6±2．①当点P的纵坐标为6+2＝8时，22－2＝8，解得＝±，∴点P的坐标为（，8）或（－，8）；②当点P的纵坐标为6－2＝4时，22－2＝4，解得＝±，∴点P的坐标为（，4）或（－，4）.（3）∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，－2），∴OB＝1，OC＝2．∵∠QDB＝∠BOC＝90°，∴以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似时，分两种情况：①OB与BD边是对应边时，△OBC∽△DBQ，则即＝，解得DQ＝2（m－1）＝2m－2.②OB与QD边是对应边时，△OBC∽△DQB，则即＝，解得DQ＝．综上所述，线段QD的长为2m－2或．30.（2016·广东深圳·联考）东门天虹商场购进一批"童乐"牌玩具，每件成本价30元，每件玩具销售单价x（元）与每天的销售量y(件)的关系如下表：x(元) … 35 40 45 50 …y（件） … 750 700 650 600 …若每天的销售量y(件)是销售单价x（元）的一次函数（1）求y与x的函数关系式；（2）设东门天虹商场销售"童乐"牌儿童玩具每天获得的利润为w（元），当销售单价x为何值时，每天可获得最大利润？此时最大利润是多少？（3）若东门天虹商场销售"童乐"牌玩具每天获得的利润最多不超过15000元，最低不低于12000元，那么商场该如何确定"童乐"牌玩具的销售单价的波动范围？请你直接给出销售单价x的范围。答案：解：（1）设函数解析式为y=kx+b，…………1分解得…………2分；…………3分（2）…………4分，最大值：．…………5分当销售单价为70元时，每天可获得最大利润．最大利润是16000元．…………6分（3），解得x=60或80；，解得x=50或90，∴50≤x≤60或80≤x≤90．…………9分31.（2016·广东深圳·联考）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出|QA﹣QO|的取值范围．（1）解：（1）点C的坐标为（3，0）．∵点A、B的坐标分别为A（8，0），B（0，6），∴可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣8）．将x=0，y=6代入抛物线的解析式，得．∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为．…………（3分）（2）可得抛物线的对称轴为直线，顶点D的坐标为，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G．直线BC的解析式为y=﹣2x+6.解法一：如图，取OA的中点E，作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于点N．则∠PEN=∠DEG，∠PNE=∠DGE，PE=DE．可得△PEN≌△DEG．由，可得E点的坐标为（4，0）．NE=EG=，ON=OE﹣NE=，NP=DG=．∴点P的坐标为．∵x=时，，∴点P不在直线BC上．∴直线BC上不存在符合条件的点P．解法二：如图，作OP∥AD交直线BC于点P，连接AP，作PM⊥x轴于点M．∵OP∥AD，∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．∴，即．解得．经检验是原方程的解．此时点P的坐标为．但此时，OM＜GA．∵，∴OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，∴直线BC上不存在符合条件的点P（3）|QA﹣QO|的取值范围是．当Q在OA的垂直平分线上与直线BC的交点时，（如点K处），此时OK=AK，则|QA﹣QO|=0，当Q在AH的延长线与直线BC交点时，此时|QA﹣QO|最大，直线AH的解析式为：y=﹣x+6，直线BC的解析式为：y=﹣2x+6，联立可得：交点为（0，6），∴OQ=6，AQ=10，∴|QA﹣QO|=4，∴|QA﹣QO|的取值范围是：0≤|QA﹣QO|≤4．32.（2016·广东·一模）（本题满分8分）我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？解：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50千克，则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50×，化简得：y=﹣5x+2200；供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台，则，解得：300≤x≤350．∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣5x+2200（300≤x≤350）；（2）W=（x﹣200）（﹣5x+2200），整理得：W=﹣5（x﹣320）2+72000．∵x=320在300≤x≤350内，∴当x=320时，最大值为72000，即售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元．二次函数一、选择题1．(2016·浙江镇江·模拟)已知点E（2，1）在二次函数（m为常数）的图像上，则点A关于图像对称轴的对称点坐标是（）A．（4，1）B．（5，1）C．（6，1）D．（7，1）答案：C2．(2016·浙江金华东区·4月诊断检测一条开口向上的抛物线的顶点坐标是（－1，2），则它有（）A．最大值1  B．最大值－1C．最小值2  D．最小值－2答案：C3．(2016·浙江杭州萧山区·模拟)设函数y=x2+2kx+k﹣1（k为常数），下列说法正确的是（）A．对任意实数k，函数与x轴都没有交点B．存在实数n，满足当x≥n时，函数y的值都随x的增大而减小C．k取不同的值时，二次函数y的顶点始终在同一条直线上D．对任意实数k，抛物线y=x2+2kx+k﹣1都必定经过唯一定点【考点】二次函数的性质．【分析】A、计算出△，根据△的值进行判断；B、根据二次函数的性质即可判断；C、得到抛物线的顶点，写成方程组，消去k得y=﹣x2﹣x﹣1，即可判断；D、令k=1和k=0，得到方程组，求出所过点的坐标，再将坐标代入原式验证即可；【解答】解：A、∵△=（2k）2﹣4（k﹣1）=4k2﹣4k+4=4（k﹣）2+3＞0，∴抛物线的与x轴都有两个交点，故A错误；B、∵a=1＞0，抛物线的对称轴x=﹣=﹣k，∴在对称轴的左侧函数y的值都随x的增大而减小，即当x＜k时，函数y的值都随x的增大而减小，当n=﹣k时，当x≥n时，函数y的值都随x的增大而增大，故B错误；C、∵y=x2+2kx+k﹣1=（x+k）2﹣k2+k﹣1，∴抛物线的顶点为（﹣k，﹣k2+k﹣1），∴，消去k得，y=﹣x2﹣x﹣1由此可见，不论k取任何实数，抛物线的顶点都满足函数y=﹣x2﹣x﹣1，即在二次函数y=﹣x2﹣x﹣1的图象上．故C错误；D、令k=1和k=0，得到方程组：，解得，将代入x2+2kx+k﹣1得，﹣k+k﹣1=﹣，与k值无关，不论k取何值，抛物线总是经过一个定点（﹣，﹣），故D正确．故选D．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟悉函数和函数方程的关系、函数的性质是解题的关键．4、（2016泰安一模）抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（）A．y=x2﹣x﹣2 B．y=﹣x2﹣x+2C．y=﹣x2﹣x+1 D．y=﹣x2+x+2【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】压轴题．【分析】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解．当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．【解答】解：A、由图象可知开口向下，故a＜0，此选项错误；B、抛物线过点（﹣1，0），（2，0），根据抛物线的对称性，顶点的横坐标是，而y=﹣x2﹣x+2的顶点横坐标是﹣=﹣，故此选项错误；C、y=﹣x2﹣x+1的顶点横坐标是﹣，故此选项错误；D、y=﹣x2+x+2的顶点横坐标是，并且抛物线过点（﹣1，0），（2，0），故此选项正确．故选D．5.（2016枣庄41中一模）抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．【解答】解：∵顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），∴抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．故选D．6、（2016枣庄41中一模）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A的对称点A′，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．【解答】解：∵函数的解析式是y=﹣（x+1）2+3，如右图，∴对称轴是x=﹣1，∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，于是y1＞y2＞y3．故选A．7．（2016·天津北辰区·一摸）已知抛物线（是常数），点（，），（，）在抛物线上，若，，则下列大小比较正确的是（）.（A）（B）（C）（D）答案：A8．（2016·天津南开区·二模）下列图形中阴影部分的面积相等的是（）A．②③ B．③④ C．①② D．①④考点：二次函数的图像及其性质反比例函数与一次函数综合答案：A试题解析：①：图中的函数为正比例函数，与坐标轴只有一个交点（0，0），由于缺少条件，无法求出阴影部分的面积；②：直线y=﹣x+2与坐标轴的交点坐标为：（2，0），（0，2），故S阴影=×2×2=2；③：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为：S=xy=×4=2；④：该抛物线与坐标轴交于：（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1），故阴影部分的三角形是等腰直角三角形，其面积S=×2×1=1；②③的面积相等，故选：A．9．（2016·天津南开区·二模）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0;②2a+b=0;③当m≠1时，a+b＞am2+bm;④a﹣b+c＞0;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．其中正确的有（）A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤考点：二次函数的图像及其性质答案：D试题解析：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x=﹣=1，∴b=﹣2a＞0，即2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线对称轴为直线x=1，∴函数的最大值为a+b+c，∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以④错误；∵ax12+bx1=ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2=0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）=0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b=0，即x1+x2=﹣，∵b=﹣2a，∴x1+x2=2，所以⑤正确．故选：D．10．（2016·天津市和平区·一模）将抛物线C：y=x2+3x﹣10，将抛物线C平移到C′．若两条抛物线C，C′关于直线x=1对称，则下列平移方法中正确的是（）A．将抛物线C向右平移个单位B．将抛物线C向右平移3个单位C．将抛物线C向右平移5个单位D．将抛物线C向右平移6个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】主要是找一个点，经过平移后这个点与直线x=1对称．抛物线C与y轴的交点为A（0，﹣10），与A点以对称轴对称的点是B（﹣3，﹣10）．若将抛物线C平移到C′，就是要将B点平移后以对称轴x=1与A点对称．则B点平移后坐标应为（2，﹣10）．因此将抛物线C向右平移5个单位．【解答】解：∵抛物线C：y=x2+3x﹣10=，∴抛物线对称轴为x=﹣．∴抛物线与y轴的交点为A（0，﹣10）．则与A点以对称轴对称的点是B（﹣3，﹣10）．若将抛物线C平移到C′，并且C，C′关于直线x=1对称，就是要将B点平移后以对称轴x=1与A点对称．则B点平移后坐标应为（2，﹣10）．因此将抛物线C向右平移5个单位．故选C．【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．11．（2016·天津市南开区·一模）如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a﹣b=0；③a+b+c=0；④5a＜b．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c＞0，由对称轴为x=﹣=﹣1可以判定②；由图象与x轴有交点，对称轴为x=﹣=﹣1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可以推出b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，即可判定①；由x=1时y=0，即可判定③．把x=1，x=﹣3代入解析式得a+b+c=0，9a﹣3b+c=0，两边相加整理即可判定④．【解答】解：①∵图象与x轴有交点，对称轴为x=﹣=﹣1，与y轴的交点在y轴的正半轴上，又∵二次函数的图象是抛物线，∴与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，正确；②∵对称轴为x=﹣=﹣1，∴2a=b，∴2a﹣b=0，正确；③∵抛物线的一个交点为（﹣3，））对称轴为x=﹣1，∴另一个交点为（1，0），∴当x=1时，y=a+b+c=0，正确；④把x=1，x=﹣3代入解析式得a+b+c=0，9a﹣3b+c=0，两边相加整理得5a﹣b=﹣c＜0，即5a＜b，正确．故正确的为①②③④，故选D．【点评】解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．12．（2016·天津五区县·一模）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＞0；②a+b+c＜0；③a=c﹣2；④方程ax2+bx+c=0的根为﹣1．其中正确的结论为（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】①根据二次函数y=ax2+bc+c的图象与x轴有两个交点，可得△＞0，即b2﹣4ac＞0，据此判断即可．②根据二次函数y=ax2+bc+c的图象的对称轴是x=﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，可得与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，所以x=1时，y＜0，据此判断即可．③首先根据x=﹣，可得b=2a，所以顶点的纵坐标是=2，据此判断即可．④根据x=﹣1时，y≠0，所以方程ax2+bx+c=0的根为﹣1这种说法不正确，据此判断即可．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bc+c的图象与x轴有两个交点，∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，∴结论①正确；∵二次函数y=ax2+bc+c的图象的对称轴是x=﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，∴x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴结论②正确；∵x=﹣，∴b=2a，∴顶点的纵坐标是=2，∴a=c﹣2，∴结论③正确；∵x=﹣1时，y≠0，∴方程ax2+bx+c=0的根为﹣1这种说法不正确，∴结论④不正确．∴正确的结论为：①②③．故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．13.(2016·四川峨眉·二模）已知二次函数（，、、为常数）的图象如图所示，下列个结论：①；②；③；④；⑤（为常数,且）.其中正确的结论有个个个个答案：B14．(2016·重庆巴蜀·一模）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x=1，且经过点（0，2）．有下列结论：①ac＞0；②b2﹣4ac＞0；③a+c＜2﹣b；④a＜﹣；⑤x=﹣5和x=7时函数值相等．其中错误的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线与y轴的交点位置得c＞0，所以ac＜0；由于抛物线与x轴有2个交点，所以b2﹣4ac＞0；根据抛物线的对称轴为直线x=1，则x=1时，y最大，所以a+b+c＞2，即a+c＞2﹣b；由于x=﹣2时，y＜0，所以4a﹣2b+c＜0，由于﹣=1，c=2，则4a+4a+2＜0，所以a＜﹣；由于抛物线的对称轴为直线x=1，根据抛物线的对称性得到x=﹣5和x=7时函数值相等．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0，所以①错误；∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴x=1时，y最大，即a+b+c＞2，∴a+c＞2﹣b，所以③错误；∵x=﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，而﹣=1，c=2，∴4a+4a+2＜0，∴a＜﹣，所以④正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴x=﹣5和x=7时函数值相等，所以⑤正确．所以①③两个，故选B．15．(2016·新疆乌鲁木齐九十八中·一模)若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b、k的值分别为（）A．05 B．01 C．﹣45 D．﹣41【考点】二次函数的三种形式．【分析】把y=（x﹣2）2+k化为一般式，根据对应相等得出b，k的值．【解答】解：∵y=（x﹣2）2+k=x2﹣4x+4+k，∴x2+bx+5=x2﹣4x+4+k，∴b=﹣4，4+k=5，∴k=1．故选D．【点评】本题考查了二次函数的三种形式，把一般式化为顶点式，或把顶点式化为一般式是解题的关键．16．(2016·云南省曲靖市罗平县·二模)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0其中正确结论的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=﹣1时，x=2时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：由二次函数的图象开口向上可得a＞0，根据二次函数的图象与y轴交于正半轴知：c＞0，由对称轴直线x=2，可得出b与a异号，即b＜0，则abc＜0，故①正确；把x=﹣1代入y=ax2+bx+c得：y=a﹣b+c，由函数图象可以看出当x=﹣1时，二次函数的值为正，即a﹣b+c＞0，则b＜a+c，故②选项正确；把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，由函数图象可以看出当x=2时，二次函数的值为负，即4a+2b+c＜0，故③选项错误；由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2﹣4ac＞0，故④D选项正确；故选：B．【点评】本题考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=4a+2b+c，然后根据图象判断其值．17．(2016·云南省·二模)已知抛物线y=﹣x2+2x﹣3，下列判断正确的是（）A．开口方向向上，y有最小值是﹣2B．抛物线与x轴有两个交点C．顶点坐标是（﹣1，﹣2）D．当x＜1时，y随x增大而增大【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数解析式化为顶点式，判断抛物线的开口方向，计算出对称轴顶点坐标以及增减性判断得出答案即可．【解答】解：y=﹣x2+2x﹣3=﹣（x﹣1）2﹣2，a=﹣1，抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，﹣2），△=4﹣12=﹣8＜0，抛物线与x轴没有交点，当x＜1时，y随x的增大而增大．故选：D．【点评】此题考查二次函数的性质，正确判定开口方向，求得对称轴与顶点坐标是解决问题的关键．二、填空题1．(2016·浙江杭州萧山区·模拟)已知二次函数y=x2+bx+c（其中b，c为常数，c＞0）的顶点恰为函数y=2x和y=的其中一个交点．则当a2+ab+c＞2a＞时，a的取值范围是﹣1＜a＜0或a＞3．【考点】二次函数与不等式（组）．【专题】数形结合．【分析】只需先求出抛物线的顶点坐标，再求出抛物线与直线y=2x的交点，然后结合函数图象就可解决问题．【解答】解：解方程组，得，．①当抛物线y=x2+bx+c顶点为（1，2）时，抛物线的解析式为y=（x﹣1）2+2=x2﹣2x+3．解方程组，得，．结合图象可得：当a2+ab+c＞2a＞时，a的取值范围是﹣1＜a＜0或a＞3；②当抛物线y=x2+bx+c顶点为（﹣1，﹣2）时，抛物线的解析式为y=（x+1）2﹣2=x2+2x﹣1．∴c=﹣1＜0，与条件c＞0矛盾，故舍去．故答案为﹣1＜a＜0或a＞3．【点评】本题主要考查了直线与反比例函数图象的交点、抛物线的顶点坐标公式、直线与抛物线的交点等知识，运用数形结合的思想是解决本题的关键．2．（2016·绍兴市浣纱初中等六校·5月联考模拟）如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的"芒果"，已知点A、B、C、D分别是"芒果"与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为，则图中CD的长为▲．答案：3.（2016·绍兴市浣纱初中等六校·5月联考模拟）已知二次函数（其中b，c为常数，c＞0）的顶点恰为函数和的其中一个交点。则当＞＞时，a的取值范围是▲。答案：a＞3或-1＜a＜0;4、（2016枣庄41中一模）二次函数y=x2﹣2x+6的最小值是5．【考点】二次函数的最值．【专题】计算题．【分析】利用配方法将原函数关系式化为顶点式，即可求出二次函数的最小值．【解答】解：y=x2﹣2x+6=x2﹣2x+1+5=（x﹣1）2+5，可见，二次函数的最小值为5．故答案为：5．5、2016枣庄41中一模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣1＜x＜3．【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】直接根据二次函数的图象即可得出结论．【解答】解：∵由函数图象可知，当﹣1＜x＜3时，函数图象在x轴的下方，∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣1＜x＜3．故答案为：﹣1＜x＜3．6.（2016·天津市和平区·一模）某飞机着陆滑行的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为：s=60t﹣1.5t2，那么飞机着陆后滑行600米才能停止．【考点】二次函数的应用．【分析】飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值．【解答】解：∵﹣1.5＜0，∴函数有最大值．当t=﹣=20时，s最大值==600，即飞机着陆后滑行600米才能停止．故答案为：600．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法是解题关键．7.（2016·天津市南开区·一模）若二次函数的图象开口向下，且经过（2，﹣3）点．符合条件的一个二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+5．【考点】二次函数的性质．【专题】开放型．【分析】由于二次函数的图象开口向下，所以二次项系数是负数，而图象还经过（2，﹣3）点，由此即可确定这样的函数解析式不唯一．【解答】解：∵若二次函数的图象开口向下，且经过（2，﹣3）点，∴y=﹣x2﹣2x+5符合要求．答案不唯一．例如：y=﹣x2﹣2x+5．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键根据图象的性质确定解析式的各项系数．8．(2016·四川峨眉·二模）在平面直角坐标系中，我们把横坐标与纵坐标相等的点称为"影子点"．例如点，，等．（1）若点是反比例函数（为常数，）图象上的"影子点"，则▲．（2）若二次函数（、是常数，）图象上存在两个不同的"影子点"，、，且满足，，令，则的取值范围是：▲．答案：9．(2016·云南省·一模)在二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法中：①b2﹣4ac＜0；②＞0；③abc＞0；④a﹣b﹣c＞0，说法正确的是②③④（填序号）．【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】①根据抛物线与x轴交点个数可判断；②根据抛物线对称轴位置可判断；③根据抛物线开口方向、对称轴、与y轴交点可判断；④由③知a＞0，b＜0，c＜0，根据实数运算可判断．【解答】解：由图可知，抛物线与x轴有2个交点，所以b2﹣4ac＞0，故①错误；对称轴在y轴右侧，则x=﹣＞0，故②正确；抛物线开口向上，则a＞0，而对称轴在y轴右侧，则a、b异号，所以b＜0，其与y轴的交点（0，c）位于y轴的负半轴，则c＜0，所以abc＞0，故③正确；∵a＞0，b＜0，c＜0，∴a﹣b﹣c＞0，故④正确；故答案为：②③④．【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．三、解答题1．(2016·浙江杭州萧山区·模拟)已知y是关于x的函数，且x，y满足方程组，（1）求函数y的表达式；（2）若点P的坐标为（m，0），求以P为圆心、1为半径的圆与函数y的图象有交点时，m的取值范围．【考点】直线与圆的位置关系；待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）把a作为已知数，分别得到x、y和a的数量关系即可求出函数y的表达式；（2）易求点A和点B的坐标，当圆P与直线y相切时，设切点为C，则PC⊥直线y，求出此时P的横坐标即可得到函数y的图象有交点时，m的取值范围．【解答】解：（1），①×3，得3x+9y=12﹣3a③，②+③，得4x+8y=12，即x+2y=3，得，；（2）当y=0时，x=3，即函数y的图象与x轴交于点A（3，0），当x=0时，y=，即函数y的图象与y轴交于点B（0，），当圆P与直线y相切时，设切点为C，则PC⊥直线y，此时∠PCA=90°∴∠PCA=∠BOA，且∠BAO=∠PAC，∴△ABO∽△APC，∴，即，∴AC=2，∴PA=此时，P的横坐标为3﹣或3+，∴当圆P与直线y有交点时，3﹣≤m≤3+．【点评】本题考查直线和圆的位置关系、一次函数和坐标轴的交点、相似三角形的判定和性质以及切线的性质，题目的综合性较强，难度中等，是一道不错的中考题．2．(2016·浙江杭州萧山区·模拟)设函数y=（kx﹣3）（x+1）（其中k为常数）．（1）当k=﹣2时，函数y存在最值吗？若存在，请求出这个最值．（2）在x＞0时，要使函数y的值随x的增大而减小，求k应满足的条件．（3）若函数y的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求能使△ABC为等腰三角形的k的值．（分母保留根号，不必化简）【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数的最值．【分析】（1）把k=﹣2代入抛物线解析式得到y=﹣2x2﹣5x﹣3，根据顶点坐标公式即可解决．（2）分两种情形讨论当k=0时，y=﹣3x﹣3为一次函数，k=﹣3＜0，则当x＞0时，y随x的增大而减小；当k≠0时，y=（kx﹣3）（x+1）=kx2+（k﹣3）x﹣3为二次函数，由不等式组解决．（3）分三种情形讨论：当k＞0时①AC=BC，②AC=AB，③AB=BC分别列出方程解决；当k＜0时，B只能在A的左侧，只有AC=AB列出方程解决，当k=0时，不合题意．【解答】解：（1）当k=﹣2时，函数y=（﹣2x﹣3）（x+1）=﹣（2x+3）（x+1）=﹣2x2﹣5x﹣3，函数为二次函数，且二次项系数小于0，故函数存在最大值，当x=﹣=时，y最大==，（2）当k=0时，y=﹣3x﹣3为一次函数，k=﹣3＜0，则当x＞0时，y随x的增大而减小；当k≠0时，y=（kx﹣3）（x+1）=kx2+（k﹣3）x﹣3为二次函数，其对称轴为直线要使当x＞0时，y随x的增大而减小，则抛物线的开口必定朝下，且对称轴不在y轴的右边，故得，，解得k＜0综上所述，k应满足的条件是：k≤0．（3）由题意得，k≠0，函数为二次函数，由所给的抛物线解析式可得A，C为定值A（﹣1，0），C（0，﹣3）则，而，当k＞0时①AC=BC，则有，可得k=3，②AC=AB，则有，可得，③AB=BC，则有，可得，当k＜0时，B只能在A的左侧，只有AC=AB，则有，可得，当k=0时函数为一次函数，不合题意．综上所述，使△ABC为等腰三角形的k的值为3或或或﹣．【点评】本题考查二次函数的有关知识、一次函数的有关知识，掌握函数的性质是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．3．(2016·浙江杭州萧山区·模拟)如图，△ABC和△DEF均是边长为4的等边三角形，△DEF的顶点D为△ABC的一边BC的中点，△DEF绕点D旋转，且边DF、DE始终分别交△ABC的边AB、AC于点H、G，图中直线BC两侧的图形关于直线BC成轴对称．连结HH′、HG、GG′、H′G′，其中HH′、GG′分别交BC于点I、J．（1）求证：△DHB∽△GDC；（2）设CG=x，四边形HH′G′G的面积为y，①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围．②求当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？【考点】几何变换综合题．【分析】（1）由等边三角形的特点得到相等关系，即可；（2）由相似三角形得到，再结合对称，表示出相关的线段，四边形HH′G′G的面积为y求出即可．【解答】证明：（1）在正△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°，∴∠BHD+∠BDH=120°，在正△DEF中，∠EDF=60°，∴∠GDC+∠BDH=120°，∴∠BHD=∠GDC，∴△DHB∽△GDC，（2）①∵D为BC的中点，∴BD=CD=2，由△DHB∽△GDC，∴，即：，∴BH=，∵H，H′和G，G′关于BC对称，∴HH′⊥BC，GG′⊥BC，∴在RT△BHI中，BI=BH=，HI=BH=，在RT△CGJ中，CJ=CG=，GJ=CG=，∴HH′=2HI=，GG'=2GJ=x，IJ=4﹣﹣，∴y=（+x）（4﹣﹣）（1≤x≤4）②由①得，y=﹣（+x）2+2（+x），设=a，得y=﹣a2+2a，当a=4时，y最大=4，此时=4，解得x=2．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查相似三角形的性质和判定以及对称的性质，用x表示线段是解决本题的关键，也是难点．4.(2016·浙江丽水·模拟)（本题10分）如图，足球运动员在O处抛出一球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求篮球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．（2）足球第一次落地距守门员多少米？（取）（3）运动员乙要抢到第二个落点，他应再向前跑多少米？（取）（第4题图）解：（1）由题意,该函数的顶点为（6,4）且过（0,1）设二次函数的解析式把（0,1）代入的36a+4=1,所以,这个函数解析式为（2）由题得，令y=0，则，解得x1=-1.x2=13,由图得，足球第一次落地距守门员13米（3）由题意得，两个函数的形状相同，且第二段抛物线的最高点为2，所以设第二段抛物线设为，把（13,0）代入函数得m1=13-5=8(舍去),m2=13+5=18则函数解析式为,令y=0,得x1=18-5=13,x2=18+5=23,23-6=17,所以运动员还需走17米5．(2016·浙江金华东区·4月诊断检测（本题10分）为丰富农民收入来源，某区在多个乡镇试点推广大棚草莓的种植，并给予每亩地每年发放补贴150元补贴.年初，种植户蒋大伯根据以往经验，考虑各种因素，预计本年每亩的草莓销售收入为2000元，以及每亩种植成本y(元)与种植面积x（亩）之间的函数关系如图所示．（1）根据图象，求出y与x之间的函数关系式；（2）根据预计情况，求蒋大伯今年种植总收入w(元)与种植面积x（亩）之间的函数关系式.（总收入=销售收入－种植成本+种植补贴）.答案：（1）(4分)（2）销售收入：2000x；种植成本：；种植补贴：150x.w.（6分）6.（2016·绍兴市浣纱初中等六校·5月联考模拟）"绿色出行，低碳健身"已成为广大市民的共识．某旅游景点新增了一个公共自行车停车场，6：00至18：00市民可在此借用自行车，也可将在各停车场借用的自行车还于此地．林华同学统计了周六该停车场各时段的借、还自行车数，以及停车场整点时刻的自行车总数（称为存量）情况，表格中x=1时的y值表示7：00时的存量，x=2时的y值表示8：00时的存量…依此类推．他发现存量y（辆）与x（x为整数）满足如图所示的一个二次函数关系．时段 x 还车数（辆） 借车数（辆） 存量y（辆）6：00-7：00 1 45 5 1007：00-8：00 2 43 11 n… … … … …根据所给图表信息，解决下列问题：（1）m=▲，n=▲（2）求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式；（3）已知9：00～10：O0这个时段的还车数比借车数的3倍少4，求此时段的借车数．解：(1）m=60，n=132，（2）n=100+43-11=132，设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把（1，100），（2，132）、（0，60）代入得a+b+c=1004a+2b+c=132c=60，解得a=-4b=44c=60，所以二次函数的解析式为y=-4x2+44x+60（x为1-12的整数）；（3）设9：00～10：O0这个时段的借车数为x辆，则还车数为（3x-4）辆，把x=3代入y=-4x2+44x+60得y=-4×32+44×3+60=156，把x=4代入y=-4x2+44x+60得y=-4×42+44×4+60=172，即此时段的存量为172，所以156-x+（3x-4）=172，解得x=10，答：此时段借出自行车10辆．7.（2016·绍兴市浣纱初中等六校·5月联考模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴上的一个动点，连结AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90o，得到线段BC.过点B作x轴的垂线交直线AC于点D.设点B坐标是（t，0）.（1）当t=4时，求直线AB的解析式；（2）当t>0时，用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积；（3）是否存在点B,使△ABD为等腰三角形?若存在，请求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）当t=4时，B(4,0)设直线AB的解析式为y=kx+b.把A(0,6)，B(4,0)代入得：b=64k+b=0,解得：k=－32b=6,∴直线AB的解析式为：y=－32x+6.(2)过点C作CE⊥x轴于点E由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC.∴，∴BE=12AO=3，CE=12OB=t2，∴点C的坐标为(t+3，t2).S梯形AOEC=12OE·(AO+EC)=12(t+3)(6+t2)=14t2+154t+9，S△AOB=12AO·OB=12×6·t=3t，S△BEC=12BE·CE=12×3×t2=34t，∴S△ABC=S梯形AOEC－S△AOB－S△BEC=14t2+154t+9－3t－34t=14t2+9.(3)存在，理由如下：①当t≥0时.Ⅰ.若AD＝BD.又∵BD∥y轴∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD，∴∠OAB=∠BAD.又∵∠AOB=∠ABC，∴△ABO∽△ACB，∴，∴t6=12，∴t=3，即B(3，0).Ⅱ.若AB＝AD.延长AB与CE交于点G，又∵BD∥CG∴AG＝AC过点A画AH⊥CG于H．∴CH＝HG＝12CG由△AOB∽△GEB，得GEBE＝AOOB，∴GE=18t.又∵HE＝AO＝６，CE＝t2∴18t＋６＝12×（t2＋18t）∴t2-24t-36=0解得：t=12±65.因为t≥0，所以t=12＋65，即B(12＋65，0).Ⅲ.由已知条件可知，当0≤t<12时，∠ADB为钝角，故BD≠AB.当t≥12时，BD≤CE<BC<AB.∴当t≥0时，不存在BD＝AB的情况.②当－3≤t<0时，如图，∠DAB是钝角.设AD=AB，过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F.可求得点C的坐标为(t+3，t2)，∴CF=OE=t+3，AF=6－t2，由BD∥y轴，AB=AD得，∠BAO=∠ABD，∠FAC=∠BDA，∠ABD=∠ADB∴∠BAO=∠FAC，又∵∠AOB=∠AFC=90°，∴△AOB∽△AFC，∴，∴，∴t2-24t-36=0解得：t=12±65.因为－3≤t<0，所以t=12－65，即B(12－65，0).③当t<－3时，如图，∠ABD是钝角.设AB=BD，过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F，可求得点C的坐标为(t+3，t2)，∴CF=－(t+3)，AF=6－t2，∵AB=BD，∴∠D=∠BAD.又∵BD∥y轴，∴∠D=∠CAF，∴∠BAC=∠CAF.又∵∠ABC=∠AFC=90°，AC=AC，∴△ABC≌△AFC，∴AF＝AB，CF=BC，∴AF=2CF，即6－t2=－2(t+3)，解得：t=－8，即B(－8，0).综上所述，存在点B使△ABD为等腰三角形，此时点B坐标为：B1(3，0)，B2(12＋65，0)，B3(12－65，0)，B4(－8，0).8.（2016·浙江镇江·模拟)（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别与x轴、y轴相交于A、B两点，二次函数的图像经过点A．（1）试证明二次函数的图像与x轴有两个交点；（2）若二次函数图像的顶点D在直线AB上，求m，n的值；（3）设二次函数的图像与x轴的另一个交点为点C，顶点D关于x轴的对称点设为点E，以AE，AC为邻边作平行四边形EACF，顶点F能否在该二次函数的图像上？如果在，求出这个二次函数的表达式；如果不在，请说明理由？（1）A（﹣3，0），B（0，﹣3），二次函数的图像经过点C（-6，18-n），则n=3m﹣9，即.∵==，又，∴，则二次函数的图像与x轴有两个交点；（2）二次函数，即顶点坐标为（，），因为二次函数图像的顶点在直线AB上，所以，解得：，，则，；（3）抛物线过点B（0，-3），则m=2此时函数关系式为，易证点A在抛物线上.设点E的横坐标为t，则（-3+1）（t+1）=∴，求得点E的坐标为（，），则直线AE对应的函数关系式:，求得点P（-1，）.9、（2016齐河三模）在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：①求出点A，B，C的坐标．②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的．若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．答案：（1）四边形OKPA是正方形．证明：∵⊙P分别与两坐标轴相切，∴PA⊥OA，PK⊥OK．∴∠PAO=∠OKP=90°．又∵∠AOK=90°，∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．∴四边形OKPA是矩形．又∵AP=KP，∴四边形OKPA是正方形．（2分）（2）①连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为．过点P作PG⊥BC于G．∵四边形ABCP为菱形，∴BC=PA=PB=PC．∴△PBC为等边三角形．在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=．sin∠PBG=，即．解之得：x=±2（负值舍去）．∴PG=，PA=BC=2．易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，∴OB=OG－BG=1，OC=OG+GC=3．∴A（0，），B（1，0）C（3，0）．设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c．据题意得：解之得：a=，b=，c=．∴二次函数关系式为：．②解法一：设直线BP的解析式为：y=ux+v，据题意得：解之得：u=，v=．∴直线BP的解析式为：．过点A作直线AM∥PB，则可得直线AM的解析式为：．解方程组：得：；．过点C作直线CM∥PB，则可设直线CM的解析式为：．∴0=．∴．∴直线CM的解析式为：．解方程组：得：；．综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．解法二：∵，∴A（0，），C（3，0）显然满足条件．延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．又∵AM∥BC，∴．∴点M的纵坐标为．又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4．∴点M（4，）符合要求．点（7，）的求法同解法一．综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．又∵AM∥BC，∴．∴点M的纵坐标为．即．解得：（舍），．∴点M的坐标为（4，）．点（7，）的求法同解法一．综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．10、2016青岛一模）如图，一座抛物线型拱桥，桥面CD与水面平行，在正常水位时桥下水面宽OA为30米，拱桥B处为警戒水位标识，点B到OC的水平距离和它到水面OA的距离都为5米．（1）按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；（2）求在正常水位时桥面CD距离水面的高度；（3）一货船载长方体货箱高出水面2米（船高不计）．若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最宽应为多少米？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）设抛物线解析式为：y=ax2+bx，将点B（5，5）、点A（30，0）代入求得a、b的值即可得抛物线解析式；（2）将抛物线解析式配方可得其最大值，即最大高度；（3）使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥则y=7，求得x的值，即可的货箱的最大宽度．【解答】解：（1）根据题意，设抛物线解析式为：y=ax2+bx，将点B（5，5）、点A（30，0）代入，得：，解得：．故抛物线解析式为：y=﹣x2+x；（2）∵y=﹣x2+x=﹣（x﹣15）2+9，∴当x=15时，y取得最大值，最大值为9，故在正常水位时桥面CD距离水面的高度为9米；（3）根据题意，当y=7时，有﹣x2+x=7，解得：x1=15+5，x2=15﹣5，则货箱最宽为：15+5﹣（15﹣5）=10米．答：若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最宽应为10米．11、（2016青岛一模）问题情境：我们知道若一个矩形的周长固定，当相邻两边相等，即为正方形时，面积是最大的，反过来，若一个矩形的面积固定，它的周长是否会有最值呢？探究方法：用两条直角边分别为a、b的四个全等的直角三角形，可以拼成一个正方形，若a≠b，可以拼成如图①的正方形，从而得到a2+b2，即a2+b2＞2ab；若a=b，可以拼成如图②的正方形，从而得到a2+b2，即a2+b2=2ab．于是我们可以得到结论：a，b为正数，总有a2+b2≥2ab，且当a=b时，代数式a2+b2取得最小值为2ab．另外，我们也可以通过代数式运算得到类似上面的结论．∵（a﹣b）2﹣2ab+b2≥0，a2+b2≥2ab，∴对于任意实数a，b，总有a2+b2≥2ab，且当a=b时，代数式a2+b2取得最小值为2ab．仿照上面的方法，对于正数a，b试比较a+b和2的大小关系．类比应用利用上面所得到的结论，完成填空：（1）x2+≥2xo，代数式x2+有最小值为2．（2）当x＞0时，x+≥2，代数式x+有最小值为6．（3）当x＞2时，x+≥2+2，代数式x+有最小值为2+2．问题解决：若一个矩形的面积固定为n，它的周长是否会有最值呢？若有，求出周长的最值及此时矩形的长和宽；若没有，请说明理由，由此你能得到怎样的结论？【考点】二次函数综合题．【分析】探究方法：仿照给定的方法，即可得出a+b≥2这一结论；类比应用：（1）根据探究方法中的结论，代入数据即可得出结论；（2）根据探究方法中的结论，代入数据即可得出结论；（3）代数式中先﹣2再+2，根据探究方法中的结论，代入数据即可得出结论；问题解决：设该矩形的长为a，宽为b（a≥b＞0），根据a+b≥2，结合矩形的周长和面积公式，即可得出结论．【解答】解：探究方法：∵当a，b均为正数时，=a+b﹣2≥0，∴a+b≥2．类比应用：（1）结合探究方法中得出的结论可知：x2+≥2xo=2，代数式x2+有最小值为2．故答案为：2xo；小；2．（2）结合探究方法中得出的结论可知：当x＞0时，x+≥2=6，代数式x+有最小值为6．故答案为：2；小；6．（3）结合探究方法中得出的结论可知：当x＞2时，x+≥2+2=2+2，代数式x+有最小值为2+2．故答案为：2+2；小；2+2．问题解决：设该矩形的长为a，宽为b（a≥b＞0），根据题意知：周长C=2（a+b）≥4=4，且当a=b时，代数式2（a+b）取得最小值为4，此时a=b=．故若一个矩形的面积固定为n，它的周长是有最小值，周长的最小值为4，此时矩形的长和宽均为．12、（2016泰安一模）如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；（3）△AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）易得c=3，故设抛物线解析式为y=ax2+bx+3，根据抛物线所过的三点的坐标，可得方程组，解可得a、b的值，即可得解析式；（2）易由顶点坐标公式得顶点坐标，根据图形间的关系可得四边形ABDE的面积=S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE，代入数值可得答案；（3）根据题意，易得∠AOB=∠DBE=90°，且，即可判断出两三角形相似．【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点（0，3），∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3（a≠0）根据题意，得，解得．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）如图，设该抛物线对称轴是DF，连接DE、BD．过点B作BG⊥DF于点G．由顶点坐标公式得顶点坐标为D（1，4）设对称轴与x轴的交点为F∴四边形ABDE的面积=S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE=AOoBO+（BO+DF）oOF+EFoDF=×1×3+×（3+4）×1+×2×4=9；（3）相似，如图，BD=；∴BE=DE=∴BD2+BE2=20，DE2=20即：BD2+BE2=DE2，所以△BDE是直角三角形∴∠AOB=∠DBE=90°，且，∴△AOB∽△DBE．13、（2016枣庄41中一模）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：销售单价（元） x销售量y（件） 1000﹣10x销售玩具获得利润w（元） ﹣10x2+1300x﹣30000（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【专题】优选方案问题．【分析】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得y=600﹣（x﹣40）×10=1000﹣10x，利润=（1000﹣10x）（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣30000；（2）令﹣10x2+1300x﹣30000=10000，求出x的值即可；（3）首先求出x的取值范围，然后把w=﹣10x2+1300x﹣30000转化成y=﹣10（x﹣65）2+12250，结合x的取值范围，求出最大利润．【解答】解：（1）销售单价（元） x销售量y（件） 1000﹣10x销售玩具获得利润w（元） ﹣10x2+1300x﹣30000（2）﹣10x2+1300x﹣30000=10000解之得：x1=50，x2=80答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润，（3）根据题意得解之得：44≤x≤46，w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250，∵a=﹣10＜0，对称轴是直线x=65，∴当44≤x≤46时，w随x增大而增大．∴当x=46时，W最大值=8640（元）．答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．14、（2016枣庄41中一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象顶点为D，与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），OB=OC，tan∠ACO=．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M、N，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径长度；（3）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上的一动点，当点P运动到什么位置时，△AGP的面积最大？求此时点P的坐标和△AGP的最大面积．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）由点B的坐标为（3，0），OB=OC，即可求得点C的坐标，又由tan∠ACO=，即可求得点A的坐标，然后设两点式y=a（x+1）（x﹣3），将点C代入，即可求得这个二次函数的解析式；（2）分别从当直线MN在x轴上方时与当直线MN在x轴下方时去分析，然后由所求圆的圆心在抛物线的对称轴x=1上，即可求得点的坐标，又由点在二次函数的图象上，即可求得该圆的半径长度；（3）首先过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，然后求得点G的坐与直线AG得方程，然后由S△AGP=S△APQ+S△GPQ=PQo（G横坐标﹣A横坐标），利用二次函数的最值问题，即可求得此时点P的坐标和△AGP的最大面积．【解答】解：（1）由OC=OB=3，可知点C坐标是（0，﹣3），连接AC，在Rt△AOC中，∵tan∠ACO=，∴OA=OC×tan∠ACO=3×=1，故A（﹣1，0），…设这个二次函数的表达式为：y=a（x+1）（x﹣3），将C（0，﹣3）代入得：﹣3=a（0+1）（0﹣3），解得：a=1，∴这个二次函数的表达式为：y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3．…（2）①当直线MN在x轴上方时，设所求圆的半径为R（R＞0），设M在N的左侧，∵所求圆的圆心在抛物线的对称轴x=1上，∴N（R+1，R）代入y=x2﹣2x﹣3中得：R=（R+1）2﹣2（R+1）﹣3，解得R=．…②当直线MN在x轴下方时，设所求圆的半径为r（r＞0），由①可知N（r+1，﹣r），代入抛物线方程y=x2﹣2x﹣3，可得﹣r=（r+1）2﹣2（r+1）﹣3，解得：r=．…（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，把G（2，y）代入抛物线的解析式y=x2﹣2x﹣3，得G（2，﹣3）．…由A（﹣1，0）可得直线AG的方程为：y=﹣x﹣1，…设P（x，x2﹣2x﹣3），则Q（x，﹣x﹣1），∴PQ=﹣x2+x+2，S△AGP=S△APQ+S△GPQ=PQo（G横坐标﹣A横坐标）=（﹣x2+x+2）×3=﹣（x﹣）2+，…当x=时，△APG的面积最大，…此时P点的坐标为（，﹣），△APG的面积最大值为．…15．（2016·天津北辰区·一摸）（本小题10分）如图（1），在平面直角坐标系中，已知点（，），点（，）.沿轴向右平移Rt△，得Rt△，直线与或的延长线相交于点.设（，）（），以点，，，为顶点的四边形面积记为.（Ⅰ）求与的函数关系式；（Ⅱ）用含（）的式子表示；（Ⅲ）当，求点的坐标（直接写出结果）.（图2为备用图）.解：（Ⅰ）当点与点不重合时，∵∥，∴△∽△.∴.如图（1），点D在AB上，有.∴.即.如图（2），点D在BA延长线上，有.∴.即.当点与点重合时，与重合，此时，，.∴与的关系是：.（Ⅱ）①如图（1），当时，点D在AB上，有.∴把，代入，得.∴（）.②如图（2），当时，点D在BA延长线上，∵平移△得到△，∴，.∵∴.把代入，得.综上，（Ⅲ）D（，）.把代入，得，，舍.把，代入，得.代入，得(舍)，（舍）.16．（2016·天津北辰区·一摸）已知抛物线（，，是常数，），与轴交于点，，与轴交于点，点为抛物线顶点.（Ⅰ）若点（，），（，），求抛物线的解析式；（Ⅱ）若点（，），且△是直角三角形，求抛物线的解析式；（Ⅲ）若抛物线与直线相交于、两点.①用含的式子表示点的坐标；②当∥轴时，求抛物线的解析式.解：（Ⅰ）∵抛物线与交于点（，），（，），∴根据对称性，有.∴.把（，）代入，有.得.∴.（Ⅱ）∵抛物线与轴交于A，B两点，顶点M在直线上，∴.由，得.∴.设对称轴交轴于点，则.∵△是直角三角形，∴.∴.解得，.把（，）代入，有.解得，，.∴或.（Ⅲ）①∵点（，）在直线上，∴.解得，.此时，=.∴C（0，）.由，即.解得.∴，.把代入，得.∴D（，）.②∵∥轴，∴点C与点D关于直线对称.∴.∴.∵.∴.∴抛物线的解析式为.17．（2016·天津南开区·二模）如图，二次函数y=﹣x2+mx+m+的图象与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点D在第一象限．过点D作x轴的垂线，垂足为H．（1）当m=时，求tan∠ADH的值；（2）当60°≤∠ADB≤90°时，求m的变化范围；（3）设△BCD和△ABC的面积分别为S1、S2，且满足S1=S2，求点D到直线BC的距离．考点：二次函数与几何综合答案：见解析试题解析：（1）∵当m=时，y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，∴顶点D（，），与x轴的交点A（﹣1，0），B（4，0），∴DH=，AH=﹣（﹣1）=，∴tan∠ADH===；（2）y=﹣x2+mx+m+=﹣（x﹣m）2+，∴顶点D（m，），令y=﹣x2+mx+m+=0，解得：x=﹣1或2m+1则与x轴的交点A（﹣1，0），B（2m+1，0），∴DH=，AH=m﹣（﹣1）=m+1，∴tan∠ADH==．当60°≤∠ADB≤90°时，由对称性得30°≤∠ADH≤45°，∴当∠ADH=30°时，=，∴m=2﹣1，当∠ADH=45°时，=1，∴m=1，∴1≤m≤2﹣1；（3）设DH与BC交于点M，则点M的横坐标为m．设过点B（2m+1，0），C（0，m+）的直线解析式为；y=kx+b，则，解得，即y=﹣x+m+．当x=m时，y=﹣m+m+=，∴M（m，）．∴DM=﹣=，AB=（2m+1）﹣（﹣1）=2m+2，又，∵S△DBC=S△ABC，∴o（2m+1）=（2m+2）o（m+），又∵抛物线的顶点D在第一象限，∴m＞0，解得m=2．当m=2时，A（﹣1，0），B（5，0），C（0，），∴BC==，∴S△ABC=×6×=．设点D到直线BC的距离为d．∵S△DBC=BCod，∴×od=，∴d=．答：点D到直线BC的距离为．18．（2016·天津市和平区·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，A为x轴正半轴上的动点，经过点A（t，0）作垂直于x轴的直线l，在直线l上取点B，点B在第一象限，AB=4，直线OB：y1=kx（k为常数）．（1）当t=2时，求k的值；（2）经过O，A两点作抛物线y2=ax（x﹣t）（a为常数，a＞0），直线OB与抛物线的另一个交点为C．①用含a，t的式子表示点C的横坐标；②当t≤x≤t+4时，|y1﹣y2|的值随x的增大而减小；当x≥t+4时，|y1﹣y2|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式并直接写出t的取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）找出当t=2时，B点的坐标，将其代入直线OB：y1=kx中即可；（2）①用t表示出直线OB的关系式，令y1=y2即可用含a，t的式子表示点C的横坐标；②找出y1﹣y2的关系式，发现为一个开口向下的抛物线，结合给定条件能够得知，抛物线的对称轴不超过x=t，且抛物线与x轴的另一个交点为（t+4，0），由此可得出a与t的关系式并能知道t的取值范围．【解答】解：（1）当t=2时，点A的坐标为（2，0），∵经过点A（t，0）作垂直于x轴的直线l，在直线l上取点B，点B在第一象限，AB=4，∴点B的坐标为（2，4）．∵点B在直线OB：y1=kx（k为常数）上，∴有4=2k，解得：k=2．（2）①点B（t，4）在直线OB：y1=kx上，∴有4=kt，解得：k=，∴y1=x．令y1=y2，即=ax（t﹣x），解得：x=0，或者x=t﹣．故点C的横坐标x=t﹣．②y1﹣y2=x﹣ax（x﹣t）=﹣ax2+（at+）x．∵a＞0，∴﹣a＜0，函数图象开口向下，函数图象大体如下图．∵当t≤x≤t+4时，|y1﹣y2|的值随x的增大而减小；当x≥t+4时，|y1﹣y2|的值随x的增大而增大，∴二次函数y1﹣y2的对称轴在x=t的左侧或者重合，而且二次函数y1﹣y2与x轴的另一个交点为（t+4，0）．∵y1﹣y2=﹣ax2+（at+）x=﹣ax（x﹣t﹣），∴有t+=t+4，解得：a=．二次函数对称轴≤t，即at2≥4，∵at=1，∴t≥4．故当t≤x≤t+4时，|y1﹣y2|的值随x的增大而减小；当x≥t+4时，|y1﹣y2|的值随x的增大而增大时，a与t的关系式a=（t≥4）．【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是：（1）找出B点坐标代入直线OB关系式；（2）由B点坐标表示出直线OB关系式，利用直线与抛物线交点是C可找出C点坐标；（3）由二次函数的图象的性质可以分析得知抛物线与x轴交点为原点和（t+4，0），结合单调性可得出t的取值范围．19．（2016·天津市南开区·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）2﹣m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．（1）当m=2时，求点B的坐标；（2）求DE的长？（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；数形结合．【分析】（1）将m=2代入原式，得到二次函数的顶点式，据此即可求出B点的坐标；（2）延长EA，交y轴于点F，证出△AFC≌△AED，进而证出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性质，求出DE=4；（3）①根据点A和点B的坐标，得到x=2m，y=﹣m2+m+4，将m=代入y=﹣m2+m+4，即可求出二次函数的表达式；②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，然后分（如图1）和（图2）两种情况解答．【解答】解：（1）当m=2时，y=（x﹣2）2+1，把x=0代入y=（x﹣2）2+1，得：y=2，∴点B的坐标为（0，2）．（2）延长EA，交y轴于点F，∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，∴△AFC≌△AED，∴AF=AE，∵点A（m，﹣m2+m），点B（0，m），∴AF=AE=|m|，BF=m﹣（﹣m2+m）=m2，∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，∴△ABF∽△DAE，∴=，即：=，∴DE=4．（3）①∵点A的坐标为（m，﹣m2+m），∴点D的坐标为（2m，﹣m2+m+4），∴x=2m，y=﹣m2+m+4，∴y=﹣o++4，∴所求函数的解析式为：y=﹣x2+x+4，②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，（Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），点P的横坐标为3m，点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）﹣（m2）=﹣m2+m+4，把P（3m，﹣m2+m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得：﹣m2+m+4=﹣×（3m）2+×（3m）+4，解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8．（Ⅱ）当四边形ABPD为平行四边形时（如图2），点P的横坐标为m，点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）+（m2）=m+4，把P（m，m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得：m+4=﹣m2+m+4，解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=﹣8，综上所述：m的值为8或﹣8．【点评】本题是二次函数综合题，涉及四边形的知识，同时也是存在性问题，解答时要注意数形结合及分类讨论．20.（2016·天津五区县·一模）某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？【考点】二次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据所给函数图象列出关于kb的关系式，求出k、b的值即可；（2）把每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式化为二次函数顶点式的形式，由此关系式即可得出结论．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），由所给函数图象可知，，解得．故y与x的函数关系式为y=﹣x+180；（2）∵y=﹣x+180，∴W=（x﹣100）y=（x﹣100）（﹣x+180）=﹣x2+280x﹣18000=﹣（x﹣140）2+1600，∵a=﹣1＜0，∴当x=140时，W最大=1600，∴售价定为140元/件时，每天最大利润W=1600元．【点评】本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出关于k、b的关系式是解答此题的关键．21.（2016·天津五区县·一模）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点？若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）根据二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，应用待定系数法，求出二次函数的解析式即可．（2）首先根据待定系数法，求出BC所在的直线的解析式，再分别求出点P、点Q的坐标各是多少；然后分两种情况：①当∠QPB=90°时；②当∠PQB=90°时；根据等腰直角三角形的性质，求出t的值各是多少即可．（3）首先延长MQ交抛物线于点N，H是PQ的中点，再用待定系数法，求出PQ所在的直线的解析式，然后根据PQ的中点恰为MN的中点，判断出是否存在满足题意的点N即可．【解答】解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得．∴二次函数的解析式是：y=x2﹣2x﹣3．（2）∵y=x2﹣2x﹣3，∴点C的坐标是（0，﹣3），∴BC==3，设BC所在的直线的解析式是：y=mx+n，则，解得．∴BC所在的直线的解析式是：y=x﹣3，∵经过t秒，AP=t，BQ=t，∴点P的坐标是（t﹣1，0），设点Q的坐标是（x，x﹣3），∵OB=OC=3，∴∠OBC=∠OCB=45°，则y=×sin45°=×=t，则Q点纵坐标为﹣t，∴x=3﹣t，∴点Q的坐标是（3﹣t，﹣t），①如图1，，当∠QPB=90°时，点P和点Q的横坐标相同，∵点P的坐标是（t﹣1，0），点Q的坐标是（3﹣t，﹣t），∴t﹣1=3﹣t，解得t=2，即当t=2时，△BPQ为直角三角形．②如图2，，当∠PQB=90°时，∵∠PBQ=45°，∴BP=，∵BP=3﹣（t﹣1）=4﹣t，BQ=，∴4﹣t=即4﹣t=2t，解得t=，即当t=时，△BPQ为直角三角形．综上，可得当△BPQ为直角三角形，t=或2．（3）如图3，延长MQ交抛物线于点N，H是PQ的中点，，设PQ所在的直线的解析式是y=px+q，∵点P的坐标是（t﹣1，0），点Q的坐标是（3﹣t，﹣t），∴，解得．∴PQ所在的直线的解析式是y=x+，∴点M的坐标是（0，），∵，=﹣，∴PQ的中点H的坐标是（1，﹣），假设PQ的中点恰为MN的中点，∵1×2﹣0=2，﹣=，∴点N的坐标是（2，），又∵点N在抛物线上，∴=22﹣2×2﹣3=﹣3，∴点N的坐标是（2，﹣3），解得t=或t=，∵t＜2，∴t=，∴当t＜2时，延长QP交y轴于点M，当t=时在抛物线上存在一点N（2，﹣3），使得PQ的中点恰为MN的中点．【点评】（1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．（2）此题还考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．（3）此题还考查了待定系数法求函数解析式的方法，要熟练掌握．22．(2016·四川峨眉·二模）某玩具代理商销售某种遥控汽车玩具，其进价是元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是元/台时，可售出台，且售价每降低元，就可多售出台．若供货商规定这种遥控汽车玩具售价不能低于元/台，代理销售商每月要完成不低于台的销售任务．（1）试确定月销售量(台)与售价(元/台)之间的函数关系式；（2）当售价(元/台)定为多少时，商场每月销售这种遥控汽车玩具所获得的利润(元)最大？最大利润是多少？答案：解：(1)∵供货商规定代理销售商每月要完成不低于200台的销售任务∴即∴(2)==∵∴当时，所获的利润最大，最大利润为元。答：当售价定位元时，商场每月销售这种遥控汽车玩具所获的利润最大，最大利润为元。23．(2016·重庆巴蜀·一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（﹣3，），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧）与y轴交于点C，D为BO的中点，直线DC解析式为y=kx+4（k≠0）（1）求抛物线的解析式和直线CD的解析式．（2）点P是抛物线第二象限部分上使得△PDC面积最大的一点，点E为DO的中点，F是线段DC上任意一点（不含端点）．连接EF，一动点M从点E出发沿线段EF以每秒1个单位长度的速度运动到F点，在沿线段FC以每秒个单位长度的速度运动到C点停止．当点M在整个运动中同时最少为t秒时，求线段PF的长及t值．（3）如图2，直线DN：y=mx+2（m≠0）经过点D，交y轴于点N，点R是已知抛物线上一动点，过点R作直线DN的垂线RH，垂足为H，直线RH交x轴与点Q，当∠DRH=∠ACO时，求点Q的坐标．【分析】（1）设抛物线解析式y=a（x+3）2+，把点C（0，4）代入即可求出a，再令y=0，求出点B以及点D坐标即可解决问题．（2）如图1中，过点C作y轴的垂线，过点E作x轴的垂线两线交于点M，EM与CD交于点F，此时点F就是所求的点，时间最短，再利用三角形面积公式求出使得△PCD面积最大的点P坐标，即可求出PF的长．（3）分两种情形，①如图2中，当∠DR1H1=∠DR2H2=∠ACO时，利用勾股定理求出点M的坐标，求出直线DM，解方程组求出R1，R2坐标，再求出直线R1H1，R2H2即可解决问题，②当∠DR3H3=∠ACO时，求出R3坐标后求出直线R3H3即可解决问题．【解答】解：（1）由题意抛物线顶点（﹣3，），点C坐标（0，4），设抛物线解析式y=a（x+3）2+，把点C（0，4）代入得a=﹣，所以抛物线为y=﹣（x+3）2+=﹣x2﹣x+4，令y=0，得x2+6x﹣16=0，x=﹣8或2，所以点B（﹣8，0），点A（2，0），D（﹣4，0）把点D（﹣4，0）代入y=kx+4中得k=1，所以直线CD解析式为y=x+4．（2）如图1中，过点C作y轴的垂线，过点E作x轴的垂线两线交于点M，EM与CD交于点F，此时点F就是所求的点，时间最短．∵OC=OD=4，∴∠DCO=45°，∴∠MCF=90°﹣∠DCO=45°，∵∠MCO=∠MEO=∠EOC=90°，∴四边形MEOC是矩形，∴∠EMC=90°，∴∠MFC=∠MCF=45°，∴FC=FM，∵t=EF+=EF+FM，∴EM⊥CM时，时间最短，∴t=4秒．设点P（m，﹣﹣m+4），∵S△PCD=S△PDO+S△PCO﹣S△DCO=×﹣8=﹣m2﹣5m，∴m=﹣5时，△PCD面积最大，此时P（﹣5，），∵点F（﹣2，2），∴PF==，（3）如图2中，①当∠DR1H1=∠DR2H2=∠ACO，∵点N（0，2），D（﹣4，0），C（0，4），A（2，0），∴直线DN为y=x+2，直线AC为y=﹣2x+4，∴K1K2=﹣1，∴AC⊥DN，∴∠ACO=∠ODN，∴∠DNO=∠OAC，∵∠DR1H1=∠DR2H2=∠ACO，∴∠MDN=∠MND，∴MN=DM，设OM=x，则（x+2）2=x2+42解得x=3，∴点M（0，﹣3），直线DM为y=﹣x﹣3，由解得，∴R1（﹣7，），R2（4，﹣6），∴直线R1H1为y=﹣2x﹣，此时Q1（﹣，0），直线R2H2为y=﹣2x+2，此时Q2（1.0），②当∠DR3H3=∠ACO时，∵R3Q3⊥DC，AC⊥DC，∴∠R3DH3=∠CNK，∴DR3∥OC，∴R3（﹣4，6），直线R3Q3为y=﹣2x﹣2，∴Q3（﹣1，0）．综上所述满足条件的点Q的坐标为Q1（﹣，0），Q2（1.0），Q3（﹣1，0）．24．(2016·山西大同·一模）如图：已知抛物线（k为常数，且k>0）与x轴从左至右依次交于A、B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一个交点为D.（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到点D后停止.当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？答案：（1）由题意：当x=5时，y=×（-5）+=把D（-5，）代入抛物线得k=∴y=（2）C（0，-k）OA=2，OB=4，OC=k∴AC=，BC=由题意两个三角形相似只有两种情况（a） 当△PAB∽△ABC时，∴PA==过P做PH⊥x轴于H，△PAH∽△CBO，,PH=P(-2，)代入y=k2=2，∵k>0，∴k=（b） 当△APB∽△ABC相似时，同理可求k=（3）过D作DG⊥y轴于G，作AQ⊥DG于Q,过F作FQ⊥DG于Q'设直线BD交y轴于E，则E（0，），∠EBO=30°由DG∥AB得∠EDG=30°，DF=2FQ'∴t=AF+=AF+=AF+FQ'∵AF+FQ'AQ即当F为AQ与BD的交点时，点M的运动时间最少∵DG⊥y轴，AQ⊥DG∴xF=xA=-2当xF=-2时，yF=∴F（-2，）25．(2016·四川峨眉·二模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，与过点且平行于轴的直线交于另一点，点是抛物线上一动点．（1）求抛物线解析式及点坐标；（2）点在轴上，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求此时点的坐标；（3）过点作直线的垂线，垂足为，若将沿翻折，点的对应点为．是否存在点，使恰好落在轴上？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）∵抛物线经过，两点，∴，解得：，，∴抛物线解析式为：；当时，，解得：，（舍），即：点坐标为．（2）∵，两点都在轴上，∴有两种可能：①当为一边时，∥，此时点与点重合（如图1），∴，②当为对角线时，点、点到直线（即轴）的距离相等，∴点的纵坐标为（如图2），把代入抛物线的解析式，得：，解得：，，∴点的坐标为，，综上所述：；；．（3）存在满足条件的点，显然点在直线下方，设直线交轴于，点的坐标为（，），①当点在轴右侧时（如图3），，，又∵，∴,又，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，＝＝，即，∴点的坐标为（，），②当点在轴左侧时（如图4），此时，，＝＝，＝－（）＝，又∵，，∴，又∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，＝＝，此时，点的坐标为（，）．综上所述，满足条件的点有两个，其坐标分别为：（，），（，）．（备注：如有与参考答案的方法不同的只要正确都给满分．）26．(2016·重庆巴南·一模）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE=5EF，求m的值；（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）用含m的代数式分别表示出PE、EF，然后列方程求解；（3）解题关键是识别出当四边形PECE′是菱形，然后根据PE=CE的条件，列出方程求解；当四边形PECE′是菱形不存在时，P点y轴上，即可得到点P坐标．【解答】方法一：解：（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式，得：，解得，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x+5．（2）∵点P的横坐标为m，∴P（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣m+3），F（m，0）．∴PE=|yP﹣yE|=|（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+3）|=|﹣m2+m+2|，EF=|yE﹣yF|=|（﹣m+3）﹣0|=|﹣m+3|．由题意，PE=5EF，即：|﹣m2+m+2|=5|﹣m+3|=|m+15|①若﹣m2+m+2=m+15，整理得：2m2﹣17m+26=0，解得：m=2或m=；②若﹣m2+m+2=﹣（m+15），整理得：m2﹣m﹣17=0，解得：m=或m=．由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=、m=这两个解均舍去．∴m=2或m=．（3）假设存在．作出示意图如下：∵点E、E′关于直线PC对称，∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．∵PE平行于y轴，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴PE=CE，∴PE=CE=PE′=CE′，即四边形PECE′是菱形．当四边形PECE′是菱形存在时，由直线CD解析式y=﹣x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．过点E作EM∥x轴，交y轴于点M，易得△CEM∽△CDO，∴，即，解得CE=|m|，∴PE=CE=|m|，又由（2）可知：PE=|﹣m2+m+2|∴|﹣m2+m+2|=|m|．①若﹣m2+m+2=m，整理得：2m2﹣7m﹣4=0，解得m=4或m=﹣；②若﹣m2+m+2=﹣m，整理得：m2﹣6m﹣2=0，解得m1=3+，m2=3﹣．由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=3+这个解舍去．当四边形PECE′是菱形这一条件不存在时，此时P点横坐标为0，E，C，E'三点重合与y轴上，菱形不存在．综上所述，存在满足条件的点P，可求得点P坐标为（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）方法二：（1）略．（2）略．（3）若E关于直线PC的对称点E′在y轴上，则直线CD与直线CE关于PC轴对称．∴点D关于直线PC的对称点D′也在y轴上，∴DD′⊥CP，∵y=﹣x+3，∴D（4，0），CD=5，∵OC=3，∴OD′=8或OD′=2，①当OD′=8时，D′（0，8），设P（t，﹣t2+4t+5），D（4，0），C（0，3），∵PC⊥DD′，∴KPC×KDD′=﹣1，∴，∴2t2﹣7t﹣4=0，∴t1=4，t2=，②当OD′=2时，D′（0，﹣2），设P（t，﹣t2+4t+5），∵PC⊥DD′，∴KPC×KDD′=﹣1，∴=﹣1，∴t1=3+，t2=3﹣，∵点P是x轴上方的抛物线上一动点，∴﹣1＜t＜5，∴点P的坐标为（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）．27．(2016·重庆铜梁巴川·一模）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．【分析】（1）由待定系数法建立二元一次方程组求出求出m、n的值即可；（2）由（1）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1，以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3，作CE垂直于对称轴与点E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；（3）先求出BC的解析式，设出E点的坐标为（a，﹣a+2），就可以表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；（2）∵y=﹣x2+x+2，∴y=﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1=DP2=DP3=CD．作CM⊥x对称轴于M，∴MP1=MD=2，∴DP1=4．∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤a≤4）．∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BDoOC+EFoCM+EFoBN，=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），=﹣a2+4a+（0≤a≤4）．=﹣（a﹣2）2+∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，∴E（2，1）．28．(2016·新疆乌鲁木齐九十八中·一模)如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】方法一：（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标．（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点．方法二：（3）用参数表示点M坐标，分类讨论三种情况，利用两点间距离公式便可求解．（4）列出点M的参数坐标，利用MO=MB求解．此问也可通过求出OB的垂直平分线与y轴的交点得出M点．【解答】解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OBosin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得：，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x；（3）存在；如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△P′OD中，∠P′DO=90°，sin∠P′OD==，∴∠P′OD=60°，∴∠P′OB=∠P′OD+∠AOB=60°+120°=180°，即P′、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2）．方法二：（3）设P（2，t），O（0，0），B（﹣2，﹣2），∵△POB为等腰三角形，∴PO=PB，PO=OB，PB=OB，（2﹣0）2+（t﹣0）2=（2+2）2+（t+2）2，∴t=﹣2，（2﹣0）2+（t﹣0）2=（0+2）2+（0+2）2，∴t=2或﹣2，当t=2时，P（2，2），O（0，0）B（﹣2，﹣2）三点共线故舍去，（2+2）2+（t+2）2=（0+2）2+（0+2）2，∴t=﹣2，∴符合条件的点P只有一个，∴P（2，﹣2）．（4）∵点B，点P关于y轴对称，∴点M在y轴上，设M（0，m），∵⊙M为△OBF的外接圆，∴MO=MB，∴（0﹣0）2+（m﹣0）2=（0+2）2+（m+2）2，∴m=﹣，M（0，﹣）．【点评】此题融合了函数解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，综合程度较高，但属于二次函数综合题型中的常见考查形式，没有经过分类讨论而造成漏解是此类题目中易错的地方．29．(2016·云南省曲靖市罗平县·二模)在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．【考点】二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式．【专题】压轴题．【分析】（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式．（2）设出M点的坐标，利用S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB即可进行解答；（3）当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合．【解答】解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），将A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点代入函数解析式得：解得，所以此函数解析式为：y=；（2）∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，∴M点的坐标为：（m，），∴S=S△AOM+S△OBM﹣S△AOB=×4×（﹣m2﹣m+4）+×4×（﹣m）﹣×4×4=﹣m2﹣2m+8﹣2m﹣8=﹣m2﹣4m，=﹣（m+2）2+4，∵﹣4＜m＜0，当m=﹣2时，S有最大值为：S=﹣4+8=4．答：m=﹣2时S有最大值S=4．（3）设P（x，x2+x﹣4）．当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ=OB，∴Q的横坐标等于P的横坐标，又∵直线的解析式为y=﹣x，则Q（x，﹣x）．由PQ=OB，得|﹣x﹣（x2+x﹣4）|=4，解得x=0，﹣4，﹣2±2．x=0不合题意，舍去．如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=﹣x得出Q为（4，﹣4）．由此可得Q（﹣4，4）或（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2）或（4，﹣4）．【点评】本题考查了三点式求抛物线的方法，以及抛物线的性质和最值的求解方法．30．(2016·云南省·一模)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，﹣2）三点．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若直线l是抛物线的对称轴，设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在线段AB上是否存在点M（m，0），使得以线段CM为直径的圆与边BC交于Q点（与点C不同），且以点Q、B、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可．（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．（3）由于△QBO的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①QB=BO、②QB=QO、③QO=BO；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△QBO的三边长，再按上面的三种情况列式求解即可．【解答】解：∵y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，﹣2），∴，解之得，∴函数解析式为y=x2﹣x﹣2；（2）如图1，抛物线的对称轴是直线x=1.5．当点P落在线段BC上时，PA+PC最小，△PAC的周长最小．设抛物线的对称轴与x轴的交点为D．∵B（4，0）、C（0，﹣2）．∴OB=4，OC=2．又OD=，得BD=．由，得PD=．∴点P的坐标为（，）．（3）过点Q作QM⊥BC交AB于点M，如图2，则根据直径所对圆周角是直角的性质，知点Q在以CM为直径的圆上，由A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，﹣2）可证△ABC是直角三角形，得∠ACB=90°，∴QM∥AC，∴△BMQ∽△BAC．∴，由A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，﹣2），可得OA=1，OB=4，OC=2．则AB=1+4=5，BC=．由M（m，0），得BM=4﹣m．分三种情况：①当QB=QO时，点Q在OB垂直平分线上，是BC的中点，得QC=．∴，解得．②当BQ=BO时，BQ=4．∴，解得．③当OB=OQ时，由于OQ=4，OA=2，OQ＞OA从而点Q在CB的延长线上，这样点M不在线段AC上．综上所述，m的值为或．【点评】该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解．31．(2016·云南省·二模)如图，在平面直角坐标系中，直线AB和抛物线交于点A（﹣4，0），B（0，4），且点B是抛物线的顶点．（1）求直线AB和抛物线的解析式．（2）点P是直线上方抛物线上的一点，求当△PAB面积最大时点P的坐标．（3）M是直线AB上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）设直线的解析式为y=kx+b，将A（﹣4，0），B（0，4）代入得到关于k、b的方程组，然后解得k、b的值即可；设抛物线的解析式为y=ax2+4，然后将点A的坐标代入求得a的值即可；（2）过点P作PQ⊥x轴，交AB于点Q．设点P（a，﹣+4），Q（a，a+4）．则PQ=﹣﹣a，然后依据三角形的面积公式列出△ABP的面积与a的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可；（3）先根据题意画出图形，需要注意本题共有4种情况，然后依据菱形的性质、等腰直角三角形的性质以及特殊锐角三角函数值求解即可．【解答】解：（1）设直线的解析式为y=kx+b．∵将A（﹣4，0），B（0，4）代入得：，解得k=1，b=4，∴直线AB的解析式为y=x+4．设物线的解析式为y=ax2+4．∵将A（﹣4，0）代入得：16a+4=0，解得a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4．（2）如图1所示，过点P作PQ⊥x轴，交AB于点Q．设点P的坐标为（a，﹣+4），则点Q的坐标为（a，a+4）．则PQ=﹣+4﹣（a+4）=﹣﹣a．∵S△ABP的面积=PQo（xB﹣xA）=×4×（﹣﹣a）=﹣a2﹣2a=﹣（a+2）2+2，∴当a=﹣2时△ABP的面积最大，此时P（﹣2，2）．（3）如图2所示：延长MN交x轴与点C．∵MN∥OB，OB⊥OC，∴MN⊥OC．∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠BA0=45°．∵ON∥AB，∴∠NOC=45°．∴OC=ON×=4×=2，NC=ON×=4×=2．∴点N的坐标为（2，2）．如图3所示：过点N作NC⊥y轴，垂足为C．∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OBA=45°．∵ON∥AB，∴∠NOC=45°．∴OC=ON×=4×=2，NC=ON×=4×=2．∴点N的坐标为（﹣2，﹣2）．如图4所示：连接MN交y轴与点C．∵四边形BNOM为菱形，OB=4，∴BC=OC=2，MC=CN，MN⊥OB．∴点的纵坐标为2．∵将y=2代入y=x+4得：x+4=2，解得：x=﹣2，∴点M的坐标为（﹣2，2）．∴点N的坐标为（2，2）．如图5所示：∵四边形OBNM为菱形，∴∠NBM=∠ABO=45°．∴四边形OBNM为正方形．∴点N的坐标为（﹣4，4）．综上所述点N的坐标为或或（﹣4，4）或（2，2）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、二次函数的最值，三角形的面积公式、菱形的性质、等腰直角三角形的性质，列出△ABP的面积与a的函数关系式以及根据题意画出符合条件的图形是解题的关键．32．(2016·郑州·二模)（11分）如图1，抛物线（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A（－l，0）、B（3，0）、点C三点．（1）求抛物线的表达式；（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC?如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B'O'C．在平移过程中，△B'O'C'与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，直接写出S与t之间的函数关系式．