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2016年中考数学模拟专题演练详解：方案设计问题专题三方案设计问题A组2015年全国中考题组一、选择题1.(2015·浙江宁波，12，4分)如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形标号为()A．①② B．②③ C．①③ D．①②③解如图，∵长方形被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形，∴A的对应点是A′，B的对应点是B′，∴AB＝A′B′.∵①的长和②的边长的和等于原长方形的长，①的宽和②的边长的和等于原长方形的宽，∴①②的周长和等于原长方形的周长，∴分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为①②，其余的图形的周长不用测量无法判断．故选A.答案A二、填空题2．(2015·浙江温州，16，5分)图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品，该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成(不重叠，无缝隙)．图乙中，ABBC＝67，EF＝4cm，上、下两个阴影三角形的面积之和为54cm2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为________cm.解析设AB＝6xcm，BC＝7xcm，AF＝ycm.由题意得2y＋4＝7x，12×6x×7x－y2×2＝54，解得x＝2，y＝5，∴AB＝12，AD＝14，∴DF＝9，∴CF＝15，∴FH＝DH＝152.∵△FGE∽△FHD，∴FGFH＝FEFD，∴FG＝103，∴GH＝152－103＝256.∴菱形的周长为503.答案503三、解答题3．(2015·四川广安，21，12分)手工课上，老师要求同学们将边长为4cm的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形，聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线，并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积(注：不同的分法，面积可以相等)．解根据分析，可得(1)第一种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEH，△BEF，△CFG，△DHG，每个最小的等腰直角三角形的面积是：(4÷2)×(4÷2)÷2＝2×2÷2＝2(cm2)．(2)第二种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEO，△BEO，△BFO，△CFO，每个最小的等腰直角三角形的面积是：(4÷2)×(4÷2)÷2＝2×2÷2＝2(cm2)．(3)第三种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AHO，△DHO，△BFO，△CFO，每个最小的等腰直角三角形的面积是：(4÷2)×(4÷2)÷2＝2×2÷2＝2(cm2)．(4)第四种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEI，△OEI，每个最小的等腰直角三角形的面积是：(4÷2)×(4÷2)÷2÷2＝2×2÷2÷2＝1(cm2)．4．(2015·四川绵阳，21，8分)南海地质勘探队在南沙群岛的一小岛发现很有价值的A，B两种矿石，A矿石大约565吨，B矿石大约500吨，上报公司，要一次性将两种矿石运往冶炼厂，需要不同型号的甲、乙两种货船共30艘，甲货船每艘运费1000元，乙货船每艘运费1200元．(1)设运送这些矿石的总费用为y元，若使用甲货船x艘，请写出y和x之间的函数关系式；(2)如果甲货船最多可装A矿石20吨和B矿石15吨，乙货船最多可装A矿石15吨和B矿石25吨，装矿石时按此要求安排甲、乙两种货船，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费．解(1)根据题意得：y＝1000x＋1200(30－x)＝36000－200x.(2)设安排甲货船x艘，则安排乙货船(30－x)艘，根据题意得：20x＋15（30－x）≥565，15x＋25（30－x）≥500，化简得：x≥23，x≤25，∴23≤x≤25.∵x为整数，∴x＝23，24，25，方案一：甲货船23艘，则安排乙货船7艘，运费y＝36000－200×23＝31400元；方案二：甲货船24艘，则安排乙货船6艘，运费y＝36000－200×24＝31200元；方案三：甲货船25艘，则安排乙货船5艘，运费y＝36000－200×25＝31000元；经分析得方案三运费最低，为31000元．5．(2015·浙江金华，23，10分)图1、图2为同一长方体房间的示意图，图3为该长方体的表面展开图．(1)蜘蛛在顶点A′处．①苍蝇在顶点B处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线．②苍蝇在顶点C处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD爬行的最近路线A′GC和往墙面BB′C′C爬行的最近路线A′HC，试通过计算判断哪条路线更近．(2)在图3中，半径为10dm的⊙M与D′C′相切，圆心M到边CC′的距离为15dm，蜘蛛P在线段AB上，苍蝇Q在⊙M的圆周上，线段PQ为蜘蛛爬行路线，若PQ与⊙M相切，试求PQ长度的范围．解(1)①根据"两点之间，线段最短"可知：线段A′B为最近路线，如图1所示．②Ⅰ.将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形ABCD在同一平面内，如图2①.图2①在Rt△A′B′C中，∠B′＝90°，A′B′＝40，B′C＝60，∴AC＝402＋602＝5200＝2013.Ⅱ.将长方体展开，使得长方形ABB′A′和长方形BCC′B′在同一平面内，如图2②.在Rt△A′C′C中，∠C′＝90°，A′C′＝70，C′C＝30，∴A′C＝702＋302＝5800＝1058.∵5200＜5800，∴往天花板ABCD爬行的最近路线A′GC更近；(2)过点M作MH⊥AB于H，连结MQ，MP，MA，MB，如图3.∵半径为10dm的⊙M与D′C′相切，圆心M到边CC′的距离为15dm，BC′＝60dm，∴MH＝60－10＝50，HB＝15，AH＝40－15＝25，根据勾股定理可得AM＝AH2＋MH2＝252＋502＝3125，MB＝BH2＋MH2＝152＋502＝2725，∴50≤MP≤3125.∵⊙M与PQ相切于点Q，∴MQ⊥PQ，∠MQP＝90°，∴PQ＝MP2－MQ2＝MP2－100.当MP＝50时，PQ＝2400＝206；当MP＝3125时，PQ＝3025＝55.∴PQ长度的范围是206dm≤PQ≤55dm.6．(2015·四川南充，22，12分)如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP＞AM)，点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．(1)判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)(2)如果AM＝1，sin∠DMF＝35，求AB的长．解(1)△AMP∽△BPQ∽△CQD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，根据折叠的性质可知：∠APM＝∠EPM，∠EPQ＝∠BPQ，∴∠APM＋∠BPQ＝∠EPM＋∠EPQ＝90°.∵∠APM＋∠AMP＝90°，∴∠BPQ＝∠AMP，∴△AMP∽△BPQ，同理：△BPQ∽△CQD，根据相似的传递性，△AMP∽△CQD；(2)∵AD∥BC，∴∠DQC＝∠MDQ，根据折叠的性质可知：∠DQC＝∠DQM，∴∠MDQ＝∠DQM，∴MD＝MQ.∵AM＝ME，BQ＝EQ，∴BQ＝MQ－ME＝MD－AM，∵sin∠DMF＝DFMD＝35，∴设DF＝3x，MD＝5x，∴BP＝PA＝PE＝3x2，BQ＝5x－1.∵△AMP∽△BPQ，∴AMBP＝APBQ，∴13x2＝3x25x－1，解得：x＝29或x＝2，∴AB＝23或6.B组2014～2011年全国中考题组解答题1．(2013·天津，24，8分)甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．设小红在同一商场累计购物x元，其中x>100.(1)根据题意，填写下表(单位：元)：累计购物实际花费 130 290 … x在甲商场 127  … 在乙商场 126  … (2)当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？(3)当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？解(1)在甲商场：271，0.9x＋10；在乙商场：278，0.95x＋2.5.(2)根据题意，有0.9x＋10＝0.95x＋2.5，解得x＝150，∴当x＝150时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同；(3)由0.9x＋10<0.95x＋2.5，解得x>150，由0.9x＋10>0.95x＋2.5，解得x<150.∴当小红累计购物超过150元时，在甲商场的实际花费少．当小红累计购物超过100元而不到150元时，在乙商场的实际花费少．当小红累计购物150元时，甲、乙商场花费一样．2．(2014·山东济宁，20，8分)在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为6个单位长度的圆形纸板，要求同学们：(1)从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；(2)设计的整个图案是某种对称图形．王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告.名称 四等分圆的面积方案 方案一 方案二 方案三选用的工具 带刻度的三角板  画出示意图 
简述设计方案 作⊙O两条互相垂直的直径AB，CD，将⊙O的面积分成相等的四份  指出对称性 既是轴对称图形又是中心对称图形  解名称 四等分圆的面积方案 方案一 方案二 方案三选用的工具 带刻度的三角板 带刻度三角板、量角器、圆规 带刻度三角板、圆规画出示意图 
简述设计方案 作⊙O两条互相垂直的直径AB，CD，将⊙O的面积分成相等的四份. (1)以点O为圆心，以3个单位长度为半径作圆；(2)在大⊙O上依次取三等分点A，B，C；(3)连结OA，OB，OC.则小圆O与三等份圆环把⊙O的面积四等分 (1)作⊙O的一条直径AB；(2)分别以OA，OB的中点为圆心，以3个单位长度为半径作⊙O1，⊙O2；则⊙O1，⊙O2和⊙O中剩余的两部分把⊙O的面积四等分指出对称性 既是轴对称图形又是中心对称图形 轴对称图形 既是轴对称图形又是中心对称图形3.(2014·山东烟台，23，8分)山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%.(1)今年A型车每辆售价多少元？(用列方程的方法解答)(2)该车行计划新近一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？A，B两种型号车的进货和销售价格如下表： A型车 B型车进货价格(元) 1100 1400销售价格(元) 今年的销售价格 2000解(1)设今年A型车每辆售价a元，则去年每辆售价(a＋400)元，得50000a＋400＝50000（1－20%）a.解得：a＝1600.经检验，a＝1600是所列方程的根．答：今年A型车每辆售价为1600元．(2)设车行新进A型车b辆，则B型车为(60－b)辆，获利润y元．由题意，得y＝(1600－1100)b＋(2000－1400)(60－b)，即y＝－100b＋36000.∵B型车的进货数量不超过A型车数量的2倍，∴60－b≤2b，∴b≥20.由y与b的关系式可知，－100＜0，y的值随b值的增大而减小．∴当b＝20时，y的值最大．∴60－b＝60－20＝40(辆)．答：当车行新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．4．(2013·浙江舟山，22，10分)小明在做课本"目标与测定"中的一道题：如图，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你用什么办法量出这两条直线所成的角的度数？(1)①请帮小明在图2的画板内画出你的测量方案图(简要说明画法过程)；②说出该画法依据的定理；(2)小明在此基础上进行了更深入的探究，想到两个操作：①在图3的画板内，在直线a与直线b上各取一点，使这两点与直线a，b的交点构成等腰三角形(其中交点为顶角的顶点)，画出该等腰三角形在画板内的部分．②在图3的画板内，作出"直线a，b所成的跑到画板外面去的角"的平分线(在画板内的部分)，只要求作出图形，并保留作图痕迹．请你帮助小明完成上面两个操作过程．(必须要有方案图，所有的线不能画到画板外，只能画在画板内)解(1)法一①如图1，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即为直线a，b所成角的度数．②两直线平行，同位角相等．法二①如图2，在直线a，b上各取一点A，B，连结AB，测得∠1，∠2的度数，则180°－∠1－∠2即为直线a，b所成角的度数．②三角形内角和为180°；(2)如图3，以P为圆心，任意长为半径作弧，分别交直线b，PC于点B，D；连结BD并延长交直线a于点A，则四边形ABPQ就是所求作的图形．(3)如图3，作线段AB的中垂线，则MN就是求作的线．